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# 第5章 线性空间与线性变换

## 5.1 线性空间

## 5.1.1 线性空间的基本概念

## 定义 5.1 (线性空间)

$\mathbb{P}$ 是一个数域， $V$ 是非空集合， $V$ 上定义了二元运算 $+$ 和数乘，若这两种运算满足：

二元运算：(1) 交换 (2) 结合 (3) 零元 (4) 负元

\- 数乘：(1)一元(2)结合 $(c_{1}c_{2})\alpha = c_{1}(c_{2}\alpha)(3)$ 向量分配 $(c_{1} + c_{2})\alpha = c_{1}\alpha + c_{2}\alpha (4)$ 数分配 $c(\alpha +\beta) = c\alpha +c\beta$

则称 $V$ 是 $\mathbb{P}$ 上的线性空间

## 5.1.2 线性相关、线性无关与向量组的秩

## 定义 5.2 (线性相关和线性无关)

$\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$ 为向量组，若存在不全为0的 $k_{1},\cdots,k_{n}$ 使得

$$
k _ {1} \alpha_ {1} + k _ {2} \alpha_ {2} + \dots + k _ {n} \alpha_ {n} = 0
$$

则称它们线性相关。若该等式成立当且仅当 $k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{n}=0$ ，则称线性无关。

练习 5.1 证明线性无关 (1) 幂零基: A 为 V 上的线性变换, $\xi \in V$ , 若 $A^{k-1}\xi \neq 0, A^{k}\xi = 0$ , 证明 $\xi, A\xi, \cdots, A^{k-1}\xi$ 线性无关

证明 设 $k_{0}\xi + k_{1}A\xi + \cdots + k_{n-1}A^{k-1}\xi = 0$ , 两侧同时作用 $A^{k-1}$ 得到 $k_{0}A^{k-1}\xi = 0$ , 因此 $k_{0} = 0$ , 以此类推得到 $k_{0}, k_{1}, \cdots, k_{n-1} = 0$

## 定理 5.1 (极大线性无关组的计算)

给定一列向量 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$ ，将它们作为矩阵的列向量拼成一个矩阵，对矩阵做初等行变换化为阶梯型矩阵，阶梯头所在列对应的向量为极大线性无关组。(其实按行也可以，按列更不容易出错，因为换行不影响结果)

练习 5.2 极大线性无关组的计算 计算下列向量组的极大线性无关组

$$
\left\{ \begin{array}{l} \alpha_ {1} = (1, - 1, 2, 4) \\ \alpha_ {2} = (0, 3, 1, 2) \\ \alpha_ {3} = (3, 0, 7, 1 4) \\ \alpha_ {4} = (1, - 1, 2, 0) \\ \alpha_ {5} = (2, 1, 5, 6) \end{array} \right.
$$

解 拼成一个矩阵，并做初等行变换：

$$
\left[\begin{array}{c c c c c}1&0&3&1&2\\- 1&3&0&- 1&1\\2&1&7&2&5\\4&2&1 4&0&6\end{array}\right]\rightarrow \left[\begin{array}{c c c c c}1&0&3&1&- 2\\0&1&1&0&1\\0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0\end{array}\right]
$$

因此极大线性无关组为 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{4}$

## 定义 5.3 (向量组的秩)

$\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$ 为向量组，称其中极大线性无关组的向量个数为它们的秩。

## 定理 5.2 (源泉定理及其推论)

设 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$ 可以被 $\beta_{1},\cdots,\beta_{s}$ 线性表出，r>s，则 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$ 线性相关。

## 5.1.3 线性空间同构

定义 5.4 (同构)

若两个代数系统之间存在双射，且该双射保持代数系统的运算，则称两个代数系统同构。

## 定理 5.3 (有限维线性空间的同构映射)

$V$ 为 $\mathbb{P}$ 上线性空间， $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，构造线性映射 $f$ ，将 $\forall \alpha \in V$ 映射到其坐标，则 $f$ 为 $V \to \mathbb{P}^{n}$ 的同构映射

## 定理 5.4 (用坐标研究向量组)

$\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$ 是 V 的一组基， $A_{n\times s}$ ，向量组 $\beta_{1},\cdots,\beta_{s}$ 满足

$$
(\beta_ {1}, \dots , \beta_ {s}) = (\alpha_ {1}, \dots , \alpha_ {n}) A
$$

则 $\dim(\beta_{1},\cdots,\beta_{s})=r(A)$

证明 $A = [X_{1}, \cdots, X_{s}]$ 即 $\beta_{1}, \cdots, \beta_{s}$ 的坐标，因此 A 的列向量与 $\beta_{1}, \cdots, \beta_{s}$ 等价，从而 $r(A) = \dim(\beta_{1}, \cdots, \beta_{s})$

## 推论 5.1 (线性无关情况)

$\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$ 线性无关， $(\beta_{1},\cdots,\beta_{n})=(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n})A$ ，则 $\beta_{i}$ 线性无关当且仅当 A 可逆。

练习5.3同构的应用 $(1)\beta_{1} = \alpha_{1} + \alpha_{2},\beta_{2} = \alpha_{1} + \alpha_{3},\beta_{3} = \alpha_{1} + \alpha_{2}$ ，证明： $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 和 $\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$ 等价

(2) 证明 n 为奇数时， $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$ 线性无关当且仅当 $\alpha_{1}+\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n-1}+\alpha_{n},a_{n}+\alpha_{1}$ 线性无关

(3) 设 $\beta_{1} = \alpha_{2} + \cdots + \alpha_{n}, \beta_{2} = \alpha_{1} + \alpha_{3} + \cdots + \alpha_{n}, \beta_{n} = \alpha_{1} + \cdots + \alpha_{n-1}$ ，证明 $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}$ 和 $\beta_{1}, \cdots, \beta_{n}$ 有相同的秩

证明 (1) 如下同构映射至坐标, 显然 $A$ 可逆, 因此等价

$$
(\beta_ {1}, \beta_ {2}, \beta_ {3}) = (\alpha_ {1}, \alpha_ {2}, \alpha_ {3}) \left[ \begin{array}{c c c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right] := (\alpha_ {1}, \alpha_ {2}, \alpha_ {3}) A
$$

(2) 将后者设为 $\beta_{1}, \cdots, \beta_{n}$ ，如下线性表出

$$
(\beta_ {1}, \dots , \beta_ {n}) = (\alpha_ {1}, \dots , \alpha_ {n}) \left[ \begin{array}{c c c c c} 1 & & & & 1 \\ 1 & 1 & & & \\ & 1 & \ddots & & \\ & & \ddots & 1 & \\ & & & 1 & 1 \end{array} \right]
$$

用 Gauss 消元法可看出 $n$ 为奇数时矩阵满秩，因此等价。

(3) 同理列矩阵，用加边法可算出行列式非零，因此 A 可逆，即等价。

## 5.1.4 基、坐标

## 定义 5.5 (基与坐标)

V 是线性空间， $\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n}$ 是 V 中线性无关的向量组，若 $\forall\alpha\in V$ 可被该向量组线性表出，则称该向量组为 V 的一组基。且若

$$
\alpha = (\epsilon_ {1}, \dots , \epsilon_ {n}) X
$$

则称 X 为 $\alpha$ 在 $\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n}$ 基下的坐标

笔记 坐标的计算：直接根据 $\alpha = (\epsilon_{1}, \cdots, \epsilon_{n})X$ 解线性方程组 (或者用初等变换求逆)

$$
X = (\epsilon_ {1}, \dots , \epsilon_ {n}) ^ {- 1} \alpha
$$

练习 5.4 证明基 给定 $\alpha_{1}=(1,1,\cdots,1,1)$ , $\alpha_{2}=(1,1,\cdots,1,0)$ , $\cdots$ , $\alpha_{n}=(1,0,\cdots,0)$ ，证明其是 $P^{n}$ 的一组基证明 当成列向量排成一个矩阵，满秩即可

练习 5.5 坐标的计算 (1) 已知 $\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \epsilon_{3}$ 是 $P^{3}$ 的一组基，计算 $\alpha = (1, 2, 1)^{T}$ 在这组基下的坐标

$$
\epsilon_ {1} = (1, 1, 1) ^ {T}, \epsilon_ {2} = (1, 1, - 1) ^ {T}, \epsilon_ {3} = (1, - 1, - 1) ^ {T}
$$

解(1)只需要解方程组 $\alpha = k_{1}\epsilon_{1} + k_{2}\epsilon_{2} + k_{3}\epsilon_{3}$ ，即 $[\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3]X = \alpha$

$$
\left[ \begin{array}{c c c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 \end{array} \right] X = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right]
$$

解得 $k_{1} = 1, k_{2} = \frac{1}{2}, k_{3} = -\frac{1}{2}$

练习5.6难度进阶(1)求非零向量 $\alpha \in \mathbb{P}^4$ ，使得其在下面两组基中有相同的坐标

$$
\left\{ \begin{array}{l} \epsilon_ {1} = (1, 0, 0, 0) ^ {T} \\ \epsilon_ {2} = (0, 1, 0, 0) ^ {T} \\ \epsilon_ {3} = (0, 0, 1, 0) ^ {T} \\ \epsilon_ {4} = (0, 0, 0, 1) ^ {T} \end{array} \right., \quad \left\{ \begin{array}{l} \eta_ {1} = (2, 1, - 1, 1) ^ {T} \\ \eta_ {2} = (0, 3, 1, 0) ^ {T} \\ \eta_ {3} = (5, 3, 2, 1) ^ {T} \\ \eta_ {4} = (6, 6, 1, 3) ^ {T} \end{array} \right.
$$

解 (1) 设 $\alpha$ 在第一组基下的坐标为 $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})^{T}$ , 则由于同坐标

$$
\alpha = x _ {1} \eta_ {1} + x _ {2} \eta_ {2} + x _ {3} \eta_ {3} + x _ {4} \eta_ {4}
$$

解线性方程组 $\left[\eta_{1},\eta_{2},\eta_{3},\eta_{4}\right]X=\alpha$ 即可 (注意将 $\alpha$ 减到左边):

$$
\left[ \begin{array}{r r r r} 1 & 0 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 & 6 \\ - 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right] X = 0
$$

解得 $\alpha = k(1,1,1,-1)$

## 5.1.5 坐标变换

## 定义 5.6 (过渡矩阵)

给定 $(\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n}),(\eta_{1},\cdots,\eta_{n})$ 两组基，若存在矩阵T满足：

$$
(\epsilon_ {1}, \dots , \epsilon_ {n}) = (\eta_ {1}, \dots , \eta_ {n}) T
$$

则称 T 为 $\eta_{1},\cdots,\eta_{n}$ 到 $\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n}$ 的过渡矩阵 (不要搞反)

笔记 过渡矩阵的计算：直接根据 $(\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n})=(\eta_{1},\cdots,\eta_{n})T$ 得到

$$
T = (\eta_ {1}, \dots , \eta_ {n}) ^ {- 1} (\epsilon_ {1}, \dots , \epsilon_ {n})
$$

用初等变换求 $A^{-1}B$ 的方式直接求 T 即可。

## 定理 5.5 (坐标变换)

$V$ 是 $n$ 维线性空间， $\eta_1,\dots ,\eta_n$ 和 $\epsilon_1,\dots ,\epsilon_n$ 是空间两组基，且 $(\eta_{1},\dots ,\eta_{n}) = (\epsilon_{1},\dots ,\epsilon_{n})T$ ，向量 $x\in V$ 在 $\epsilon_i,\eta_i$ 下的坐标分别为 $X,Y$ ，则

$$
X = T Y
$$

证明 $x=(\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n})X=(\eta_{1},\cdots,\eta_{n})Y=(\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n})TY$ 即可。

笔记 坐标变换用荡秋千记忆，即 $(\eta_{1},\cdots,\eta_{n})=(\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n})T$ ，分别对应 Y,X，则把 T 荡到另一边，即 TY=X。这与线性变换在不同基下的矩阵一样都需要记住。

练习 5.7 过渡矩阵的计算 给定两组基，求它们之间的过渡矩阵，并求 $\xi = (1, 0, 0, -1)$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的坐标

$$
\begin{array}{l l l l} \alpha_ {1} = (1, 1, 1, 1) & \alpha_ {2} = (1, 1, - 1, - 1) & \alpha_ {3} = (1, - 1, 1, - 1) & \alpha_ {4} = (1, - 1, - 1, 1) \\ \beta_ {1} = (1, 1, 0, 1) & \beta_ {2} = (2, 1, 3, 1) & \beta_ {3} = (1, 1, 0, 0) & \beta_ {4} = (0, 1, - 1, - 1) \end{array}
$$

解(1)先取标准基 $\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \epsilon_{3}, \epsilon_{4}$ ，设

$$
(\alpha_ {1}, \alpha_ {2}, \alpha_ {3}, \alpha_ {4}) = (\epsilon_ {1}, \epsilon_ {2}, \epsilon_ {3}, \epsilon_ {4}) A, (\beta_ {1}, \beta_ {2}, \beta_ {3}, \beta_ {4}) = (\epsilon_ {1}, \epsilon_ {2}, \epsilon_ {3}, \epsilon_ {4}) B
$$

则

$$
A = \left[ \begin{array}{r r r r} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{array} \right], B = \left[ \begin{array}{r r r r} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & - 1 \\ 1 & 1 & 0 & - 1 \end{array} \right]
$$

由此得到

$$
(\beta_ {1}, \beta_ {2}, \beta_ {3}, \beta_ {4}) = (\epsilon_ {1}, \epsilon_ {2}, \epsilon_ {3}, \epsilon_ {4}) B = (\alpha_ {1}, \alpha_ {2}, \alpha_ {3}, \alpha_ {4}) A ^ {- 1} B
$$

综上得到过渡矩阵为 (具体计算时用行初等变换: $(A|B) \rightarrow (E|A^{-1}B)$ )

$$
A ^ {- 1} B = \frac {1}{4} \left[ \begin{array}{r r r r} 3 & 7 & 2 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 & 3 \\ - 1 & 3 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & 0 & - 1 \end{array} \right]
$$

(2) $\xi$ 在 $(\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3, \epsilon_4)$ 下的坐标即本身，因此在 $(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$ 下坐标为 $A^{-1}\xi$ (具体计算时也和 $(A|B)$ 摆在一起)，结果为 $(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)^T$

## 5.1.6 和与交、维数定理

## 定义 5.7 (线性空间和与交)

$V_{1}, V_{2}$ 为线性空间，则

$$
V _ {1} \cap V _ {2} := \{\alpha : \alpha \in V _ {1}, \alpha \in V _ {2} \}, V _ {1} + V _ {2} := \{\alpha = \alpha_ {1} + \alpha_ {2}: \alpha_ {1} \in V _ {1}, \alpha_ {2} \in V _ {2} \}
$$

且显然 $V_{1} \cap V_{2}, V_{1} + V_{2}$ 都是子空间。

![](6704a6fa582ccd0f7b0270cfe13b761ae03c428e9e7a8137480049d96a04f59a.jpg)

笔记 $V_{1} \cup V_{2}$ 由于运算不封闭，一般而言不是子空间。注意分别 $V_{1} \cup V_{2}$ 和 $V_{1} + V_{2}$

练习 5.8 和与交基本计算 (1) 已知 $V_{1} = L(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}), V_{2} = L(\beta_{1}, \beta_{2})$ ，其中

$$
\alpha_ {1} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), \alpha_ {2} = \left( \begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right), \alpha_ {3} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right), \beta_ {1} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right), \beta_ {2} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 3 \\ 7 \end{array} \right)
$$

求 $V_{1} + V_{2}, V_{1} \cap V_{2}$ 的基与维数

(2) 已知 $W_{1} = L(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}), W_{2} = L(\beta_{1}, \beta_{2})$ ，求 $W_{1} \cap W_{2}, W_{1} + W_{2}$ 的基与维数。

$$
\alpha_ {1} = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ - 1 \\ - 3 \end{array} \right), \alpha_ {2} = \left( \begin{array}{r} - 1 \\ - 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right), \alpha_ {3} = \left( \begin{array}{r} - 1 \\ - 3 \\ 0 \\ 5 \end{array} \right), \beta_ {1} = \left( \begin{array}{r} - 1 \\ 0 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right), \beta_ {2} = \left( \begin{array}{r} 0 \\ 5 \\ 9 \\ - 1 4 \end{array} \right)
$$

解 (1) $V_{1}+V_{2}=L(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\beta_{1},\beta_{2})$ ，因此只需要排成列，做初等变换：

$$
\left( \begin{array}{c c c c c} 1 & - 1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 7 \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{c c c c c} 1 & 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) := A
$$

因此维数为3，基为 $\alpha_{1},\alpha_{2},\beta_{1}$

任取 $\alpha \in V_1 \cap V_2$ ，设 $\alpha = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 = y_1\beta_1 + y_2\beta_2$ ，因此系数需要满足方程组：

$$
x _ {1} \alpha_ {1} + x _ {2} \alpha_ {2} + x _ {3} \alpha_ {3} - y _ {1} \beta_ {1} - y _ {2} \beta_ {2} = 0
$$

设 $x_{4} = -y_{1}, x_{5} = y_{2}$ ，即求解 $AX = [\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \beta_{1}, \beta_{2}]X = 0$ ，解得基础解系为

$$
\eta_ {1} = \left( \begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right), \eta_ {2} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 0 \\ - 3 \\ 1 \end{array} \right)
$$

对应 $V_{1} \cap V_{2}$ 的基础解系为：

$$
- \alpha_ {1} - \alpha_ {2} + \alpha_ {3} = (0, 0, 0, 0) ^ {T}, \alpha_ {1} - 4 \alpha_ {2} = (5, - 2, - 3, - 4) ^ {T}
$$

只取非零的，故只能为 $k(5, -2, -3, -4)$ ，维数为1，基即 $\alpha_{1} - 4\alpha_{2}$ 。

练习 5.9 和与并的区别 (1) 设 $V_{1}, V_{2}$ 是 P 上线性空间 V 的两个非平凡子空间，证明： $\exists \alpha \in V$ 使得 $\alpha \notin V_{1}, \alpha \notin V_{2}$ (2) $V_{1}, \cdots, V_{s}$ 是 V 的 s 个非平凡子空间，证明：V 中至少有一个向量不属于 $V_{1}, \cdots, V_{s}$ 中的任意一个。

(3) $V_{1}, V_{2}$ 是两个子空间，证明： $V_{1} + V_{2} = V_{1} \cup V_{2}$ 当且仅当 $V_{1} \subseteq V_{2}$ 或者 $V_{2} \subseteq V_{1}$

证明 (1) 由于 $V_{1}$ 非平凡， $\exists \alpha \notin V_{1}$ ，若 $\alpha \notin V_{2}$ ，则结论成立；否则 $\alpha \in V_{2}$ ，由于 $V_{2}$ 非平凡，因此 $\exists \beta \notin V_{2}$ ，若 $\beta \notin V_{1}$ ，则结论成立；否则 $\beta \in V_{1}$ ，此时有

$$
\alpha \notin V _ {1}, \beta \in V _ {1}, \alpha \in V _ {2}, \beta \notin V _ {2}
$$

因此 $\gamma = \alpha +\beta \notin V_1,\gamma \notin V_2$

(2) 用归纳法

(3) 右推左显然。左推右：设 $V_{1} + V_{2} = V_{1} \cup V_{2}$ ，但 $V_{1} \notin V_{2}$ ，则 $\exists \alpha_{1} \in V_{1}, \alpha_{1} \notin V_{2}$ ，但

$$
\forall \alpha_ {2} \in V _ {2}, \alpha = \alpha_ {1} + \alpha_ {2} \in V _ {1} + V _ {2}
$$

由于 $V_{1} + V_{2} = V_{1}\cup V_{2}$ ，因此 $\alpha$ 至少属于 $V_{1},V_{2}$ 中的一个，显然 $\alpha \notin V_2$ (根据加法封闭)，因此 $\alpha \in V_{1}$ ，故

$$
\alpha_ {2} = \alpha - \alpha_ {1} \in V _ {1}
$$

综上得到 $V_{2} \subseteq V_{1}$

## 定理 5.6 (维数公式)

设 $V_{1}, V_{2}$ 是有限维线性空间 $V$ 的两个子空间，则

$$
\dim V _ {1} + \dim V _ {2} = \dim (V _ {1} + V _ {2}) + \dim (V _ {1} \cap V _ {2})
$$

证明 设小扩大。设 $V_{1} \cap V_{2}$ 的基为 $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s}$ ， $V_{1}, V_{2}$ 的基分别为：

$$
\left\{ \begin{array}{l} \alpha_ {1}, \dots , \alpha_ {s}, \beta_ {s + 1}, \dots , \beta_ {m} \\ \alpha_ {1}, \dots , \alpha_ {s}, \gamma_ {s + 1}, \dots , \gamma_ {n} \end{array} \right.
$$

则 $V_{1} + V_{2} = L(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s}, \beta_{s+1}, \cdots, \beta_{m}, \gamma_{s+1}, \cdots, \gamma_{n})$ ，下面证明上面的向量全部线性无关。不妨设

$$
k _ {1} \alpha_ {1} + \dots + k _ {s} \alpha_ {s} + k _ {s + 1} \beta_ {s + 1} + \dots + k _ {n} \beta_ {n} + l _ {s + 1} \gamma_ {s + 1} + \dots + l _ {n} \gamma_ {n} = 0
$$

将 $l_{i}\gamma_{i}$ 的部分移到右侧，此时左侧线性组合属于 $V_{1}$ ，右侧属于 $V_{2}$ ，因此都属于 $V_{1} \cap V_{2}$ 。根据左侧得到：

$$
k _ {1} \alpha_ {1} + \dots + k _ {s} \alpha_ {s} + k _ {s + 1} \beta_ {s + 1} + \dots + k _ {n} \beta_ {n} \in V _ {1} \cap V _ {2} \Rightarrow k _ {s + 1} = k _ {s + 2} = \dots = k _ {n} = 0 \Rightarrow k _ {1} = \dots = k _ {s} = 0
$$

因此左侧系数全为0，同理右侧系数也全为0

练习5.10维数公式相关(1)经典： $V_{1}, V_{2}$ 是有限维线性空间 $V$ 的子空间， $\dim (V_1 + V_2) = \dim (V_1 \cap V_2) + 1$ ，证明：要么 $V_{1} \subseteq V_{2}$ ，要么 $V_{2} \subseteq V_{1}$

证明 (1) 根据维数公式得到

$$
\dim (V _ {1}) + \dim (V _ {2}) = \dim (V _ {1} + V _ {2}) + \dim (V _ {1} \cap V _ {2}) = 2 \dim (V _ {1} \cap V _ {2}) + 1
$$

等价于

$$
\left(\dim V _ {1} - \dim (V _ {1} \cap V _ {2})\right) + \left(\dim V _ {2} - \dim (V _ {1} \cap V _ {2})\right) = 1
$$

由于都是整数，只能一个0，一个1，因此结论成立。

![](cee4c1078050101154e1beeff5719a1fa75de396fb1f2dfef978054d78e0b5d3.jpg)

## 5.1.7 直和理论

## 定义 5.8 (直和)

$V_{1}, V_{2}$ 是线性空间 $V$ 的子空间，若 $V_{1} \cap V_{2} = \{0\}$ ，则记 $V_{1} \oplus V_{2} := V_{1} + V_{2}$

## 定义 5.9 (补空间)

若 $V = V_{1} \oplus V_{2}$ ，则称 $V_{2}$ 是 $V_{1}$ 的补空间。

笔记 补空间一般是不唯一的，因为 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{m}$ 扩充为 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$ 的方式不唯一。

## 定理 5.7 (直和等价条件)

$W = V_{1} \oplus V_{2}$ 当且仅当

\- $W$ 中任意向量 $\alpha = \alpha_{1} + \alpha_{2},\alpha_{1}\in V_{1},\alpha_{2}\in V_{2}$ 唯一表出

\- $W$ 中零向量被 $V_{1}, V_{2}$ 中向量唯一表出: $0 = 0 + 0$

\- $\dim W = \dim V_1 + \dim V_2$

练习 5.11 判断直和 (1) 数域 P 上所有 n 阶矩阵组成线性空间 $V = M_{n}(P)$ ， $V_{1}$ 表示所有对称矩阵组成的集合， $V_{2}$ 表示所有反对称矩阵组成的集合，证明 $V_{1}, V_{2}$ 是子空间且 $V = V_{1} \oplus V_{2}$

证明 (1) 显然关于加法和数乘封闭，因此是子空间。首先证明 $V = V_{1} + V_{2}$ ，由于矩阵 $A$ 都可以写为：

$$
A = \frac {A + A ^ {T}}{2} + \frac {A ^ {T} - A}{2}
$$

从而 $V = V_{1} + V_{2}$ 。

证明 $V = V_{1} \oplus V_{2}$ ：可用 $V_{1} \cap V_{2} = \{\}$ ，此时取 $A \in V_{1} \cap V_{2}$ ，则 $A = A^{T} = -A^{T}$ ，得到 $A^{T} = A = O$ ，因此为直和。也可以用 $O$ 分解唯一，设 $O = B + C = B^{T} - C^{T}$ ，而 $O^{T} = B^{T} + C^{T}$ ，因此 $B = C = O$ 。

## 定理 5.8 (多空间直和等价条件)

$V_{1},\cdots,V_{s}$ 是 W 的子空间，且 $W=V_{1}+V_{2}+\cdots+V_{s}$ ，则 $W=V_{1}\oplus V_{2}\oplus\cdots\oplus V_{s}$ 当且仅当

\- $W$ 中零向量分解唯一

\- $W$ 中任意向量 $\alpha$ 分解唯一

$$
V _ {i} \cap \sum_ {j \neq i} V _ {j} = \{0 \}
$$

$$
\bullet \dim W = \dim V _ {1} + \dots + \dim V _ {s}
$$

证明 (3) 只证明第三条。第三条推直和：若

$$
0 = \alpha_ {1} + \dots + \alpha_ {n} \Rightarrow \alpha_ {i} = \alpha_ {1} + \dots + \alpha_ {i - 1} + \alpha_ {i + 1} + \dots + \alpha_ {n}
$$

由于 $V_{i} \cap \sum_{j \neq i} V_{j} = \{0\}$ ，因此 $\alpha_{k} = 0, \forall k = 1, 2, \cdots, s$ ，从而是直和

直和推第三条：若 $\alpha \in V_{i} \cap \sum_{j \neq i} V_{j}$ ，则 $\alpha \in V_{i}$ ，且

$$
\alpha = \alpha_ {1} + \dots + \alpha_ {i - 1} + \alpha_ {i + 1} + \dots + \alpha_ {n} \Rightarrow \alpha_ {1} + \dots + \alpha_ {i - 1} + (- \alpha) + \alpha_ {i + 1} + \dots + \alpha_ {n} = 0
$$

由于 $\sum_{i=1}^{n} V_i$ 为直和，因此 $\alpha = 0$ ，即第三条结论成立。

## 定理 5.9 (直和合并定理)

若 $V = V_{1} \oplus V_{2}, V_{1} = V_{11} \oplus V_{12} \oplus \cdots \oplus V_{1s}, V_{2} = V_{21} \oplus \cdots \oplus V_{2t}$ ，则

$$
V = V _ {1 1} \oplus \dots V _ {1 s} \oplus V _ {2 1} \oplus \dots \oplus V _ {2 t}
$$

证明 只证明 $V = V_{1} \oplus V_{2}$ ， $V_{1} = V_{11} \oplus V_{12}$ 时， $V = V_{11} \oplus V_{12} \oplus V_{2}$ 。

首先显然有 $V = V_{11} + V_{12} + V_2$ 。设

$$
0 = \alpha_ {1 1} + \alpha_ {1 2} + \alpha_ {2} = (\alpha_ {1 1} + \alpha_ {1 2}) + \alpha_ {2}
$$

由于 $V = V_{1} \oplus V_{2}$ ，因此得到 $\alpha_{11} + \alpha_{12} = \alpha_{2} = 0$ ，同理根据 $V_{1} = V_{11} \oplus V_{12}$ 得到 $\alpha_{11} = \alpha_{12} = 0$ ，综上0元素分解唯一，为直和。

## 5.1.8 商空间

## 定义 5.10 (商空间的元素)

W 是线性空间 V 的子空间， $\alpha \in V$ ，定义

$$
\alpha + W := \{\alpha + \omega : \omega \in W \}
$$

## 定义 5.11 (商空间)

定义 $V / W$ 为 $\{\alpha + W : \alpha \in V\}$ ，即线性空间子集组成的集合。可以证明其是一个线性空间

## 定义 5.12 (自然映射)

定义 $\eta : V \to V / W$ 为自然映射

## 5.2 线性映射

## 5.2.1 线性映射的概念

## 定义 5.13 (线性映射)

$V, W$ 是 $\mathbb{P}$ 上的线性空间， $\varphi: V \to W$ 若满足：

$$
\bullet \varphi (\alpha + \beta) = \varphi (\alpha) + \varphi (\beta)
$$

$$
\bullet \varphi (c \alpha) = c \varphi (\alpha)
$$

则称 $\varphi$ 为 $V$ 到 $W$ 的线性映射，将 $V$ 到 $W$ 的线性映射全体记为集合 $\mathrm{Hom}_{\mathbb{P}}(V,W)$

## 5.2.2 核与像

核与像是最常见的不变子空间，因此在进一步研究线性映射之前，要先研究这两个特殊的集合。

## 定义 5.14 (核与像)

$U, V$ 是 $\mathbb{P}$ 上的线性空间， $f: U \to V$ ，定义 $\operatorname{Ker}(f) = \{\alpha \in U: f(\alpha) = 0\}$ ， $\operatorname{Im}(f) = \{f(\alpha): \alpha \in U\}$

笔记像的维度对应着 $(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n})A$ 的秩，核的维度对应着线性方程组AX=0的解空间维数。

## 定理 5.10 (核像维数公式)

$f \in \text{Hom}(U, V)$ 其核与像满足：

$$
\dim \operatorname{Ker} (f) + \dim \operatorname{Im} (f) = \dim (U)
$$

证明 设 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$ 是 Kerf 的基, $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$ 是 U 的基, 而 $\mathrm{Im}f=L(f(\alpha_{1}),\cdots,f(\alpha_{n}))=L(f(\alpha_{r+1}),\cdots,f(\alpha_{n}))$ , 下面证明线性无关。假设 $k_{r+1}f(\alpha_{r+1})+\cdots+k_{n}f(\alpha_{n})=0$ , 根据线性性可知 $f(k_{r+1}\alpha_{r+1}+\cdots+k_{n}\alpha_{n})=0$ , 即 $k_{r+1}\alpha_{r+1}+\cdots+k_{n}\alpha_{n}\in\mathrm{Ker}(f)$ , 根据基的线性无关性, 显然 $k_{r+1},\cdots,k_{n}$ 均为 0

笔记 该定理的证明会在题目中出现，主要方式是先设原空间的子空间的一组基，扩展成原空间的一组基，再作用 f 后与像空间进行联系。

## 练习 5.12 核像维数公式推广证明 证明以下核像命题

(1) 定义域为子空间: $\mathcal{A}$ 是有限维线性空间 $V$ 的线性变换, $W$ 是 $V$ 的子空间, 证明:

$$
\dim (\mathcal {A} W) + \dim (\operatorname{Ker} \mathcal {A} \cap W) = \dim (W)
$$

(2) 复合映射： $\sigma,\tau$ 是有限维空间 $U\to V,V\to W$ 的线性映射，证明：

$$
\dim (\operatorname{Ker} (\sigma)) + \dim (\operatorname{Im} (\sigma) \cap \operatorname{Ker} (\tau)) = \dim (\operatorname{Ker} (\tau \sigma))
$$

证明 (1) 设 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$ 是 $\operatorname{Ker}\mathcal{A}\cap W$ 的一组基， $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$ 是 W 的一组基，则 $\mathcal{A}W=L(\mathcal{A}\alpha_{r+1},\cdots,\mathcal{A}\alpha_{n})$ 。考虑 AW 的维数，设 $k_{r+1}\mathcal{A}\alpha_{r+1}+\cdots+k_{n}\mathcal{A}\alpha_{n}=0$ ，则有 $k_{r+1}\alpha_{r+1}+\cdots+k_{n}\alpha_{n}\in\operatorname{Ker}\mathcal{A}\cap W$ ，因此得到 $k_{r+1}=\cdots=k_{n}=0$ 。

(2) 先得找原空间最小的空间，可知 $\mathrm{Ker}(\sigma) \subseteq \mathrm{Ker}(\tau\sigma)$ ，因此设 $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{r}$ 是 $\mathrm{Ker}(\sigma)$ 的基， $\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $\mathrm{Ker}(\tau\sigma)$ 的基。设 $V_{1} = L(\sigma\alpha_{r+1}, \cdots, \sigma\alpha_{n})$ 。显然 $V_{1} \subseteq \mathrm{Im}(\sigma) \cap \mathrm{Ker}(\tau)$ 。

另一侧 $\forall \alpha \in \mathrm{Im}(\sigma) \cap \mathrm{Ker}(\tau)$ ， $\exists \beta$ 使得 $\sigma(\beta) = \alpha, \tau(\alpha) = 0$ ，这说明 $\tau(\sigma(\beta)) = 0$ ，因此 $\beta \in \mathrm{Ker}(\tau\sigma)$ ，即 $\alpha \in V_1$ ，最终得出 $V_1 = \mathrm{Im}(\sigma) \cap \mathrm{Ker}(\tau)$ 。

## 定理 5.11 (核像与单射、满射)

$\sigma$ 是 $U\to W$ 的线性映射，则：

\- $\sigma$ 是满射当且仅当 $\operatorname{Im}(\sigma) = W$

\- $\sigma$ 是单射当且仅当 $\operatorname{Ker}(\sigma) = \{\mathbf{0}\}$

\- 推论：有限维线性空间上线性变换(非映射)是单射当且仅当其是满射(一般单射更好证)

## 定理 5.12 (核、像任意性)

$V$ 是 $P$ 上 $n$ 维线性空间， $V_{1}, V_{2}$ 是其子空间， $\dim V_{1} + \dim V_{2} = n$ ，则存在 $V$ 上的线性变换 $\mathcal{A}$ 使得 $\operatorname{Ker} \mathcal{A} = V_{1}, \operatorname{Im} \mathcal{A} = V_{2}$

证明 设 $V_{1}$ 的一组基为 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$ ，扩充为 V 的一组基 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$ ，设 $\beta_{r+1},\cdots,\beta_{n}$ 是 $V_{2}$ 的一组基，构造映射 $\mathcal{A}(k_{1}\alpha_{1}+\cdots+k_{n}\alpha_{n})=k_{r+1}\beta_{r+1}+\cdots+k_{n}\beta_{n}$ 。可证明 A 是线性变换，且核、像满足条件。

练习 5.13 计算核与像 (1) $A: P^{4} \rightarrow P^{3}$ ，求 KerA, ImA

$$
\mathcal {A} \left( \begin{array}{c} x _ {1} \\ x _ {2} \\ x _ {3} \\ x _ {4} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x _ {1} - 3 x _ {2} + x _ {3} - 2 x _ {4} \\ - x _ {1} - 1 1 x _ {2} + 2 x _ {3} - 5 x _ {4} \\ 3 x _ {1} + 5 x _ {2} + x _ {4} \end{array} \right)
$$

解 (1) $\operatorname{Ker} \mathcal{A}$ 相当于 $AX = 0$ 的解空间， $\operatorname{Im} \mathcal{A}$ 相当于 $A$ 的列空间

## 5.2.3 幂等变换的核与像

一般而言核与像虽然有维数关系，但不具备直和关系(可能相交也可能和不为全空间)，但是幂等变换是一个特例。

## 定义 5.15 (幂等变换)

若线性变换 $\mathcal{A}$ 满足 $\mathcal{A}^2 = \mathcal{A}$ ，则称其为幂等变换。

## 定理 5.13 (幂等变换核像空间分解)

$\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的幂等变换，则

$$
V = \operatorname{Ker} \mathcal {A} \oplus \operatorname{Im} \mathcal {A}
$$

证明 (1) 先证明 $V$ 是核与像的和: $\forall \alpha \in V$ , 有 $\alpha = \alpha - \mathcal{A}\alpha + \mathcal{A}\alpha$ , 其中 $\mathcal{A}\alpha \in \operatorname{Im}\mathcal{A}$ 。而 $\mathcal{A}(\alpha - \mathcal{A}\alpha) = \mathcal{A}\alpha - \mathcal{A}^2\alpha = 0$ , 因此 $\alpha - \mathcal{A}\alpha \in \operatorname{Ker}\mathcal{A}$

(2) 证明直和: $\forall \alpha \in \operatorname{Ker} \mathcal{A} \cap \operatorname{Im} \mathcal{A}$ , 则 $\mathcal{A} \alpha = 0$ 且 $\exists \beta, \mathcal{A} \beta = \alpha$ , 两侧同时作用 $\mathcal{A}$ , 左侧得到 $\mathcal{A}^2 \beta = \mathcal{A} \beta = \alpha$ , 右侧 $\mathcal{A} \alpha = 0$ , 因此 $\alpha = 0$

练习 5.14 经典幂等变换核像题 A, B 为 P 上线性空间中的幂等变换，证明：

(1) $\mathcal{A},\mathcal{B}$ 有相同的像当且仅当 $\mathcal{AB} = \mathcal{B},\mathcal{BA} = \mathcal{A}$

(2) $\mathcal{A},\mathcal{B}$ 有相同的核当且仅当 $\mathcal{AB} = \mathcal{A},\mathcal{BA} = \mathcal{B}$

证明 (1) 左推右: $\forall \alpha \in V$ 有 $\mathcal{B} \alpha = \in \operatorname{Im}(\mathcal{B})$ , 根据条件即 $\mathcal{B} \alpha \in \operatorname{Im} \mathcal{A}$ , 因此根据幂等变换投影的性质 ( $\mathcal{A}$ 不改变 $\operatorname{Im} \mathcal{A}$ 中的向量) 得到

$$
\mathcal {A} (\mathcal {B} \alpha) = \mathcal {B} \alpha \Rightarrow \mathcal {A B} = \mathcal {B}
$$

同理得到 $\mathcal{BA} = \mathcal{A}$

右推左： $\forall \gamma \in \operatorname{Im}(\mathcal{A})$ ，有 $\mathcal{A}\gamma = \gamma$ ，而 $\mathcal{B}\mathcal{A}\gamma = \mathcal{A}\gamma = \gamma$ ，因此 $\mathcal{B}\gamma = \gamma$ ，即 $\gamma \in \operatorname{Im}(\mathcal{B})$ ，另一侧同理

(2) 左推右：由于 $V = \operatorname{Im}(\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Ker}(\mathcal{A})$ ，因此 $\forall \alpha \in V$ 有

$$
\alpha = \alpha_ {1} + \alpha_ {2}, \alpha_ {1} \in \operatorname{Im} (\mathcal {A}), \alpha_ {2} \in \operatorname{Ker} \mathcal {A}
$$

$\alpha - \alpha_{1} \in \operatorname{Ker} \mathcal{A}$ ，因此 $\alpha - \alpha_{1} \in \operatorname{Ker} \mathcal{B}$ ，故 $\mathcal{B}(\alpha - \alpha_{1}) = 0$ ，即 $\mathcal{B} \alpha = \mathcal{B} \alpha_{1}$ 。而 $\mathcal{A} \alpha = \alpha_{1}$ ，得到

$$
(\mathcal {B A}) \alpha = \mathcal {B} \alpha_ {1} = \mathcal {B} \alpha
$$

因此得出 $\mathcal{BA} = \mathcal{B}$

右推左

## 5.2.4 一般线性变换的核像分解

## 定理 5.14 (线性变换核像空间分解)

假设 $\mathcal{A}$ 为线性空间 $V$ 中的线性变换， $\dim V = n$ ，则 $V$ 可进行如下分解：

$$
V = \operatorname{Ker} (\mathcal {A} ^ {n}) \oplus \operatorname{Im} (\mathcal {A} ^ {n})
$$

![](0c75a68015f2cdf632b969cf7c46095894a2cd05bcb7d257bbf03652b7bd42b8.jpg)

## 笔记 该结论在后续证明空间分解法中会用到

![](b7f542caab526a8bf3277323ee7deae5a41b0c8eeb8714d2af1c4ee924c40700.jpg)

## 5.3 线性变换

## 5.3.1 线性变换基本概念

## 定义 5.16 (线性变换)

$V$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上的线性空间， $\mathcal{A}$ 是 $V$ 到自身的线性映射，则称 $\mathcal{A}$ 是 $V$ 内的线性变换。 $V$ 内全体线性变换组成集合 $\operatorname{End}(V)$ 。

练习 5.15 线性变换基本练习 (1) 若 $T_{1}, \cdots, T_{m}$ 是 m 个不同的线性变换，证明存在 $\alpha \in V$ ，使得 $T_{1}\alpha, \cdots, T_{m}\alpha$ 互不相同

证明 (1) 令 $V_{ij} = \{x \in V : T_i x = T_j x\}$ ，则显然 $V_{ij}$ 是 $V$ 的子空间。因为 $T_1, \cdots, T_m$ 两两不同，故 $\forall T_i, T_j, \exists \beta$ 使得 $T_i \beta \neq T_j \beta$ ，从而 $V_{ij} \neq V$ 。设 $V_{ij}$ 中有 $s$ 个是零空间，则其余均为非平凡子空间，而根据线性空间习题 (和与交一节) 可知存在 $\alpha$ 不属于任一非平凡子空间，故 $\exists \alpha$ 不属于 $V_{ij}, \forall i, j$ ，因此 $T_1 \alpha, \cdots, T_m \alpha$ 两两不同。

## 定理 5.15 (线性变换的可逆性)

线性变换 T 可逆当且仅当

\- $T\epsilon_{1}, \cdots, T\epsilon_{n}$ 线性无关

\- $T$ 是单射

\- $T$ 是满射

证明 (1) 从矩阵角度看即可

(2) 左推右：若 $T\alpha_{1} = T\alpha_{2}$ ，则两侧作用 $T^{-1}$ 得到 $\alpha_{1} = \alpha_{2}$

右推左：下证 $T\epsilon_{1},\cdots,T\epsilon_{n}$ 线性无关，若 $k_{1}T\epsilon_{1}+\cdots+k_{n}T\epsilon_{n}=0$ ，则

$$
T (k _ {1} \epsilon_ {1} + \dots + k _ {n} \epsilon_ {n}) = 0
$$

由于 T 是单射，得到 $k_{1}\epsilon_{1}+\cdots+k_{n}\epsilon_{n}=0$ ，因此 $k_{1}=\cdots=k_{n}=0$ ，根据命题 (1) 知可逆

(3) 左推右：设 $T$ 可逆，则 $\forall \alpha \in V$ ，存在 $T^{-1}\alpha$ ，而 $\alpha = T(T^{-1}\alpha)$ ，因此是满射

右推左：由于满射，对任一一组基 $\eta_{1},\cdots,\eta_{n}$ ，总存在 $\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n}$ ，使得

$$
T \epsilon_ {1} = \eta_ {1}, \dots , T \epsilon_ {n} = \eta_ {n}
$$

下面证明 $\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n}$ 线性无关，设 $k_{1}\epsilon_{1}+\cdots+k_{n}\epsilon_{n}=0$ ，则

$$
T (k _ {1} \epsilon_ {1} + \dots + k _ {n} \epsilon_ {n}) = k _ {1} \eta_ {1} + \dots + k _ {n} \eta_ {n} = 0
$$

这说明 $k_{1}=\cdots=k_{n}=0$ ，因此可逆。

## 5.3.2 线性变换在基下的矩阵、变换后的坐标

## 定义 5.17 (线性变换的矩阵)

$\mathcal{A}$ 是 $V$ 内的线性变换， $V = L(\epsilon_1, \epsilon_2, \dots, \epsilon_n)$ ，若 $(\mathcal{A}(\epsilon_1), \dots, \mathcal{A}(\epsilon_n)) = (\epsilon_1, \dots, \epsilon_n)A$ ，则 $A$ 称为 $\mathcal{A}$ 在 $\epsilon_1, \dots, \epsilon_n$ 基下的矩阵。

笔记 计算线性变换在基下的矩阵：根据 $(\mathcal{A}\epsilon_{1},\cdots,\mathcal{A}\epsilon_{n})=(\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n})A$ 推出

$$
A = (\epsilon_ {1}, \dots , \epsilon_ {n}) ^ {- 1} (\mathcal {A} \epsilon_ {1}, \dots , \mathcal {A} \epsilon_ {n})
$$

可以用矩阵求逆方式求解。

练习5.16线性变换在基下的矩阵已知 $A = (a_{ij}),i,j = 1,2,3$ 是 $\mathcal{A}$ 在 $\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3$ 下的矩阵，计算

(1) $\mathcal{A}$ 在 $\epsilon_3, \epsilon_2, \epsilon_1$ 下的矩阵

(2) $\mathcal{A}$ 在 $\epsilon_1, k\epsilon_2, \epsilon_3$ 下的矩阵

(3) $\mathcal{A}$ 在 $\epsilon_1 + \epsilon_2, \epsilon_2, \epsilon_3$ 下的矩阵

解 根据 $T(\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3) = (\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3)A$ ，得到

$$
\left\{ \begin{array}{l} T \epsilon_ {1} = a _ {1 1} \epsilon_ {1} + a _ {2 1} \epsilon_ {2} + a _ {3 1} \epsilon_ {3} \\ T \epsilon_ {2} = a _ {1 2} \epsilon_ {1} + a _ {2 2} \epsilon_ {2} + a _ {3 2} \epsilon_ {3} \\ T \epsilon_ {3} = a _ {1 3} \epsilon_ {1} + a _ {2 3} \epsilon_ {2} + a _ {3 3} \epsilon_ {3} \end{array} \right.
$$

(1) 重新排列得到:

$$
\left\{ \begin{array}{l} T \epsilon_ {3} = a _ {3 3} \epsilon_ {3} + a _ {2 3} \epsilon_ {2} + a _ {1 3} \epsilon_ {1} \\ T \epsilon_ {2} = a _ {3 2} \epsilon_ {3} + a _ {2 2} \epsilon_ {2} + a _ {1 2} \epsilon_ {1} \\ T \epsilon_ {1} = a _ {3 1} \epsilon_ {3} + a _ {2 1} \epsilon_ {2} + a _ {1 1} \epsilon_ {1} \end{array} \right.
$$

得到矩阵为

$$
\left[ \begin{array}{l l l} a _ {3 3} & a _ {3 2} & a _ {3 1} \\ a _ {2 3} & a _ {2 2} & a _ {2 1} \\ a _ {1 3} & a _ {1 2} & a _ {1 1} \end{array} \right]
$$

(2)(3) 同理列开即可

练习 5.17 幂零变换的矩阵 T 是 n 维线性空间 V 上的线性变换， $T^{n-1} \neq O, T^n = O$ ，证明：T 在某组基下的矩阵为

$$
\left[ \begin{array}{c c c c c} 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \end{array} \right]
$$

证明 首先 $\alpha, T\alpha, \cdots, T^{n-1}\alpha$ 均线性无关，因此它们是 V 的一组基，T 在这组基下的矩阵即目标。

## 定理 5.16 (线性变换后的坐标)

若 $\alpha$ 在 $(\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n})$ 基下的坐标为 X，则 $A\alpha$ 在这组基下的坐标为 AX。

证明 $\mathcal{A}\alpha=\mathcal{A}(x_{1}\epsilon_{1}+\cdots+x_{n}\epsilon_{n})=\mathcal{A}(\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n})X=(\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n})AX,$

## 5.3.3 线性变换在不同基下的矩阵：相似关系

## 定理 5.17 (线性变换在不同基下的矩阵)

$\epsilon_{i},\eta_{i}(i=1,\cdots,n)$ 是 V 两组基，且 $(\eta_{1},\cdots,\eta_{n})=(\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n})T$ 。若 A 在 $\epsilon_{i},\eta_{i}$ 基下的矩阵分别为 A,B，则有 $B=T^{-1}AT$ 。

证明 由线性变换矩阵定义， $\mathcal{A}(\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n})=(\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n})A,\mathcal{A}(\eta_{1},\cdots,\eta_{n})=(\eta_{1},\cdots,\eta_{n})B$ 。而 $\mathcal{A}(\eta_{1},\cdots,\eta_{n})=\mathcal{A}(\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n})T=(\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n})AT$ ，且 $\mathcal{A}(\eta_{1},\cdots,\eta_{n})=(\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n})TB$ 上面两式取等号即可。

笔记 记忆时根据 $(\eta_{1},\cdots,\eta_{n})=(\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n})T$ ，将 $\eta,\epsilon$ 基直接换成对应的矩阵 B,A，有 T 的一边添上 $T^{-1}$ 即可，即 $B=T^{-1}AT$

练习 5.18 线性变换在不同基下的矩阵 给定下述两组基，线性变换 T 满足 $T \epsilon_{i} = \eta_{i}$ ,

$$
\left\{ \begin{array}{l} \epsilon_ {1} = (1, 0, 1) ^ {T}, \epsilon_ {2} = (2, 1, 0) ^ {T}, \epsilon_ {3} = (1, 1, 1) ^ {T} \\ \eta_ {1} = (1, 2, - 1) ^ {T}, \eta_ {2} = (2, 2, - 1) ^ {T}, \eta_ {3} = (2, - 1, - 1) ^ {T} \end{array} \right.
$$

(1) 写出 $\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \epsilon_{3}$ 到 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 的过渡矩阵

(2) 写出 $T$ 在 $\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3$ 下的矩阵

(3) 写出 $T$ 在 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 下的矩阵

解 (1) $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 下的矩阵为

$$
(\eta_ {1}, \eta_ {2}, \eta_ {3}) =
$$

## 定理 5.18 (线性变换构造的等价类)

矩阵 $A, B$ 相似的充要条件为它们是一个线性变换在两组基下的矩阵。

## 5.3.4 相似矩阵的性质

## 定理 5.19 (相似矩阵的基本性质)

$K$ 上矩阵 $A, B$ 相似，且满足 $B = P^{-1}AP$ ，则

• $r(A) = r(B)$

• $A^{m} \sim B^{m}$

\- $f(x)$ 为多项式，则 $f(A) \sim f(B)$

若 $A_{1} \sim B_{1}, A_{2} \sim B_{2}$ ，不一定有 $A_{1} + A_{2} \sim B_{1} + B_{2}$ ，要求过渡矩阵相同才行

证明 (1) $r(A)=r(B)$ ：因为 $B=P^{-1}AP$ ，而 P 满秩，等价于一系列初等变换，故不改变秩。

## 5.4 特征值、相似对角化

## 5.4.1 特征值与特征向量

## 定义 5.18 (特征值与特征向量)

$\mathcal{A}$ 是数域 $\mathbb{P}$ 上线性空间 $V$ 内的一个线性变换，若对于 $\lambda \in \mathbb{P}$ ， $\exists \xi \neq 0$ ，使得 $\mathcal{A}\xi = \lambda \xi$ ，则称 $\lambda$ 是 $\mathcal{A}$ 的一个特征值， $\xi$ 是 $\mathcal{A}$ 属于 $\lambda$ 的特征向量。

## 定义 5.19 (特征子空间)

对于 $\lambda\in P$ ，定义其特征子空间为所有满足 $A\xi=\lambda\xi$ 的特征向量 $\xi$ 所组成的集合 $V_{\lambda}$ 。

## 引理 5.1 (特征子空间的性质)

特征子空间 $V_{\lambda}$ 有如下性质：

\- $V_{\lambda}$ 是 $V$ 的子空间。

\- 对于 $\lambda \in \mathbb{P}$ , $V_{\lambda} \neq \{\mathbf{0}\}$ 的充要条件为 $|\lambda E - A| = 0$ , 其中 $A$ 是 $\mathcal{A}$ 在任意基下的矩阵。

证明 (1) 只需要证明 $V_{\lambda}$ 对 $V$ 内的数乘和加法封闭即可。

(2) 对于 $\lambda \alpha = \mathcal{A}\alpha$ ，可以取 $V$ 一组基，若 $\alpha$ 在这组基下的坐标为 $X$ 。则等价于求解 $\lambda X = AX$ ，其中 $A$ 是 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵。等价于求解 $(\lambda E - A)X = 0$ ，而线性方程组有非零解的充要条件为系数矩阵行列式非零。

## 定义 5.20 (特征多项式)

对于 P 上的矩阵 A，特征多项式定义为 $f(\lambda) = |\lambda E - A|$ 。

## 定理 5.20 (相似矩阵的特征多项式)

相似矩阵有相同特征多项式。即对于同一个线性变换，特征多项式是不变的。

证明 若 $B = T^{-1}AT$ ，则 $|\lambda E - B| = |\lambda E - T^{-1}AT| = |T^{-1}||\lambda E - A||T| = |\lambda E - A|$ 。

## 定理 5.21 (特征值基本性质)

$\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}$ 是矩阵 A 的特征值。则 $\sum\lambda_{i}=\mathrm{tr}(A),\quad\prod\lambda_{i}=|A|$

证明 用行列式展开与韦达定理证明。

练习 5.19 特征值与特征向量的基本练习 (1) $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是 T 两个不同的特征值， $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 分别是对应的特征向量，证明： $\alpha_{1} + \alpha_{2}$ 不是 T 的特征向量

(2) $T$ 是可逆线性变换，若 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值，则 $\lambda^{-1}$ 是 $T^{-1}$ 的特征值证明 (1) $T\alpha_{1} = \lambda_{1}\alpha_{1}, T\alpha_{2} = \lambda_{2}\alpha_{2}$ ，因此

$$
T (\alpha_ {1} + \alpha_ {2}) = \lambda_ {1} \alpha_ {1} + \lambda_ {2} \alpha_ {2}
$$

若 $\alpha_{1} + \alpha_{2}$ 是特征向量， $\lambda$ 是特征值，则 $T(\alpha_{1} + \alpha_{2}) = \lambda (\alpha_{1} + \alpha_{2})$ ，得到

$$
(\lambda - \lambda_ {1}) \alpha_ {1} + (\lambda - \lambda_ {2}) \alpha_ {2} = 0
$$

因此 $\lambda - \lambda_{1} = \lambda - \lambda_{2} = 0$ ，这与假设矛盾。

(2) 由于 $T\alpha = \lambda \alpha$ ，因此 $\alpha = \lambda T^{-1}(\alpha)$ ，即 $T^{-1}(\alpha) = \lambda^{-1}\alpha$ ，因此 $\lambda^{-1}$ 是 $T^{-1}$ 的特征值

## 5.4.2 特征值与特征向量进一步结论

## 定理 5.22 (AB 与 BA 的特征值)

$V, V'$ 是 K 上的线性空间， $\mathcal{A} \in \mathrm{Hom}(V, V')$ ， $\mathcal{B} \in \mathrm{Hom}(V', V)$ （矩阵同理），则
- AB 与 BA 有相同非零特征值

\- 若 $\xi$ 是 $AB$ 属于 $\lambda_0$ 的特征向量，则 $B\xi$ 是 $BA$ 属于 $\lambda_0$ 的一个特征向量

证明 设 $\lambda_{0}$ 是 AB 非零特征值， $\exists\xi\in V^{\prime}$ 使得 $(\mathcal{AB})\xi=\lambda_{0}\xi$ ，两侧同时作用 B 得到：

$$
\mathcal {B} (\mathcal {A B}) \xi = \mathcal {B} (\lambda_ {0} \xi) \Rightarrow (\mathcal {B A}) (\mathcal {B} \xi) = \lambda_ {0} (\mathcal {B} \xi)
$$

## 定理 5.23 (Sylvester 公式)

$A_{m\times n},B_{n\times m}$ ， $f_{AB}(\lambda),f_{BA}(\lambda)$ 是 $AB,BA$ 的特征多项式，则

$$
\lambda^ {n} f _ {A B} (\lambda) = \lambda^ {m} f _ {B A} (\lambda)
$$

证明 证明：设 $\lambda \neq 0$ ，根据

$$
\left[ \begin{array}{c c} E _ {n} & 0 \\ - A & E _ {m} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c} E _ {n} & \frac {1}{\lambda} B \\ A & E _ {m} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} E _ {n} & \frac {1}{\lambda} B \\ O & E _ {m} - \frac {1}{\lambda} A B \end{array} \right] \Rightarrow | H | = \left| \begin{array}{c c} E _ {n} & \frac {1}{\lambda} B \\ O & E _ {m} - \frac {1}{\lambda} A B \end{array} \right| = \left(\frac {1}{\lambda}\right) ^ {m} | \lambda E _ {m} - A B |
$$

同理根据

$$
\left[ \begin{array}{c c} E _ {n} & \frac {1}{\lambda} B \\ A & E _ {m} \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c c} E _ {n} & 0 \\ - A & E _ {m} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c c} E _ {n} - \frac {1}{\lambda} A B & \frac {1}{\lambda} B \\ 0 & E _ {m} \end{array} \right] \Rightarrow | H | = \left(\frac {1}{\lambda}\right) ^ {n} | \lambda E _ {n} - B A |
$$

根据 $|H|$ 的值即可推出结论。

练习5.20相关结论(1) $A, B$ 是两个 $n$ 阶方阵，证明： $AB + A$ 和 $BA + A$ 有相同的特征多项式

(2) 计算下面矩阵 $C$ 的特征值

$$
C = \left[ \begin{array}{c c c c} a _ {1} b _ {1} & a _ {1} b _ {2} & \dots & a _ {1} b _ {n} \\ a _ {2} b _ {1} & a _ {2} b _ {2} & \dots & a _ {2} b _ {n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a _ {n} b _ {1} & a _ {n} b _ {2} & \dots & a _ {n} b _ {n} \end{array} \right]
$$

(3) 特例：已知 $A = (a_{1}, \cdots, a_{n})$ ，证明 $A^{T}A$ 的特征值为 0 和 $a_{1}^{2} + \cdots + a_{n}^{2}$ ，这里 0 是 n - 1 重根证明 (1) 由于 $AB + A = A(B + E)$ ， $BA + A = (B + E)A$ ，因此根据前面定理可知。

(2) 令 $A = (a_{1}, \cdots, a_{n})^{T}$ , $B = (b_{1}, \cdots, b_{n})$ , 则 $C = AB$ , 而 $BA = \sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}$ 为一阶矩阵, 其特征值为 $\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}$ , $AB$ 和 $BA$ 特征多项式相差 $\lambda^{n-1}$ , 因此 $C = AB$ 的特征多项式为

$$
\lambda^ {n - 1} (\lambda - \sum_ {i = 1} ^ {n} a _ {i} b _ {i})
$$

(3) 即 (2) 的特例

## 定理 5.24 (可逆的特征值表达)

$n$ 阶方阵 $A$ 可逆当且仅当 $A$ 的特征值全不为0

证明 用 $\left|A\right|=\lambda_{1}\cdots\lambda_{n}$ 即可

## 定理 5.25 (逆矩阵的特征值)

n 阶可逆矩阵 A 的特征值为 $\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}$ ，则 $A^{-1}$ 的全部特征值为 $\lambda_{1}^{-1},\cdots,\lambda_{n}^{-1}$

证明 用 A 相似于 Jordan 阵 J， $J^{-1}$ 为上三角且对角为 $\lambda_{1}^{-1},\cdots,\lambda_{n}^{-1}$ ，因此 $A^{-1}$ 的特征值也为 $\lambda_{1}^{-1},\cdots,\lambda_{n}^{-1}$

## 5.4.3 相似的进一步研究

## 定理 5.26 (相似的矩阵分解)

$A, B$ 相似当且仅当存在方阵 $P, Q$ ，使得

$$
A = P Q, B = Q P
$$

这里 $P, Q$ 至少有一个可逆

证明 由于 $A, B$ 相似，故存在可逆 $P$ 使得 $P^{-1}AP = B$ ，令 $Q = P^{-1}A$ ，则得到 $A = PQ, B = QP$

## 定理 5.27 (一些相似结论)

$A, B$ 为 $n$ 阶方阵，则

\- $AB$ 与 $BA$ : 若方阵 $A$ 可逆, 则 $AB$ 与 $BA$ 相似

\- $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ : 若 $A, B$ 可逆, 则 $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似

\- 多项式：任一多项式 $f(x)$ ，有 $f(A), f(B)$ 相似

\- 伴随矩阵：若 $A, B$ 相似，则 $A^{*}$ 与 $B^{*}$ 相似

证明 (1) $BA = (A^{-1}A)(BA) = A^{-1}(AB)A$

(2) $(P^{-1}AP)^{-1} = B^{-1}$ , 得到 $P^{-1}A^{-1}P = B^{-1}$

(3) 显然

$$
(4) B ^ {*} = (P ^ {- 1} A P) ^ {*} = P ^ {*} A ^ {*} (P ^ {- 1}) ^ {*} = P ^ {*} A ^ {*} (P ^ {*}) ^ {- 1}
$$

## 推论5.2(伴随矩阵的特征值)

若矩阵 A 的特征值为 $\lambda_{1},\cdots,\lambda_{m}$ ，则 $A^{*}$ 的特征值为 $\prod_{i\neq j}\lambda_{i}$

证明 考虑 $A$ 在 $\mathbb{C}$ 上相似于 Jordan 阵 $J$ ，而 $J^{*}$ 的特征值易算，相似时特征值不变，因此可算出 $A^{*}$ 的特征值。

## 5.4.4 相似对角化

## 定义 5.21 (相似对角化)

$\mathcal{A}$ 是 $V$ 内的线性变换，如果存在 $V$ 的一组基使得 $\mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为对角阵，则称 $\mathcal{A}$ 可对角化。

定义 5.22 (代数重数、几何重数)

代数重数指特征值 $\lambda_{i}$ 在特征多项式 $f(\lambda)$ 中的重数。几何重数指 $\lambda_{i}$ 对应特征子空间的维数。

## 引理 5.2 (代数重数与几何重数关系)

对每个特征值 $\lambda_{i}$ ，其代数重数大于等于几何重数。

## 引理 5.3 (不同特征值的特征向量)

A 属于不同特征值的特征向量线性无关。

证明 设 $\lambda_{1},\cdots,\lambda_{s}$ 是 A 的 s 个不同的特征值，对应特征向量 $\xi_{1},\cdots,\xi_{s}$ 。用归纳法，假设 $\xi_{1},\cdots,\xi_{k-1}$ 线性无关，若

$$
c _ {1} \xi_ {1} + \dots + c _ {k} \xi_ {k} = 0\tag{5.1}
$$

两侧作用 A 得到 $c_{1}\lambda_{1}\xi_{1}+\cdots+c_{k}\lambda_{k}\xi_{k}=0$ ，用该式子减去 $\lambda_{k}$ 倍的 (5.1) 得到

$$
c _ {1} \left(\lambda_ {1} - \lambda_ {k}\right) \xi_ {1} + \dots + c _ {k - 1} \left(\lambda_ {k - 1} - \lambda_ {k}\right) \xi_ {k - 1} = 0
$$

由于 $\lambda_{i}$ 两两不相等，因此 $c_{1}=\cdots=c_{k-1}=0$ ，即特征向量彼此线性无关。

## 定理 5.28 (可对角化条件)

若 V 是 n 维线性空间，则 A 可对角化的条件按照递进关系如下排列：

\- 充要条件 1: $\mathcal{A}$ 有 $n$ 个线性无关特征向量。

\- 充分条件：若 $\mathcal{A}$ 有 $n$ 个不同特征值，则 $\mathcal{A}$ 可对角化

\- 充要条件2： $V$ 是所有特征子空间的直和 $V = \bigoplus_{i=1}^{m} V_i$ (特征子空间维数可能没有 $\lambda_i$ 重数高)

\- 充要条件3：所有特征值的代数重数等于几何重数

\- 充要条件4： $\dim V = \sum_{i=1}^{m} \dim(V_i)$

\- 充要条件 5(最小多项式): 最小多项式都是一次幂的乘积

证明 (1) 左推右：由对角化形式，右侧乘开 $n$ 个基向量均是特征向量，显然基向量都线性无关。

$$
(A \eta_ {1}, A \eta_ {2}, \dots , A \eta_ {n}) = (\eta_ {1}, \eta_ {2}, \dots , \eta_ {n}) \left[ \begin{array}{c c c} \lambda_ {1} & & \\ & \lambda_ {2} & \\ & \ddots & \lambda_ {n} \end{array} \right]
$$

右推左：n 个线性无关特征向量当一组基即可。

(2) 根据引理5.3可知

后面三个都根据第一个可以推出

练习5.21对角化计算(1)计算 $A = \left( \begin{array}{ll}3 & 4\\ 5 & 2 \end{array} \right)$ 的特征值，并计算 $Q$ 使得 $Q^{-1}AQ$ 是对角矩阵

## 定理 5.29 (相关矩阵的可对角化性质)

若矩阵 $A$ 可对角化，则

1. $A^{*}$ 可对角化

2. $f(x)$ 为多项式，则 $f(A)$ 可对角化

3. 若 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 可对角化

证明 (1) 设 $P^{-1}AP = \text{diag}\{\lambda_1, \cdots, \lambda_n\}$ ，两侧取伴随得到 $P^*A^*(P^*)^{-1} = P^{-1}A^*P = \text{diag}\{\prod_{i \neq 1} \lambda_i, \prod_{i \neq 2} \lambda_i, \cdots, \prod_{i \neq n} \lambda_i\}$ 。其中伴随转逆用了 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$

(2,3) 显然

## 5.4.5 相似上三角型

## 定理 5.30 (相似上三角型)

任意 n 阶矩阵 A 都相似于一个上三角矩阵，且上三角对角为 A 的特征值。

证明 n=1 时显然成立。假设 n-1 时成立，则取 $x_{1}$ 为 A 对应 $\lambda_{1}$ 的特征向量，构造矩阵 $P_{1}=[x_{1},\cdots,x_{n}](x_{2}\sim x_{n})$ 无要求)，可以得到：

$$
A P _ {1} = (x _ {1}, \dots , x _ {n}) \left[ \begin{array}{c c c c} \lambda_ {1} & b _ {1 2} & \dots & b _ {1 n} \\ 0 & b _ {2 2} & \dots & b _ {2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & b _ {n 1} & \dots & b _ {n n} \end{array} \right] \Rightarrow P _ {1} ^ {- 1} A P _ {1} = \left[ \begin{array}{c c c c} \lambda_ {1} & b _ {1 2} & \dots & b _ {1 n} \\ 0 & b _ {2 2} & \dots & b _ {2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & b _ {n 1} & \dots & b _ {n n} \end{array} \right]. = \left[ \begin{array}{c c} \lambda_ {1} & * \\ 0 & A _ {1} \end{array} \right]
$$

根据归纳假设可知对 $A_{1}$ 有可逆矩阵 Q 使得 $Q^{-1}A_{1}Q$ 为上三角且对角为特征值，取 $P_{2}=\left[\begin{array}{cc}1 & \mathbf{0}^{T}\\ \mathbf{0} & Q\end{array}\right]$ ，取 S=P₁P₂， $S^{-1}AS$ 即所求上三角

## 5.5 最小多项式

## 5.5.1 最小多项式与基本性质

## 定义 5.23 (零化多项式与最小多项式)

$A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵， $g(x)$ 是 $K$ 上的多项式，

\- 零化多项式：若 $g(A) = 0$ ，则称 $g(x)$ 是 $A$ 的一个零化多项式。

\- 最小多项式：将 $A$ 的次数最低首一零化多项式称为 $A$ 的最小多项式

## 定理 5.31 (最小多项式的性质)

最小多项式有以下性质：

\- 唯一性：最小多项式是唯一的

\- 整除性：最小多项式整除任意零化多项式

\- 分块对角： $A = \text{diag}\{A_1, \cdots, A_s\}$ ，则 $m_A(\lambda) = [m_1(\lambda), \cdots, m_s(\lambda)]$ (最小公倍数)

相似：相似矩阵有相同最小多项式

证明 (1) 假设有两个不同最小多项式 $m_{1}(\lambda), m_{2}(\lambda)$ ，则令 $h(\lambda) = m_{1}(\lambda) - m_{2}(\lambda)$ ，有 $h(A) = m_{1}(A) - m_{2}(A) = 0$ ，显然 $h(\lambda)$ 是最小多项式，矛盾。

(2) 对任意零化多项式 $f(x)$ ，其可以表示为 $f(x) = q(x)m(x) + r(x)$ ，代入 $x = A$ 得到 $r(A) = 0$ ，其只能为 $r(x) = 0$ ，否则与最小多项式矛盾，因此整除。

(3) 由于 $m(A)=\mathrm{diag}\{m(A_{1}),\cdots,m(A_{s})\}$ ，最大公因式即可满足所有分块均为 0。

(4) 若 $B = P^{-1}AP$ ，则 $f(B) = f(P^{-1}AP) = P^{-1}f(A)P$ ，因此可知最小多项式相同。

## 5.5.2 Hamilton-Cayley 定理

## 定理 5.32 (Hamilton-Cayley 定理)

$A$ 是 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵， $f(\lambda) = |\lambda E - A|$ 即 $A$ 的特征多项式，则 $f(x)$ 是 $A$ 的零化多项式。

证明 设 $B(\lambda)$ 是 $\lambda E - A$ 的伴随矩阵，则 $B(\lambda)(\lambda E - A) = f(\lambda)E$ ，由于 $B(\lambda)$ 元素含 $1 \sim \lambda^{n-1}$ ，因此可以写为 $B(\lambda) = \lambda^{n-1}B_{0} + \cdots + B_{n-1}$ ，从而得到：

$$
B (\lambda) (\lambda E - A) = \lambda^ {n} B _ {0} + \lambda^ {n - 1} (B _ {1} - B _ {0} A) + \dots + \lambda (B _ {n - 1} - B _ {n - 2} A) - B _ {n - 1} A
$$

根据 $B(\lambda)(\lambda E - A) = f(\lambda)E = \lambda^{n}E + a_{1}\lambda^{n-1}E + \cdots + a_{n-1}\lambda E + a_{n}E$ 进行比较得到：

$$
\left\{ \begin{array}{l} B _ {0} = E \\ B _ {1} - B _ {0} A = a _ {1} E \\ \vdots \\ B _ {n - 1} - B _ {n - 2} A = a _ {n - 1} E \\ - B _ {n - 1} A = a _ {n} E \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} B _ {0} A ^ {n} = A ^ {n} \\ B _ {1} A ^ {n - 1} - B _ {0} A ^ {n} = a _ {1} A ^ {n - 1} \\ \vdots \\ B _ {n - 1} A - B _ {n - 2} A ^ {2} = a _ {n - 2} A \\ - B _ {n - 1} A = a _ {n} E \end{array} \right.
$$

两端分别相加，左侧为 0，因此右侧为 0

证明 使用 Jordan 阵证明：分块看，显然每个 $\lambda_{i}$ 对应的块的阶数小于 $\lambda_{i}$ 的代数重数，每个分块都是零，因此是零化多项式。

## 推论 5.3 (Hamilton-Cayley 定理推论)

Hamilton-Cayley 定理有以下推论:

\- 最小多项式与特征多项式同根(重数可以不同)。

## 5.5.3 最小多项式与相似对角化

定理 5.33 (最小多项式与相似对角化)

$\mathbb{P}$ 上的 $n$ 阶矩阵 $A$ 可对角化当且仅当 $A$ 的最小多项式在 $\mathbb{P}$ 上可分解为互素一次因子乘积。

练习 5.22 最小多项式判断可对角化 (1) 幂等矩阵一定可对角化

(2) 对合矩阵 $A^2 = E$ 一定可对角化

(3) 幂零矩阵 $A^l = O$ 不一定可对角化

证明 (1) $A(A-E)=O$ ，一定为一次因子

(2) $(A + E)(A - E) = O$ ，一定可对角化

(3) 例如 Jordan 块

> [!proof]- 证明状态
> 本笔记含数学结论；已保留原文。未给出证明的结论将在后续按定义、引理和推导链补证。


## 批次证明补全

> [!proof]- 证明说明
> 本章中的定理、命题与公式将按照定义、引理、定理、推论的顺序补全证明。当前保留原有结论、公式编号和上下文；对于原文未提供证明的条目，后续证明只使用本章已声明的假设和前置结果。