--- 返回目录: '[[数学系/分析/数学分析基础/数学分析笔记|数学分析学习指南]]' 上一篇: '[[数学系/分析/数学分析基础/分章笔记/11 第11章 傅里叶级数|第11章 傅里叶级数]]' 下一篇: '[[数学系/分析/数学分析基础/分章笔记/13 第13章 多元微分学|第13章 多元微分学]]' tags: - 数学分析 --- # 第 12 章 多元极限与连续 ## 12.1 累次极限与重极限 ## 12.1.1 基本概念 ## 定义 12.1 (重极限) $a \in \mathbb{R}^n$ , $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 在 $a$ 的去心邻域中有定义, 若 $\exists A, \forall \epsilon, \exists \delta$ 当 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ 满足 $|\mathbf{x} - a| < \delta$ 时, 有 $|f(\mathbf{x}) - A| < \epsilon$ , 则称 $\lim_{\mathbf{x} \to a} f(\mathbf{x}) = A$ 笔记 计算重极限的方法: \- 放缩 + 迫敛：例如 $\left|(x + y)\sin \frac{1}{x}\sin \frac{1}{y}\right| \leq |x + y| = 0$ \- 极坐标变换：例如 $\left|\frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}\right| = \left|\frac{r^3\cos^3\theta + r^3\sin^3\theta}{r^2}\right| = r|\cos^3\theta +\sin^3\theta |\leq 2r\to 0$ 笔记 证明重极限不存在的常用方法: \- 两个累次极限存在但不相等 \- 找特殊的趋近方式，如 $y = kx$ ，使得获得的重极限不同 练习12.1重极限的计算(1)已知 $f(x,y)$ 如下，计算 $\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$ $$ f (x, y) = \left\{ \begin{array}{l l} x y \frac {x ^ {2} - y ^ {2}}{x ^ {2} + y ^ {2}}, & (x, y) \neq 0 \\ 0, & (x, y) = 0 \end{array} \right. $$ 解 (1) 设 $x = r\cos \theta, y = r\sin \theta$ ，则 $$ | f (x, y) | = \left| \frac {r ^ {2} \sin \theta \cos \theta (r ^ {2} \cos^ {2} \theta - r ^ {2} \sin^ {2} \theta)}{r ^ {2}} \right| = \frac {1}{4} r ^ {2} | \sin 4 \theta | \leq \frac {1}{4} r ^ {2} \rightarrow 0 $$ 因此极限为0 ## 定义 12.2 (累次极限) 设 $f(x,y)$ 在 $x_0,y_0$ 的某去心邻域中有定义，则称 $\lim_{y\to y_0}\lim_{x\to x_0}f(x,y),\lim_{x\to x_0}\lim_{y\to y_0}f(x,y)$ 称为累次极限。 笔记 重极限是多个分量同时趋近于 $\mathbf{x}_0$ ，而累次极限相当于依次取极限的极限。 ## 定理 12.1 (重极限与累次极限的关系) 若重极限 $\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y) = A$ 存在，且累次极限存在(累次极限可能不存在)，则累次极限的值为 $A$ 证明 $\forall \epsilon, \exists \delta, |\mathbf{x} - \mathbf{x}_0| < \delta$ 时， $|f(x, y) - A| < \epsilon$ ，两侧取极限 $x \to x_0$ ，得到 $|\lim_{x \to x_0} f(x, y) - A| < \epsilon$ ，当 $|y - y_0| < \delta$ 时显然结论成立。 ## 定理 12.2 (重极限的任意性) 设 $(x,y)$ 沿着任意路径趋于 $(x_0,y_0)$ 时， $f(x,y)\to A$ ，则 $$ \lim _ {(x, y) \to (x _ {0}, y _ {0})} f (x, y) = A $$ 证明 反设 $\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y)\neq A$ ，则 $\exists\epsilon_{0}$ 和 $\{x_{n}\}$ 使得 $\lim_{n\to\infty}x_{n}=(x_{0},y_{0})$ ，但 $|f(x_{n})-A|\geq\epsilon_{0}$ ，将 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},\cdots$ 连接成折线，折线趋近于 $(x_{0},y_{0})$ ，但 $f(x,y)$ 不趋于 A，这与已知矛盾。 练习 12.2 常用反例 讨论 $(0,0)$ 处的重极限与累次极限 (1) 重点: $f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ (2) $f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}$ (3) $f(x,y)=x\sin\frac{1}{y}$ (4) $f(x,y)=x\sin\frac{1}{y}+y\sin\frac{1}{x}$ (5) 重点: $f(x, y) = \begin{cases} 1, & 0 < y < x^2, -\infty < x < +\infty \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$ 解(1)累次都是0。重极限若选择 $y = kx$ ，则得到 $f(x, y) = \frac{kx^2}{(k^2 + 1)x^2} = \frac{k}{k^2 + 1}$ ，重极限不存在。 (2) 累次为 $\pm 1$ 。重极限考虑 $y = kx$ ，则 $f(x, y) = \frac{x - kx}{x + kx} = \frac{1 - k}{1 + k}$ ，不存在 (3) 先 $x$ 后 $y$ 极限为 0，先 $y$ 后 $x$ 不存在。重极限 $x \sin \frac{1}{y} < |x| \to 0$ ，因此重极限为 0 (4) 累次极限不存在。而 $|f(x, y)| \leq |x| + |y| \to 0$ ，重极限为 0。 (5) 画出图像，发现沿着直线逼近都是 0，沿着抛物线 $y = kx^{2} (0 < k < 1)$ 时趋于 1，因此极限不存在。 练习 12.3 反例应用 上述反例可作为以下问题的解答: 1. 累次极限存在但不相等: $\frac{x - y}{x + y}$ 2. 累次极限存在且相等，但重极限不存在： $\frac{xy}{x^2 + y^2}$ 3. 累次极限不存在，但重极限存在： $x \sin \frac{1}{y} + y \sin \frac{1}{x}$ 4. 重极限与双累次极限都不存在: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ ## 12.1.2 重极限的计算 练习 12.4 多元分式 讨论 (0,0) 处的重极限: (1) $f(x,y)=\frac{xy}{x+y}$ (2) $f(x,y)=\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$ (3) $f(x,y)=\frac{x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$ (4) $f(x,y)=\frac{x^{6}y^{8}}{(x^{2}+y^{4})^{5}}$ (5) $f(x,y)=\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}y^{2}+(x-y)^{2}}$ (6) $f(x,y)=\frac{x^{2}y^{2}}{x^{3}+y^{3}}$ 解 (1) 不齐次, 一方面将分子次数升高, $y = x$ 得到极限为 0 。另一方面常数消去公因式, 将分母变简单, 例如 $y = x^{2} - x$ 化简为 $x - 1 \rightarrow -1$ , 因此重极限不存在 (2) 齐次， $y = kx$ ，不存在 (3) 齐次， $y = kx$ ，不存在 (4) 尝试将分母变齐次， $x = ky^{2}$ ，得到 $\frac{k^{6}y^{20}}{(k^{2} + 1)^{5}y^{20}}$ ，不存在 (5) 尝试化简 $x = y$ 得到 1，其他想不到办法，尝试取零， $x = 0$ 得到极限为 0。不存在 (6) 分子次数高： $y = x$ 显然极限为 0。另一方面化简分母，设 $y^{3} = x^{4} - x^{3}$ ，得到 $\frac{x^2(x^4x^3)^{\frac{2}{3}}}{x^4}$ ，极限不是 0。 练习 12.5 指数形式 (1) $\lim_{(x,y)\to(0^{+},0^{+})}x^{y}$ 解(1)用累次极限看出一个0, 一个1, 显然重极限不存在 ## 12.2 多元函数连续性 ## 12.2.1 多元函数连续性 ## 定义 12.3 (多元函数连续) 若 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处满足 $\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y) = f(x_0,y_0)$ ，则称 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续。 例题 12.1 关于 x, y 连续，不多元连续 举例说明 $f(x, y)$ 关于 x, y 均连续，但不多元连续。 $$ f (x, y) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {x y}{x ^ {2} + y ^ {2}}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{array} \right. $$ $f(x,y)$ 关于 $x,y$ 均连续，但是 $\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$ 不存在。 练习 12.6 加强条件 若 $f(x,y)$ 在 D 中关于 x,y 连续，且增加任意条件可证明 $f(x,y)$ 连续： 1. 一致连续条件： $y$ 的连续是关于 $x$ 一致的 2. Lip 条件： $f(x,y)$ 关于 x 满足 Lip 条件，则 $f(x,y)$ 连续 3. 单调条件：关于 $x$ 或 $y$ 单调 证明 (1)(2) 用 $|f(x,y) - f(x_0,y_0)| \leq |f(x,y) - f(x,y_0)| + |f(x,y_0) - f(x_0,y_0)| < 2\epsilon$ 即可，注意第一个绝对值放缩要求 $y$ 的连续关于 $x$ 一致！ (3) 设关于 $y$ 单调增。考虑一点 $(x_0, y_0)$ ，用 $(x, y)$ 逼近，设 $y_0 - \delta_1 < y < y_0 + \delta_1$ ，首先根据 $y$ 的单调性可知 $f(x, y) \leq f(x, y_0 + \delta_1)$ 根据 $y$ 的连续性可知 $f(x, y_0 + \delta_1) \leq f(x, y_0) + \epsilon$ 。进一步地根据 $x$ 的连续性可知 $$ f (x, y) \leq f (x, y _ {0}) + \epsilon \leq f (x _ {0}, y _ {0}) + 2 \epsilon $$ 同理可证得 $f(x,y)\geq f(x_0,y_0) - 2\epsilon$ ，综上可证 $\left|f(x,y) - f(x_0,y_0)\right|\leq 2\epsilon$ 。 ## 12.2.2 多元函数的一致连续性 ## 引理 12.1 (多元三角不等式) 对 $\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbb{R}^n$ ，有 $||\mathbf{x} - |\mathbf{y}||\leq |\mathbf{x} - \mathbf{y}|$ 证明 $|\mathbf{x}| = |(\mathbf{x} - \mathbf{y}) + \mathbf{y}| \leq |\mathbf{x} - \mathbf{y}| + |\mathbf{y}|$ ，因此移项得到 $|\mathbf{x}| - |\mathbf{y}| \leq |\mathbf{x} - \mathbf{y}|$ 。同理可得 $|\mathbf{y}| - |\mathbf{x}| \leq |\mathbf{x} - \mathbf{y}|$ 练习 12.7 多元一致连续 (1) $f(\mathbf{x}) = |\mathbf{x}|$ ，证明 $f(\mathbf{x})$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上一致连续 (2) $f(x, y) = \sin(xy)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 的一致连续性 (3) $f(x, y) = \frac{1}{1 - xy}$ 在 $(0, 1) \times (0, 1)$ 的一致连续性 证明 (1) $\forall \epsilon, \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$ ，若 $|\mathbf{x} - \mathbf{y}| < \epsilon$ ，则根据三角不等式可知 $|f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{y})| = ||\mathbf{x}| - |\mathbf{y}|| \leq |\mathbf{x} - \mathbf{y}| < \epsilon$ ，因此取 $\delta = \epsilon$ 即可。 (2) 选 $a_n = (\sqrt{2n\pi}, \sqrt{2n\pi}), b_n = (\sqrt{2n\pi + \frac{\pi}{2}}, \sqrt{2n\pi + \frac{\pi}{2}})$ ，得到 $|b_n - a_n| \to 0$ ，但 $|f(b_n) - f(a_n)| \neq 0$ ，因此不一致连续。 (3) 由于是在 $(1,1)$ 处出问题，可以考虑 $a_{n} = (1 - \frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n}), b_{n} = (1 - \frac{1}{n + 1}, 1 - \frac{1}{n + 1})$ ，显然 $|a_{n} - b_{n}| \to 0$ ， $|f(a_{n}) - f(b_{n})| = \left|\frac{n^{2} - 3n^{2} + o(n^{2})}{4n^{2} - 1}\right| \to \frac{1}{2}$ ，因此不一致连续。 ## 定理 12.3 (多元 Lip 连续与一致连续) $f(x,y)$ 是二元函数，若对 $\forall (x_1,y),(x_2,y),(x,y_1),(x,y_2)\in \mathbb{R}^2$ 有 $$ \left| f \left(x _ {1}, y\right) - f \left(x _ {2}, y\right) \right| \leq L \left| x _ {1} - x _ {2} \right|, \quad \left| f \left(x, y _ {1}\right) - f \left(x, y _ {2}\right) \right| \leq L \left| y _ {1} - y _ {2} \right| $$ 则 $f(x,y)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上一致连续 证明 考虑 $\left|f(x',y')-f(x'',y'')\right|\leq\left|f(x',y')-f(x',y'')\right|+\left|f(x',y'')-f(x'',y'')\right|$ ，用 Lip 条件放缩即可。 > [!proof]- 证明状态 > 本笔记含数学结论；已保留原文。未给出证明的结论将在后续按定义、引理和推导链补证。