--- tags: - 数学分析 返回目录: '[[数学系/分析/数学分析基础/数学分析笔记|数学分析学习指南]]' 上一篇: '[[数学系/分析/数学分析基础/分章笔记/17 第17章 曲面积分|第17章 曲面积分]]' abstract: '实数完备性等价定理及其证明链' finished: false --- # 第 18 章 实数完备性定理 ## 定义 18.1 (聚点) 若存在各项互异的收敛数列 $\{x_{n}\} \subseteq S$ ，使得 $\lim_{n\to \infty}x_n = \xi$ ，则 $\xi$ 称为 $S$ 的一个聚点。 ## 定理 18.1 (实数七大定理) ## 七大定理如下： \- 确界定理： $S$ 是非空实数集，若 $S$ 有上界，则 $S$ 必有上确界 \- 单调有界定理 \- Cauchy 收敛准则 \- 闭区间套定理 \- 有限开覆盖定理： $S$ 是实数子集， $H$ 为开区间族，若 $\forall x \in S$ 都含于 $H$ 至少一个开区间中，则称 $H$ 是 $S$ 开覆盖。若 $H$ 是 $[a, b]$ 的开覆盖，则可从 $H$ 中选出有限个区间覆盖 $[a, b]$ \- 聚点定理：实轴上任一有界无限点集 $S$ 至少有一个聚点 致密性定理：有界数列必有收敛子列 下面采取确界原理-单调有界定理-闭区间套定理-有限覆盖定理-聚点定理/致密性定理-Cauchy收敛准则的形式循环证明其等价性： 1. 确界证明单调有界定理：设 $a_{n}$ 单增有上界，根据确界原理有上确界，取 $a = \sup \{a_{n}\}$ ，只需证明 $a$ 是 $a_{n}$ 极限。根据上确界定义有 $\exists N, a - \epsilon < a_{N}$ ，再由单增和极限定义显然。 2. 单调有界证明闭区间套： $a_{n}, b_{n}$ 都单调有极限，所以夹住的点存在。唯一性用 $|\xi - \xi'| \leq \lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) = 0$ 证明 3. 闭区间套证明有限覆盖：反设不成立，则 $[a, \frac{a + b}{2}], [\frac{a + b}{2}, b]$ 中至少有一个没有有限覆盖，不停分下去，根据闭区间套有 $\xi \in [a_n, b_n]$ 。当 $n$ 足够大时，一定存在开覆盖集中的区间包含它，因此与假设矛盾。 4. 有限覆盖证明致密性定理：设 $x_{n}$ 有界，若无穷项相等，则显然。若相等的只有有限项，可知 $\exists x_0 \in [a, b]$ 使得 $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ 中有无限项，否则根据有限开覆盖，总共 $x_{n}$ 只有有限项，矛盾。因此在 $(x_0 - \frac{1}{k}, x_0 + \frac{1}{k})$ 中取 $x_{k}$ 即有 $\lim_{k \to \infty} x_{k} = x_{0}$ 5. 聚点定理证明 Cauchy 收敛准则：设 $x_{n}$ 收敛， $\lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ ， $\exists N, \forall n, m > N$ 有 $|x_{n} - a| < \epsilon, |x_{m} - a| < \epsilon$ ，因此 $|a_{n} - a_{m}| \leq |a_{n} - a| + |a - a_{m}| = 2\epsilon$ 6. Cauchy 收敛准则证明确界原理: b 为上界, $a \in S$ , 不断二分, 构造 $a_{n}, b_{n}$ , 最后 $|a_{n+p} - a_{n}| \leq |b_{n} - a_{n}| < \epsilon$ , 因此有极限 a, 满足 $\exists N, a_{N} + \epsilon > a$ 。 > [!theorem] 实数完备性等价定理 > 确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、Heine--Borel 有限覆盖定理、Bolzano--Weierstrass 致密性定理与 Cauchy 收敛准则在 $\mathbb R$ 中彼此等价。 > ^thm-real-completeness > [!proof]- 证明（补充：关键方向） > **确界原理 $\Rightarrow$ 单调有界定理。** 若 $(a_n)$ 单调递增且有上界，令 $a=\sup\{a_n:n\ge1\}$。对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$ 使 $a_N>a-\varepsilon$；单调性给出 $a-\varepsilon > **单调有界定理 $\Rightarrow$ 闭区间套定理。** 对嵌套闭区间 $[a_n,b_n]$，$a_n$ 单调递增、$b_n$ 单调递减，且 $a_n\le b_n$。两列分别收敛于 $a,b$；由区间长度趋于 $0$ 得 $a=b=\xi$，且 $\xi\in[a_n,b_n]$。 > > **Cauchy 准则 $\Rightarrow$ 确界原理。** 对非空有上界集 $S$ 取 $a_1\in S$ 与上界 $b_1$，不断二分并保留含有 $S$ 元素的半区间，得到 $a_n\le\sup S\le b_n$ 且 $b_n-a_n=2^{1-n}(b_1-a_1)$。两端点列构成 Cauchy 列，极限 $\xi$ 满足 $\xi=\sup S$。 > > 其余方向由闭区间套的二分构造、有限覆盖的反证法以及有界序列的区间套抽取收敛子列即可得到；原文的循环路线正是这些构造的组合。