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章节: 8
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# 第8章 内积空间

## 8.1 Euclid 空间

## 8.1.1 Euclid 空间与正交

## 定义 8.1 (欧式空间)

$V$ 是 $\mathbb{R}$ 上线性空间，定义内积 $(\alpha, \beta)$ 满足：

\- 线性性： $(k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2}, \beta) = k_{1}(\alpha_{1}, \beta) + k_{2}(\alpha_{2}, \beta)$

\- 对称性： $(\alpha ,\beta) = (\alpha ,\beta)$

\- 正定性： $(\alpha, \alpha) = 0$ 当且仅当 $\alpha = 0$

## 定义 8.2 (度量矩阵)

给定 Euclid 空间 V 的一组基 $\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n}$ ，则定义这组基对应的度量矩阵为

$$
A = \left[ \begin{array}{c c c c} (\epsilon_ {1}, \epsilon_ {1}) & (\epsilon_ {1}, \epsilon_ {2}) & \dots & (\epsilon_ {1}, \epsilon_ {n}) \\ (\epsilon_ {2}, \epsilon_ {1}) & (\epsilon_ {2}, \epsilon_ {2}) & \dots & (\epsilon_ {2}, \epsilon_ {n}) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ (\epsilon_ {n}, \epsilon_ {1}) & (\epsilon_ {n}, \epsilon_ {2}) & \dots & (\epsilon_ {n}, \epsilon_ {n}) \end{array} \right]
$$

## 定理 8.1 (内积的度量矩阵表示)

若 Euclid 空间中的向量 $\alpha, \beta$ 在基 $(\epsilon_{1}, \cdots, \epsilon_{n})$ 中的坐标分别为 X, Y, $(\epsilon_{1}, \cdots, \epsilon_{n})$ 对应的度量矩阵为 A，则

$$
(\alpha , \beta) = X ^ {T} A Y
$$

练习 8.1 度量矩阵 已知 Euclid 空间 V 的一组基为:

$$
\epsilon_ {1} = e _ {1} + e _ {2}, \epsilon_ {2} = e _ {1} + e _ {3}, \epsilon_ {3} = e _ {4} - e _ {1}, \epsilon_ {4} = e _ {1} - e _ {2} - e _ {3} + e _ {4}
$$

向量 $\alpha,\beta$ 在 $(\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{4})$ 下的坐标分别为 $(1,2,3,4)^{T},(2,0,1,0)^{T}$ ，计算 $(\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{4})$ 的度量矩阵 A，以及 $(\alpha,\beta)$ 解 把 $\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{4}$ 看成 $R^{n}$ 中的坐标：

$$
\left\{ \begin{array}{l} \epsilon_ {1} = (1, 1, 0, 0) \\ \epsilon_ {2} = (1, 0, 1, 0) \\ \epsilon_ {3} = (- 1, 0, 0, 1) \\ \epsilon_ {4} = (1, - 1, - 1, 1) \end{array} \right.
$$

因此根据向量的坐标内积公式可以得到度量矩阵为：

$$
A = \left[ \begin{array}{r r r r} 2 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & - 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array} \right], (\alpha , \beta) = 5
$$

## 定理 8.2 (正交向量线性无关)

若 Eulid 空间 V 中的向量 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s}$ 彼此正交，则它们线性无关。

证明 不妨设 $c_{1}\alpha_{1}+\cdots+c_{s}\alpha_{s}=0$ ，则两侧与 $\alpha_{i}$ 做内积得到：

$$
\left(c _ {1} \alpha_ {1} + \dots + c _ {s} \alpha_ {s}, \alpha_ {i}\right) = (0, \alpha_ {i}) = 0
$$

根据正交定义可知左侧等于 $c_{i}(\alpha_{i},\alpha_{i})$ ，而 $(\alpha_{i},\alpha_{i})\neq 0$ ，因此 $c_{i} = 0$ ，根据 $i$ 的任意性可知线性无关。

## 8.1.2 标准正交基

## 一、标准正交基的概念与存在性

## 定义 8.3 (标准正交基)

将 $n$ 维Eulid空间中 $n$ 个两两正交的单位向量称为标准正交基

## 二、标准正交基之间的过渡矩阵

## 定理 8.3 (标准正交基的过渡矩阵)

$\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n}$ 是 n 维 Euclid 空间 V 的一组基，若 $\eta_{1},\cdots,\eta_{n}$ 下述等式，则 $\eta_{1},\cdots,\eta_{n}$ 是标准正交基当且仅当 T 是正交矩阵。

$$
(\eta_ {1}, \dots , \eta_ {n}) = (\epsilon_ {1}, \dots , \epsilon_ {n}) T
$$

## 三、标准正交基的计算：Schmidt 正交化

## 定理 8.4 (Schmidt 正交化)

给定一组线性无关的向量 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s}$ ，要求做出一组相互正交的向量 (单位化单独进行) $\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{s}$ ，可以按照以下步骤：

$$
\epsilon_ {1} = \alpha_ {1}
$$

$$
\epsilon_ {2} = \alpha_ {2} - \frac {\left(\alpha_ {2} , \epsilon_ {1}\right)}{\left(\epsilon_ {1} , \epsilon_ {1}\right)} \epsilon_ {1}
$$

$$
\epsilon_ {s} = \alpha_ {s} - \sum_ {i = 1} ^ {s - 1} \frac {(\alpha_ {s} , \epsilon_ {i})}{(\epsilon_ {i} , \epsilon_ {i})} \epsilon_ {i}
$$

练习 8.2Schmidt 正交化 已知 $\epsilon_{1}=(1,2,-1)^{T},\epsilon_{2}=(-1,3,1)^{T},\epsilon_{3}=(4,-1,0)^{T}$ ，用 Schmidt 正交化将其化为标准正交基

解 最终结果为 $\eta_{1} = \frac{1}{\sqrt{6}} (1,2, - 1)^{T},\eta_{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} (-1,1,1)^{T},\eta_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,0,1)^{T}$

## 定理 8.5 (QR 分解)

证明 假设原本的矩阵 A 的列向量为 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}$ ，经过 Schmidt 正交化后得到 $\beta_{1},\cdots,\beta_{n}$ ，则满足：

$$
\left\{ \begin{array}{l} \alpha_ {1} = \beta_ {1} \\ \alpha_ {2} = a _ {1 2} \beta_ {1} + \beta_ {2} \\ \quad \vdots \\ \alpha_ {n} = a _ {1 n} \beta_ {1} + a _ {2 n} \beta_ {2} + \dots + \beta_ {n} \end{array} \right.
$$

再将 $\beta$ 进行单位化得到 $\eta_{i} = \frac{\beta_{i}}{|\beta_{i}|}$ ，此时写为

$$
(\alpha_ {1}, \dots , \alpha_ {n}) = (\eta_ {1}, \dots , \eta_ {n}) \left( \begin{array}{c c c c} b _ {1 1} & b _ {1 2} & \dots & b _ {1 n} \\ & b _ {2 2} & \dots & b _ {2 n} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & b _ {n n} \end{array} \right)
$$

此时对角 $b_{11}=|\beta_{1}|\cdots,b_{nn}=|\beta_{n}|$ ，而 $(\eta_{1},\cdots,\eta_{n})$ 是标准正交基。因此是正交矩阵乘上三角阵

练习 8.3QR 分解 将下面的矩阵 A 分解为正交矩阵 T 与对角都是正数的上三角矩阵 B 的乘积

$$
A = \left[ \begin{array}{l l l} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{array} \right]
$$

解 先进行 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 正交化到 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ :

$$
\left\{ \begin{array}{l} \beta_ {1} = \alpha_ {1} = (1, 1, 1) ^ {T}, | \beta_ {1} | = \sqrt {3} \\ \beta_ {2} = \alpha_ {2} - \frac {3}{3} (1, 1, 1) ^ {T} = (0, - 1, 1) ^ {T}, | \beta_ {2} | = \sqrt {2} \\ \beta_ {3} = \alpha_ {3} + \frac {1}{2} \beta_ {2} - \frac {2}{3} \beta_ {1} = (\frac {1}{3}, - \frac {1}{6}, - \frac {1}{6}), | \beta_ {3} | = \sqrt {\frac {1}{6}} \end{array} \right.
$$

进行单位化得到

$$
\left\{ \begin{array}{l} \eta_ {1} = (\frac {\sqrt {3}}{3}, \frac {\sqrt {3}}{3}, \frac {\sqrt {3}}{3}) \\ \eta_ {2} = (0, - \frac {\sqrt {2}}{2}, \frac {\sqrt {2}}{2}) \\ \eta_ {3} = (\frac {\sqrt {6}}{3}, - \frac {\sqrt {6}}{6}, - \frac {\sqrt {6}}{6}) \end{array} \right.
$$

反向得到

$$
\left\{ \begin{array}{l} \alpha_ {1} = \beta_ {1} \\ \alpha_ {2} = \beta_ {1} + \beta_ {2} \\ \alpha_ {3} = \frac {2}{3} \beta_ {1} - \frac {1}{2} \beta_ {2} + \beta_ {3} \end{array} \right.
$$

因此

$$
(\alpha_ {1}, \alpha_ {2}, \alpha_ {3}) = (\beta_ {1}, \beta_ {2}, \beta_ {3}) \left( \begin{array}{c c c} 1 & 1 & \frac {2}{3} \\ 0 & 1 & - \frac {1}{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) = (\eta_ {1}, \eta_ {2}, \eta_ {3}) \left( \begin{array}{c c c} | \beta_ {1} | & & \\ & | \beta_ {2} | & \\ & & | \beta_ {3} | \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c c} 1 & 1 & \frac {2}{3} \\ 0 & 1 & - \frac {1}{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
$$

## 8.1.3 正交和与正交补

## 定义 8.4 (正交和、正交补)

$V_{1},\cdots,V_{s}$ 为一列子空间，若 $\forall i,j$ 有 $V_{i}\perp V_{j}$ ，则称 $V_{1}+\cdots+V_{s}$ 为正交和。若 $V=V_{1}+V_{2}$ 且为正交和，则 $V_{1},V_{2}$ 互为正交补。

## 定理 8.6 (正交和必为直和)

若 $V_{1} + \cdots + V_{s}$ 为正交和，则其必为直和。

证明 设 $0 = \alpha_{1} + \cdots + \alpha_{s}$ ，两侧与 $\alpha_{i}$ 做内积可知

$$
0 = (\alpha_ {i}, \alpha_ {i})
$$

因此 $\alpha_{i}=0$ ，故零元素分解唯一，为直和。

## 定理 8.7 (正交补的唯一性)

Euclid 空间 V 的任一子空间 $V_{1}$ 有唯一的正交补 $W^{\perp}$

证明 $V_{1}=\{0\}$ 时，即 $V_{1}^{\perp}=V$ 。否则设 $V_{1}=L(\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{s})$ 为标准正交基，将其扩充为 V 的标准正交基：

$$
V = L \left(\epsilon_ {1}, \dots , \epsilon_ {n}\right)
$$

则 $V_{1}^{\perp}=L(\epsilon_{s+1},\cdots,\epsilon_{n})$ 为正交补

唯一性: 若 $V_{1}$ 有正交补 $V_{2}, V_{3}$ ，则 $\forall \alpha \in V_{2} \subset V_{1} \oplus V_{3}, \exists \alpha_{1} \in V_{1}, \alpha_{3} \in V_{3}$ 使得 $\alpha = \alpha_{1} + \alpha_{3}$ ，而 $\alpha \perp \alpha_{1}, \alpha_{1} \perp \alpha_{3}$ ，因此

$$
0 = (\alpha , \alpha_ {1}) = (\alpha_ {1}, \alpha_ {1}) + (\alpha_ {3}, \alpha_ {1}) = (\alpha_ {1}, \alpha_ {1})
$$

即 $\alpha_{1} = 0, \alpha = \alpha_{3} \in V_{3}$ ，得到 $V_{2} \subseteq V_{3}, V_{3} \subseteq V_{2}$ ，因此 $V_{2} = V_{3}$

## 定理 8.8 (正交补的具体表达式)

$V_{1}$ 是线性空间 $V$ 的子空间，则 $V_{1}^{\perp}$ 恰由所有与 $V_{1}$ 正交的向量组成，即

$$
V _ {1} ^ {\perp} = \{\alpha \in V, \alpha \perp V _ {1} \}
$$

证明 令 $W = \{\alpha \in V : \alpha \perp V_1\}$ ，下面证明 $V_1^\perp = W$ 。首先 $V_1 \perp V_1^\perp$ ，因此 $V_1^\perp \subseteq W$ 。

反之， $\forall \alpha \in W$ ，根据 $V = V_{1} \oplus V_{1}^{\perp}$ ，因此可分解 $\alpha = \alpha_{1} + \alpha_{2}$ ，得到

$$
\left(\alpha_ {1}, \alpha_ {1}\right) = \left(\alpha - \alpha_ {2}, \alpha_ {1}\right) = \left(\alpha , \alpha_ {1}\right) - \left(\alpha_ {2}, \alpha_ {1}\right) = 0
$$

因此 $\alpha_{1} = 0$ ，即 $\alpha \in V_1^\perp$

## 定理 8.9 (正交补的性质)

$$
(1) (U ^ {\perp}) ^ {\perp} = U (2) (U _ {1} + U _ {2}) ^ {\perp} = U _ {1} ^ {\perp} \cap U _ {2} ^ {\perp} (3) (U _ {1} \cap U _ {2}) ^ {\perp} = U _ {1} ^ {\perp} + U _ {2} ^ {\perp}
$$

证明 (1) 根据正交补的具体表达式一下得出

(2) 显然 $(U_{1} + U_{2})^{\perp}\subseteq U_{1}^{\perp}$ ， $(U_{1} + U_{2})^{\perp}\subseteq U_{2}^{\perp}$ ，因此 $(U_{1} + U_{2})^{\perp}\subseteq U_{1}^{\perp}\cap U_{2}^{\perp}$ 。

另一方面， $\forall \alpha \in U_1^\perp \cap U_2^\perp, \beta \in U_1 + U_2$ ，有 $\beta = \beta_1 + \beta_2$ ，因此

$$
(\alpha , \beta) = (\alpha , \beta_ {1} + \beta_ {2}) = (\alpha , \beta_ {1}) + (\alpha , \beta_ {2}) = 0
$$

因此 $U_{1}^{\perp}\cap U_{2}^{\perp}\subseteq (U_{1} + U_{2})^{\perp}$

(3) 可转换为 (2)

## 8.1.4 正交变换

## 定义 8.5 (正交变换)

$V$ 是 $n$ 维Eulid空间， $\mathcal{A}$ 是 $V$ 上线性变换，若 $\forall \alpha ,\beta \in V$ 有 $(\mathcal{A}\alpha ,\mathcal{A}\beta) = (\alpha ,\beta)$ ，则称 $\mathcal{A}$ 为正交变换

## 定理 8.10 (正交变换充要条件)

$\mathcal{A}$ 是正交变换与下面几个命题等价：

\- $\mathcal{A}$ 在标准正交基下矩阵为正交矩阵

\- 标准正交基在 $\mathcal{A}$ 的作用下仍为标准正交基

\- $\mathcal{A}$ 保持向量长度不变

若 $\epsilon_1, \dots, \epsilon_n$ 是 $V$ 的标准正交基，则 $\mathcal{A}(\epsilon_1), \dots, \mathcal{A}(\epsilon_n)$ 也是 $V$ 的标准正交基

## 8.1.5 镜面反射

## 定义 8.6 (镜面反射)

若对 $\forall \alpha \in V$ ， $\mathcal{A}:V\to V$ 满足

$$
\mathcal {A} \alpha = \alpha - 2 (\eta , \alpha) \eta
$$

其中 $\eta$ 是单位向量

## 引理 8.1 (镜面反射是正交变换)

镜面反射是正交变换

证明

定理 8.11 (镜面反射的特征)

## 8.2 Unitary 空间

## 8.2.1 Unitary 空间概念

## 定义 8.7 (Unitary 空间)

$V$ 是 $\mathbb{C}$ 上内积空间，其上定义内积 $(\alpha, \beta)$ 满足 $\forall k_1, k_2 \in \mathbb{C}$

$$
\bullet \left(k _ {1} \alpha_ {1} + k _ {2} \alpha_ {2}, \beta\right) = k _ {1} (\alpha_ {1}, \beta) + k _ {2} (\alpha_ {2}, \beta)
$$

$$
\bullet (\alpha , \beta) = \overline {{(\beta , \alpha)}}
$$

$(\alpha, \alpha) \geq 0$ 且 $(\alpha, \alpha) = 0$ 当且仅当 $\alpha = 0$

## 定义 8.8 (酉矩阵)

$\mathbb{C}$ 上矩阵 $U^{-1} = \overline{U}^T$ ，则称 $U$ 为酉矩阵。

## 定义 8.9 (酉变换)

$\mathcal{U}$ 满足 $(\mathcal{U}\alpha, \mathcal{U}\beta) = (\alpha, \beta)$ ，则称 $\mathcal{U}$ 为酉变换

## 定义 8.10 (共轭变换)

$\mathcal{A}$ 是酉空间 $V$ 的线性变换，若 $\mathcal{A}^*$ 满足 $(\mathcal{A}\alpha, \beta) = (\alpha, \mathcal{A}^*\beta)$ ，则称 $\mathcal{A}^*$ 是 $\mathcal{A}$ 的共轭变换

## 定义 8.11 (正规变换)

若酉空间 $V$ 的线性变换 $\mathcal{A}$ 与其共轭变换 $\mathcal{A}^*$ 可交换，则称 $\mathcal{A}$ 为正规变换。

## 定义 8.12 (Hermite 变换)

若酉空间 $V$ 的线性变换 $\mathcal{A}$ 满足 $\mathcal{A} = \mathcal{A}^*$ ，则称 $\mathcal{A}$ 为Hermite变换

> [!proof]- 证明状态
> 本笔记含数学结论；已保留原文。未给出证明的结论将在后续按定义、引理和推导链补证。