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# 第3章 行列式

## 3.1 行列式基本概念与性质

## 定理 3.1 (行列式初等变换)

矩阵初等变换相对行列式的变换为:

\- 互换两行/列：取反号

\- 同行/列可同时提出公因式

\- 倍加：不改变行列式大小

> [!proof]- 证明（补充）
> 由行列式的交错多线性定义：交换两行会改变排列的符号，故行列式变号；一行乘以常数时可将常数提出；把一行加上另一行的倍数时，按该行线性展开，新增项含有两行相同而为零，因此行列式不变。

## 定理 3.2 (行列式分拆)

> [!proof]- 证明（补充）
> 行列式对任意一行（或一列）是线性的。由排列定义，将第 s 行元素写成 b+c 后逐项展开，分成两组，分别等于右侧两个行列式。


行列式可以关于一行或者一列进行分拆，即

$$
\left| \begin{array}{c c c c} a _ {1 1} & a _ {1 2} & \dots & a _ {1 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b _ {s 1} + c _ {s 1} & b _ {s 2} + c _ {s 2} & \dots & b _ {s n} + c _ {s n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a _ {n 1} & a _ {n 2} & \dots & a _ {n n} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c c c c} a _ {1 1} & a _ {1 2} & \dots & a _ {1 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b _ {s 1} & b _ {s 2} & \dots & b _ {s n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a _ {n 1} & a _ {n 2} & \dots & a _ {n n} \end{array} \right| + \left| \begin{array}{c c c c} a _ {1 1} & a _ {1 2} & \dots & a _ {1 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c _ {s 1} & c _ {s 2} & \dots & c _ {s n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a _ {n 1} & a _ {n 2} & \dots & a _ {n n} \end{array} \right|.
$$

## 3.2 行列式展开

## 定义 3.1 (余子式与代数余子式)

将矩阵 A 去除第 i 行，第 j 列后矩阵的行列式称为 $a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}$ ，代数余子式 $A_{ij} := (-1)^{i+j} M_{ij}$

## 定理 3.3 (行列式展开)

固定列 $j$ ，则按列展开为 $|A| = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} A_{ij}$ 。固定行 $i$ ，则按行展开为 $|A| = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{ij}$

> [!proof]- 证明（补充）
> 按第 $ 列展开行列式的多线性，每一项必须选取该列唯一的元素 {ij}$；其余因子组成删去第 $ 行、第 $ 列后的余子式，移动该元素产生符号 -1^{i+j}$，故得到 {ij}A_{ij}$。对所有 $ 求和即得按列展开；按行展开同理。

## 定理 3.4 (不同行相乘为 0)

$A$ 的第 $i$ 行元素与 $k$ 行的代数余子式乘积和为0: $\sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{kj} = 0$

## 3.3 特殊的行列式

## 3.3.1 爪型行列式

## 定理 3.5 (正爪型行列式)

正爪型行列式通过对角消去一条直边，再按三角行列式展开

## 定理 3.6 (异爪型行列式)

异爪型行列式(一横两斜)分以下几种情况:

\- 行和为0型：全部加到第一行，按第一列展开

\- 两对角各自相等型：按斜直夹边展开，获得递推公式

练习3.1异爪型行列式(1)计算 $|A| = \left| \begin{array}{cccccc}0 & -1 & -1 & \dots & -1 & -1\\ 1 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & \dots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 1 \end{array} \right|$

(2) 设 $s(x) = \begin{cases} \frac{x}{|x|}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ ，已知 $A = (a_{ij})$ ， $a_{ij} = s(i - j)$ ，求 $|A|$

解(1)按最后一列展开，得到 $D_{n} = (-1)^{n + 2} + D_{n - 1}$ ，因此 $n$ 为奇数时 $D_{n} = 0$ ， $n$ 为偶数时 $D_{n} = 1$

(2) 上下相减后变为 (1)

## 3.3.2 大对角型 (三斜线)

## 3.3.3 行和相同型

## 定理 3.7 (行和相同型)

行和相同型行列式分以下两种情况：

\- 内部大量相同：加到第一列，提出公因式，消去内部大量元素

\- 循环型：上下相减 (例题见循环型一节)

练习 3.2 内部大量相同型 计算行列式

$$
\left| \begin{array}{c c c c c} a & b & b & \dots & b \\ b & a & b & \dots & b \\ b & b & a & \dots & b \\ \vdots & \vdots & & & \vdots \\ b & b & b & \dots & a \end{array} \right|
$$

解加到第一列，提出 $[a + (n - 1)b]$ ，用第一列消去其他元素，最终得到答案 $(a - b)^{n - 1}[a + (n - 1)b]$

## 3.3.4 循环型

循环型一般无论形态都是上下相减，一般只有行和相同型和反对称型两种。

练习3.3循环型 计算 $|A|, |B|$

$$
| A | = \left| \begin{array}{c c c c c c} 0 & 1 & 2 & \dots & n - 2 & n - 1 \\ 1 & 0 & 1 & \dots & n - 3 & n - 2 \\ 2 & 1 & 0 & \dots & n - 4 & n - 3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ n - 2 & n - 3 & n - 4 & \dots & 0 & 1 \\ n - 1 & n - 2 & n - 3 & \dots & 1 & 0 \end{array} \right| \quad | B | = \left| \begin{array}{c c c c c c} 1 & 2 & 3 & \dots & n - 1 & n \\ n & 1 & 2 & \dots & n - 2 & n - 1 \\ n - 1 & n & 1 & \dots & n - 3 & n - 2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 3 & 4 & 5 & \dots & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & \dots & n & 1 \end{array} \right|
$$

解(1)依次上面一行减下面一行, 变成如下行列式, 再每一列加上第一列即可

$$
\left| \begin{array}{c c c c c c} - 1 & 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & \dots & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 & \dots & 1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ - 1 & - 1 & - 1 & \dots & - 1 & 1 \\ n - 1 & n - 2 & n - 3 & \dots & 1 & 0 \end{array} \right|
$$

(2) 依次上面一行减下面一行，然后将最后一列的 -1 倍加到每一列。

## 3.3.5 行列式加边法

## 定理 3.8 (行列式加边法)

计算矩阵 $A$ 的行列式 $|A|$ 时，可加上一边：

$$
| A | = \left| \begin{array}{c c c c} a _ {1 1} & a _ {1 2} & \dots & a _ {1 n} \\ a _ {2 1} & a _ {2 2} & \dots & a _ {2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _ {n 1} & a _ {n 2} & \dots & a _ {n n} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c c c c c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & a _ {1 1} & a _ {1 2} & \dots & a _ {1 n} \\ 0 & a _ {2 1} & a _ {2 2} & \dots & a _ {2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & a _ {n 1} & a _ {n 2} & \dots & a _ {n n} \end{array} \right|
$$

![](5237bc175ab7cc857bef0b9fce8ebb278fd06b25162610870ed179f93aa53519.jpg)

笔记 行列式加边法往往在内部元素大量相同，但行和不同的情况。

## 3.4 Cramer 法则

## 定理 3.9 (Cramer 法则)

$n$ 个方程的 $n$ 元线性方程组 $AX = B$ ，系数矩阵行列式 $|A|\neq 0$ ，则其唯一解为

$$
\left(\frac {| B _ {1} |}{| A |}, \frac {| B _ {2} |}{| A |}, \dots , \frac {| B _ {n} |}{| A |}\right)
$$

其中 $B_{i}$ 为 $A$ 将第 $i$ 列换为 $B$ 组成的矩阵。



## 批次证明补全

> [!proof]- 证明说明
> 本章中的定理、命题与公式将按照定义、引理、定理、推论的顺序补全证明。当前保留原有结论、公式编号和上下文；对于原文未提供证明的条目，后续证明只使用本章已声明的假设和前置结果。