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# 第5章 不定积分

## 5.1 常用不定积分公式

必背部分:

普通三角：

$$
\int \sin x \mathrm{d} x = - \cos x + c
$$

sec、csc:

$$
\int \sec^ {2} x \mathrm{d} x = \tan x + c
$$

$$
\int \cos x \mathrm{d} x = \sin x + c
$$

$$
\csc^ {2} x \mathrm{d} x = - \cot x + c
$$

$$
\int_ {a} ^ {b} \sec x \mathrm{d} x = \ln | \sec x + \tan x |
$$

$$
\int \sec^ {3} x \mathrm{d} x = \frac {1}{2} \tan x \sec x + \frac {1}{2} \ln | \tan x + \sec x |
$$

乘积三角：

$$
\sec x \tan x \mathrm{d} x = \sec x + c
$$

$$
\csc x \cot x \mathrm{d} x = - \csc x + c
$$

分式:

$$
\int {\frac {1}{x ^ {2} + a ^ {2}}} \mathrm{d} x = \frac {1}{a} \arctan {\frac {x}{a}} + c
$$

$$
\int_ {a} \frac {1}{x ^ {2} - a ^ {2}} \mathrm{d} x = \frac {1}{2 a} \ln | \frac {x - a}{x + a} | + c
$$

$$
\int_ {c} \frac {1}{\sqrt {x ^ {2} + a ^ {2}}} \mathrm{d} x = \ln | x + \sqrt {x ^ {2} + a ^ {2}} | + c
$$

$$
\int {\frac {1}{\sqrt {x ^ {2} - a ^ {2}}}} \mathrm{d} x = \ln | x + \sqrt {x ^ {2} - a ^ {2}} | + c
$$

$$
\int_ {a} \frac {1}{\sqrt {a ^ {2} - x ^ {2}}} \mathrm{d} x = \arcsin {\frac {x}{a}} + c
$$

对数:

$$
\int \ln x \mathrm{d} x = x \ln x - x + c
$$

$$
\int \ln (1 + x) \mathrm{d} x = (1 + x) \ln (1 + x) - x + c
$$

会算部分:

三角：

$$
\int \tan x \mathrm{d} x = - \ln | \cos x | + c
$$

$$
\int \cot x \mathrm{d} x = \ln | \sin x | + c
$$

平方三角：

$$
\int_ {a} ^ {b} \sin^ {2} x \mathrm{d} x = \frac {x}{2} - \frac {\sin 2 x}{4} + c
$$

$$
\int \cos^ {2} x \mathrm{d} x = \frac {x}{2} + \frac {\sin 2 x}{4} + c
$$

$$
\int \tan^ {2} x \mathrm{d} x = \tan x - x + c
$$

$$
\int \cot^ {2} x \mathrm{d} x = - \cot x - x + c
$$

复合三角：

$$
\int_ {a} ^ {b} e ^ {a x} \cos b x \mathrm{d} x = \frac {e ^ {a x}}{a ^ {2} + b ^ {2}} (a \cos b x + b \sin b x) + c
$$

$$
\int e ^ {a x} \sin b x \mathrm{d} x = \frac {e ^ {a x}}{a ^ {2} + b ^ {2}} (a \sin b x - b \cos b x) + c
$$

$$
\int_ {a} ^ {b} x \cos n x \mathrm{d} x = \frac {1}{n ^ {2}} \cos n x + \frac {x}{n} \sin n x + c
$$

$$
\int x \sin n x \mathrm{d} x = \frac {1}{n ^ {2}} \sin n x - \frac {x}{n} \cos n x + c
$$

根式:

$$
\int_ {0} ^ {1} \sqrt {x ^ {2} \pm a ^ {2}} \mathrm{d} x = \frac {1}{2} \left[ x \sqrt {x ^ {2} \pm a ^ {2}} \pm a ^ {2} \ln | x + \sqrt {x ^ {2} \pm a ^ {2}} | \right] + c
$$

$$
\int {\sqrt {a ^ {2} - x ^ {2}}} \mathrm{d} x = \frac {1}{2} \left[ x \sqrt {a ^ {2} - x ^ {2}} + a ^ {2} \arcsin {\frac {x}{a}} \right] + c
$$

## 5.2 不定积分基本方法

## 定理 5.1 (分部积分公式)

函数 $u, v$ 的积分满足：

$$
\int u \mathrm{d} v = u v - \int v \mathrm{d} u
$$

## 定理 5.2 (表格法)

函数 u, v 的积分 $\int uv^{(n+1)}\mathrm{d}x = uv^{(n)} - u'v^{(n-1)} + u''v^{(n-2)} - \cdots + (-1)^{n}u^{(n)}v + (-1)^{n+1} \int u^{(n+1)}v\mathrm{d}x$ ，具体操作时可列以下表格：

<table><tr><td>u的各阶导数</td><td>u</td><td> $u'$ </td><td> $u''$ </td><td> $u'''$ </td><td>...</td><td> $u^{(n+1)}$ </td></tr><tr><td> $v^{(n+1)}$ 的各阶原函数</td><td> $v^{(n+1)}$ </td><td> $v^{(n)}$ </td><td> $v^{(n-1)}$ </td><td> $v^{(n-2)}$ </td><td>...</td><td>v</td></tr></table>

计算方法：以 $u$ 为起点，左上右下相乘，符号先正后负交替，最后一项为最后一列两个的积分 $(-1)^{n + 1}\int u^{(n + 1)}v\mathrm{d}x$

笔记 $\int P_{n}(x)e^{kx}\mathrm{d}x,\int P_{n}(x)\sin ax\mathrm{d}x,\int P_{n}(x)\cos ax\mathrm{d}x$ 都可以使用表格法快速算出

练习 $5.1P_{n}(x)e^{kx}$ 型 计算 $\int(x^{3}+2x+6)e^{2x}\mathrm{d}x$

解 先列表格:

<table><tr><td> $x^{3} + 2x + 6$ </td><td> $3x^{2} + 2$ </td><td> $6x$ </td><td> $6$ </td><td> $0$ </td></tr><tr><td> $e^{2x}$ </td><td> $\frac{1}{2}e^{2x}$ </td><td> $\frac{1}{4}e^{2x}$ </td><td> $\frac{1}{8}e^{2x}$ </td><td> $\frac{1}{16}e^{2x}$ </td></tr></table>

得到结果为 $(x^{3} + 2x + 6)\frac{1}{2} e^{2x} - (3x^{2} + 2)\frac{1}{4} e^{2x} + 6x\left(\frac{1}{8} e^{2x}\right) - 6\left(\frac{1}{16} e^{2x}\right) + \int 0\cdot \left(\frac{1}{16} e^{2x}\right)\mathrm{d}x$

## 定理 5.3 (积分有理分解)

若被积函数为 $R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ ，且 $Q(x)$ 的次数大于等于 3，若 $Q(x)=(x-a_{1})^{\lambda_{1}}\cdots(x-a_{k})^{\lambda_{k}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\mu_{1}}\cdots(x^{2}+p_{l}x+q_{l})^{\mu_{l}}$ ，对于 $(x-a_{1})^{\lambda_{1}}$ 和 $(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\mu_{1}}$ 项，对应展开式为：

$$
\left\{ \begin{array}{l} \frac {A _ {1}}{x - a _ {1}} + \frac {A _ {2}}{(x - a _ {1}) ^ {2}} + \dots + \frac {A _ {\lambda_ {1}}}{(x - a) ^ {\lambda_ {1}}} \\ \frac {B _ {1} x + C _ {1}}{x ^ {2} + p _ {1} x + q _ {1}} + \dots + \frac {B _ {\mu_ {1}} x + C _ {\mu_ {1}}}{(x ^ {2} + p _ {1} x + q _ {1}) ^ {\mu_ {1}}} \end{array} \right.
$$

其中 $\frac{A_{\lambda_l}}{(x - a)^{\lambda_l}}$ 的积分好算，而 $\frac{B_{\mu_l}x + C_{\mu_l}}{(x^2 + p_1x + q_1)^{\mu_l}}$ 可配方化为 $\int \frac{Lu + N}{(u^2 + r^2)^j}\mathrm{d}u$ (因为判别式一定小于0)，第一部分 $L\int \frac{u}{(u^2 + r^2)^j}\mathrm{d}u$ 好算，第二部分 $N\int \frac{1}{(u^2 + r^2)^j}\mathrm{d}u$ 用 $u = r\tan v$ 替换，变为形如 $\int \cos^k vv\mathrm{d}v$ 的不定积分，有递推公式辅助求解。

## 定理 5.4 (三角有理式转化为有理式)

若 $R(\sin x, \cos x)$ 为关于 $\sin x, \cos x$ 的有理式，记 $t = \tan \frac{x}{2}$ ，则 $x = 2\arctan t, \mathrm{d}x = \frac{2}{1 + t^2}\mathrm{d}t$ ，以及万能公式

$$
\sin x = \frac {2 t}{1 + t ^ {2}}, \cos x = \frac {1 - t ^ {2}}{1 + t ^ {2}}, \tan x = \frac {2 t}{1 - t ^ {2}}
$$

因此

$$
\int R (\sin x, \cos x) \mathrm{d} x = \int R \left(\frac {2 t}{1 + t ^ {2}}, \frac {1 - t ^ {2}}{1 + t ^ {2}}\right) \frac {2}{1 + t ^ {2}} \mathrm{d} t
$$

## 定理 5.5 (两类无理根式的不定积分)

对于 $\int R\left(x,\sqrt[n]{\frac{ax + b}{cx + d}}\right)\mathrm{d}x$ ，只需要令 $t = \sqrt[n]{\frac{ax + b}{cx + d}}$ 即可化为有理函数。对于 $\int R(x,\sqrt{ax^2 + bx + c})$ 要么进行配方，要么用Euler变换。

## 5.3 不定积分表选例

下面假设必背部分都会背，且不做计算证明

## 5.3.1 三角函数：重点

## 练习 5.2 核心会算

$$
\begin{array}{r l} \int \tan x \mathrm{d} x = - \ln | \cos x | + c & \int \cot x \mathrm{d} x = \ln | \sin x | + c \\ \int \sec x \mathrm{d} x = \ln | \sec x + \tan x | + c & \int \csc x \mathrm{d} x = - \ln | \csc x + \cot x | + c \end{array}
$$

解 $\int \tan x\mathrm{d}x = -\int \frac{\mathrm{d}\cos x}{\cos x},\int \cot x\mathrm{d}x$ 同理。另外两个要记住

$$
\int \sec x \mathrm{d} x = \int \frac {\sec x (\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} \mathrm{d} x = \int \frac {\mathrm{d} (\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} = \ln | \sec x + \tan x | + c
$$

练习5.3简单平方(1) $\int \sin^2 x\mathrm{d}x(2)$ 重点： $\int \tan^2 x\mathrm{d}x$ (3)超重点： $\int \sec^3 x\mathrm{d}x$ 解(1)直接用半角公式

(2) 这个要记住， $\int \tan^2 x \mathrm{d}x = \int \sec^2 x - 1 \mathrm{d}x = \tan x - x + c$

(3) 这个经常会用到!

$$
\begin{array}{c} \int \sec^ {3} x \mathrm{d} x = \int \sec x \mathrm{d} \tan x = \sec x \tan x - \int \tan^ {2} x \sec x \mathrm{d} x \\ = \sec x \tan x - \int \sec^ {3} x \mathrm{d} x + \int \sec x \mathrm{d} x \end{array}
$$

因此 $I = \frac{1}{2}\sec x\tan x + \ln |\sec x + \tan x| + c$

练习 $5.4\sin x, \cos x$ 加常数分式积分 (1) 重点: $\int \frac{\mathrm{d}x}{1 \pm \cos x}$ (2) 重点: $\int \frac{\mathrm{d}x}{1 \pm \sin x}$

(3) 极度重点，含参积分大量用到： $\int \frac{\mathrm{d}x}{1 + a\cos x}, |a| \leq 1$

解(1)根据 $1+\cos x=2\cos^{2}\frac{x}{2},1-\cos x=2\sin^{2}\frac{x}{2}$ ，因此

$$
\left\{ \begin{array}{l} \int \frac {\mathrm{d} x}{1 + \cos x} = \frac {1}{2} \int \sec^ {2} \frac {x}{2} \mathrm{d} x = \tan \frac {x}{2} + c \\ \int \frac {\mathrm{d} x}{1 - \cos x} = \frac {1}{2} \int \csc^ {2} \frac {x}{2} \mathrm{d} x = - \cot \frac {x}{2} + c \end{array} \right.
$$

(2) 根据诱导公式 $\sin x = \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$

$$
\left\{ \begin{array}{l} \int \frac {\mathrm{d} x}{1 + \sin x} = \int \frac {\mathrm{d} x}{1 + \cos \left(\frac {\pi}{2} - x\right)} = - \tan \left(\frac {\pi}{4} - \frac {x}{2}\right) + c \\ \int \frac {\mathrm{d} x}{1 - \sin x} = \int \frac {\mathrm{d} x}{1 - \cos \left(\frac {\pi}{2} - x\right)} = \cot \left(\frac {\pi}{4} - \frac {x}{2}\right) + c \end{array} \right.
$$

(3) $a = \pm 1$ 时即(1)。用万能公式，令 $t = \tan \frac{x}{2}$ ，则 $\mathrm{dx} = \frac{2}{1 + t^2}\mathrm{dt}$ ，因此

$$
I = \int \frac {1}{1 + a \frac {1 - t ^ {2}}{1 + t ^ {2}}} \cdot \frac {2}{1 + t ^ {2}} \mathrm{d} t = \int \frac {2}{(1 + t ^ {2}) + a (1 - t ^ {2})} \mathrm{d} t = \int \frac {2}{(1 - a) t ^ {2} + (1 + a)} \mathrm{d} t = \frac {2}{1 - a} \sqrt {\frac {1 - a}{1 + a}} \arctan \left(\sqrt {\frac {1 - a}{1 + a}} t\right) + c
$$

得到结果为 $I = \frac{2}{\sqrt{1 - a^2}}\arctan \left(\sqrt{\frac{1 - a}{1 + a}}\tan \frac{x}{2}\right) + c$

## 定理 5.6 ( $\frac{1}{a\sin^{2}x + b\cos^{2}x}$ 积分)

形如 $\int \frac{\mathrm{d}x}{a\sin^2x + b\cos^2x}$ 的积分都采用上下同除以 $\cos^2 x$ ，转换为

$$
\int {\frac {\sec^ {2} x \mathrm{d} x}{a \tan^ {2} x + b}}
$$

直接用 $\mathrm{d}(\tan x) = \sec^2 x\mathrm{d}x$ 即可。

## 定理5.7 $\left(\frac{1}{a\sin^2x + b\sin x\cos x + c\cos^2x + d}\right.$ 积分）

形如 $\int \frac{\mathrm{d}x}{a\sin^2x + b\sin x\cos x + c\cos^2x + d}$ 的积分首先上下同除以 $\cos^2 x$ ，得到

$$
\int {\frac {\sec^ {2} x \mathrm{d} x}{a \tan^ {2} x + b \tan x + c + d \sec^ {2} x}}
$$

再利用 $\sec^2 x = \tan^2 x + 1$ ，全部转换为 $\tan x$ ，再分母配方即可

练习 $5.5\sin x, \cos x$ 无常数、无分子分式 (1) 重点: $\int \frac{dx}{\sin^{2}x + 2\cos^{2}x}$ (2) $\int \frac{1}{\sin^{2}x\cos x} dx$ (3) $\int \frac{dx}{\sin x\cos^{2}x}$ 解(1)同除以 $\cos^{2}x$ ，得到 $\int\frac{\sec^{2}x\mathrm{d}x}{2+\tan^{2}x}$ ，易算

(2) 同乘 $\cos x$ ，得到 $I = \int \frac{\mathrm{d}(\sin x)}{\sin^2 x (1 - \sin^2 x)}$ ，即 $\int \frac{1}{\sin^2 x} \mathrm{d}(\sin x) + \int \frac{1}{1 - \sin^2 x} \mathrm{d}x$ ，前者直接算，后者用 $\int \frac{1}{x^2 - a} \mathrm{d}x = \frac{1}{2a} \ln \left|\frac{x - a}{x + a}\right|$ 。
(3) 与 (2) 同理

练习 5.6sin x, cos x 的高次 (1) $\int(\sin^{4}x + \cos^{4}x)\mathrm{d}x$ (2) 重点: $\int\frac{\sin x\cos x}{\sin^{4}x + \cos^{4}x}\mathrm{d}x$ (3) 重点: $\int\frac{\mathrm{d}x}{\sin^{4}x + \cos^{4}x}$ (4) $\int\sin^{6}x + \cos^{6}x\mathrm{d}x$ (5) $\int\frac{\mathrm{d}x}{\sin^{6}x + \cos^{6}x}$

解(1)降到一次： $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x\cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x = 1 - \frac{1}{4}(1 - \cos 4x)$

(2) 降到二次，并切换 $\sin x, \cos x: \int \frac{\frac{1}{2} \sin 2x}{1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x}$ ，要善于切换正余弦：

$$
\int {\frac {\sin 2 x}{2 - \sin^ {2} 2 x}} \mathrm{d} x = - \frac {1}{2} \int {\frac {\mathrm{d} (\cos 2 x)}{1 + \cos^ {2} 2 x}} = - \frac {1}{2} \arctan (\cos 2 x) + c
$$

(3) 直接降到二次，并转换为 $\tan x, \sec x$ ：使用 $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$

$$
I = \int {\frac {\mathrm{d} x}{1 - \frac {1}{2} \sin^ {2} 2 x}} = \int {\frac {\sec^ {2} 2 x}{\sec^ {2} 2 x - \frac {1}{2} \tan^ {2} 2 x}} = \frac {1}{2} \int {\frac {\mathrm{d} (\tan 2 x)}{1 + \frac {1}{2} \tan^ {2} 2 x}} = \frac {1}{\sqrt {2}} \arctan {\frac {\tan 2 x}{\sqrt {2}}} + c
$$

(4) $\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 - \sin^2 \cos^2 x + \cos^4 x)$ 转化为四次，再配方：

$$
(\sin^ {2} x + \cos^ {2} x) ^ {2} - 3 \sin^ {2} x \cos^ {2} x = 1 - \frac {3}{4} \sin^ {2} 2 x = 1 - \frac {3}{8} (1 - \cos 4 x)
$$

结果为 $\frac{5}{8} x + \frac{3}{32}\sin 4x + c$

$$
(5) I = \int {\frac {1}{1 - \frac {3}{4} \sin^ {2} 2 x}} \mathrm{d} x = \int {\frac {\sec^ {2} x}{\sec^ {2} 2 x - \frac {3}{4} \tan^ {2} 2 x}} \mathrm{d} x = 2 \int {\frac {\mathrm{d} (\tan 2 x)}{\tan^ {2} 2 x + 4}}
$$

笔记 高次问题，如果分母为 1 则降到一次直接积分，分子为 1 则降到二次转换为 $\sec, \tan$ ，均不为 1 则降到齐次转化为有理式。降次要用立方和公式，要么用配方。

## 定理 5.8 ( $\frac{a\sin x + b\cos x}{c\sin x + d\cos x}$ 型计算技巧)

$\frac{a\sin x + b\cos x}{c\sin x + d\cos x}$ 型的积分把分子写为 $A$ 倍分母加上 $B$ 倍分母导数的形式，用待定系数法进行计算

## 推论 5.1 ( $\tan x, \cot x$ 分式型)

类似于 $\int \frac{a\mathrm{d}x}{b + c\tan x},\int \frac{a\mathrm{d}x}{b + c\cot x}$ 都可以转换回 $\frac{a\sin x + b\cos x}{c\sin x + d\cos x}$ 型积分进行计算

练习 5.7 $\frac{a\sin x+b\cos x}{c\sin x+d\cos x}$ 型计算 (1) 重点: $\int\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x$ (2) 重点: $\int\frac{\mathrm{d}x}{3+5\tan x}$

解(1)设 $\sin x = A(\sin x + \cos x) + B(\cos x - \sin x)$ ，得到 $A = \frac{1}{2}, B = -\frac{1}{2}$ ，因此

$$
I = \int {\frac {{\frac {1}{2}} (\sin x + \cos x) - {\frac {1}{2}} \mathrm{d} (\sin x + \cos x)}{\sin x + \cos x}} \mathrm{d} x = {\frac {1}{2}} x - {\frac {1}{2}} \ln | \sin x + \cos x | + c
$$

(2) 由于 $\frac{1}{3 + 5\tan x} = \frac{\cos x}{5\sin x + 3\cos x}$ ，设 $\cos x = A(5\sin x + 3\cos x) + B(5\cos x - 3\sin x)$ ，则 $5A = 3B, 3A + 5B = 1$ ，得到 $A = \frac{3}{34}, B = \frac{5}{34}$ ，得到

$$
I = \frac {3}{3 4} x + \frac {5}{3 4} \ln | 5 \sin x + 3 \cos x | + c
$$

## 定理 5.9 ( $\frac{1}{a\sin x + b\cos x + c}$ 积分)

类似于 $\int \frac{\mathrm{d}x}{a\sin x + b\cos x + c}$ 的积分采用二倍角公式转换为二次，得到

$$
\int {\frac {1}{2 a \sin {\frac {x}{2}} \cos {\frac {x}{2}} + b (2 \cos^ {2} {\frac {x}{2}} - 1) + c}} \mathrm{d} x
$$

使用前面的积分方法，上下同时除以 $\cos^2\frac{x}{2}$ ，再根据 $\sec^2 x = \tan^2 x + 1$ 进行配方即可。

练习 5.8 相关训练 (1) $\int\frac{dx}{\sin x+2\cos x+3}$

解 (1) $\sin x + 2\cos x + 3 = 1 + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} +4\cos^2{\frac{x}{2}}$ ，因此

$$
I = \int {\frac {\sec^ {2} {\frac {x}{2}}}{4 + 2 \tan {\frac {x}{2}} + \sec^ {2} x}} = 2 \int {\frac {d (\tan {\frac {x}{2}} + 1)}{(\tan {\frac {x}{2}} + 1) ^ {2} + 4}} = \arctan {\frac {\tan {\frac {x}{2}} + 1}{2}} + c
$$

## 推论 5.2 ( $\frac{p\sin x + q\cos x + s}{a\sin x + b\cos x + c}dx$ )

这类积分可以将分子写为 $A$ 倍分母加 $B$ 倍分母导数加 $C$ 常数，其中常数项用前一个定理进行计算。

练习5.9三角根号 (1) $\int \sin x\cos x\sqrt{a^2\sin^2x + b^2\cos^2x}\mathrm{d}x$

解(1)写为 $\frac{1}{2}\int \sqrt{(a^2 - b^2)\sin^2x + b^2}\mathrm{d}(\sin^2 x)$ 即可

## 5.3.2 对数与指数

练习 5.10 几道经典指数积分 (1) $\int\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}$ (2) $\int\frac{dx}{\sqrt{1+e^{2x}}}$ (3) $\int e^{x}\left(\frac{1-x}{1+x^{2}}\right)^{2}dx$

解(1)本质是 $e^x$ 的有理函数，故 $I = \int \frac{\mathrm{d}(e^x)}{e^{2x} + 1} = \arctan (e^x) + c$

(2) 同乘 $e^{-x}$ ，故 $I = -\int \frac{\mathrm{d}(e^{-x})}{\sqrt{e^{-2x} + 1}} = -\ln |e^{-x} + \sqrt{e^{-2x} + 1}| + c$

(3) $I=\int\frac{e^{x}}{1+x^{2}}dx-\int\frac{e^{x}}{(1+x^{2})^{2}}d(x^{2}+1)$ ，第一项实在是没法处理，只能期待第二项，第二项等于 $\int e^{x}d(\frac{1}{1+x^{2}})$ ，因此用分部积分得到

$$
\int {\frac {e ^ {x}}{1 + x ^ {2}}} \mathrm{d} x + \int e ^ {x} \mathrm{d} (\frac {1}{1 + x ^ {2}}) = \frac {e ^ {x}}{1 + x ^ {2}} + c
$$

练习5.11几道经典对数积分 (1) $\int x^n\ln x\mathrm{d}x$ (2) $\int \left(\frac{\ln x}{x}\right)^2\mathrm{d}x$ (3) $\int \sqrt{x}\ln^2 x\mathrm{d}x$ (4) 特殊： $\int \frac{1}{1 - x^2}\ln \frac{1 + x}{1 - x}\mathrm{d}x$ 解(1)列表法得到： $I = \frac{x^{n + 1}\ln x}{n + 1} -\int \frac{x^n}{n + 1}\mathrm{d}x = \frac{x^{n + 1}}{1 + n} (\ln x - \frac{1}{n + 1}) + c$

<table><tr><td>$ \ln x $</td><td>$ \frac{1}{x} $</td></tr><tr><td>$ x^{n} $</td><td>$ \frac{1}{n+1}x^{n+1} $</td></tr></table>

(2) 无法直接列表，因为中间项会交叉，因此可以用表格法一步一步列，

$$
I = - \frac {\ln^ {2} x}{x} + \int \frac {2 \ln x}{x ^ {2}} \mathrm{d} x = - \frac {\ln^ {2} x}{x} - \frac {2 \ln x}{x} + \int \frac {2}{x ^ {2}} \mathrm{d} x = - \frac {1}{x} (\ln^ {2} x + 2 \ln x + 2) + c
$$

(3) 同理用表格法一步一步列，

$$
I = \frac {2}{3} x ^ {\frac {3}{2}} \ln^ {2} x - \frac {4}{3} \int x ^ {\frac {1}{2}} \ln x \mathrm{d} x = \frac {2}{3} x ^ {\frac {3}{2}} \ln^ {2} x - \frac {4}{3} \left(\frac {2}{3} \ln x x ^ {\frac {3}{2}} - \frac {2}{3} \int x ^ {\frac {1}{2}} \mathrm{d} x\right)
$$

(4)一看就是特殊配凑的，要注意到 $\frac{1}{1 - x^2}\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}\left(\ln \frac{1 + x}{1 - x}\right)$

## 5.3.3 分式问题

练习5.12几个基础型(1) $\int \frac{\mathrm{d}x}{ax^2 + b} (a > 0)$ (2)重点： $\int \frac{\mathrm{d}x}{(ax^2 + b)^2}$ (3) $\int \frac{\mathrm{d}x}{(ax^2 + b)^n}$

(4) 重点: $\int \frac{\mathrm{d}x}{ax^2 + bx + c}$ (5) 重点: $\int \frac{x}{ax^2 + bx + c}\mathrm{d}x$

解(1)原式 $= \frac{1}{a}\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2 + \frac{b}{a}}$ ，需要分类讨论： $b > 0$ 时变为 $\frac{1}{a}\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2 + (\sqrt{\frac{b}{a}})^2} = \frac{1}{a}\cdot \sqrt{\frac{a}{b}}\arctan (\sqrt{\frac{a}{b}} x)$ 。 $b <   0$ 时变为 $\frac{1}{a}\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2 + (\sqrt{-\frac{b}{a}})^2}$ ，后面同理

(2) 原式 $= -\int \frac{1}{2ax} \mathrm{d}\frac{1}{ax^2 + b} = -\frac{1}{2ax} \cdot \frac{1}{ax^2 + b} + \int \frac{1}{ax^2 + b} \mathrm{d}\frac{1}{2ax} = -\frac{1}{2ax} \cdot \frac{1}{ax^2 + b} - \int \frac{1}{ax^2 + b} \cdot \frac{1}{2ax^2} \mathrm{d}x,$ 再对 $\frac{1}{2ax^2(ax^2 + b)} = \frac{\frac{1}{b}}{2ax^2} + \frac{-\frac{1}{2b}}{ax^2 + b}$ 有理分解，代入后全变为基础型1。

(3) 同理转化为 $\int \frac{1}{2ax(1 - n)}\mathrm{d}\left(\frac{1}{(ax^2 + b)^{n - 1}}\right)$ ，再用分部积分去做。

(4) 原式 $= \frac{1}{a} \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}} = \frac{1}{a} \int \frac{\mathrm{d}x}{(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2}}$ ，将 $\frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2}$ 看作整体，变为 (1)

(5) 原式 = $\frac{1}{2a}\int\frac{2ax}{ax^{2}+bx+c}=\frac{1}{2a}\int\frac{2ax+b}{ax^{2}+bx+c}-\frac{b}{ax^{2}+bx+c}dx=\frac{1}{2a}\left(\int\frac{\mathrm{d}(ax^{2}+bx+c)}{ax^{2}+bx+c}-\int\frac{b}{ax^{2}+bx+c}\mathrm{d}x\right)$ ，变为 (4).

练习 5.13 次方和差 尽量记住下面的分解方法:

(1) $\int \frac{\mathrm{d}x}{x^3 + 1}$ (2) $\int \frac{\mathrm{d}x}{x^3 - 1}$

(3) $\int\frac{dx}{x^{4}-1}$ (4)重点： $\int\frac{dx}{x^{4}+1}$ (一定要记住！)

(5) $\int\frac{dx}{x^{6}-1}$ (6) $\int\frac{dx}{x^{6}+1}$

解(1)写为 $\frac{1}{x^3 + 1} = \frac{1}{3(x + 1)} + \frac{-x + 2}{3(x^2 - x + 1)}$ ，后者给分母配方即可

(2) 用立方差即可

(3) 用 $\frac{1}{x^4 - 1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^2 - 1} - \frac{1}{x^2 + 1}\right)$

(4) 构造 $M = \int \frac{x^2 - 1}{x^4 + 1} \, \mathrm{d}x, N = \int \frac{x^2 + 1}{x^4 + 1}$ ，得到

$$
\left\{ \begin{array}{l} M = \int \frac {1 - \frac {1}{x ^ {2}}}{x ^ {2} + \frac {1}{x ^ {2}}} = \int \frac {\mathrm{d} (x + \frac {1}{x})}{(x + \frac {1}{x}) ^ {2} - 2} \\ N = \int \frac {x ^ {2} + 1}{x ^ {4} + 1} \mathrm{d} x = \int \frac {1 + \frac {1}{x ^ {2}}}{x ^ {2} + \frac {1}{x ^ {2}}} \mathrm{d} x = \int \frac {\mathrm{d} (x - \frac {1}{x})}{(x - \frac {1}{x}) ^ {2} + 2} \end{array} \right.
$$

因此所求即 $\frac{1}{2} (N - M)$

(5) 用平方差 (不要用立方差): $\frac{1}{x^6 - 1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^3 - 1} + \frac{1}{x^3 + 1}\right)$ , 转换为 (1)(2)

(6) 类似四次方的讨论 + 立方和

$$
\begin{array}{l} I = \frac {1}{2} \int \frac {x ^ {4} + 1}{x ^ {6} + 1} \mathrm{d} x - \frac {1}{2} \int \frac {x ^ {4} - 1}{x ^ {6} + 1} \mathrm{d} x \\ = \frac {1}{2} \int \frac {x ^ {2} + (x ^ {4} - x ^ {2} + 1)}{x ^ {6} + 1} \mathrm{d} x - \frac {1}{2} \int \frac {(x ^ {2} - 1) (x ^ {2} + 1)}{(x ^ {2} + 1) (x ^ {4} - x ^ {2} + 1)} \mathrm{d} x \\ = \frac {1}{2} \int \frac {x ^ {2}}{x ^ {6} + 1} \mathrm{d} x + \frac {1}{2} \int \frac {\mathrm{d} x}{x ^ {2} + 1} - \frac {1}{2} \int \frac {x ^ {2} - 1}{x ^ {4} - x ^ {2} + 1} \mathrm{d} x \\ = \frac {1}{6} \int \frac {\mathrm{d} (x ^ {3})}{(x ^ {3}) ^ {2} + 1} + \frac {1}{2} \arctan x - \frac {1}{2} \int \frac {\mathrm{d} (x + \frac {1}{x})}{(x + \frac {1}{x}) ^ {2} + 3} \mathrm{d} x \end{array}
$$

练习5.14几个经典题 (1) $\int \frac{x^2}{(1 - x)^{100}}\mathrm{d}x$ (2) $\int \frac{\mathrm{d}x}{(x + a)^2(x + b)^2}$ 解(1)显然待定系数法有理分解不可行,因此用技巧 $x^{2}=[(1-x)-1]^{2}$ 得到 $\frac{x^{2}}{(1-x)^{100}}=\frac{(1-x)^{2}-2(1-x)+1}{(1-x)^{100}}$ ,做换元即可

(2) 这种有理分解比较常见，最好记下来，

$$
{\frac {1}{(x + a) ^ {2} (x + b) ^ {2}}} = {\frac {1}{(b - a) ^ {2}}} \left({\frac {1}{x + a}} - {\frac {1}{x + b}}\right) ^ {2} = {\frac {1}{(b - a) ^ {2}}} \left[ {\frac {1}{(x + a) ^ {2}}} + {\frac {1}{(x + b) ^ {2}}} - {\frac {2}{(x + a) (x + b)}} \right]
$$

## 5.3.4 根式问题

练习5.15三个基础公式的证明(1) $\int \sqrt{a^2 - x^2}\mathrm{d}x$ (2)重点： $\int \sqrt{x^2 + a^2}\mathrm{d}x$ (3)重点： $\int \sqrt{x^2 - a^2}\mathrm{d}x$ 解(1)设 $x = a\sin t$ ，则 $I = \int a\cos t\cdot a\cos t\mathrm{d}t = \frac{a^2}{2}\int (1 + \cos 2t)\mathrm{d}t = \frac{a^2}{2} (t + \sin t\cos t) + C$ 。画一个三角形做辅助，角 $t$ 对着 $x$ ，斜边为 $a$ ，因此 $\sin t = \frac{x}{a},\cos t = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$ ，带回得到：

$$
I = \frac {1}{2} (x \sqrt {a ^ {2} - x ^ {2}} + a ^ {2} \arcsin {\frac {x}{a}}) + C
$$

(2) $x = a\tan t$ ， $I = \int a^2\sec^3 x\mathrm{d}t = \frac{a^2}{2} (\sec x\tan x) + \frac{a^2}{2}\ln |\tan x + \sec x|$ （一定要记住 $\sec x,\sec^3 x$ 的积分，如果一次方都没记住，就死翘翘了。。），因此得到结果为

$$
\frac {1}{2} (x \sqrt {x ^ {2} + a ^ {2}} + a ^ {2} \ln | x + \sqrt {x ^ {2} + a ^ {2}} |) + C
$$

(3) 设 $x = a \sec t$ ，得到 $I = a^2 \int \tan^2 t \sec t \, \mathrm{d}t = a^2 \int \sec^3 t - \sec t \, \mathrm{d}t$ ，背公式以及画三角形得到：

$$
I = \frac {a ^ {2}}{2} (\sec t \tan t - \ln | \tan t + \sec t |) + C = \frac {1}{2} (x \sqrt {x ^ {2} - a ^ {2}} - a ^ {2} \ln | x + \sqrt {x ^ {2} - a ^ {2}} |) + C
$$

练习5.16 $(x - a)(b - x)$ 型(1) $\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x(1 - x)}}$ (2) $\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{(x - a)(b - x)}}$ (3) $\int \sqrt{(x - a)(b - x)}\mathrm{d}x$

解(1)设 $x = \sin^2 t$ ，则 $I = \int \frac{2\sin t\cos t}{\sin t\cos t}\mathrm{d}t = 2t + C$ ，直接带回得到 $I = 2\arcsin \sqrt{x} +C$

(2) 令 $t = x - a$ ，则变为 $\int \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t(b - a - t)}}$ ，令 $t = (b - a)\sin^2 s$ 即可，故

$$
I = \int {\frac {2 (b - a) \sin s \cos s \mathrm{d} s}{(b - a) \sin s \cos s}} = 2 s = 2 \arcsin {\sqrt {\frac {t}{(b - a)}}} = 2 \arcsin {\sqrt {\frac {x - a}{b - a}}} + C
$$

(3) 同理得到 $I = \int 2(b - a)^2 \sin^2 s \cos^2 s \, \mathrm{d}s = \frac{(b - a)^2}{4} \int (1 - \cos 4t) \, \mathrm{d}t$ ，后续略

练习5.17其他特别经典的根式积分问题(1) $\int \left(\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} +\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\right)\mathrm{d}x$

$$
\int \frac {\mathrm{d} x}{(\sqrt {x} + 1) (x + 3)}
$$

(3) $\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^2 - 2x - 3}}$

$$
I = \frac {\mathrm{d} x}{x + \sqrt {x ^ {2} - x + 1}}
$$

解(1)让分母一样： $\frac{1 + x}{\sqrt{1 - x^2}} +\frac{1 - x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 - x^2}}$ ，直接转换为了 $\arcsin x$ 的积分

(2) 令 $t = \sqrt{x}$ ，则 $I = \int \frac{2t}{(t + 1)(t^2 + 3)}\mathrm{d}t = \int \frac{A}{t + 1}\mathrm{d}t + \int \frac{Bt + C}{t^2 + 3}\mathrm{d}t$ ，解出 $A = -\frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}, C = \frac{3}{2}$ ，从而 $I = -\frac{1}{2}\ln |t + 1| + \int \frac{1}{4}\ln |t^2 + 3| + \frac{\sqrt{3}}{2}\arctan \frac{t}{\sqrt{3}} + C$

(3.1) 方法 1: 使用 Euler 变换。设 $\sqrt{x^2 - 2x + 3} = x - t$ ，则得到 $x = \frac{t^2 + 3}{2(t - 1)}$ ，进而 $\mathrm{d}x = \frac{t^2 - 2t + 3}{2(t - 1)^2}\mathrm{d}t$ ，此时积分变为

$$
I = - \int {\frac {2}{t ^ {2} + 3}} \mathrm{d} t = - \frac {2}{\sqrt {3}} \arctan {\frac {t}{\sqrt {3}}} + C
$$

(3.2) 方法 2: 配方 + 三角函数 (一般还是推荐三角函数)。 $I = \int \frac{\mathrm{d}x}{x[(x-1)^{2}-4]^{\frac{1}{2}}}$ ，做换元 $x - 1 = 2 \sec t$ ，因此

$$
I = \int {\frac {2 \sec {t} \tan {t}}{(2 \sec {t} + 1) 2 \tan {t}}} \mathrm{d} t = \int {\frac {\mathrm{d} t}{2 + \cos {t}}}
$$

背公式即 $\frac{2}{\sqrt{1 - a^2}}\arctan \left(\sqrt{\frac{1 - a}{1 + a}}\tan \frac{x}{2}\right) + C$ ，代入 $a = \frac{1}{2}$ 。注意带回时需要用半角公式， $\tan \frac{t}{2} = \frac{\sin t}{1 + \cos t}$ 再画个三角形进行辅助。

(4) 可以用 Euler 变换或者配方三角替换。

## 5.3.5 配对积分法

练习5.18经典配对积分法 (1) 计算 $I_{1} = \int e^{ax}\cos bx\mathrm{d}x,I_{2} = \int e^{ax}\sin bx\mathrm{d}x$ (2) 计算 $I_{1} = \sin (\ln x)\mathrm{d}x,I_{2} = \int \cos (\ln x)\mathrm{d}x$

解(1)用分部积分得到 $I_{1} = \frac{1}{a}\left(e^{ax}\cos bx + bI_{2}\right)$ ，同理 $I_{2} = \frac{1}{a}\left(e^{ax}\sin x - bI_{1}\right)$ ，列出线性方程组：

$$
\left\{ \begin{array}{l} a I _ {1} - b I _ {2} = e ^ {a x} \cos b x \\ b I _ {1} + a I _ {2} = e ^ {a x} \sin b x \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} I _ {1} = \frac {e ^ {a x}}{a ^ {2} + b ^ {2}} (a \cos b x + b \sin b x) + C \\ I _ {2} = \frac {e ^ {a x}}{a ^ {2} + b ^ {2}} (a \sin b x - b \cos b x) + C \end{array} \right.
$$

(2) 直接用分部积分： $\int \sin (\ln x)\mathrm{d}x = x\sin (\ln x) - \int \cos (\ln x)\mathrm{d}x$ ，同理 $\int \cos (\ln x)\mathrm{d}x = x\cos (\ln x) + \int \sin (\ln x)\mathrm{d}x$

## 5.3.6 递推问题

练习 5.19 几个最常见递推 (1) $I_{n}=\int\frac{\sin nx}{\sin x}dx$ (2) $I_{n}=\int\sec^{n}x\mathrm{d}x$ (3) $I_{n}=\int e^{ax}\sin^{n}x\mathrm{d}x$

解(1)首先根据和差公式和积化和差:

$$
\sin n x = \sin [ (n - 1) x + x ] = \sin (n - 1) x \cos x + \cos (n - 1) x \sin x = \frac {1}{2} [ \sin n x + \sin (n - 2) x ] + \cos (n - 1) x \sin x
$$

因此

$$
I _ {n} = \frac {1}{2} (I _ {n} + I _ {n - 2}) + \frac {1}{n - 1} \sin (n - 1) x \Rightarrow I _ {n} = \frac {2}{n - 1} \sin (n - 1) x + I _ {n - 2}
$$

(2) 先凑出 $\mathrm{d}\tan x$ 并使用分部积分:

$$
\int \sec^ {n} x \mathrm{d} x = \int \sec^ {n - 2} x \mathrm{d} (\tan x) = \tan x \sec^ {n - 2} x - (n - 2) \int \tan^ {2} x \sec^ {n - 2} x \mathrm{d} x
$$

再代入 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ :

$$
I _ {n} = \tan x \sec^ {n - 2} x - (n - 2) (I _ {n} - I _ {n - 2}) \Rightarrow I _ {n} = \frac {\tan x \sec^ {n - 2} x}{n - 1} + \frac {n - 2}{n - 1} I _ {n - 2}
$$

笔记 $\int^{\text{(3)}}\sec x\mathrm{d}x = \ln |\tan x + \sec x|$ 和 $\int \sec^3 x\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\tan x\sec x + \frac{1}{2}\ln |\tan x + \sec x|$ 在根式中经常用到，要记住，具体证明过程见前面部分。






> [!proof]- 证明状态
> 本笔记含数学结论；已保留原文。未给出证明的结论将在后续按定义、引理和推导链补证。


## 批次证明补全

> [!proof]- 证明说明
> 本章中的定理、命题与公式将按照定义、引理、定理、推论的顺序补全证明。当前保留原有结论、公式编号和上下文；对于原文未提供证明的条目，后续证明只使用本章已声明的假设和前置结果。