# 周期伸缩与傅里叶级数中的变量代换

## 一、为什么要换元：把一般问题化为标准问题

教材已经讨论过 $2\pi$ 周期函数的傅里叶级数，现在希望处理周期为 $2l$ 的函数。自然的思路是：**先把横坐标换成标准刻度，使用已经学过的公式，再换回原来的刻度。**

这体现了数学中的**变量代换与标准化思想**。换元的目的不是为了改变字母，而是把问题转化为已有理论能够直接处理的形式。

全文统一采用教材记号，设 $l>0$：

| 对象 | 函数与变量 | 周期 |
| --- | --- | --- |
| 一般周期函数 | $f(x)$，横坐标为 $x$ | $2l$ |
| 标准周期函数 | $F(t)$，横坐标为 $t$ | $2\pi$ |

学习顺序是：先理解同一周期进度如何对应，再定义新函数，随后讨论伸缩比例与逆向变换，最后用于傅里叶级数。

## 二、最直观的理解：同一个位置，占相同的周期比例

### 1. 先对齐一个完整周期

希望原刻度下的一个周期 $2l$，对应新刻度下的一个周期 $2\pi$。取对应原点均为零，并保持方向不变，让两个对应位置经过的周期比例相等：

$$
\frac{x}{2l}=\frac{t}{2\pi}.
$$

于是

$$
\boxed{t=\frac{\pi}{l}x}
\qquad\Longleftrightarrow\qquad
\boxed{x=\frac{l}{\pi}t}.
$$

这两个式子是同一关系的两种写法，只是分别解出 $t$ 和 $x$。

| 从原点经过的周期比例 | 原横坐标 $x$ | 新横坐标 $t$ |
| --- | --- | --- |
| $0$ | $0$ | $0$ |
| $1/4$ | $l/2$ | $\pi/2$ |
| $1/2$ | $l$ | $\pi$ |
| $1$ | $2l$ | $2\pi$ |

这里的“周期进度”是从选定原点开始经过的周期比例，不要求原点是波峰；也可以取负值或大于 $1$。特别地，$[-l,l]$ 对应 $[-\pi,\pi]$。

**不用先背乘谁、除谁：先写“原坐标除以原周期，等于新坐标除以新周期”，再解出需要代入的变量。**

### 2. 再保留对应位置的函数值

给定新横坐标 $t$，先换算出原横坐标 $x=lt/\pi$，再读取原函数在该处的值，因此定义

$$
\boxed{F(t)=f\left(\frac{l}{\pi}t\right)}.
$$

例如，$t=\pi$ 对应 $x=l$，所以 $F(\pi)=f(l)$。

在 $x=lt/\pi$ 的对应关系下，可以简写为

$$
F(t)=f(x).
$$

这表示对应点的纵坐标相同，并不表示 $x$ 和 $t$ 可以独立任取，也不表示两个函数在相同数值的输入处总有相同输出。

可以类比单位换算：若 $h(s)$ 用秒记录某个量，改用分钟 $m$ 时，应定义 $H(m)=h(60m)$。先把分钟换成秒，再读取数值。周期标准化也是换刻度，但不一定是物理单位的转换。

### 3. 验证新函数的周期

由于 $f(x+2l)=f(x)$，

$$
\begin{aligned}
F(t+2\pi)
&=f\left(\frac{l}{\pi}(t+2\pi)\right)\\
&=f\left(\frac{l}{\pi}t+2l\right)\\
&=f\left(\frac{l}{\pi}t\right)\\
&=F(t).
\end{aligned}
$$

因此 $F$ 以 $2\pi$ 为周期。直观解释给出了构造方法，周期验证则确认它确实满足要求。

## 三、三个比例：输入乘数、横坐标伸缩、周期伸缩

### 1. 先用一般形式说明

暂用 $h(u)$ 表示原函数，其周期为 $T>0$。定义

$$
G(v)=h(kv),\qquad u=kv,\qquad k>0.
$$

原图像上的点 $(u,h(u))$，对应到新图像上的点 $(u/k,h(u))$。

| 比较对象 | 关系 | 比例 |
| --- | --- | --- |
| 函数内部的输入乘数 | $u=kv$ | $k$ |
| 对应点的新横坐标相对旧横坐标的伸缩 | $v=u/k$ | $1/k$ |
| 新周期相对旧周期的伸缩 | $T_{\text{新}}=T/k$ | $1/k$ |

周期公式的验证为

$$
G\left(v+\frac{T}{k}\right)=h(kv+T)=h(kv)=G(v).
$$

**周期的伸缩比例与图像横坐标的伸缩比例相同，与函数内部的输入乘数互为倒数。**

所以“变量缩放”一词必须说明指什么：若指输入乘数，是 $k$；若指对应点的横坐标伸缩，是 $1/k$。不能笼统地说它和周期缩放完全相同或必定互为倒数。

若把伸缩比例约定为“新量除以旧量”，横坐标与周期均按这个约定计算。而 $k$ 来自“旧坐标 $=$ 输入乘数 $\times$ 新坐标”，不能再把 $k$ 称为“新坐标除以旧坐标”。坐标为零时不作相除，可直接用 $v=u/k$ 或 $\Delta v=\Delta u/k$ 表达关系。

### 2. 用正弦函数检查直觉

| 原函数 | 新函数 | 最小正周期变化 | 图像变化 |
| --- | --- | --- | --- |
| $\sin u$ | $\sin(2v)$ | $2\pi\to\pi$ | 横向压缩为原来的 $1/2$ |
| $\sin u$ | $\sin(v/2)$ | $2\pi\to4\pi$ | 横向拉伸为原来的 $2$ 倍 |

例如 $G(v)=\sin(2v)$，原图像在 $u=\pi/2$ 处的峰值，对应到新图像的 $v=\pi/4$。横坐标与周期都缩短为原来的一半。

直观地说：内部变量走得越快，完成一次重复所需的外部变量增量越小。

### 3. 回到教材的换元

对 $F(t)=f(lt/\pi)$：

$$
\text{输入乘数}=\frac{l}{\pi},
\qquad
\text{横坐标伸缩比例}=\frac{\pi}{l},
\qquad
\text{周期伸缩比例}=\frac{2\pi}{2l}=\frac{\pi}{l}.
$$

所以

$$
T_{\text{新}}=\frac{2l}{l/\pi}=2\pi.
$$

## 四、周期与最小正周期有什么区别

“以 $T$ 为周期”表示对所有自变量都满足 $h(u+T)=h(u)$。它不一定表示 $T$ 是最小正周期。

例如，$2\pi$、$4\pi$、$6\pi$ 都是 $\sin u$ 的周期，但最小正周期是 $2\pi$。

对 $G(v)=h(kv)$、$k\ne0$：

- 若只知道 $T$ 是 $h$ 的一个正周期，就能保证 $T/|k|$ 是 $G$ 的一个正周期。
- 若知道 $T$ 是 $h$ 的最小正周期，就能进一步保证 $T/|k|$ 是 $G$ 的最小正周期。

> [!proof] 补充证明：最小正周期为什么也除以输入乘数的绝对值
> 先设 $k>0$。前面的验证已说明 $T/k$ 是 $G$ 的周期。若还有正周期 $P<T/k$，则对任意 $u$，
>
> $$
> h(u+kP)=G(u/k+P)=G(u/k)=h(u).
> $$
>
> 因而 $kP$ 是 $h$ 的正周期，且 $kP<T$，与最小性矛盾。因此 $T/k$ 是最小正周期。
>
> 若 $k<0$，同样得到 $kP$ 是周期位移；周期位移的相反数也是周期位移，因此用 $|k|P$ 即得相同结论。

当 $k<0$ 时还伴随横向反射；当 $k=0$ 时得到常函数，不能套用除以 $k$ 的公式。常函数任意正数都是周期，没有最小正周期。

教材只说 $f$ 以 $2l$ 为周期，就只需推出 $F$ 以 $2\pi$ 为周期；傅里叶级数可以选用这样的周期，不要求它一定是最小正周期。

## 五、正向与逆向：关系不变，新旧角色互换

### 1. 两个方向的定义

保持教材记号不变：$f(x)$ 对应 $2l$ 周期，$F(t)$ 对应 $2\pi$ 周期。

| 方向 | 已知函数与旧周期 | 目标函数与新周期 | 定义 |
| --- | --- | --- | --- |
| 一般周期标准化 | $f(x)$，$2l$ | $F(t)$，$2\pi$ | $F(t)=f(lt/\pi)$ |
| 从标准周期构造一般周期 | $F(t)$，$2\pi$ | $f(x)$，$2l$ | $f(x)=F(\pi x/l)$ |

两者的变量关系始终是

$$
\frac{x}{2l}=\frac{t}{2\pi},
\qquad
t=\frac{\pi}{l}x,
\qquad
x=\frac{l}{\pi}t.
$$

“旧”和“新”取决于当前从哪个函数出发。反向操作时，新旧函数、新旧周期都互换，但字母对应的函数角色不变。

| 比例 | $2l\to2\pi$ | $2\pi\to2l$ |
| --- | --- | --- |
| 新周期除以旧周期 | $\pi/l$ | $l/\pi$ |
| 定义新函数时的输入乘数 | $l/\pi$ | $\pi/l$ |

### 2. 为什么两个定义等价

从 $F(t)=f(lt/\pi)$ 出发，代入 $t=\pi x/l$，便有

$$
F\left(\frac{\pi}{l}x\right)
=f\left(\frac{l}{\pi}\cdot\frac{\pi}{l}x\right)
=f(x).
$$

因此

$$
\boxed{F(t)=f\left(\frac{l}{\pi}t\right)}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\boxed{f(x)=F\left(\frac{\pi}{l}x\right)}.
$$

反向构造也可直接验证：

$$
f(x+2l)=F\left(\frac{\pi}{l}x+2\pi\right)=F\left(\frac{\pi}{l}x\right)=f(x).
$$

这是一对互逆的构造。不能只把一个式子中的比例倒过来，却仍保留原来的函数位置。

### 3. 具体例子：$l=2$

从标准周期函数 $F(t)=\sin t$ 出发，构造

$$
f(x)=F\left(\frac{\pi}{2}x\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right),
$$

其最小正周期是 $4$。反过来标准化：

$$
F(t)=f\left(\frac{2}{\pi}t\right)
=\sin\left(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{2}{\pi}t\right)=\sin t.
$$

又如 $l=2\pi$，从 $F(t)=\sin t$ 构造 $f(x)=F(x/2)=\sin(x/2)$，便把最小正周期从 $2\pi$ 变成 $4\pi$。

### 4. 任意周期之间的通用方法

原函数 $h(u)$ 以 $T>0$ 为周期，希望新函数 $G(v)$ 以 $S>0$ 为周期。令

$$
\frac{u}{T}=\frac{v}{S}
\quad\Longrightarrow\quad
u=\frac{T}{S}v,
$$

然后定义

$$
\boxed{G(v)=h\left(\frac{T}{S}v\right)}.
$$

若 $T$ 是最小正周期，则 $S$ 也是最小正周期。这一方法让一个完整周期对应一个完整周期；若只要求 $S$ 是一个周期而不要求最小性，满足条件的构造不必唯一。

## 六、教材如何用它推导一般周期的傅里叶级数

### 1. 原页中的换元是正确的

教材截图标题为“§2 以 $2l$ 为周期的函数的展开式”。它明确规定 $f$ 以 $2l$ 为周期，并通过

$$
t=\frac{\pi x}{l},\qquad F(t)=f\left(\frac{lt}{\pi}\right)
$$

构造 $2\pi$ 周期函数。本文现在统一采用这套记号，可直接与教材对照。

这里讨论的是周期函数的**傅里叶级数**，不应与傅里叶变换混称。

### 2. 在标准刻度下使用已知公式

若 $f$ 在 $[-l,l]$ 上可积，线性换元后 $F$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上也可积。教材写出

$$
F(t)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nt+b_n\sin nt),
$$

其中

$$
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F(t)\cos nt\,dt,
\qquad n=0,1,2,\ldots,
$$

$$
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F(t)\sin nt\,dt,
\qquad n=1,2,\ldots.
$$

### 3. 换回原变量

以下为补充推导，截图在“于是由（1）与（2）式分别得”处截断。

将 $t=\pi x/l$ 代入基函数，得到

$$
\cos nt=\cos\frac{n\pi x}{l},
\qquad
\sin nt=\sin\frac{n\pi x}{l}.
$$

又因 $F(t)=f(x)$，原函数的傅里叶级数为

$$
\boxed{
f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}
\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)
}.
$$

系数积分需要同时换函数、三角函数的输入、积分上下限和微分。由于

$$
dt=\frac{\pi}{l}\,dx,
\qquad t=\pm\pi\ \Longleftrightarrow\ x=\pm l,
$$

有

$$
\begin{aligned}
a_n
&=\frac{1}{\pi}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,\frac{\pi}{l}\,dx\\
&=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx,
\qquad n=0,1,2,\ldots,
\end{aligned}
$$

$$
b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx,
\qquad n=1,2,\ldots.
$$

系数前的 $1/l$ 来自 $1/\pi$ 与微分因子 $\pi/l$ 的相乘。

复数形式也完全相同：

$$
F(t)\sim\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{int}
\quad\Longrightarrow\quad
f(x)\sim\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{in\pi x/l}.
$$

这里用 $\sim$ 表示对应的傅里叶级数。可积保证系数有意义，不单独保证级数在每一点都收敛到函数值；逐点相等需要另行讨论收敛条件。

## 七、容易混淆的地方与复习方法

### 1. 字母名称不能决定周期

原对话和旧版笔记曾采用与教材相反的函数命名，且中途交换过 $x$、$t$ 的角色。读到两种不同的比例时，应先检查符号约定，不能直接认定教材写反或读者记错。

本文已统一为 $f(x)$ 对应 $2l$ 周期、$F(t)$ 对应 $2\pi$ 周期。若其他材料恰好规定 $f$ 对应 $2\pi$、$F$ 对应 $2l$，其公式也必须随之更换，不能把两套记号混用。

### 2. 区分等价改写与错误倒置

按本文记号，正确关系是

$$
F(t)=f\left(\frac{l}{\pi}t\right)
\quad\Longleftrightarrow\quad
f(x)=F\left(\frac{\pi}{l}x\right).
$$

不能把右式写成 $f(x)=F(lx/\pi)$，再用“方向相反”解释；必须按变量关系实际代入。

例如 $l=2$ 时，若误把 $f(x)=\sin(\pi x/2)$ 标准化成 $f(\pi t/2)$，得到的是 $\sin(\pi^2t/4)$，其最小正周期为 $8/\pi$，而不是 $2\pi$。正确输入应为 $2t/\pi$。

### 3. 每次只做三个判断

1. **确定角色**：哪个是原函数？原周期是多少？目标周期是多少？
2. **对齐进度**：写出“原坐标 / 原周期 = 新坐标 / 新周期”，解出原坐标，用它定义新函数。
3. **代入验证**：让新变量增加目标周期，检查原函数的输入是否恰好增加原周期。

对教材的问题，这三步就是

$$
\frac{x}{2l}=\frac{t}{2\pi}
\quad\Longrightarrow\quad
x=\frac{l}{\pi}t
\quad\Longrightarrow\quad
F(t)=f\left(\frac{l}{\pi}t\right),
$$

再验证 $F(t+2\pi)=F(t)$。

换元的主线始终是：**对齐周期进度，保留对应函数值，把一般问题化成标准问题，再换回原变量。**