## 辗转相除法
f(x),g(x) 的最大公因式一定存在

设 d(x)≠, c≠0

贝祖等式
$d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$

与其相伴的 cd(x) 也是 f(x),g(x) 的最大公因式

最大公因式不唯一

都将首项系数固定为 1，即不考虑相伴情况——

最大公因式是公因式中次数最大的

公因式都整除最大公因式

若有 h(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) ，且 h(x)=0 ，则 d(x)∣h(x)

不考虑零多项式情况——

最大公因式是使贝祖等式成立的多项式中次数最小的

最大公因式整除两多项式的所有组合

设 d(x)=0 c=0

贝祖等式

与其相伴的 cd(x) 也是 f(x),g(x) 的最大公因式

最大公因式不唯一

都将首项系数固定为1，即不考虑相伴情况——

最大公因式是公因式中次数最大的

公因式都整除最大公因式

若有 h(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) ，且 h(x)=0 ，则 d(x)∣h(x)

不考虑零多项式情况——

最大公因式是使贝祖等式成立的多项式中次数最小的

最大公因式整除两多项式的所有组合

## 不可约多项式

a) _p_(_x_) 是不可约多项式；

b) ∀_f_(_x_) ∈ _P_[_x_] ，有 _p_(_x_)|_f_(_x_) 或 (_p_(_x_), _f_(_x_)) = 1

c) 由 _p_(_x_)|_f_(_x_)_g_(_x_) 可推出 _p_(_x_)|_f_(_x_) 或 _p_(_x_)|_g_(_x_) ;

d) _p_(_x_) 不能分解成两个次数低于它的次数的多项式的乘积.

## 证明

反证法.

若 _p_(_x_) = _p_ 1(_x_)_p_ 2(_x_) ，且 ∂(_p_ 1(_x_)) < ∂(_p_(_x_)), ∂(_p_ 2(_x_)) < ∂(_p_(_x_)) ,

则 _p_(_x_)|_p_ 1(_x_)_p_ 2(_x_) ，则 _p_(_x_)|_p_ 1(_x_) 或 _p_(_x_)|_p_ 2(_x_) ，矛盾.

故 _p_(_x_) 不能分解成两个次数较低的多项式的乘积.

高等代数 038 - 行列式的性质（下）- 命中注定

命中注定就是你

定理

记数域 P 上所有 n 级方阵组成的集合为 _P__n_ × _n_ ，对于 _P__n_ × _n_ 中矩阵的行有多线性、交错性和规范性的映射，存在且唯一，它就是行列式.

**A** 的第 _i_ 行可表示为 _α__i_ = (_a__i_ 1, _a__i_ 2, …, _a__i__n_)  = _a__i_ 1**ε**1 + _a__i_ 2**ε**2 + … + _a__i__n_**ε**_n_

$$ \boldsymbol {A} = \left( \begin{array}{c c c c} a _ {1 1} & a _ {1 2} & \dots & a _ {1 n} \\ a _ {2 1} & a _ {2 2} & \dots & a _ {2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _ {n 1} & a _ {n 2} & \dots & a _ {n n} \end{array} \right) $$

多线性

$$ D (\boldsymbol {A}) = D \left( \begin{array}{c} \boxed {\boldsymbol {\alpha} _ {1}} \\ \boldsymbol {\alpha} _ {2} \\ \vdots \\ \boldsymbol {\alpha} _ {n} \end{array} \right) = D \left( \begin{array}{c} a _ {1 1} \varepsilon_ {1} + \dots + a _ {1 n} \varepsilon_ {n} \\ \boldsymbol {\alpha} _ {2} \\ \vdots \\ \boldsymbol {\alpha} _ {n} \end{array} \right) = \sum_ {j = 1} ^ {n} \left[ a _ {1 j} D \left( \begin{array}{c} \varepsilon_ {j} \\ \boldsymbol {\alpha} _ {2} \\ \vdots \\ \boldsymbol {\alpha} _ {n} \end{array} \right) \right] = \sum_ {j = 1} ^ {n} \sum_ {k = 1} ^ {n} \left[ a _ {1 j} a _ {2 k} D \left( \begin{array}{c} \varepsilon_ {j} \\ \boldsymbol {\varepsilon} _ {k} \\ \boldsymbol {\alpha} _ {3} \\ \vdots \\ \boldsymbol {\alpha} _ {n} \end{array} \right) \right] $$

$$ = \sum_ {\boxed {1 \leq j _ {1}, \dots , j _ {n} \leq n}} a _ {1 j _ {1}} \dots a _ {n j _ {n}} D \left( \begin{array}{c} \varepsilon_ {j _ {1}} \\ \vdots \\ \varepsilon_ {j _ {n}} \end{array} \right) = \sum_ {\boxed {j _ {1} \dots j _ {n}}} a _ {1 j _ {1}} \dots a _ {n j _ {n}} D \left( \begin{array}{c} \varepsilon_ {j _ {1}} \\ \vdots \\ \varepsilon_ {j _ {n}} \end{array} \right) $$

交错性
行列式的部分展开——阴差去掉 ki 不是少了 i—1 个逆序，为啥是 ki-1

$$ d = \sum_ {\boldsymbol {k} _ {i} \underline {{k _ {1} \cdots k _ {i - 1} k _ {i + 1} \cdots k _ {n}}}} (- 1) ^ {\tau (k _ {1} \dots k _ {i - 1} k _ {i + 1} \dots k _ {n}) + (i + \boldsymbol {k} _ {i})} \underline {{\boldsymbol {a} _ {i k _ {i}}}} a _ {1 k _ {1}} \dots a _ {i - 1, k _ {i - 1}} a _ {i + 1, k _ {i + 1}} \dots a _ {n k _ {n}} $$


$d=\sum_{k_{i}k_{1}\cdots k_{i-1}k_{i+1}\cdots k_{n}}(-1)^{\tau(k_{1}\cdots k_{i-1}k_{i+1}\cdots k_{n})+(i+k_{i})}a_{ik_{i}}a_{1k_{1}}\cdots a_{i-1,k_{i-1}}a_{i+1,k_{i+1}}\cdots a_{nk_{n}}$

_V__n_(_a_ 1, _a_ 2, …, _a__n_)

行列式的部分展开——大展宏图

至多是 _n_ − 1 次多项式

$$ = \left| \begin{array}{c c c c c} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ a _ {1} & a _ {2} & a _ {3} & \dots & a _ {n} \\ a _ {1} ^ {2} & a _ {2} ^ {2} & a _ {3} ^ {2} & \dots & a _ {n} ^ {2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _ {1} ^ {n - 1} & a _ {2} ^ {n - 1} & a _ {3} ^ {n - 1} & \dots & a _ {n} ^ {n - 1} \end{array} \right| \quad \Longrightarrow \quad \left| \begin{array}{c c c c c} 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ a _ {1} & a _ {2} & \dots & a _ {n - 1} & x \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a _ {1} ^ {n - 2} & a _ {2} ^ {n - 2} & \dots & a _ {n - 1} ^ {n - 2} & x ^ {n - 2} \\ a _ {1} ^ {n - 1} & a _ {2} ^ {n - 1} & \dots & a _ {n - 1} ^ {n - 1} & x ^ {n - 1} \end{array} \right| = P (x) $$

_a_ 1, _a_ 2, ⋯, _a__n_ − 1 是 _P_(_x_) 的全部根

$$ \begin{array}{r l} & P (x) = c (x - a _ {1}) (x - a _ {2}) \dots (x - a _ {n - 1}) \\ & \qquad = c \prod_ {i _ {1} = 1} ^ {n - 1} (x - a _ {i _ {1}}) \\ & \qquad = V _ {n - 1} (a _ {1}, a _ {2}, \dots , a _ {n - 1}) \prod_ {i _ {1} = 1} ^ {n - 1} (x - a _ {i _ {1}}) \end{array} $$


$$d = \sum_{k_{1} k_{2} \cdots k_{i-1} k_{i+1} \cdots k_{n}} (-1)^{\tau(k_{1} \cdots k_{i-1} k_{i+1} \cdots k_{n}) + (i + k_{i})} a_{i k_{i}} a_{k_{1}} \cdots a_{i-1, k_{i-1}} a_{i+1, k_{i+1}} \cdots a_{n k_{n}}$$
$$
= (-1)^{i+1} a_{i 1} \sum_{k_{1} \cdots k_{i-1} k_{i+1} \cdots k_{n}} (-1)^{\tau(k_{1} \cdots k_{i-1} k_{i+1} \cdots k_{n})} a_{1 k_{1}} \cdots a_{i-1, k_{i-1}} a_{i+1, k_{i+1}} \cdots a_{n k_{n}}$$

列秩总等于行秩吗？

矩阵的秩

是质量化的网络课堂，比如

齐次线性方程组系数矩阵的行秩小于未知数个数，则它一定有非零解.

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{s1} & a_{s2} & \cdots & a_{sn} \end{pmatrix}$ $\begin{array}{c}\pmb {\alpha}_{1}\\ \pmb{\alpha}_{2}\\ \vdots \\ \pmb{\alpha}_{s} \end{array}$ $\begin{array}{ccc}\alpha_{1} & \alpha_{1} & \text{无极}\\ \vdots & \text{关大}\\ \alpha_{r} & \text{组线}\\ \end{array}$ 性

行秩为 _r_ ，列秩为 _r_ 1

先证 _r_ ≤ _r_ 1

_x_ 1_α_1 + … + _x__r__α__r_ = 0 只有零解

$$ \left\{ \begin{array}{l} a _ {1 1} x _ {1} + a _ {2 1} x _ {2} + \dots + a _ {r 1} x _ {r} = 0, \\ a _ {1 2} x _ {1} + a _ {2 2} x _ {2} + \dots + a _ {r 2} x _ {r} = 0, \\ \qquad \qquad \qquad \dots \dots \\ a _ {1 n} x _ {1} + a _ {2 n} x _ {2} + \dots + a _ {r n} x _ {r} = 0 \end{array} \right. $$

→ $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{r1}\\a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{r2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{rn}\end{pmatrix}$ 行秩 ≥ 未知数个数 r