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# 第4章 线性方程组

## 4.1 线性方程组解的判定定理

## 4.1.1 解存在判定定理

定理 4.1 (解存在充要条件)

K 上线性方程组 Ax=b 有解的充要条件为 $r(A)=r(\overline{A})$ ，这里 $\overline{A} := [A, b]$

## 4.1.2 线性方程组同解

定理 4.2 (同解定理)

$A_{s\times n},B_{m\times n}$ 为两个矩阵，则 $AX = 0,BX = 0$ 同解当且仅当 $A,B$ 行向量等价

练习 4.1 具体应用 (1) 已知下面两个线性方程组同解，求 a, b, c 的值，且求通解

$$
\left\{ \begin{array}{l} x _ {1} + 2 x _ {2} + 3 x _ {3} = 0 \\ 2 x _ {1} + 3 x _ {2} + 5 x _ {3} = 0 \\ x _ {1} + x _ {2} + a x _ {3} = 0 \end{array} \right. \quad \left\{ \begin{array}{l} x _ {1} + b x _ {2} + c x _ {3} = 0 \\ 2 x _ {1} + b ^ {2} x _ {2} + (c + 1) x _ {3} = 0 \end{array} \right.
$$

(2) $A_{s \times n}, B_{t \times n}$ 为两个矩阵， $AX = 0, BX = 0$ 的解空间分别为 $V_{1}, V_{2}$ ，证明： $V_{1} \subseteq V_{2}$ 当且仅当存在矩阵 $C_{t \times s}$ 使得 $B = CA$

证明 (1) 设方程组为 $AX = 0, BX = 0$ ，即 $AX = 0$ 与 $\left( \begin{array}{l} A \\ B \end{array} \right) X = 0$ 同解，做初等行变换即可。

(2) $V_{1}\subseteq V_{2}$ 当且仅当AX=0与 $\left(\begin{array}{l}A\\ B\end{array}\right)X=0$ 同解。

## 4.1.3 解个数判定定理

## 定理 4.3 (解个数判定定理)

若 K 上 Ax = b 满足 $r(A) = r(\overline{A})$ :

若 $r(A) = n$ ：则 $Ax = b$ 有唯一解

若 $r(A) < n$ ：则 $Ax = b$ 有无穷解

## 4.2 线性方程组的求解

4.2.1 $Ax = 0$ 求解

## 定义 4.1 (自由未知量)

消元后多余的 0 = 0 位置对应的变量 $x_{r+1}, \cdots, x_{n}$ 称为方程组自由未知量

![](569bb7571fe1b96279850b2e831c71dd14f2853e8248c29c1c1dd0d70ae8dd6c.jpg)

## 定理 4.4 (自由变量的个数)

自由变量的个数为 $n - r(A)$

## 定义 4.2 (基础解系)

让自由未知量 $x_{r - 1 + i}$ 取1，其余取0，构造解向量 $\eta_{i}$ 称为基础解系：

$$
\left\{ \begin{array}{l} \eta_ {1} = (*, \dots , *, 1, 0, \dots , 0) \\ \eta_ {2} = (*, \dots , *, 0, 1, \dots , 0) \\ \vdots \\ \eta_ {n - r} = (*, \dots , *, 0, 0, \dots , 1) \end{array} \right.
$$

笔记 如果只有一个自由未知数，则一般取 1 而非 0，否则无法表示出基础解系，只是要给特解。

定理 4.5 (齐次线性方程组的解)

齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的任意解是其基础解系的线性组合

> [!proof]- 证明（补充）
> 化为阶梯形后，自由变量任意取值，主元变量由回代唯一确定。令每个自由变量依次取 $、其余取 $，得到基础解系 $\\eta_i$。任意解的自由变量向量是这些取值向量的线性组合，线性性遂给出 =\\sum c_i\\eta_i$。

## 4.2.2 $Ax = b$ 求解

## 定理 4.6 (非齐次线性方程组的解)

非齐次线性方程组 Ax = b 的任意解是其特解 $\gamma_{0}$ 加上齐次方程组 Ax = 0 基础解系线性组合，即 $x = \gamma_{0} + L\{\eta_{1}, \cdots, \eta_{n-r}\}$

练习 4.2 求解非齐次线性方程组 (1) 讨论以下线性方程组解的情况

$$
\left\{ \begin{array}{l} x _ {1} + x _ {2} - x _ {3} = 1 \\ 2 x _ {1} + 3 x _ {2} + k x _ {3} = 3 \\ x _ {1} + k x _ {2} + 3 x _ {3} = 2 \end{array} \right.
$$

(2) 已知 $A = \left( \begin{array}{ccc}1 & -1 & -1\\ 4 & t & 1\\ -2 & 2 & t \end{array} \right),b = \left( \begin{array}{c}1\\ 2\\ -t \end{array} \right)$ ，当 $t$ 为何值时， $AX = b$ 无解，有唯一解，有无穷多解，并给出有解时对应的解。

解(1)对增广矩阵做初等变换得到

$$
\left[ \begin{array}{c c c c} 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & k + 2 & 1 \\ 0 & 0 & (k + 3) (k - 2) & k - 2 \end{array} \right]
$$

先讨论解的情况：有解当且仅当 $r(A) = r(\overline{A})$ ， $k = -3$ 无解， $k = 2$ 有无穷多解。其余情况有唯一解。 $k = 2$ 时特解以及齐次基础解系：

$$
\gamma = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), y = \left( \begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ 1 \end{array} \right) \Rightarrow x = \gamma + k _ {1} y
$$

唯一解情况直接解出结果即可。

(2) 做增广矩阵初等变换得到

$$
\left[ \begin{array}{c c c c} 1 & - 1 & - 1 & 1 \\ 0 & t + 4 & 5 & - 2 \\ 0 & 0 & t - 2 & 2 - t \end{array} \right]
$$

t = -4 时无解。t = 2 无穷多解，其他情况有唯一解。具体求解略去。

## 4.2.3 线性方程组公共解的计算

练习 4.3 公共解的情况 (1) 线性方程组 I 的通解为 $(1,1,0,0)^{T} + k_{1}(1,0,-1,0)^{T} + k_{2}(2,3,0,1)^{T}$ ，线性方程组 II 如下，若两个方程组有无穷组公共解，求 a, b 的值并表示出所有公共解

$$
\left\{ \begin{array}{l} 7 x _ {1} - 6 x _ {2} + 3 x _ {3} = b \\ 8 x _ {1} - 9 x _ {2} + a x _ {4} = 7 \end{array} \right.
$$

解 由于有无穷多组解，因此有无穷组 $k_{1}, k_{2}$ 使得 $(1 + k_{1} + 2k_{2}, 1 + 3k_{2}, -k_{1}, k_{2})$ 为方程组 II 的解。代入方程化简得到

$$
\left\{ \begin{array}{l} 4 k _ {1} - 4 k _ {2} = b - 1 \\ 8 k _ {1} + (a - 1 1) k _ {2} = 8 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4 k _ {1} - 4 k _ {2} = b - 1 \\ 0 k _ {1} + (a - 3) k _ {2} = 1 0 - 2 b \end{array} \right.
$$

需要有无穷多解，得有自由位置量，因此 $a = 3, b = 5$ ， $k_{1} = k_{2} + 1$ ，解系为 $(2,1, -1,0)^{T} + k_{2}(3,3, -1,1)^{T}$ 笔记若给两个完整的线性方程组，则先求出一个的基础解系，再往另一个方程中代。

## 4.3 最小二乘解

## 4.3.1 $A^T A$ 的研究

## 定理 4.7 ( $A^{T}A$ 与 A 的秩)

设 A 是 $m \times n$ 的实矩阵，则 $r(A^{T}A) = r(A)$ 。复数域有 $r(A\overline{A}^{T}) = r(\overline{A}^{T}A) = r(A)$ ，但不一定有 $r(A^{T}A) = r(A)$ 。

证明 (1) 只需要考虑 AX = 0 和 $A^{T}AX = 0$ 解的情况。首先根据 AX = 0 可以推出 $A^{T}AX = 0$ 。其次 $A^{T}AX = 0$ 可推出 $X^{T}A^{T}AX = (AX)^{T}(AX) = 0$ ，而 AX 是一个实向量， $\alpha^{T}\alpha = 0$ 当且仅当 $\alpha = 0$ ，因此 AX = 0。故它们同解， $n - r(A) = n - r(A^{T}A)$ 得到 $r(A) = r(A^{T}A)$

(2) 若 $AX = 0$ ，则 $\overline{A}^T A X = 0$ 。若 $\overline{A}^T A X = 0$ ，则 $\overline{X}^T \overline{A}^T A X = (\overline{A X})^T A X = 0$ ，得到 $A X = 0$ 笔记该定理最重要的结论是最小二乘解一定存在。

练习 $4.4A^{T}A$ 与 A 性质 (1) A 是 R 上任意 $s \times n$ 矩阵，证明： $r(AA^{T}A) = r(A)$

证明 (1) $r(AA^{T}A)\leq r(A)$ ，而 $r(AA^{T}A)\geq r(A^{T}AA^{T}A)=r(A^{T}A)=r(A)$

## 4.3.2 正规方程组

## 定义 4.3 (最小二乘解)

对一个无解的线性方程组 (矛盾方程组) AX = b，若向量 $(x_{1}, \cdots, x_{s}) \in \mathbb{R}^{s}$ 使得距离

$$
d = \sum_ {i = 1} ^ {n} (a _ {i 1} x _ {1} + \dots + a _ {i s} x _ {s} - b _ {i}) ^ {2}
$$

最小，则称该向量为最小二乘解。

![](fc5927c4943f5711971e1159904e69cf3096da10f51513e01b79f3f32935c532.jpg)

## 定理 4.8 (正规方程组)

对于任一方程组 $AX = b$ ，最小二乘解一定存在，且 $X_0$ 是最小二乘解当且仅当 $A^T A X = A^T b$

证明 设 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s}$ 是 A 的列向量，定义 $W=L(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s})$ ， $X_{0}$ 是最小二乘解当且仅当 $AX_{0}$ 是 b 在上的投影，即 $(b-AX_{0})\perp\alpha_{i}$ ，因此

$$
\alpha_ {i} ^ {T} (b - A X _ {0}) \Rightarrow A ^ {T} (b - A X _ {0}) = 0 \Rightarrow A ^ {T} A X _ {0} = A ^ {T} b
$$

## 定理 4.9 (正规方程组解的存在性)

方程组 $A^T A X = A^T b$ 一定有解。

证明 因为 $r(A^T A) = r(A)$ ，先将增广矩阵拆开得到 $r([A^T A, A^T b]) = r(A^T [A, b])$ ，用秩不等式得到 $r(A^T [A, b]) \leq r(A^T) = r(A) = r(A^T A)$ ，而显然 $r([A^T A, A^T b]) \geq r(A^T A)$ ，因此增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，综上得到最小二乘法解存在。

## 定理 4.10 (凸闭集最佳逼近元的唯一性)

$\mathcal{H}$ 是Hilbert空间， $M\subset \mathcal{H}$ 是凸闭集，则 $\forall x\in \mathcal{H}$ 在 $M$ 中存在唯一最佳逼近。

笔记 一般而言最小二乘解不唯一，除非是凸闭集。

## 批次证明补全

> [!proof]- 证明说明
> 本章中的定理、命题与公式将按照定义、引理、定理、推论的顺序补全证明。当前保留原有结论、公式编号和上下文；对于原文未提供证明的条目，后续证明只使用本章已声明的假设和前置结果。