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章节: 9
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# 第9章 对偶空间

## 9.1 对偶空间与对偶基
> [!theorem] 对偶基存在唯一性
> 若 ${epsilon_1,ldots,epsilon_n}$ 是有限维线性空间 $V$ 的一组基，则存在唯一的对偶基 ${f_1,ldots,f_n}subset V^*$，满足 $f_i(epsilon_j)=delta_{ij}$。
> ^thm-dual-basis

> [!proof]- 证明
> 任意 $vin V$ 可唯一写成 $v=sum_j x_jepsilon_j$。定义 $f_i(v)=x_i$，则 $f_i$ 线性且 $f_i(epsilon_j)=delta_{ij}$。若 $g_i$ 也满足该条件，则对上述展开有 $g_i(v)=sum_jx_jg_i(epsilon_j)=x_i=f_i(v)$，故 $g_i=f_i$。

## 定义 9.1 (对偶空间)

$V$ 是 $K$ 上的线性空间，将定义于 $V$ 上的所有有界线性泛函组成的空间称为对偶空间 $V^{*}$ 。

## 定义 9.2 (对偶基)

给定 V 的一组基 $\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n}$ ，定义线性泛函 $f_{i}$ 满足：

$$
f _ {i} (\epsilon_ {j}) = \left\{ \begin{array}{l l} 1, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{array} \right.
$$

则 $\{f_{1},\cdots,f_{n}\}$ 是 $V^{*}$ 的一组基，称其为 $\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n}$ 的对偶基。

笔记 计算对偶基时，将 $f_{i}$ 视为一个向量，即 $f_{i}(\alpha)=f_{i1}x_{1}+\cdots+f_{in}x_{n}=f_{i}^{T}\alpha$ 。计算 $\epsilon_{1},\cdots,\epsilon_{n}$ 的对偶基只需要满足：

$$
\left[ \begin{array}{c} f _ {1} ^ {T} \\ f _ {2} ^ {T} \\ \vdots \\ f _ {n} ^ {T} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c c c c} \epsilon_ {1} & \epsilon_ {2} & \dots & \epsilon_ {n} \end{array} \right] = E
$$

练习9.1给定 $\epsilon_{1} = [1,1,0]^{T},\epsilon_{2} = [0,1,1]^{T},\epsilon_{3} = [0,1, - 1]^{T}$ ，求其对偶基

解显然 $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ 都是三个系数组成的线性函数，不妨记 $A = [f_{1}, f_{2}, f_{3}]^{T}, P = [\epsilon_{1}, \epsilon_{2}, \epsilon_{3}]$ ，则

$$
A P = \left[ \begin{array}{l} f _ {1} ^ {T} \\ f _ {2} ^ {T} \\ f _ {3} ^ {T} \end{array} \right] [ \epsilon_ {1}, \epsilon_ {2}, \epsilon_ {3} ] = E
$$

因此 $A = P^{-1}$ ，只需求出 $P^{-1}$ 即可。最终求出：

$$
P ^ {- 1} = \left[ \begin{array}{c c c} 1 & 0 & 0 \\ - \frac {1}{2} & \frac {1}{2} & \frac {1}{2} \\ - \frac {1}{2} & \frac {1}{2} & - \frac {1}{2} \end{array} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f _ {1} ^ {T} = (1, 0, 0) \\ f _ {2} ^ {T} = (- \frac {1}{2}, \frac {1}{2}, \frac {1}{2}) \\ f _ {3} ^ {T} = (- \frac {1}{2}, \frac {1}{2}, - \frac {1}{2}) \end{array} \right.
$$