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# 第 11 章 傅里叶级数

## 11.1 以 $2\pi$ 为周期的傅里叶级数

## 定义 11.1 (2π 周期傅里叶展开)

对于 $2\pi$ 周期函数 $f(x)$ ，定义其傅里叶展开为 $f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ ，其中

$$
\int a _ {n} = \frac {1}{\pi} \int_ {- \pi} ^ {\pi} f (x) \cos n x \mathrm{d} x \quad n = 0, 1, 2, \dots
$$

$$
\left\{b _ {n} = \frac {1}{\pi} \int_ {- \pi} ^ {\pi} f (x) \sin n x \mathrm{d} x \quad n = 1, 2, \dots \right.
$$
![](94b85b028233997a3678393537cecdea4088e96528b29e922edcbe8d2e7f4793.jpg))

笔记 计算时一定要注意第一项是 $\frac{a_0}{2}$ !

## 定理 11.1 (收敛定理)

若以 $2\pi$ 为周期的函数 $f$ 在 $[- \pi, \pi]$ 上按段光滑，则对 $\forall x \in [-\pi, \pi]$ ，傅里叶级数收敛于 $f$ 在 $x$ 左右极限的算术平均值。

## 推论 11.1 (连续特殊情况)

若 $f$ 是以 $2\pi$ 为周期的连续函数，且在 $[- \pi, \pi]$ 上按段光滑，则 $f$ 的傅里叶级数在 $(- \infty, +\infty)$ 上收敛于 $f$

练习11.1几个经典展开(1)求 $f(x) = x^{2}$ 在 $(- \pi, \pi)$ 上的傅里叶级数，并求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$

解(1)计算得到 $a_0 = \frac{2}{3}\pi^2$ ， $a_{n} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}\cos nx\mathrm{d}x = (-1)^{n}\frac{4}{n^{2}}$ ，因此得到

$$
x ^ {2} = \frac {1}{3} \pi^ {2} + \sum_ {n = 1} ^ {\infty} (- 1) ^ {n} \frac {4}{n ^ {2}}
$$

令 $x = \pi$ 得到

$$
\pi^ {2} = \frac {1}{3} \pi^ {2} + \sum_ {n = 1} ^ {\infty} \frac {4}{n ^ {2}} \Rightarrow \sum_ {n = 1} ^ {\infty} \frac {1}{n ^ {2}} = \frac {\pi^ {2}}{6}
$$
![](d54523c5e53334e427bb9e9822136c9ad2e44ba8407c1ddcc6e3a92d9c8e6f2d.jpg))

笔记 注意 $\cos n\pi = (-1)^n$ 。

## 11.2 以 $2l$ 为周期的傅里叶级数

## 定义 11.2 (2l 周期的傅里叶级数)

$f(x)$ 以 $2l$ 为周期，则其傅里叶级数为 $f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos \frac{n\pi x}{l} + b_n \sin \frac{n\pi x}{l})$ ，其中

$$
\int a _ {n} = \frac {1}{l} \int_ {- l} ^ {l} f (x) \cos \frac {n \pi x}{l} \mathrm{d} x, \quad n = 0, 1, 2, \dots
$$

$$
\left\{b _ {n} = \frac {1}{l} \int_ {- l} ^ {l} f (x) \sin {\frac {n \pi x}{l}} \mathrm{d} x, n = 1, 2, \dots \right.
$$

## 11.3 Parseval 等式

定理 11.2 (Parseval 等式)

$$
\frac {1}{\pi} \int_ {- \pi} ^ {\pi} [ f (x) ] ^ {2} \mathrm{d} x = \frac {a _ {0} ^ {2}}{2} + \sum_ {n = 1} ^ {\infty} (a _ {n} ^ {2} + b _ {n} ^ {2})
$$

练习11.2计算数项级数(1)对 $f(x) = x^{2}$ 展开，并证明 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$
![](cc6eab2313c8b054f7a9294640558a696f8d7f28aec6df75223441dd840f7835.jpg))
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> [!proof]- 证明状态
> 本笔记含数学结论；已保留原文。未给出证明的结论将在后续按定义、引理和推导链补证。


> [!theorem] 傅里叶系数唯一性
> 若函数在一个周期内平方可积，且其傅里叶级数在 ^2$ 意义下收敛，则系数由 =\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx$、=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx$ 唯一确定。
> ^thm-fourier-coefficients

> [!proof]- 证明
> 由三角函数系的正交性，将级数两边分别乘以 $\cos(mx)$ 或 $\sin(mx)$ 并在 $[-\pi,\pi]$ 上积分，交叉项为零，仅保留对应系数，得到上述公式。


## 批次证明补全

> [!proof]- 证明说明
> 本章中的定理、命题与公式将按照定义、引理、定理、推论的顺序补全证明。当前保留原有结论、公式编号和上下文；对于原文未提供证明的条目，后续证明只使用本章已声明的假设和前置结果。