--- tags: - 高等代数 章节: 2 返回目录: '[[数学系/代数/高等代数/00 高等代数学习指南|高等代数学习指南]]' 上一篇: '[[数学系/代数/高等代数/01 多项式|多项式]]' 下一篇: '[[数学系/代数/高等代数/03 行列式|行列式]]' --- # 第2章 矩阵 ## 2.1 矩阵基础 ## 2.1.1 矩阵概念与运算 略 ## 2.1.2 矩阵的逆 ## 定义 2.1 (矩阵的逆) 若 $AB = BA = E$ ，则称 $B$ 为 $A$ 的逆，记 $A^{-1}$ ## 定理 2.1 (矩阵逆的基本性质) $$ (1) (k A) ^ {- 1} = k ^ {- 1} A ^ {- 1} (2) (A B) ^ {- 1} = B ^ {- 1} A ^ {- 1} (3) \left(A ^ {T}\right) ^ {- 1} = \left(A ^ {- 1}\right) ^ {T} (4) | A ^ {- 1} | = | A | ^ {- 1} $$ 证明 (2) $(AB)^{-1}AB = E$ ，因此 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ (3) $(A^{-1})^T A^T = (AA^{-1})^T = E$ (4) $|A^{-1}A|=|A^{-1}|\cdot|A|=1$ ，因此 $|A^{-1}|=|A|^{-1}$ ## 定理 2.2 (可逆充要条件) 矩阵 $A$ 可以的充要条件如下： \- $|A| \neq 0$ \- $A$ 可表示为初等矩阵的积 ## 定理 2.3 (利用初等行变换求逆) 若 $A$ 可逆，则利用初等行变换可以得到 $(A,E)\rightarrow (E,A^{-1})$ 。特别地， $(A,B)\rightarrow (E,A^{-1}B)$ 笔记 同样可以通过初等列变换得到： $\begin{pmatrix} A \\ B \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} E \\ BA^{-1} \end{pmatrix}$ 练习 2.1 利用初等变换求逆 (1) 计算下面矩阵的逆: $$ \left[ \begin{array}{c c c} 1 & 1 & - 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \end{array} \right] $$ 解结果为 $\frac{1}{3}\left[ \begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ -3 & 2 & -1 \end{array} \right]$ 练习 2.2 逆矩阵理论练习 (1) A 为方阵，若 $A^{k}=O$ ，证明 E-A 可逆，且 $(E-A)^{-1}=E+A+A^{2}+\cdots+A^{k-1}$ (2) $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，若 $A + B = AB$ ，证明： $A - E$ 可逆，并求逆矩阵 (3) 若 $A + B$ 可逆，证明 $A^{-1} + B^{-1}$ 也可逆，并求其逆 解(1)直接做乘法验证: $$ (E - A) \left(E + A + A ^ {2} + \dots + A ^ {k - 1}\right) = E + A + A ^ {2} + \dots + A ^ {k - 1} - A - A ^ {2} - \dots - A ^ {k} = E - A ^ {k} = E $$ (2) 由于 $A + B = AB$ ，则 $(A - E)(B - E) = AB - (A + B) + E = E$ ，因此 $(A - E)^{-1} = B - E$ (3) 根据 $B(A^{-1} + B^{-1})A = (A + B)$ 得到 $$ (A ^ {- 1} + B ^ {- 1}) B = A ^ {- 1} (A + B) \Rightarrow (A ^ {- 1} + B ^ {- 1}) B (A + B) ^ {- 1} = A ^ {- 1} $$ 因此 $(A^{-1} + B^{-1})^{-1} = B(A + B)^{-1}A$ ## 定义 2.2 ((代数) 余子式) $A = (a_{ij})$ 为 $n\times n$ 矩阵，划去 $i$ 行 $j$ 列的行列式称为余子式 $M_{ij}$ ，代数余子式为 $(-1)^{i + j}M_{ij}$ ## 定义 2.3 (伴随矩阵) $A = (a_{ij})_n$ ， $A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的代数余子式，则其伴随为 (注意行列颠倒!!): $$ A ^ {*} = \left[ \begin{array}{c c c c} A _ {1 1} & A _ {2 1} & \dots & A _ {n 1} \\ A _ {1 2} & A _ {2 2} & \dots & A _ {n 2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A _ {1 n} & A _ {2 n} & \dots & A _ {n n} \end{array} \right] $$ ## 定理 2.4 (利用伴随求逆) $A$ 及其伴随矩阵 $A^{*}$ 满足 $AA^{*} = |A|E$ ，若 $A$ 可逆，则 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^{*}$ 证明 考虑 $B = AA^{*}$ ，则 $B_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} A_{kj}$ ，根据行列式的展开式可知 $$ B _ {i j} = \left\{ \begin{array}{l l} | A |, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{array} \right. $$ 因此 $AA^{*} = |A|E$ ## 2.1.3 伴随矩阵的性质 ## 定理 2.5 (伴随运算的性质) $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 1. $(A^{*})^{T} = (A^{T})^{*}$ 2. $(A^{*})^{-1} = (A^{-1})^{*}$ 3. $(AB)^{*} = B^{*}A^{*}$ 证明 (1) 设 $A = (a_{ij})$ ，则 $$ (A ^ {*}) ^ {T} = \left[ \begin{array}{c c c c} A _ {1 1} & A _ {1 2} & \dots & A _ {1 n} \\ A _ {2 1} & A _ {2 2} & \dots & A _ {2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A _ {n 1} & A _ {n 2} & \dots & A _ {n n} \end{array} \right] $$ 同理设 $(A^T)^* = (B_{ij})$ ，则 $B_{ij} = A_{ji}^T$ ，因此行列式大小相同。 (2) $A^{*} = |A|A^{-1}$ ，则 $(A^{*})^{-1} = \frac{1}{|A|} A$ 因此 $$ (A ^ {- 1}) ^ {*} = | A ^ {- 1} | A = \frac {1}{| A |} A $$ 因此结论成立 $$ (3) (A B) ^ {*} = | A B | (A B) ^ {- 1} = | B | (B) ^ {- 1} | A | A ^ {- 1} = B ^ {*} A ^ {*} $$ 定理 2.6 (伴随矩阵的行列式) $$ | A ^ {*} | = | A | ^ {n - 1} $$ 证明 $|A^{*}| = \left| |A| A^{-1} \right| = |A|^{n} \cdot |A^{-1}| = |A|^{n - 1}$ ## 定理 2.7 (伴随矩阵的秩) $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则 $$ r (A ^ {*}) = \left\{ \begin{array}{l l} n, & r (A) = n \\ 1, & r (A) = n - 1 \\ 0, & r (A) < n - 1 \end{array} \right. $$ 证明 $r(A) = n$ 时， $|A^{*}| = |A|^{n - 1} \neq 0$ ，因此满秩。 $r(A) = n - 1$ 时，由于 $AA^{*} = |A|E = O$ ，根据秩不等式： $$ r (A A ^ {*}) \geq r (A) + r (A ^ {*}) - n = r (A ^ {*}) - 1 \Rightarrow r (A ^ {*}) \leq 1 $$ 而由于 $r(A) = n - 1$ ，其至少有一个 $n - 1$ 阶代数余子式不为0，因此 $r(A^{*})\geq 1$ ，综上 $r(A^{*}) = 1$ 。其余显然 ## 定理 2.8 (伴随矩阵的特征值) 矩阵 A 的特征值为 $\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}$ ，则 $A^{*}$ 的特征值 $\lambda_{j}^{*}=\prod_{i\neq j}\lambda_{i}$ 证明 考虑 $A = P^{-1}JP$ ，由于 $J$ 是上三角阵，根据初等变换法， $J^{-1}$ 是上三角阵， $J^{*} = |J|J^{-1}$ 也是上三角阵，而 $J$ 对角元素的代数余子式为 $\prod_{i\neq j}\lambda_i$ ，因此 $J^{*}$ 的对角元为 $\prod_{i\neq j}\lambda_i$ ，代数余子式在初等变换下不变 (位置可能变化， 但值整体相同)，因此结论成立。 ## 2.1.4 广义逆矩阵 ## 定义 2.4 (广义逆) $A_{m\times n}$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上的矩阵，若存在 $G_{n\times m}$ 使得 $$ A G A = A $$ 则称 $G$ 是 $A$ 的广义逆矩阵。 ## 笔记 广义逆矩阵一般不唯一。 ## 定理 2.9 (广义逆的表达式) 设 $A_{m\times n}$ 的秩为 $r$ ，设 $A = P\left( \begin{array}{cc}E_r & O\\ O & O \end{array} \right)Q$ ，其中 $P_{m\times m},Q_{n\times n}$ 为可逆矩阵，则 $A$ 全部的广义逆矩阵为 $$ G = Q ^ {- 1} \left( \begin{array}{c c} E _ {r} & C \\ D & F \end{array} \right) P ^ {- 1} $$ 这里 C, D, F 为任意 $r \times (m - r)$ , $(n - r) \times r$ , $(m - r) \times (n - r)$ 阶矩阵。 证明 (1) 验证 $G$ 是广义逆: 直接乘起来就行, 得到 $AGA = A$ (2) 验证广义逆都是 $G$ ：设 $G = Q^{-1}\left( \begin{array}{cc}B & C\\ D & F \end{array} \right)P^{-1}$ ，乘法得到 $$ A G A = P \left( \begin{array}{c c} B & O \\ O & O \end{array} \right) Q $$ 因此得到 $B = E_{r}$ ## 定理 2.10 (非方阵线性方程组解的表达式) $A_{m\times n}$ ， $G$ 是 $A$ 的广义逆，则 $AX = b$ 的通解可表示为 $$ X = G b + (E _ {n} - G A) Y $$ 这里 $Y$ 是任一 $n$ 维向量 证明 (1) 证明是解：设 $Z$ 是 $AZ = b$ 的解，则此时有 $b = AZ = AGAZ = AGb$ 。将 $X$ 表达式代入 $AX$ 验证： $$ A X = A G b + (A - A G A) Y = b + O = b $$ (2) 证明解都有该形式: 设 $X_{0}$ 是 $AX = b$ 的解, 则 $$ X _ {0} = G b + X _ {0} - G b = G b + X _ {0} - G A X _ {0} = G b + (E _ {n} - G A) X _ {0} $$ ## 2.1.5 Moore-Penrose 广义逆 ## 定义 2.5 (共轭转置) $A$ 是 $\mathbb{C}$ 上 $n\times m$ 矩阵，则定义 $A^{H} = (\overline{A})^{T}$ ## 定义 2.6 (Moore-Penrose 广义逆) $A$ 是 $\mathbb{C}$ 上 $m \times n$ 阶矩阵，若存在 $\mathbb{C}$ 上 $n \times m$ 阶矩阵 $G$ 满足： 1. AGA = A 2. $GAG = G$ 3. $(AG)^{H} = AG$ 4. $(GA)^{H} = GA$ 则称 $G$ 为 $A$ 的M-P广义逆 ## 定理 2.11 (M-P 广义逆的存在唯一性) $A_{m\infty n}$ 的 M-P 广义逆总是存在且唯一的，且若 $\beta_{1},\cdots,\beta_{r}$ 是 A 列向量的极大线性无关组，记 $B=\left[\beta_{1},\cdots,\beta_{r}\right]$ ，分解 A=BC，则 M-P 广义逆的具体表达式为： $$ A ^ {+} = C ^ {H} (C C ^ {H}) ^ {- 1} (B ^ {H} B) ^ {- 1} B ^ {H} $$ 证明 存在性：设 A 的秩为 r，取 $\beta_{1},\cdots,\beta_{r}$ 为 A 列向量的极大线性无关组，此时 $$ A = (\alpha_ {1}, \dots , \alpha_ {n}) = (\beta_ {1}, \dots , \beta_ {r}) \left( \begin{array}{c c c} c _ {1 1} & \dots & c _ {1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ c _ {r 1} & \dots & c _ {r n} \end{array} \right) = B C $$ 此时 $r(BC)=r\leq r(C)\leq\min\{r,n\}\leq r$ ，得到 $r(C)=r$ 行满秩，B 显然列满秩，因此 $B^{H}B,CC^{H}$ 是 r 阶可逆矩阵 (根据 $r(A^{H}A),r(AA^{H})$ 的性质)。令 $$ G = C ^ {H} (C C ^ {H}) ^ {- 1} (B ^ {H} B) ^ {- 1} B ^ {H} $$ 可验证 $G$ 满足上述所有条件 唯一性：设 $X$ 是另一个广义逆，则进行下面步骤，本质是用 $AXA = A$ 消去 $X$ $$ \begin{array}{l} \boldsymbol {X} = \boldsymbol {X A X} = \boldsymbol {X} (\boldsymbol {A X}) ^ {\mathrm{H}} = \boldsymbol {X X} ^ {\mathrm{H}} \boldsymbol {A} ^ {\mathrm{H}} = \boldsymbol {X X} ^ {\mathrm{H}} (\boldsymbol {A G A}) ^ {\mathrm{H}} \\ \quad = \boldsymbol {X X} ^ {\mathrm{H}} \boldsymbol {A} ^ {\mathrm{H}} (\boldsymbol {A G}) ^ {\mathrm{H}} = \boldsymbol {X} (\boldsymbol {A X}) ^ {\mathrm{H}} (\boldsymbol {A G}) ^ {\mathrm{H}} = \boldsymbol {X A X A G} \\ \quad = \boldsymbol {X A G} = \boldsymbol {X} (\boldsymbol {A G A}) \boldsymbol {G} = (\boldsymbol {X A}) ^ {\mathrm{H}} (\boldsymbol {G A}) ^ {\mathrm{H}} \boldsymbol {G} \\ \quad = (\boldsymbol {G A X A}) ^ {\mathrm{H}} \boldsymbol {G} = (\boldsymbol {G A}) ^ {\mathrm{H}} \boldsymbol {G} = (\boldsymbol {G A}) \boldsymbol {G} \\ \quad = \boldsymbol {G}. \end{array} $$ 练习2.3计算M-P逆 $(1)A = \left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & -1\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right)$ 的M-P逆 解(1) 先进行分解，得到 $$ B = \left( \begin{array}{c c} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right), C = \left( \begin{array}{c c c} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right) $$ 最终结果得到 $$ A ^ {+} = \frac {1}{9} \left( \begin{array}{c c c} 3 & 2 & - 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ - 3 & - 1 & 2 \end{array} \right) $$ 定理 2.12 (最小二乘解的表达式) $AX = b$ 最小二乘解为 $X = A^{+}b + (E_{n} - A^{+}A)Y$ ，其中 $A^{+}b$ 是唯一的极小最小二乘解。 ## 2.2 分块矩阵 ## 2.2.1 常见矩阵拆分技巧 ## 定理 2.13 (点态分解) $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，则 $$ A = \left[ \begin{array}{c c c c} a _ {1} b _ {1} & a _ {1} b _ {2} & \dots & a _ {1} b _ {n} \\ a _ {2} b _ {1} & a _ {2} b _ {2} & \dots & a _ {2} b _ {n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _ {n} b _ {1} & a _ {n} b _ {2} & \dots & a _ {n} b _ {n} \end{array} \right] \Rightarrow A = \left( \begin{array}{c} a _ {1} \\ a _ {2} \\ \vdots \\ a _ {n} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c c c} b _ {1} & b _ {2} & \dots & b _ {n} \end{array} \right)\tag{❤️} $$ ## 定理 2.14 ( $A^{T}A$ 的和式表达) $A$ 为 $n\times m$ 矩阵，将 $A$ 做下面的行划分，则 $A^T A = \sum_{i = 1}^{n}\alpha_i^T\alpha_i$ $$ A = \left( \begin{array}{c} \alpha_ {1} \\ \alpha_ {2} \\ \vdots \\ \alpha_ {s} \end{array} \right) $$ # ## 2.2.2 分块初等变换 ## 定义 2.7 (分块矩阵初等变换) 分块矩阵初等变换分为行变换和列变换： \- 行变换: (1) 左乘矩阵 $P$ , 加到另一行 (2) 互换两行位置 (3) 将可逆矩阵左乘至一行 \- 列变换：(1) 右乘矩阵 $P$ ，加到另一列 (2) 互换两列位置 (3) 将可逆矩阵右乘至一列 ## 定义 2.8 (分块初等矩阵) 对应三种分块初等变换有三种分块初等矩阵，常用的即加至另一行/列的初等分块矩阵： $$ A = \left[ \begin{array}{c c} E & 0 \\ P & E \end{array} \right] $$ ## 定理 2.15 (初等变换的分块初等矩阵表达) 分块初等矩阵左乘一个矩阵即做行变换，右乘即做列变换： $$ \left[ \begin{array}{c c} E & 0 \\ P & E \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} A _ {1} & A _ {2} \\ A _ {3} & A _ {4} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} A _ {1} & A _ {2} \\ P A _ {1} + A _ {3} & P A _ {2} + A _ {4} \end{array} \right] $$ ## 2.2.3 分块打洞技巧总结 ## 定理 2.16 (分块打洞) 对于分块矩阵 $\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$ 可通过分块初等变换转换为： $$ \left[ \begin{array}{c c} A & B \\ O & D - C A ^ {- 1} B \end{array} \right] \quad \left[ \begin{array}{c c} A - B D ^ {- 1} C & O \\ O & D \end{array} \right] $$ 记忆方式：除去被减的位置，减去的内容顺序都是顺时针转的。 ## 推论 2.1 (两种特殊形式) 对称形式和归纳形式： \- 对称形式: $$ \left[ \begin{array}{c c} A & B \\ B ^ {T} & D \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{c c} A & O \\ O & D - B ^ {T} A ^ {- 1} B \end{array} \right] $$ 归纳形式： $$ \left[ \begin{array}{c c} A & \alpha \\ \beta^ {T} & a _ {n n} \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{c c} A & \alpha \\ 0 & a _ {n n} - \beta^ {T} A ^ {- 1} \alpha \end{array} \right] $$ 练习 2.4 分块矩阵与数学归纳法 (1)n 阶方阵 A 的顺序主子式非零，证明：存在 n 阶下三角矩阵 B 使得 BA 是上三角阵 (2) $A$ 是 $n$ 阶实方阵, $A$ 所有顺序主子式大于 0 , 且非主对角元素为负, 证明: $A^{-1}$ 的元素均为正数 证明 $(1)n = 1$ 显然成立。设 $n - 1$ 时成立，考虑如下分块，由于 $A$ 顺序主子式非零，因此 $A_{1}$ 顺序主子式非零，存在 $n - 1$ 阶下三角矩阵 $B_{1}$ 满足 $B_{1}A_{1}$ 为上三角阵，因此做对应分块初等变换 $$ A = \left[ \begin{array}{c c} A _ {1} & \alpha \\ \beta^ {T} & a _ {n n} \end{array} \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{c c} B _ {1} & \\ & 1 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c c} E _ {n - 1} & O \\ - \beta^ {T} A _ {1} ^ {- 1} & 1 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c c} A _ {1} & \alpha \\ \beta^ {T} & a _ {n n} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} B _ {1} A _ {1} & B _ {1} \alpha \\ O & a _ {n n} - \beta^ {T} A _ {1} ^ {- 1} \alpha \end{array} \right] $$ 右侧即一个上三角矩阵，把两个初等矩阵的乘积视作 B 即可。 # # ❤️ (2) $n = 1$ 显然。设 $n - 1$ 时成立，对 $A$ 做下述分块，则 $A_{1}^{-1}$ 元素都是正的 $$ A = \left[ \begin{array}{c c} A _ {1} & \alpha \\ \beta^ {T} & a _ {n n} \end{array} \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{c c} E _ {n - 1} & O \\ - \beta^ {T} A _ {1} ^ {- 1} & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} A _ {1} & \alpha \\ \beta^ {T} & a _ {n n} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} E _ {n - 1} & - A _ {1} ^ {- 1} \alpha \\ O & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} A _ {1} & O \\ O & a _ {n n} - \beta^ {T} A _ {1} ^ {- 1} \alpha \end{array} \right] $$ 根据 $|A| > 0, |A_1| > 0$ 得到 $a_{nn} - \beta^T A_1^{-1}\alpha > 0$ 。记上述等式为 $BAC = D$ ，则 $A^{-1} = CD^{-1}B$ ，根据矩阵乘法乘开即可获得结论。 ## 2.2.4 分块矩阵行列式 ## 定理 2.17 (分块对角矩阵的行列式) 根据 Laplace 多行展开定理可以得到: $$ \left| \begin{array}{c c} A & 0 \\ B & C \end{array} \right| = | A | | B |, $$ $$ \left| \begin{array}{c c c c} A _ {1 1} & 0 & \dots & 0 \\ A _ {2 1} & A _ {2 2} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A _ {n 1} & A _ {n 2} & \dots & A _ {n n} \end{array} \right| = | A _ {1 1} | | A _ {2 2} | \dots | A _ {n n} |\tag{❤️} $$ ## 定理 2.18 (一般分块矩阵的行列式) 设 $A, D$ 分别为 $r, s$ 阶矩阵， $A, D$ 可逆，则 $$ \left| \begin{array}{c c} A & B \\ C & D \end{array} \right| = | D | | A - B D ^ {- 1} C | = | A | | D - C A ^ {- 1} B | $$ 证明 (1) 如果 $D$ 可逆，则把 $B$ 消掉 (左乘 $BD^{-1}$ )，取行列式即可 $$ \left[ \begin{array}{c c} A & B \\ C & D \end{array} \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{c c} A - B D ^ {- 1} C & 0 \\ C & D \end{array} \right] $$ ## 定理 2.19 (行列式计算技巧 1: 配凑分块矩阵) 矩阵 A 可分解为 $A = J - u^{T}u$ ，要计算 $|A|$ ，则可以构造分块矩阵： $$ \left| \begin{array}{c c} J & u \\ u ^ {T} & 1 \end{array} \right| = | 1 | \cdot | J - u ^ {T} u | = | J | \cdot | 1 - u J ^ {- 1} u ^ {T} | \Rightarrow | A | = | J | \cdot | 1 - u J ^ {- 1} u ^ {T} | $$ 注意这里 $u$ 是列向量 ## 2.2.5 分块矩阵求逆 一般分块矩阵求逆都先转换为分块对角矩阵，具体如下。 ## 定理 2.20 (上三角分块矩阵求逆) 当下面的 $A_{1}, A_{2}$ 都是方阵，则 $A$ 可逆当且仅当 $A_{1}, A_{2}$ 都可逆，且逆矩阵如下： $$ A = \left[ \begin{array}{c c} A _ {1} & A _ {3} \\ O & A _ {2} \end{array} \right] \Rightarrow A ^ {- 1} = \left[ \begin{array}{c c} A _ {1} ^ {- 1} & - A _ {1} ^ {- 1} A _ {3} A _ {2} ^ {- 1} \\ 0 & A _ {2} ^ {- 1} \end{array} \right] $$ 证明 根据分块矩阵初等变换可知 $$ \left[ \begin{array}{c c} E & - A _ {2} ^ {- 1} A _ {3} \\ O & E \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} A _ {1} & A _ {3} \\ O & A _ {2} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} A _ {1} & O \\ O & A _ {2} \end{array} \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{c c} E & - A _ {2} ^ {- 1} A _ {3} \\ O & E \end{array} \right] ^ {- 1} \left[ \begin{array}{c c} A _ {1} & A _ {3} \\ O & A _ {2} \end{array} \right] ^ {- 1} = \left[ \begin{array}{c c} A _ {1} ^ {- 1} & O \\ O & A _ {2} ^ {- 1} \end{array} \right] $$ 因此可以得到结论。 ## 定理 2.21 (一般分块矩阵可逆条件) 分块矩阵 $H = \left( \begin{array}{ll}A & B\\ C & D \end{array} \right)$ 可逆当且仅当 $A - BD^{-1}C$ 和 $D - CA^{-1}B$ 都可逆 练习2.5分块矩阵求逆 $A, B$ 时 $n, m$ 阶可逆方阵，求 $\left[ \begin{array}{cc}O & A\\ B & O \end{array} \right]$ 的逆矩阵 解 先做交换行的变换: $\left[ \begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array} \right]\left[ \begin{array}{ll} O & E \\ E & O \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l l} A & \\ & B \end{array} \right]$ , 两侧求逆即可得到: $$ \left[ \begin{array}{c c} O & A \\ B & O \end{array} \right] ^ {- 1} = \left[ \begin{array}{c c} A ^ {- 1} & O \\ O & B ^ {- 1} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} O & E \\ E & O \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} O & B ^ {- 1} \\ A ^ {- 1} & O \end{array} \right] $$ ## 2.3 矩阵的秩 ## 2.3.1 秩的概念 ## 定义 2.9 (矩阵的秩) 矩阵的秩等于: \- 矩阵行列向量的秩 \- 最大非零子式的阶数 ## 2.3.2 初等变换标准型与矩阵分解 ## 定理 2.22 (初等变换标准型) 设 $A$ 是秩为 $r$ 的 $s \times n$ 矩阵，则存在 $s$ 阶可逆矩阵 $P$ 和 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$ 使得 $$ A = P \left[ \begin{array}{c c} E _ {r} & O \\ O & O \end{array} \right] Q $$ 笔记 如果一个题目中没给出条件，或者只给出了矩阵的秩，则往往需要用到初等变换标准型 ## 定理 2.23 (行列满秩的标准型) $A$ 是 $m\times n$ 矩阵， $A$ 列满秩当且仅当存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ 使得 $A = P\left[ \begin{array}{c}E_{n}\\ O \end{array} \right]$ 。 $A$ 行满秩当且仅当存在 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$ ，使得 $A = \left[ \begin{array}{ll}E_m & O \end{array} \right]Q$ 证明 由于列满秩，可以用行初等变换消成阶梯型，再从下到上消回去即可 (若列不满秩，则阶梯型可能消不干净，因此需要列变换) ## 2.3.3 利用初等变换标准型进行矩阵分解 ## 定理 2.24 (矩阵分解) $s\times n$ 矩阵 $\left[ \begin{array}{cc}E_r & O\\ O & O \end{array} \right]$ 可分解为 $$ \left[ \begin{array}{c c} E _ {r} & O \\ O & O \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} E _ {r} \\ O \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} E _ {r} & O \end{array} \right] $$ 若为方阵时，可以分解为： $$ {\left[ \begin{array}{l l} E _ {r} & O \\ O & O \end{array} \right]} = {\left[ \begin{array}{l l} E _ {r} & O \\ O & O \end{array} \right]} {\left[ \begin{array}{l l} E _ {r} & O \\ O & O \end{array} \right]} $$ 练习 2.6 行列满秩分解 (1) 证明：任意非零矩阵都可以分解为列满秩和行满秩矩阵的乘积 (2) 设 $B_{1}, B_{2}$ 为数域 $P$ 上 $s \times n$ 列满秩矩阵，证明：存在 $P$ 上 $s$ 阶可逆矩阵 $C$ ，使得 $B_{2} = CB_{1}$ (即 $B_{1}, B_{2}$ 只需要行变换就可以相互转换) (3) $C_{1}, C_{2}$ 为P上 $s \times n$ 行满秩矩阵，证明： $C_{1}, C_{2}$ 可以仅通过列变换相互转换。 证明 (1) 使用等价标准型: $$ A = P \left[ \begin{array}{c c} E _ {r} & O \\ O & O \end{array} \right] Q = P \left[ \begin{array}{c} E _ {r} \\ O \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} E _ {r} & O \end{array} \right] Q $$ (2) 根据列满秩初等标准型， $\exists P$ 使得 $PB_{1} = \left[ \begin{array}{c} E_{n} \\ O \end{array} \right]$ ，同理存在 $Q$ 使得 $QB_{2} = \left[ \begin{array}{c} E_{n} \\ O \end{array} \right]$ ，结论成立。 (3) 和 (2) 一样 练习 2.7 幂等矩阵分解 (1) 证明：任意方阵可以分解为可逆矩阵与幂等矩阵乘积 证明 (1) 利用等价标准型得到: $$ A = P \left( \begin{array}{c c} E _ {r} & O \\ O & O \end{array} \right) Q = P Q Q ^ {- 1} \left( \begin{array}{c c} E _ {r} & O \\ O & O \end{array} \right) Q $$ PQ 为可逆矩阵，后面为幂等 ## 2.3.4 秩不等式 ## 引理 2.1 (乘可逆矩阵不改变秩) $P, Q$ 为可逆矩阵，则 $r(A) = r(PAQ)$ 证明 相当于做了一系列初等变换，因此不改变秩 练习 2.8 非方阵情况 A, B 分别为 $m \times n, n \times s$ 矩阵，证明： (1) 若 $r(A) = n$ ，则 $r(AB) = r(B)$ (2) 若 $r(B) = n$ ，则 $r(AB) = r(A)$ 证明 (1) 存在可逆矩阵 $P$ 使得 $PA = \left[ \begin{array}{c} A_{1} \\ O \end{array} \right]$ ，这里 $A_{1}$ 为可逆矩阵，因此 $$ r (A B) = r (\left[ \begin{array}{c} A _ {1} \\ O \end{array} \right] B) = r \binom{A _ {1} B}{O} = r (A _ {1} B) = r (B) $$ (2) 同理 (转置即可) ## 引理 2.2 (分块矩阵的秩) $$ \begin{array}{l} \bullet r \left( \begin{array}{c c} A & O \\ O & B \end{array} \right) = r (A) + r (B) \\ \bullet r \left( \begin{array}{c c} A & O \\ C & B \end{array} \right) \geq r (A) + r (B) \end{array} $$ 证明 (1) 根据初等变换等价标准型有 $P_{1}AQ_{1} = \left( \begin{array}{cc}E_{r_1} & O\\ O & O \end{array} \right),P_{2}BQ_{2} = \left( \begin{array}{cc}E_{r_2} & O\\ O & O \end{array} \right)$ ，因此 $$ \left( \begin{array}{c c} P _ {1} & O \\ O & P _ {2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c} A & O \\ O & B \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c} Q _ {1} & O \\ O & Q _ {2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c c c} E _ {r _ {1}} & O & O & O \\ O & O & O & O \\ O & O & E _ {r _ {2}} & O \\ O & O & O & O \end{array} \right) $$ (2) 根据初等变换等价标准型有 $P_{1}AQ_{1} = \left( \begin{array}{cc}E_{r_1} & O\\ O & O \end{array} \right), P_{2}BQ_{2} = \left( \begin{array}{cc}E_{r_2} & O\\ O & O \end{array} \right)$ ，因此 $$ \left( \begin{array}{c c} P _ {1} & O \\ O & P _ {2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c} A & O \\ C & B \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c} Q _ {1} & O \\ O & Q _ {2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c c c} E _ {r _ {1}} & O & O & O \\ O & O & O & O \\ C _ {1 1} & C _ {1 2} & E _ {r _ {2}} & O \\ C _ {2 1} & C _ {2 2} & O & O \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{c c c c} E _ {r _ {1}} & O & O & O \\ O & O & O & O \\ O & O & E _ {r _ {2}} & O \\ O & C _ {2 2} & O & O \end{array} \right) $$ ## 定理 2.25 (矩阵秩基本不等式) • $r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$ • $r(A+B) \leq r(A) + r(B)$ \- Sylvester 不等式: $A, B$ 是 $n$ 阶方阵, 则 $r(A) + r(B) \leq r(AB) + n$ \- Frobenius 不等式: $A, B, C$ 是 $n$ 阶方阵, 则 $r(ABC) \geq r(AB) + r(BC) - r(B)$ \- $A, B$ 为 $s \times n, n \times m$ 阶矩阵， $AB = O$ ，则 $r(A) + r(B) \neq n$ \- $A$ 是 $m \times n$ 的实矩阵，则 $r(A^T A) = r(A)$ 证明 (1) 将 $B$ 写为行向量形式: $B = \left( \begin{array}{c} \beta_{1} \\ \beta_{2} \\ \vdots \\ \beta_{n} \end{array} \right)$ , 则 $$ A B = \left( \begin{array}{c c c} a _ {1 1} & \dots & a _ {1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a _ {n 1} & \dots & a _ {n n} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \beta_ {1} \\ \vdots \\ \beta_ {n} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a _ {1 1} \beta_ {1} + \dots + a _ {1 n} \beta_ {n} \\ \vdots \\ a _ {n 1} \beta_ {1} + \dots + a _ {n n} \beta_ {n} \end{array} \right) $$ 因此 AB 每个行向量都可被 B 行向量线性表出，从而 $r(AB) \leq r(B)$ ，同理可知 $r(AB) \leq r(A)$ (2) 用列向量角度， $A + B$ 的列向量显然可以被 $A, B$ 的列向量线性表出，从而结论成立。 (3) 是 (4) 的推论 (4)Frobenius: 即构造 $r(ABC) + r(B) \geq r(AB) + r(BC)$ $$ \left[ \begin{array}{c c} A B C & \\ & B \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{c c} A B C & O \\ B C & B \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{c c} O & - A B \\ B C & B \end{array} \right] $$ 根据分块矩阵秩不等式可知 练习 2.9 秩不等式的推广 (1) A, B 为 n 阶方阵，则 $r(A - ABA) = r(A) + r(E - BA) - n$ (2) $A, B$ 是 $n$ 阶方阵， $AB = BA = O, r(A^2) = r(A)$ ，证明： $r(A + B) = r(A) + r(B)$ 证明 (1) 等号需要构造单位矩阵，即等式中的 $n$ 用 $E_n$ 代替： $$ \left[ \begin{array}{c c} A & \\ & E _ {n} - B A \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{c c} A & O \\ B A & E _ {n} - B A \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{c c} A & A \\ B A & E _ {n} \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{c c} A - A B A & O \\ O & E _ {n} \end{array} \right] $$ 从右往左推非常难，因此一般从无 $E_{n}$ 的一边推另一边(后面的练习也会体现这一点) (2) 注意从复杂的一侧 $A + B$ 开始，否则 $A, B$ 不知道怎么搞， $$ \left( \begin{array}{c c} A + B & O \\ O & O \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{c c} A + B & O \\ A ^ {2} + A B & O \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c} A + B & O \\ A ^ {2} & O \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{c c} A + B & A ^ {2} \\ A ^ {2} & A ^ {3} \end{array} \right) $$ 由于 $r(A) = r(A^2)$ ，因此矩阵方程 $A^2 X = A$ 有解，故 $\exists P$ 使得 $A^2 P = A$ ，故第二列可右乘 $P$ 消去第一列： $$ \left( \begin{array}{c c} A + B & A ^ {2} \\ A ^ {2} & A ^ {3} \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{c c} B & A ^ {2} \\ O & A ^ {3} \end{array} \right) $$ 因此根据分块矩阵的秩得到 $r(A + B) \geq r(A^3) + r(B) = r(A) + r(B)$ ，而不等式另一侧显然. 练习 2.10 用秩不等式研究矩阵性质 (1) 证明零矩阵: $A_{m \times n}, B_{n \times s}, r(B) = n$ ，证明：若 AB = O，则 A = O (2) 判定可逆: $n$ 为奇数, $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵, $A^2 = O$ , 证明: $AB - BA$ 不可逆证明 (1) 由于 $r(A) + r(B) \leq r(AB) + n$ , 而 $r(B) = n$ , 得到 $r(A) = 0$ , 即 $A = O$ (2) $n=2k+1$ ，根据 $A^{2}=O$ 得到 $2r(A)\leq2k+1+0$ ，从而 $r(A)\leq k$ ，此时 $$ r (A B - B A) \leq r (A B) + r (B A) \leq r (A) + r (A) \leq 2 k $$ 因此不可逆 ## 2.3.5 空间分解法研究矩阵秩 ## 定理 2.26 (多项式矩阵的秩关系) $f(x) = f_{1}(x)f_{2}(x)$ 是多项式， $(f_{1}(x),f_{2}(x)) = 1$ ，则 $f(A) = O$ 当且仅当 $r(f_{1}(A)) + r(f_{2}(A)) = n$ 。常见的推论如下： \- $A^2 = A$ 当且仅当 $r(A - E) + r(A) = n$ \- $A^2 = E$ 当且仅当 $r(A - E) + r(A + E) = n$ 证明 根据 $(f_{1}(x), f_{2}(x)) = 1$ ，有 $u(x)f_{1}(x) + v(x)f_{2}(x) = 1$ ，因此 $u(A)f_{1}(A) + v(A)f_{2}(A) = E_{n}$ ，根据分块矩阵初等变换： $$ \left[ \begin{array}{c c} f _ {1} (A) & \\ & f _ {2} (A) \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{c c} f _ {1} (A) & f _ {1} (A) u (A) + v (A) f _ {2} (A) \\ O & f _ {2} (A) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} f _ {1} (A) & E _ {n} \\ O & f _ {2} (A) \end{array} \right] $$ 再做初等变换： $$ \left[ \begin{array}{c c} f _ {1} (A) & E _ {n} \\ O & f _ {2} (A) \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{c c} O & E _ {n} \\ - f _ {2} (A) f _ {1} (A) & f _ {2} (A) \end{array} \right] \to \left[ \begin{array}{c c} O & E _ {n} \\ - f (A) & O \end{array} \right] $$ 因此得到 $r(f_{1}(A))+r(f_{2}(A))=n+r(f(A))$ 笔记 分块矩阵、多项式互素、空间直和本质上是一体的。 练习 2.11 从线性空间角度解决难题 A, B 是 P 上 n 阶矩阵，AB = BA，证明： $r(A) + r(B) \geq r(AB) + r(A + B)$ 证明 设 AX = 0, BX = 0 的解空间分别为 $V_{1}, V_{2}$ ，设 ABX = BAX = 0 的解空间为 $W_{1}$ ， $(A + B)X = 0$ 的解空间为 $W_{2}$ 。显然 $V_{1} \subseteq W_{1}, V_{2} \subseteq W_{1}$ ，从而 $V_{1} + V_{2} \subseteq W_{1}$ ，显然 $V_{1} \cap V_{2} \subseteq W_{2}$ ，根据维数公式： $$ d i m V _ {1} + d i m V _ {2} = d i m (V _ {1} + V _ {2}) + d i m (V _ {1} \cap V _ {2}) \leq d i m W _ {1} + d i m W _ {2} $$ 因此推出： $$ (n - r (A)) + (n - r (B)) \leq (n - r (A B)) + (n - r (A + B)) $$ 化简得到结论。 ![](ce3a524e4cfc4924fcc83503ac164d9bab0392e84942ca5de982e270059db9a0.jpg) 笔记 这种 $r(A), r(B), r(A + B), r(AB)$ 相关问题绝大多数从线性空间角度都能迎刃而解 ## 2.4 矩阵的迹 ## 定理 2.27 (矩阵迹的性质) $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，则 $$ \begin{array}{l} \bullet \operatorname{tr} (A) = \operatorname{tr} (k A) \\ \bullet \operatorname{tr} (A + B) = \operatorname{tr} (A) + \operatorname{tr} (B) \\ \bullet \operatorname{tr} (A B) = \operatorname{tr} (B A) \end{array} $$ 若 $A$ 为实方阵，则 $A = O$ 当且仅当 $\operatorname{tr}(A^T A) = 0$ 证明 显然 ## 2.5 几种技巧矩阵 ## 2.5.1 初等矩阵 ## 定义 2.10 (初等矩阵) 单位矩阵通过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。记作 $P(i,j), P(i(c)), P(i,j(k))$ 表示 $i,j$ 行互换， $i$ 行乘 $c$ ， $P_{ij} = k$ 的矩阵 ## 定理 2.28 (初等矩阵乘法) $AP$ 相当于做一次列初等变换， $PA$ 相当于做一次行初等变换， ## 2.5.2 基本矩阵：仅一个元素为1的矩阵 ## 定义 2.11 (基本矩阵) 基本矩阵 $E_{ij}$ 表示 $n \times n$ 矩阵，但是仅有 $(i,j)$ 元素为1，其余元素为0的矩阵。 ## 定理 2.29 (基本矩阵乘法) 基本矩阵乘法有以下性质： \- $AE_{ij}$ 将 $A$ 的第 $i$ 列移动到第 $j$ 列， \- $E_{ij}A$ 将 $A$ 的第 $j$ 行移动到第 $i$ 行。 \- 基础矩阵分解： $E_{ij} = e_i e_j^T$ \- 基本矩阵相乘： $E_{ik}E_{kj}=E_{ij}$ ， $k\neq l$ 时 $E_{ik}E_{lj}=0$ 练习2.12用基础矩阵研究幂次(1)设 $A = \left( \begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1\\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{array} \right)$ ，证明： $A^k = \left( \begin{array}{cc}O & E_{n - k}\\ E_k & O \end{array} \right)$ 。 (2) $A$ 是 $n$ 阶上三角阵且主对角上元素均为0，证明 $A^n = O$ 证明 (1) 写为 $A = (e_{n}, e_{1}, \cdots, e_{n-1})$ ，则 $A^{2} = (A e_{n}, A e_{1}, \cdots, A e_{n-1})$ 。显然 $Ae_{i}$ 为 A 的第 i 列，因此 $$ A ^ {2} = (e _ {n - 1}, e _ {n}, e _ {1} \dots , e _ {n - 2}) $$ 以此类推容易得到结论 (2) $A=\sum_{i j$ 时，显然 $c_{ij} = 0$ 。而 $c_{ii} = \sum_{k=1}^{i-1} a_{ik} b_{ki} + a_{ii} b_{ii} + \sum_{k=i+1}^{n} a_{ik} b_{ki} = a_{ii} b_{ii}$ (2) 根据行变换可以将 $(A, I) \to (I, A^{-1})$ ，当 $A$ 为上三角时，先用最后一行消去 $A$ 最后一列其余行的元素，以此类推可以发现 $A^{-1}$ 为上三角，根据矩阵乘法显然有 $A^{-1}$ 对角为 $A$ 对角的逆。 (3) 根据 $A^{*} = |A|A^{-1}$ 即可 ## 定理 2.36 (n 个上三角矩阵的乘积) $A_{1},\cdots,A_{n}$ 时 n 个对角为 0 的 n 阶上三角矩阵，证明 $A_{1}A_{2}\cdots A_{n}=O$ 证明 用数学归纳法，设 $n - 1$ 时成立，取 $A_{n} = \left[ \begin{array}{cc}B_{n - 1} & *\\ 0 & 0 \end{array} \right]$ ，此时 $$ A _ {1} \dots A _ {n} = \left[ \begin{array}{c c} B _ {1} \dots B _ {n - 1} & * \\ 0 & 0 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c c} B _ {n} & * \\ 0 & 0 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} 0 & * \\ 0 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} B _ {n} & * \\ 0 & 0 \end{array} \right] = O $$ ## 2.6.3 实对称矩阵 ## 定义 2.14 (实对称矩阵) 每个元素都是实数，且满足 $A^T = A$ 的矩阵 $A$ 称为实对称矩阵 ## 定理 2.37 (实对称矩阵的矩阵性质) 实对称矩阵 A 具有以下性质： \- $A^{-1}$ 也是实对称矩阵 证明 (1) 由于 $(AA^{-1})^T = E_n$ ，得到 $(A^{-1})^T A^T = E_n$ ，而 $A$ 实对称，因此 $(A^{-1})^T A = E_n$ ，这说明 $(A^{-1})^T = A^{-1}$ ## 定理 2.38 (实对称矩阵的特征值性质) 实对称矩阵有如下性质： \- 每个特征值都是实数 \- 不同特征值的特征向量正交 \- 一定正交相似 (相似且合同) 于对角矩阵 证明 (1) 共轭转置法：设 $\lambda \in \mathbb{C}$ 是特征值， $\xi \in \mathbb{C}^n$ 是特征向量，一方面根据 $A\xi = \lambda\xi$ 两侧同时左乘 $\overline{\xi}^T$ 得到 $$ \overline {{\xi}} ^ {T} A \xi = \lambda \overline {{\xi}} ^ {T} \xi $$ 另一方面直接对 $A\xi = \lambda \xi$ 取共轭转置，再同时右乘 $\xi$ 得到 $$ \overline {{\xi}} ^ {T} A = \overline {{\xi}} ^ {T} \overline {{\lambda}} \Rightarrow \overline {{\xi}} ^ {T} A \xi = \overline {{\lambda}} \overline {{\xi}} ^ {T} \xi $$ 因此比较得到 $\lambda = \overline{\lambda}$ (2) 不同特征值的特征向量正交：设 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是两个互异特征值， $\xi_{1}, \xi_{2}$ 分别属于 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 的实特征向量，则 $$ \lambda_ {1} (\xi_ {1}, \xi_ {2}) = (\lambda_ {1} \xi_ {1}) ^ {T} \xi_ {2} = (A \xi_ {1}) ^ {T} \xi_ {2} = \xi_ {1} ^ {T} (A \xi_ {2}) = \lambda_ {2} (\xi_ {1}, \xi_ {2}) $$ 从而得到 $(\lambda_{2} - \lambda_{1})(\xi_{1},\xi_{2}) = 0$ ，而 $\lambda_1\neq \lambda_2$ ，从而 $(\xi_1,\xi_2) = 0$ (3) 做数学归纳法，n=1 显然，假设 n-1 成立，任取特征值 $\lambda$ ，对应单位特征向量 $\alpha_{1}$ ，将 $\alpha_{1}$ 扩充为 $R^{n}$ 的一组标准正交基 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$ ，令 $T=(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n})$ ，则 $$ A T = T \left( \begin{array}{c c} \lambda & \alpha^ {T} \\ 0 & A _ {n - 1} \end{array} \right) \Rightarrow T ^ {T} A T = \left( \begin{array}{c c} \lambda & \alpha^ {T} \\ 0 & A _ {n - 1} \end{array} \right) $$ 由于 $T^T A T$ 对称，因此 $\alpha^T = 0$ ，再根据归纳假设，存在正交矩阵 $P_{1}$ 使得 $P_{1}^{T}A_{n - 1}P_{1}$ 为对角阵，因此令 $P = \mathrm{diag}(1,P_1)$ ，此时 $$ P ^ {T} T ^ {T} A T P = \left( \begin{array}{c c} \lambda & 0 \\ 0 & P ^ {T} A _ {n - 1} P \end{array} \right) $$ 显然 $TP = Q$ ，则 $Q$ 也是正交阵。 ## 2.6.4 反对称矩阵 ## 定理 2.39 (反对称矩阵的行列式) 奇数阶反对称矩阵的行列式必为 0。 证明 根据 $A^T = -A$ 得到 $|A| = (-1)^n |A|$ ，当 $n$ 为奇数时 $|A| = -|A|$ ，因此 $|A| = 0$ ## 定理 2.40 (反对称矩阵的矩阵性质) $A$ 为反对称矩阵，则 \- $A^{-1}$ 为反对称矩阵 ## 证明 (1) 类似实对称矩阵的 ## 定理 2.41 (反对称矩阵的二次型) $A$ 为反对称矩阵当且仅当任意 $X \in \mathbb{R}^n$ ，有 $X^T A X = 0$ ## 证明 在基础矩阵技巧一节中给出过证明 ## 定理 2.42 (反对称矩阵的特征值、特征向量) 反对称矩阵 A 的特征值是 0 或者纯虚数。且纯虚数对应特征向量的实部和虚部的实向量等长、正交。 证明 (1) 设 $A$ 的特征值 $\lambda = a + bi$ ，对应特征向量 $x = u + vi$ ， $A(u + vi) = (a + bi)(u + vi)$ ，因此 $Au + iAv = (au - bv) + (bu + av)i$ ，实虚部分离得到： $$ A u = a u - b v, A v = b u + a v \Rightarrow u ^ {T} A u = a u ^ {T} u - b u ^ {T} v, v ^ {T} A v = b v ^ {T} u + a v ^ {T} v $$ 因此得到 $u^T Au + v^T Av = a(|u|^2 + |v|^2)$ ，由于 $u^T Au \in \mathbb{C}$ 是一个数，因此 $$ u ^ {T} A u = (u ^ {T} A u) ^ {T} = u ^ {T} A ^ {T} u = - u ^ {T} A u \Rightarrow u ^ {T} A u = 0 $$ 同理有 $v^{T}Av = 0$ ，因此 $a(|u|^2 +|v|^2) = 0$ ，由于 $u + vi\neq 0$ ，得到 $a = 0$ ，即 $\lambda = a + bi = bi$ (2) 设 $\alpha + \beta i$ 是特征值 $ki$ 的特征向量，即 $A(\alpha + i\beta) = ki(\alpha + i\beta)$ ，对比实部虚部，得到 $$ A \alpha = - k \beta , A \beta = k \alpha $$ 由于 $\alpha^T A\alpha = 0$ ，得到 $\alpha^T A\alpha = \alpha^T (-k\beta) = -k\alpha^T\beta = 0$ ，这说明 $\alpha, \beta$ 正交，再由于 $$ \alpha^ {T} A \beta + \beta^ {T} A \alpha = \left\{ \begin{array}{l} \alpha^ {T} A \beta - (\alpha^ {T} A \beta) ^ {T} = 0 \\ k (\alpha^ {T} \alpha - \beta^ {T} \beta) \end{array} \right. $$ 得到 $\alpha^T\alpha -\beta^T\beta = 0$ ，即模长相等 ## 定理 2.43 (反对称矩阵的标准型) ## $A$ 为 $n$ 阶反对称矩阵，则 \- $A$ 正交相似于如下准对角阵 $$ \operatorname{diag} \left\{\left( \begin{array}{c c} 0 & b _ {1} \\ - b _ {1} & 0 \end{array} \right), \dots , \left( \begin{array}{c c} 0 & b _ {s} \\ - b _ {s} & 0 \end{array} \right), 0, \dots , 0 \right\} $$ \- $A$ 合同于标准型 $$ \operatorname{diag} \left\{\left( \begin{array}{c c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array} \right), \dots , \left( \begin{array}{c c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array} \right), 0, \dots , 0 \right\} $$ ## 定理 2.44 (将矩阵拆为对称 + 反对称) $$ A = \frac {1}{2} (A + A ^ {T}) + \frac {1}{2} (A - A ^ {T}) $$ ## 2.6.5 Hermite 矩阵 定义 2.15 (Hermite 矩阵) $\overline{A}^T = A$ 的矩阵称为Hermite矩阵 定理 2.45 (Hermite 矩阵的性质) Hermite 矩阵的特征值都是实数 ## 2.6.6 正交矩阵 定义 2.16 (正交矩阵) 若矩阵 $T$ 满足 $TT^{T} = I$ ，则称 $T$ 为正交矩阵。 ## 定理 2.46 (正交矩阵的性质) $A, B$ 为 $n$ 阶正交矩阵，则 \- 求逆: $A^{-1} = A^{T}$ \- $A^{-1}, A^T, AB$ 都是正交矩阵 \- $S = \left[ \begin{array}{ll}A & 0\\ 0 & B \end{array} \right]$ 也是正交矩阵 \- $A$ 正交当且仅当 $A$ 的列向量是 $\mathbb{R}^n$ 的一组标准正交基。 证明 (1) 显然 (2) $(AB)^T AB = I$ (3) 直接用 $S^T S$ 验证即可 (4) $A=\left[\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}\right]$ ，计算 $A^{T}A=I$ 可得出结论。 练习 2.15 正交矩阵练习 b 是单位列向量，证明存在 n 阶对称正交矩阵 A，使得 b 为 A 的第一列证明 ## 定理 2.47 (分块上三角正交矩阵) 若 $A = \left[ \begin{array}{ll}A_{1} & A_{2}\\ 0 & A_{4} \end{array} \right]$ 是正交矩阵，则 $A_{2} = 0$ ， $A_{1},A_{4}$ 是正交矩阵 证明 根据分块矩阵转置以及乘法可以得到结论 $$ A ^ {T} A = \left[ \begin{array}{c c} A _ {1} ^ {T} & 0 \\ A _ {2} ^ {T} & A _ {4} ^ {T} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} A _ {1} & A _ {2} \\ 0 & A _ {4} \end{array} \right] $$ ## 定理 2.48 (正交矩阵的行列式与特征值) $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵，则 $A$ 的特征值模长为1，复特征值成对出现， $|A| = \pm 1$ ，进一步地 若 $|A| = -1: -1$ 一定是 $A$ 的特征值 若 $A$ 是奇数阶的，且 $|A| = 1$ ，则1一定是 $A$ 的特征值 \- 复特征值的特征向量实部和虚部模长相等且正交 证明 (1) 主命题: $A\alpha = \lambda \alpha$ ，两侧取共轭得到 $A\overline{\alpha} = \overline{\lambda}\overline{\alpha}$ ，两侧取转置得到 $\overline{\alpha}^T A^T = \overline{\lambda}\overline{\alpha}^T$ ，两侧右乘 $\alpha$ 得到 $\overline{\alpha}^T A^{-1}\alpha = \overline{\lambda}\overline{\alpha}^T\alpha$ ，因此 $\frac{1}{\lambda}\overline{\alpha}^T\alpha = \overline{\lambda}\overline{\alpha}^T\alpha$ ，因此 $\lambda \overline{\lambda} = 1$ ，即模长为 1。根据 $|A^T A| = 1$ 可知行列式为 $\pm 1$ (2) $|A|=-1$ 情况：根据 $|A|$ 是特征值乘积可知至少有 1 个 -1 (3) $|A|=1$ 情况：同理 笔记在计算 $A$ 的特征值时，如果 $A$ 的特殊性需要 $A^T$ 来体现，则经常两侧取共轭转置(例如实对称、反对称、正交矩阵)。 ## 定理 2.49 (n 阶正交矩阵的标准型) $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵，则 $A$ 总是正交相似于 $$ \operatorname{diag} \left\{\lambda_ {1}, \dots , \lambda_ {r}, \left( \begin{array}{c c} \cos \theta_ {1} & - \sin \theta_ {1} \\ \sin \theta_ {1} & \cos \theta_ {1} \end{array} , \dots , \left( \begin{array}{c c} \cos \theta_ {m} & - \sin \theta_ {m} \\ \sin \theta_ {m} & \cos \theta_ {m} \end{array} \right)\right) \right\} $$ ## 2.6.7 Unitary 矩阵 定理 2.50 (Unitary 矩阵的性质) Unitary 矩阵的特征值模长均为 1 ## 2.6.8 幂零矩阵 ## 定义 2.17 (幂零矩阵) 若存在整数 l，使得 $A^{l}=O$ ，则称 A 为幂零矩阵。 ## 定理 2.51 (幂零矩阵充要条件) ## $A$ 是幂零矩阵当且仅当 1. 特征值: $A$ 的特征值只有 0 2. 特征多项式: $A$ 的特征多项式为 $x^{n}$ 3. 最小多项式： $A$ 的最小多项式为 $x^{k}, k \leq n$ 4. 迹 (重点): 对 $\forall k > 0$ , $\operatorname{tr}(A^{k}) = 0$ ## 2.6.9 幂等矩阵 ## 定义 2.18 (幂等矩阵) 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^2 = A$ ，则称 $A$ 为幂等矩阵 ## 定理 2.52 (幂等矩阵充要条件) $n$ 阶方阵 $A$ 是幂等矩阵当且仅当 $r(A) + r(A - E) = n$ 证明 由于 $A^2 = A$ ，即 $A(A - E) = O$ ，根据空间分解研究矩阵秩定理（具体见线性空间-直和与空间分解） $$ n = n - r (A) + n - r (A - E) $$ 因此 $r(A) + r(A - E) = n$ ## 定理 2.53 (幂等矩阵的性质) $A$ 为 $n$ 阶幂等矩阵，则 \- $A$ 的特征值只有1和0 \- $A$ 一定可以对角化，且标准型为 $\mathrm{diag}\{E_r, O\}$ $$ r (A) = \operatorname{tr} (A) $$ 证明 (1) 设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，故 $A\alpha = \lambda \alpha$ ， $A^2\alpha = \lambda^2\alpha$ ，由于 $A = A^2$ ，得到 $\lambda^2 = \lambda$ ，因此 $\lambda = 0,1$ (2) 根据最小多项式理论， $f(A)=A(A-E)=O$ ，因此最小多项式只有一次项乘积，故可对角化。 (3) 根据秩、迹在相似下的不变性可知 ## 定理 2.54 (加减乘法的幂等性) $A, B$ 为两个 $n$ 阶幂等矩阵，则 1. $A + B$ 为幂等矩阵当且仅当 $AB = BA = O$ 2. $A - B$ 为幂等矩阵当且仅当 $AB = BA = B$ 3. 若 $AB = BA$ ，则 $AB$ 为幂等矩阵。反之不一定 4. 如 E-A-B 可逆，则 $r(A)=r(B)$ 证明 (1) 右推左：由于 $AB = BA = O$ ，因此 $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 = A + B$ 。左推右： $(A + B)^2 = A + AB + BA + B = A + B$ ，因此 $AB + BA = O$ ，得到 $$ A B = A B ^ {2} = (- B A) B = - B A B = B (B A) = B A $$ 练习 2.16 幂等矩阵分解 (1) 证明：任意方阵都可以分解为可逆矩阵与幂等矩阵的乘积 证明 (1) 利用等价标准型得到: $$ A = P \left( \begin{array}{c c} E _ {r} & O \\ O & O \end{array} \right) Q = P Q Q ^ {- 1} \left( \begin{array}{c c} E _ {r} & O \\ O & O \end{array} \right) Q $$ PQ 为可逆矩阵，后面为幂等 ## 定理 2.55 (幂等矩阵列的性质) $A_{1},\cdots,A_{m}$ 为 n 阶方阵，且 $A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{m}=E_{n}$ ，则下面三个命题等价： \- $A_{1}, \cdots, A_{m}$ 为幂等矩阵 $$ \bullet \mathrm{r} (A _ {1}) + \dots + \mathrm{r} (A _ {m}) = n $$ \- $\forall i \neq j$ 有 $A_{i}A_{j} = 0$ 证明 $(1) \Rightarrow (2)$ : 由于 $r(A_{i}) = \operatorname{tr}(A_{i})$ , 因此 $$ r \left(A _ {1}\right) + \dots + r \left(A _ {m}\right) = \operatorname{tr} \left(A _ {1}\right) + \dots + \operatorname{tr} \left(A _ {m}\right) = \operatorname{tr} \left(A _ {1} + \dots + A _ {m}\right) = \operatorname{tr} \left(E _ {n}\right) = n $$ (2) $\Leftarrow$ (3): 比较经典，先通过分块矩阵的初等变换凑出 E: $$ \left( \begin{array}{c c c c c} A _ {1} & & & & \\ & A _ {2} & & & \\ & & A _ {3} & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & A _ {m} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c c c c} A _ {1} & A _ {2} & A _ {3} & \dots & A _ {m} \\ A _ {2} & & & & \\ & & A _ {3} & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & A _ {m} \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{c c c c c} E & A _ {2} & A _ {3} & \dots & A _ {m} \\ A _ {2} & A _ {2} & & \\ A _ {3} & & A _ {3} & \\ \vdots & & & \ddots \\ A _ {m} & & & A _ {m} \end{array} \right) $$ 再通过 E 消去其他部分: $$ \rightarrow \left(\begin{array}{c c c c c}E&O&O&\dots&O\\A _ {2}&A _ {2} - A _ {2} ^ {2}&- A _ {2} A _ {3}&\dots&- A _ {2} A _ {m}\\A _ {3}&- A _ {3} A _ {2}&A _ {3} - A _ {3} ^ {2}&\dots&- A _ {3} A _ {m}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A _ {m}&- A _ {m} A _ {2}&- A _ {m} A _ {3}&\dots&A _ {m} - A _ {m} ^ {2}\end{array}\right)\rightarrow \left(\begin{array}{c c c c c}E&O&O&\dots&O\\O&A _ {2} - A _ {2} ^ {2}&- A _ {2} A _ {3}&\dots&- A _ {2} A _ {m}\\O&- A _ {3} A _ {2}&A _ {3} - A _ {3} ^ {2}&\dots&- A _ {3} A _ {m}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\O&- A _ {m} A _ {2}&- A _ {m} A _ {3}&\dots&A _ {m} - A _ {m} ^ {2}\end{array}\right) $$ 根据 $r(A_{1}) + r(A_{2}) + \cdots + r(A_{m}) = n$ ，得到 $$ \left( \begin{array}{c c c c} A _ {2} - A _ {2} ^ {2} & - A _ {2} A _ {3} & \dots & - A _ {2} A _ {m} \\ - A _ {3} A _ {2} & A _ {3} - A _ {3} ^ {2} & \dots & - A _ {3} A _ {m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ - A _ {m} A _ {2} & - A _ {m} A _ {3} & \dots & A _ {m} - A _ {m} ^ {2} \end{array} \right) = O $$ 这说明 $\forall i \neq j$ 有 $A_{i}^{2} = A_{i}$ ，且 $A_{i}A_{j} = O(i, j = 2, 3, \cdots, m)$ ，再对 $A_{1} + \cdots + A_{m} = E_{n}$ 两边同乘 $A_{i}$ 得到 $A_{1}A_{i} + A_{i} = A_{i}$ 因此 $A_{1}A_{i} = O$ ，结论成立 (3) $\Rightarrow(1)$ ：直接对 $A_{1}+\cdots+A_{m}=E_{n}$ 两边右乘 $A_{i}$ 得到 $$ A _ {1} A _ {i} + A _ {2} A _ {i} + \dots + A _ {m} A _ {i} = A _ {i} ^ {2} = A _ {i} $$ 因此都是幂等矩阵 ![](116dae9c4751e133d34c8783fe26e5db95777c31f641faaaf1b2315ed7ef9957.jpg) 笔记 此定理在 ZJU2020 中考过 ## 2.6.10 对角占优矩阵 > [!proof]- 证明状态 > 本笔记含数学结论；已保留原文。未给出证明的结论将在后续按定义、引理和推导链补证。