---
返回目录: '[[数学系/分析/数学分析基础/数学分析笔记|数学分析学习指南]]'
上一篇: '[[数学系/分析/数学分析基础/分章笔记/16 第16章 曲线积分|第16章 曲线积分]]'
下一篇: '[[数学系/分析/数学分析基础/分章笔记/18 第18章 实数完备性定理|第18章 实数完备性定理]]'
tags:
- 数学分析
---

# 第 17 章 曲面积分

## 17.1 曲面的面积

## 定理 17.1 (曲面面积公式)

$D$ 是可求面积平面有界区域， $z = f(x,y)$ 在 $D$ 上有连续一阶偏导，则曲面 $z = f(x,y),(x,y)\in D$ 的面积为：

$$
\Delta S = \iint_ {D} \sqrt {1 + f _ {x} ^ {2} + f _ {y} ^ {2}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y
$$

## 定理 17.2 (参数方程曲面面积)

$D$ 为可求面积平面有界区域， $x = x(u,v),y = y(u,v),z = z(u,v)$ 在 $D$ 上有连续一阶偏导，则曲面 $\mathbf{r}(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ 的面积公式为：

$$
\Delta S = \iint_ {D} \sqrt {E G - F ^ {2}} \mathrm{d} u \mathrm{d} v, \left\{ \begin{array}{l} E = x _ {u} ^ {2} + y _ {u} ^ {2} + z _ {u} ^ {2} \\ F = x _ {u} x _ {v} + y _ {u} y _ {v} + z _ {u} z _ {v} \\ G = x _ {v} ^ {2} + y _ {v} ^ {2} + z _ {v} ^ {2} \end{array} \right.
$$

练习17.1曲面面积计算(1)证明 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ 的表面积为 $4\pi R^2$ 解(1)考虑上半平面 $z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}$ ， $D$ 为 $x^{2} + y^{2} \leq R^{2}$ ，则 $z_x = -\frac{x}{z}, z_y = -\frac{y}{z}$ ，因此 $\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} = \frac{R}{z}$ 。得到球面面积为

$$
S = 2 \iint_ {D} \frac {R}{z} \mathrm{d} x \mathrm{d} y = 2 \int_ {0} ^ {R} \mathrm{d} r \int_ {0} ^ {2 \pi} \frac {R}{\sqrt {R ^ {2} - r ^ {2}}} r \mathrm{d} \theta = 4 \pi R \sqrt {R ^ {2} - r ^ {2}} \bigg | _ {R} ^ {0} = 4 \pi R ^ {2}
$$

笔记 对于 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ ，有 $\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} = \frac{a}{z}$ ，这个结论在计算球面曲面积分时经常用到！

## 17.2 第一型曲面积分

## 17.2.1 基本概念与计算公式

## 定义 17.1 (第一型曲面积分)

$S$ 为光滑曲面片，对 $S$ 做分割 $S = \{\Delta S_1, \dots, \Delta S_n\}$ ，记 $\| \Delta \| = \max \{s(\Delta S_i)\}$ ，则定义

$$
\iint_ {S} f (x, y, z) \mathrm{d} S = \lim _ {| | \Delta | | \rightarrow 0} \sum_ {i = 1} ^ {n} f (x _ {i}, y _ {i}, z _ {i}) \Delta S _ {i}
$$

## 定理 17.3 (投影法)

若 $S$ 可表示为 $z = z(x,y),(x,y)\in D$ ，则

$$
\iint_ {S} f (x, y, z) \mathrm{d} S = \iint_ {D} f (x, y, z (x, y)) \sqrt {1 + (\frac {\partial z}{\partial x}) ^ {2} + (\frac {\partial z}{\partial y}) ^ {2}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y
$$

## 定理 17.4 (球坐标变换结论)

对于球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ ，令 $z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ ，则得到

$$
\sqrt {1 + z _ {x} ^ {2} + z _ {y} ^ {2}} = \frac {a}{z}
$$

证明 直接计算可验证

笔记 球面可以使用投影法或极坐标，本质上两者都可以用，而且相差不大。

练习17.2投影法(1)计算 $\iint_{S} \frac{\mathrm{d} S}{z}$ ，其中 $S$ 是球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ 被平面 $z = h$ 所截的顶部。

(2) 计算 $A = \int_{S} (x + y + z) \, \mathrm{d}S$ ，这里 $S$ 表示 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} (z \geq 0)$ ，即球上表面

解(1)做投影法 $z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ ，积分变为 $\iint_{D} \frac{a}{z^2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \iint_{D} \frac{a}{a^2 - x^2 - y^2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$ ，做极坐标变换得到

$$
\int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {\sqrt {a ^ {2} - h ^ {2}}} \frac {a}{a ^ {2} - r ^ {2}} r \mathrm{d} r = 2 \pi a \ln \frac {a}{h}
$$

(2) 根据对称性只剩一项，即 $A = \iint_{S} z \, \mathrm{d}S$ ，因此根据 $z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ 代入计算得到：

$$
A = \iint_ {x ^ {2} + y ^ {2} \leq a ^ {2}} z \cdot \frac {a}{z} \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \iint_ {x ^ {2} + y ^ {2} \leq a ^ {2}} a \mathrm{d} x \mathrm{d} y = a ^ {3} \pi
$$

## 定理 17.5 (参数方程法)

若 $S$ 由参数方程 $x(u,v),y(u,v),z(u,v)$ 给出， $(u,v)\in D$ ，则

$$
\iint_ {S} f (x, y, z) \mathrm{d} S = \iint_ {D} f [ x (u, v), y (u, v), z (u, v) ] \sqrt {E G - F ^ {2}} \mathrm{d} u \mathrm{d} v, \text {其中:} \left\{ \begin{array}{l l} E = x _ {u} ^ {2} + y _ {u} ^ {2} + z _ {u} ^ {2} \\ F = x _ {u} x _ {v} + y _ {u} y _ {v} + z _ {u} z _ {v} \\ G = x _ {v} ^ {2} + y _ {v} ^ {2} + z _ {v} ^ {2} \end{array} \right.
$$

## 定理 17.6 (球坐标极坐标变换)

对于球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ ，令 $x = a\sin \varphi \cos \theta ,y = a\sin \varphi \sin \theta ,z = a\cos \varphi$ ，则

$$
\left\{ \begin{array}{l l} E = a ^ {2} \sin^ {2} \varphi \\ F = 0 & \Rightarrow \sqrt {E G - F ^ {2}} = a ^ {2} \sin \varphi \\ G = a ^ {2} \end{array} \right.
$$

练习17.3参数方程法(1)重点：计算 $I = \iint_{S}\frac{\mathrm{d}S}{\sqrt{x^2 + y^2 + (z + a)^2}}$ ，其中 $S$ 为 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}(z\geq 0)$ 解(1)采用球坐标变换，积分变为 $I = \iint_{S'}\frac{a^2\sin\varphi}{\sqrt{a^2\sin^2\varphi + a^2(\cos\varphi + 1)^2}}\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi$ ，区域为 $\varphi \in [0,\frac{\pi}{2}],\theta \in [0,2\pi ]$ ，进一步化简得到： $I = \iint_{S'}\frac{-a\sin\varphi}{\sqrt{2}\sqrt{1 + \cos\varphi}}\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi = -\sqrt{2}\pi a\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\mathrm{d}(\cos\varphi)}{\sqrt{1 + \cos\varphi}} = 4\pi a - 2\sqrt{2}\pi a$

17.2.2 使用对称性

练习17.4积分曲面对称(1)计算 $\iint_{S} (x + \sin yz) \mathrm{d}S$ ，其中 $S$ 为球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$

(2) $\iint_{S} (x + y + z)^{3} \mathrm{d} S$ ，其中 $S$ 为 $|x| + |y| + |z| = 1$ 解(1)根据 $S$ 关于 $yz$ 平面对称得到 $\iint_{S}x\mathrm{d}s = 0$ ，根据 $S$ 关于 $xz$ 平面对称得到 $\iint_{S}\sin yz\mathrm{d}s = 0$ (2)根据关于原点中心对称性得到为0。

(2) 根据关于原点中心对称性得到为 0。

练习17.5轮换对称性(1)计算 $I = \iint_{S}x^{2}\mathrm{d}S$ 与 $J = \iint xy\mathrm{d}S$ ，其中 $S$ 为球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ 解(1)由于 $S$ 有轮换对称性，得到 $I = \frac{1}{3}\iint_{S}x^{2} + y^{2} + z^{2}\mathrm{d}S = \frac{4}{3}\pi a^4$ 。 $J$ 没必要考虑轮换对称性，由于 $S$ 关于 $yz$ 平面对称，因此 $J = 0$ 。

## 17.3 第二型曲面积分

## 17.3.1 基本概念、投影法、参数方程法

## 定义 17.2 (第二型曲面积分)

对于向量场 $F(x,y,z) = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ ，其通过曲面 $S$ 的通量定义为第二型曲面积分(向外为正):

$$
\iint_ {S} P (x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q (x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y
$$

## 定理 17.7 (投影法)

若曲面 $S$ 的方程为 $z = z(x,y)$ ，在 $xy$ 平面投影区域为 $D_{xy}$ ，则

$$
\iint_ {S} R (x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \pm \iint_ {D _ {x y}} R (x, y, z (x, y)) \mathrm{d} x \mathrm{d} y
$$

正负取决于 $S$ 的法向量与 $z$ 轴正向的夹角，若锐角则取正，钝角取负，直角积分为0。

笔记 若曲面 $S$ 为 $z = a$ 的一部分，则 $\iint_{S} P \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + Q \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + R \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \iint_{S} R(x, y, z) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \pm \iint_{D} R(x, y, a) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$ 。若计算 $\mathrm{d}y \, \mathrm{d}z, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x$ ，则需要考虑在 $yz, zx$ 平面的投影

练习17.6投影法练习(1)计算 $\iint_{S}xyz\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ，其中 $S$ 是球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 在 $x\geq 0,y\geq 0$ 部分，且取球面外侧(2)考虑 $S$ 为 $x = y = z = 0,x = y = z = a$ 六个平面所围成的立方体表面，外侧为正，计算：

$$
\iint_ {S} (x y - y z) \mathrm{d} y \mathrm{d} z + x ^ {2} \mathrm{d} z \mathrm{d} x + (y ^ {2} + x z) \mathrm{d} x \mathrm{d} y
$$

解(1)积分等于 $2\iint_{D_{xy}}xy\sqrt{1 - x^2 - y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta \int_0^1 r^3\cos \theta \sin \theta \sqrt{1 - r^2}\mathrm{d}r = \frac{2}{15}$

(2) 可以用 Gauss 公式，也可以一个一个考虑。例如考虑 $z = a$ 平面 $S_{1}$ ，即 $\iint_{S_1}(y^2 + xz)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_D(y^2 + ax)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{5}{6} a^4$ ，其余同理。

## 定理 17.8 (参数方程法)

若 $S$ 可表示为参数方程 $x = x(u,v),y = y(u,v),z = z(u,v),(u,v) \in D$ ，记 $A = \left|\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}\right|,B = \left|\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\right|,C = \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$ ，则

$$
\iint_ {S} P \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \pm \iint_ {D} (P A + Q B + R C) \mathrm{d} u \mathrm{d} v
$$

若向量 $(A, B, C)$ 与 $S$ 法向量方向一致则取正，否则取负。

练习17.7参数方程法(1) $S$ 为 $\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} +\frac{z^2}{c^2} = 1$ 上半部并取外侧，计算 $\iint_{S}x^{3}\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 解

## 17.3.2 利用对称性

以 $\iint_{S} R(x, y, z) \mathrm{d}x \mathrm{~d}y$ 为例， $\mathrm{d}x \mathrm{~d}y$ 的正负取决于对称点处 $S$ 外法向量与 $z$ 轴正向的夹角，结合 $R(x, y, z)$ 关于 $xy$ 平面或者原点的对称性可分解 $S$ 上的曲面积分， $\mathrm{d}y \mathrm{~d}z$ 与 $\mathrm{d}z \mathrm{~d}x$ 同理。

练习 17.8 方向判断训练 设 $S: |x| + |y| + |z| = 1$ ，方向朝外，判断下面哪些积分值为 0:

(1) $\iint_{S} z \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$ (2) $\iint_{S} x^{2} \sin y \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$ (3) $\iint_{S} y^{2} \sin z \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$ (4) $\iint_{S} \sin x \sin^{2} y \sin^{3} z \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$

解(1)关于 $xy$ 平面对称， $z$ 相反，由于法向量与 $z$ 轴正向夹角相反， $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 也为负，因此非零

(2) 关于 $xz$ 平面对称， $\sin y$ 相反， $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 为正，因此积分为0

(3) 无论怎么考虑都非零

(4) 考虑 yz， $\sin x$ 相反，dxdy 为正，因此积分为 0。

练习 17.9 基本计算 (1) 计算 $I_{1} = \iint_{S} z \, dx \, dy, I_{2} = \iint_{S} z^{2} \, dx \, dy$ ，其中 S 为球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ ，方向取外侧解 (1) $I_{2}$ 考虑关于 xy 平面对称， $z^{2}$ 相等，dx dy 相反，因此积分为 0。 $I_{1}$ 可转换为两倍的上半球面， $I_{1} = 2 \iint_{S_{1}} z \, dx \, dy$ ，由于 $z = \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}}$ ， $D : x^{2} + y^{2} \leq a^{2}$ ，因此

$$
I _ {1} = \iint_ {D} \sqrt {a ^ {2} - x ^ {2} - y ^ {2}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y = 2 \int_ {0} ^ {a} \mathrm{d} r \int_ {0} ^ {2 \pi} \sqrt {a ^ {2} - r ^ {2}} r \mathrm{d} \theta = \frac {4 \pi a ^ {3}}{3}
$$

## 17.3.3 两类曲面积分的联系

## 定理 17.9 (两类曲面积分的联系)

$S$ 为光滑曲面，正侧单位法向量 $\mathbf{n} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ ，则 $\cos \alpha \mathrm{d}S = \mathrm{d}y \mathrm{d}z, \cos \beta \mathrm{d}S = \mathrm{d}z \mathrm{d}x, \cos \gamma \mathrm{d}S = \mathrm{d}x \mathrm{d}y$ ，即

$$
\iint_ {S} P \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \iint_ {S} (P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma) \mathrm{d} S
$$

笔记对一般曲面 $F(x,y,z) = 0$ ，其梯度 $(F_{x},F_{y},F_{z})$ 就是曲面法向量，因此单位法向量的计算方式为：

$$
\mathbf {n} = \pm \frac {1}{\sqrt {F _ {x} ^ {2} + F _ {y} ^ {2} + F _ {z} ^ {2}}} (F _ {x}, F _ {y}, F _ {z})
$$

练习17.10重新计算第二型曲面积分(1)重新计算 $\iint_{S}xyz\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ，其中 $S$ 是球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 在 $x\geq 0,y\geq 0$ 部分，方向朝外解(1)法向量 $\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}} (1,1,1)$ ，因此可以转换为第一型曲面积分：

$$
\iint_ {S} x y z \cdot x \cdot \frac {a}{z} \mathrm{d} S = 2 \iint_ {D} r ^ {4} \cos^ {2} \theta \sin \theta \mathrm{d} r \mathrm{d} \theta = \frac {2}{1 5}
$$

这里乘上2的原因是关于 $z$ 正负有两块。

练习 17.11 用曲面积分联系计算第二型曲面积分 S 为 $x + y + z = 1$ 在 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4x$ 内部的部分，取上侧为正，计算：

$$
I = \iint_ {S} y \mathrm{d} y \mathrm{d} z + z \mathrm{d} z \mathrm{d} x + x \mathrm{d} x \mathrm{d} y
$$

解 (1) 已知 $F(x, y, z) = x + y + z - 1$ ，则梯度为 $\nabla F = (1, 1, 1)$ ，单位法向量 $\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$ ，因此 $I = \iint_{S} \frac{1}{\sqrt{3}}(x + y + z) dS = \frac{1}{\sqrt{3}} S$ ，计算截面圆面积即可，结果为 $\frac{11}{3\sqrt{3}}\pi$

## 17.4 Gauss 公式

## 17.4.1 Gauss 公式与基本使用

## 定理 17.10 (Gauss 公式)

$V \subset \mathbb{R}^3$ 是有界闭区域， $V$ 边界是分片光滑的曲面 $S$ ， $P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 在 $V$ 内有连续偏导，则

$$
\oiint_ {S _ {\text {外}}} P \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \iiint_ {V} (\frac {\partial P}{\partial x} + \frac {\partial Q}{\partial y} + \frac {\partial R}{\partial z}) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z
$$

笔记 使用 Gauss 公式需要保证 V 内任意位置，P, Q, R 都有连续偏导。

练习 17.12 补面计算 (1) 东南大学 2022: 计算 $I = \iint_{S} \frac{(z + 1)\mathrm{d}y\mathrm{d}z + (y + 1)\mathrm{d}z\mathrm{d}x + (x + 1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ ，其中 S 为 $z = \sqrt{9 - x^{2} - y^{2}}$ 曲面，取下侧

解 (1) 补面 $S_{1} = \{z = 0, x^{2} + y^{2} \leq 9\}$ ，方向朝上，则 $I = \frac{1}{9}I_{1} - \frac{1}{9}I_{2} = \frac{1}{9}\iint_{S + S_{1}} - \frac{1}{9}\iint_{S_{1}}$ ，根据 Gauss 公式计算 $I_{1}$ :

$$
I _ {1} = - \iiint_ {V} (0 + 1 + 0) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = - 1 8 \pi
$$

计算 $I_{2}$ ，由于在平面上，曲面积分直接变为二重积分，且 dz=0，：

$$
I _ {2} = \iint_ {x ^ {2} + y ^ {2} \leq 9} (x + 1) \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \int_ {0} ^ {2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_ {0} ^ {3} r ^ {2} \cos + r \mathrm{d} r = 9 \pi
$$

因此结果为 $I = \frac{1}{9} (-18\pi - 9\pi) = -3\pi$

练习 17.13 菱形区域：变量替换！(1) 重点：S 为封闭曲面 $|x - y + z| + |y - z + x| + |z - x + y| = 1$ ，方向朝外，计算 $I = \iint_{S} (x + y - z) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + [2y + \sin(z + x)] \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + (3z + e^{x + y}) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$

(2)(东北师大) 求 $I = \iint_{S} (x + \cos(y - z)) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + (2y + e^{x + z}) \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}x + (3z + \sin(x - y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y)$ ，这里 $S$ 为封闭曲面，方向取外侧

$$
\vert x - y + z \vert + \vert y - z + x \vert + \vert z - x + y \vert = 1
$$

解(1)使用 Gauss 公式即 $I=\iiint_{V}(1+2+3)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ ，考虑坐标变换 $u=x-y+z, v=y-z+x, w=z-x+y$ ，即 $|u|+|v|+|w|\leq1$ ，而 $\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)}=4$ ，因此 $J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}=\frac{1}{4}$ ，因此 $I=\iint_{V'}\frac{3}{2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w=2$ ，这里 $V'=\frac{4}{3}$ 是个锥体。

(2) 使用 Gauss 公式即 $I = \iiint_{V} 6 \mathrm{~d} V$ ，使用坐标变换

$$
u = x + z - y, v = y + x - z, w = y + z - x
$$

得到 $\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} = 4$ ，即 $\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \frac{1}{4}$ ，积分区域为 $|u| + |v| + |w|\leq 1$ ，分为8个小锥体，每个锥体体积 $\frac{1}{6}$ ，因

此最终结果为:

$$
I = \frac {3}{2} \times 8 \times \frac {1}{6} = 2
$$

## 17.4.2 内部有瑕点

练习 17.14 经典题目 S 为不经过原点的光滑封闭曲面，计算

$$
I = \iint_ {S} {\frac {x}{(a x ^ {2} + b y ^ {2} + c z ^ {2}) ^ {\frac {3}{2}}}} \mathrm{d} y \mathrm{d} z + {\frac {y}{(a x ^ {2} + b y ^ {2} + c z ^ {2}) ^ {\frac {3}{2}}}} \mathrm{d} z \mathrm{d} x + {\frac {z}{(a x ^ {2} + b y ^ {2} + c z ^ {2}) ^ {\frac {3}{2}}}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y
$$

解记 $r^2 = ax^2 + by^2 + cz^2$ ，则两侧对 $x$ 求导可以得到

$$
r _ {x} = \frac {a x}{r}
$$

同理可以得到 $r_y, r_z$ 。同时 $P = \frac{x}{r^3}, Q = \frac{y}{r^3}, R = \frac{z}{r^3}$ ，因此可以计算得到

$$
P _ {x} + Q _ {y} + R _ {z} = 0
$$

如果 S 围成的区域不包含原点，则积分为 0。如果包含原点，则挖掉 $V_{1}: ax^{2} + by^{2} + cz^{2} \leq \epsilon^{2}$ ， $S_{1}$ 面方向定义为 $V - V_{1}$ 朝向 $V_{1}$ ，则 $\iint_{S + S_{1}} P \, dy \, dz + Q \, dz \, dx + R \, dx \, dy = \iiint_{V - V_{1}} 0 \, dx \, dy \, dz = 0$ ，因此 $I = -\iint_{S_{1}} P \, dy \, dz + Q \, dz \, dx + R \, dx \, dy$ ，用 Gauss 公式得到

$$
I = \iiint_ {V _ {1}} \frac {3}{\epsilon^ {3}} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \frac {3}{\epsilon^ {3}} \cdot \frac {4}{3} \cdot \frac {\pi \epsilon^ {3}}{\sqrt {a b c}} = \frac {4 \pi}{\sqrt {a b c}}
$$

笔记最常见的形式为： $\iint_{S}\frac{x\mathrm{d}y\mathrm{d}z + y\mathrm{d}z\mathrm{d}x + z\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}} = \left\{ \begin{array}{ll}4\pi , & S\text{围成区域包含原点}\\ 0, & S\text{围成区域不包含原点} \end{array} \right.$

练习 17.15 推广形式 S 为上半椭球面 $2021x^{2} + 2022y^{2} + 2023z^{2} = 1 (z \geq 0)$ ，方向取向上，计算

$$
I = \iint_ {S} \frac {x \mathrm{d} y \mathrm{d} z + y \mathrm{d} z \mathrm{d} x + z \mathrm{d} x \mathrm{d} y}{\left(x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}\right) ^ {\frac {3}{2}}}
$$

解 记 $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ ，显然除原点外 $P_x + Q_y + R_z = 0$ ，记 $V: 2021x^2 + 2022y^2 + 2023z^2 \leq 1 (z \geq 0)$ ， $V_1: x^2 + y^2 + z^2 \leq \epsilon^2 (z \geq 0)$ ，则 $V - V_1$ 的表面分为三个部分 $S + S_1 + S_2$ ，其中 $S_1$ 是小椭球体表面， $S_2$ 为 $z = 0$ 内两个直底面， $S_1, S_2$ 方向朝下。根据 Gauss 公式得到 $\iint_{S + S_1 + S_2} P \mathrm{d}y \mathrm{d}z + Q \mathrm{d}z \mathrm{d}x + R \mathrm{d}x \mathrm{d}y = 0$ ，即

$$
\iint_ {S} P \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R \mathrm{d} x \mathrm{d} y = - \iint_ {S _ {1}} - \iint_ {S _ {2}}
$$

$\iint_{S_2}$ 由于 $z = 0$ 得到积分为0， $\iint_{S_1}$ 得到 $r = \epsilon$ ，即 $P = \frac{x}{\epsilon^3},Q = \frac{y}{\epsilon^3},R = \frac{z}{\epsilon^3}$ ，再补上 $V_{1}$ 下面的小平面 $S_{3}$ ，用Gauss公式得到 $I = \frac{1}{\epsilon^3}\iint_{-S_1 + S_3}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z + y\mathrm{d}z\mathrm{d}x + z\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ，最终结果为 $2\pi$

笔记 最后一步也可以用两类曲面积分的关系进行计算，当第二型不方便算时，要善于转化为第一型进行计算

## 17.5 Stokes 公式

## 17.5.1 Stokes 公式与基本使用

## 定理 17.11 (Stokes 公式)

设曲面 $S$ 的边界 $L$ 是按段光滑的连续曲线，若 $P, Q, R$ 在 $S$ 上连续，且有一阶偏导，则

$$
\oint_ {L} P \mathrm{d} x + Q \mathrm{d} y + R \mathrm{d} z = \iint_ {S} \left| \begin{array}{c c c} \mathrm{d} y \mathrm{d} z & \mathrm{d} z \mathrm{d} x & \mathrm{d} x \mathrm{d} y \\ \frac {\partial}{\partial x} & \frac {\partial}{\partial y} & \frac {\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array} \right| = \iint_ {S} \left| \begin{array}{c c c} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac {\partial}{\partial x} & \frac {\partial}{\partial y} & \frac {\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array} \right| \mathrm{d} S
$$

即将空间第二型曲线积分转换为第二或第一型曲面积分，这里 $\mathbf{n} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为 $S$ 正侧的外单位法向量。注意求法向的曲面 $S$ 和最终积分的 $S$ 要是同一个曲面。

笔记Stokes公式一般用在三维第一型曲线积分，且积分曲线是两个曲面的交线，往往转换为第一型曲面积分更好算：外法向量能用平面就用平面(为常数)，圆面则为圆心到 $(x,y,z)$ 的单位向量。

笔记 确定单位法向量的方向：若积分曲线方向是正向(区域在左)，则单位法向朝曲面朝外，否则朝内。

练习 17.16 一次项 Stokes 公式 利用 Stokes 公式计算下面的第一型曲线积分:

(1) 平面与球面：计算 $I = \oint_{L} y \, \mathrm{d}x + z \, \mathrm{d}y + x \, \mathrm{d}z$ ，其中 $L$ 为 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ 与 $x + y + z = 0$ 的交线，从 $z$ 轴 $+\infty$ 看为逆时针。

(2) 球面与柱面：计算 $\oint_{L} (x - 1) \mathrm{d}y - (y + 1) \mathrm{d}x + z \mathrm{d}z$ ，其中 $L$ 为 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 上半球与柱面 $x^{2} + y^{2} = x$ 的交线，从 $z$ 轴正向来看为逆时针方向。

解(1)记 $S$ 为 $x + y + z = 0$ 位于球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ 内的部分，取上侧 $\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}} (1,1,1)$ ，则根据Stokes公式：

$$
I = \iint_ {S} \left| \begin{array}{c c c} \frac {1}{\sqrt {3}} & \frac {1}{\sqrt {3}} & \frac {1}{\sqrt {3}} \\ \frac {\partial}{\partial x} & \frac {\partial}{\partial y} & \frac {\partial}{\partial z} \\ y & z & x \end{array} \right| = \frac {1}{\sqrt {3}} \iint_ {S} (- 1 - 1 - 1) \mathrm{d} S = - \sqrt {3} \pi a ^ {2}
$$

(2) $\mathbf{n} = (x, y, z)$ ，因此根据Stokes公式得到

$$
I = \iint_ {S} \left| \begin{array}{c c c} x & y & z \\ \frac {\partial}{\partial x} & \frac {\partial}{\partial y} & \frac {\partial}{\partial z} \\ - y - 1 & x - 1 & z \end{array} \right| \mathrm{d} S = \iint_ {S} 2 z \mathrm{d} S = \iint_ {D} 2 \mathrm{d} S = \frac {\pi}{2}
$$

练习 17.17 二次项 Stokes 公式 经典：L 是 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4x$ 与 $x^{2} + y^{2} = 2x$ 的交线在 $z \geq 0$ 的部分，方向为原点进入第一卦限，计算：

$$
I = \oint_ {L} (y ^ {2} + z ^ {2}) \mathrm{d} x + (x ^ {2} + z ^ {2}) \mathrm{d} y + (x ^ {2} + y ^ {2}) \mathrm{d} z
$$

解 曲面 S 是 $(x-2)^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 的一部分，注意原点进第一卦限时区域在右侧，因此方向朝内。单位法向量为 $\mathbf{n}=-\frac{1}{2}(x-2,y,z)$ ，因此根据 Stokes 公式：

$$
\begin{array}{l} I = \oint_ {L} (y ^ {2} + z ^ {2}) \mathrm{d} x + (x ^ {2} + z ^ {2}) \mathrm{d} y + (x ^ {2} + y ^ {2}) \mathrm{d} z \\ = - \iint_ {S} [ (x - 2) (y - z) + y (z - x) + z (x - y) ] \mathrm{d} S = 2 \iint_ {S} (y - z) \mathrm{d} S \end{array}
$$

由于 S 关于 xz 平面对称，因此 $\iint_{S} y \, dS = 0$ ，此时

$$
I = - 2 \iint_ {S} z \mathrm{d} S
$$

而 $S$ 方程为 $z = \sqrt{4 - (x - 2)^2 - y^2}$ ，投影为 $D = \{(x,y):(x - 1)^2 +y^2\leq 1\}$ ，且 $\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} = \frac{2}{z}$ ，得到

$$
I = - 2 \iint_ {S} z \mathrm{d} S = - 2 \iint_ {D} z \cdot \frac {2}{z} \mathrm{d} x \mathrm{d} y = - 4 \pi
$$

## 17.5.2 空间第二型曲线积分与路径无关性

## 定理 17.12 (空间第二型曲线积分与路径无关性)

$V \subseteq \mathbb{R}^3$ 是单连通区域， $P, Q, R$ 在 $V$ 上连续，且有一阶偏导数， $L$ 为 $V$ 内任意光滑曲线，则 $\int_{L} P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y + R \mathrm{d}z$ 与路径无关与下面条件等价：

\- 任意 $V$ 内光滑封闭曲线 $L$ , 满足 $\oint_{L} P \mathrm{~d} x + Q \mathrm{~d} y + R \mathrm{~d} z = 0$

\- $V$ 内处处成立: $P_{y} = Q_{x}, Q_{z} = R_{y}, R_{x} = P_{z}$






> [!proof]- 证明状态
> 本笔记含数学结论；已保留原文。未给出证明的结论将在后续按定义、引理和推导链补证。


## 批次证明补全

> [!proof]- 证明说明
> 本章中的定理、命题与公式将按照定义、引理、定理、推论的顺序补全证明。当前保留原有结论、公式编号和上下文；对于原文未提供证明的条目，后续证明只使用本章已声明的假设和前置结果。