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- 数学分析
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# 第1章 数学基础

## 1.1 三角函数

1.1.1 和差公式、万能公式、倍角公式、半角公式

一、 $\sin x, \cos x$ 和差公式

$$
\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
$$

$$
\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta
$$

$$
\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
$$

$$
\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
$$

二、 $\tan x, \cot x$ 和差公式

$$
\tan (\alpha + \beta) = \frac {\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}
$$

$$
\tan (\alpha - \beta) = \frac {\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}
$$

$$
\cot (\alpha + \beta) = \frac {\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \beta + \cot \alpha}
$$

$$
\cot (\alpha - \beta) = \frac {\cot \alpha \cot \beta + 1}{\cot \beta - \cot \alpha}
$$

三、万能公式

$$
\sin \alpha = \frac {2 \tan {\frac {\alpha}{2}}}{1 + \tan^ {2} {\frac {\alpha}{2}}}
$$

$$
\cos \alpha = \frac {1 - \tan^ {2} {\frac {\alpha}{2}}}{1 + \tan^ {2} {\frac {\alpha}{2}}}
$$

$$
\tan \alpha = \frac {2 \tan {\frac {\alpha}{2}}}{1 - \tan^ {2} {\frac {\alpha}{2}}}
$$

四、倍角公式

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

$$
\cos 2 \alpha = \cos^ {2} \alpha - \sin^ {2} \alpha = 2 \cos^ {2} \alpha - 1 = 1 - 2 \sin^ {2} \alpha
$$

$$
\tan 2 \alpha = \frac {2 \tan \alpha}{1 - \tan^ {2} \alpha}
$$

五、半角公式

$$
\sin {\frac {\alpha}{2}} = \pm \sqrt {\frac {1 - \cos \alpha}{2}}
$$

$$
\cos {\frac {\alpha}{2}} = \pm \sqrt {\frac {1 + \cos \alpha}{2}}
$$

$$
\tan {\frac {\alpha}{2}} = \frac {\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac {1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \pm \sqrt {\frac {1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}
$$

$$
\cot {\frac {\alpha}{2}} = \frac {1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac {\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} = \pm \sqrt {\frac {1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}}
$$

## 1.1.2 和差化积与积化和差

## 一、和差化积

$$
\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos {\frac {\alpha + \beta}{2}} \cos {\frac {\alpha - \beta}{2}}
$$

$$
\cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin {\frac {\alpha + \beta}{2}} \sin {\frac {\alpha - \beta}{2}}
$$

$$
\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin {\frac {\alpha + \beta}{2}} \cos {\frac {\alpha - \beta}{2}}
$$

$$
\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos {\frac {\alpha + \beta}{2}} \sin {\frac {\alpha - \beta}{2}}
$$

$$
\tan \alpha + \tan \beta = \frac {\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}
$$

## 二、积化和差：异 $\sin$ 同cos

$$
\cos \alpha \cos \beta = \frac {1}{2} [ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta) ]
$$

$$
\sin \alpha \sin \beta = - \frac {1}{2} [ \cos (\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta) ]
$$

$$
\sin \alpha \cos \beta = \frac {1}{2} [ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) ]
$$

$$
\cos \alpha \sin \beta = \frac {1}{2} [ \sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) ]
$$

## 1.1.3 交替三角函数

1. $(-1)^{n}\sin nx=\sin(x+\pi)n$

2. $(-1)^{n}\cos nx = \cos (x + \pi)n$

## 1.1.4 重要的三角恒等式

$$
\cos \frac {x}{2 ^ {n}} \cdot \cos \frac {x}{2 ^ {n - 1}} \dots \cos \frac {x}{2} = \frac {\sin x}{2 ^ {n} \sin \frac {x}{2 ^ {n}}}
$$

$$
2. \sin x + \sin 2 x + \dots + \sin n x = \frac {\cos \frac {x}{2} - \cos (n + \frac {1}{2}) x}{2 \sin \frac {x}{2}}
$$

$$
3. \cos x + \cos 2 x + \dots + \cos n x = \frac {\sin (n + \frac {1}{2}) x - \sin \frac {x}{2}}{2 \sin \frac {x}{2}} = \frac {\sin (n + \frac {1}{2}) x}{2 \sin \frac {x}{2}} - \frac {1}{2}
$$

4. $\arctan \frac{1}{2k^2} = \arctan \frac{k}{k + 1} - \arctan \frac{k - 1}{k}$

证明 (1) 将右侧分母乘到左侧去，用二倍角即可。

(2) 左边乘 $\sin \frac{x}{2}$ , 得到

$$
\sin {\frac {x}{2}} I = \sum_ {k = 1} ^ {n} \sin k x \sin {\frac {x}{2}} = - \frac {1}{2} \sum_ {k = 1} ^ {n} [ \cos (k + \frac {1}{2}) x - \cos (k - \frac {1}{2}) x ] = \frac {1}{2} \left[ \cos {\frac {x}{2}} - \cos (n + \frac {1}{2}) x \right]
$$

(3) 和 (2) 类似

## 1.1.5 反三角函数

定理 1.1 (反三角函数倒数关系)

$$
\arctan x + \arctan {\frac {1}{x}} = \frac {\pi}{2}
$$

$$
\operatorname{arccot} x + \operatorname{arccot} \frac {1}{x} = \frac {\pi}{2}
$$

证明 画一个直角三角形，角 $\theta_{1}$ 对着边长 $1$ ， $\theta_{2} = \frac{\pi}{2} -\theta_{1}$ 对着边长 $x$ ， $\tan \theta_1 = \frac{1}{x},\tan \theta_2 = x$ ，而两角互补。

## 1.1.6 三角不等式

$$
\text { 定理 } 1. 2 (\sin x \text { 不等式 })
$$

$$
x \in (0, {\frac {\pi}{2}})   \text { 时 },    {\frac {2 x}{\pi}} <   \sin x <   x <   \tan x
$$

## 定理 1.3 (反三角不等式)

$\arcsin x > x > \arctan x$ ，当 x 为小正数时。

## 1.2 恒等式

## 1.2.1 立方和、四次方和

定理 1.4 (立方和公式)

$$
a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) \left(a ^ {2} - a b + b ^ {2}\right), a ^ {3} - b ^ {3} = (a - b) \left(a ^ {2} + a b + b ^ {2}\right)
$$

## 定理 1.5 (四次方和差公式)

$$
a ^ {4} + b ^ {4} = (a ^ {2} + b ^ {2}) ^ {2} - 2 a ^ {2} b ^ {2} = (a ^ {2} + b ^ {2} - \sqrt {2} a b) (a ^ {2} + b ^ {2} - \sqrt {2} a b)
$$

## 1.2.2 最大值、最小值

$$
\min \{a, b \} = \frac {1}{2} (a + b - | a - b |), \max \{a, b \} = \frac {1}{2} (a + b + | a - b |)
$$

## 1.2.3 次方和

$$
\left\{ \begin{array}{l} 1 + 2 + \dots + n = \frac {n (n - 1)}{2} \\ 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + \dots + n ^ {2} = \frac {n (n + 1) (2 n + 1)}{6} \end{array} \right.
$$

## 1.3 不等式

## 1.3.1 基本不等式

## 一、均值不等式：

$$
\frac {n}{\frac {1}{x _ {1}} + \cdots + \frac {1}{x _ {n}}} \leq \sqrt [ n ]{x _ {1} x _ {2} \cdots x _ {n}} \leq \frac {x _ {1} + \cdots + x _ {n}}{n} \leq \sqrt {\frac {x _ {1} ^ {2} + \cdots + x _ {n} ^ {2}}{n}}
$$

## 二、对数不等式

$$
\frac {x}{1 + x} \leq \ln (1 + x) \leq x
$$

## 1.3.2 Jensen 不等式

## 定理 1.6 (Jensen 不等式)

若 $\sum_{i=1}^{n} t_i = 1$ , $f$ 是 (下) 凸函数, 则

$$
\sum_ {i = 1} ^ {n} t _ {i} f (x _ {i}) \geq f (\sum_ {i = 1} ^ {n} t _ {i} x _ {i})
$$

练习 1.1Jensen 不等式的应用 (1)ZJU2021: 若 $\sum_{i=1}^{n} p_{i} = 1, \quad p_{i} \in (0,1), \quad x_{1}, \cdots, x_{n} \in R$ ，证明 $\sum_{i=1}^{n} p_{i}(x_{i} - \ln p_{i}) \leq \ln(\sum_{i=1}^{n} e^{x_{i}})$

证明 (1) 根据 $x_{i} = \ln (e^{x_{i}})$ ，因此即证明 $\sum_{i=1}^{n} p_{i} (\ln \frac{e^{x_{i}}}{p_{i}}) \leq \ln (\sum_{i=1}^{n} e^{x_{i}})$ ，设 $t_{i} = \frac{e^{x_{i}}}{p_{i}}$ ，不等式变为 $\sum_{i=1}^{n} p_{i} \ln (t_{i}) \leq \ln (\sum_{i=1}^{n} t_{i} p_{i})$ ，由于 $\ln x$ 是凹函数，因此得证。

## 1.3.3 调和级数不等式

## 定理 1.7 (调和级数不等式)

$\ln(n+1)<1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}<1+\ln n,$ 进一步地， $\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}{\ln n}=1$ (即 Euler 常数)

证明 由于 $\frac{x}{1 + x} \leq \ln (1 + x) \leq x$ ，因此 $\frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} < \ln (1 + \frac{1}{n}) < \frac{1}{n}$ ，即 $\frac{1}{n + 1} < \ln \frac{n + 1}{n} < \frac{1}{n}$ ，求和得到：

$$
1 + \frac {1}{2} + \dots + \frac {1}{n} <   1 + \ln \frac {2}{1} + \dots + \ln \frac {n}{n - 1} = 1 + \ln n
$$

另一侧同理

## 1.4 几何学基础

## 1.4.1 常见立体几何体积

## 定理 1.8 (椭球面积)

$ax^{2} + by^{2} + cz^{2}\leq r^{2}$ 的体积为 $\frac{4\pi r^3}{3\sqrt{abc}}$

证明 做仿射变换 $x' = \sqrt{ax}, y' = \sqrt{by}, z' = \sqrt{cz}$ ，而 $S' = \frac{4}{3}\pi r^3$ ，因此

$$
S = \frac {S ^ {\prime}}{\sqrt {a b c}} = \frac {4 \pi r ^ {3}}{3 \sqrt {a b c}}
$$






> [!proof]- 证明状态
> 本笔记含数学结论；已保留原文。未给出证明的结论将在后续按定义、引理和推导链补证。