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senses, except the understanding itself, or the one who understands ——Gottfried Wilhelm Leibniz", "bbox": [ 159, 878, 838, 913 ], "page_idx": 0 }, { "type": "text", "text": "目录", "text_level": 2, "bbox": [ 468, 87, 531, 112 ], "page_idx": 1 }, { "type": "text", "text": "第1章 数学基础 1\n1.1 三角函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1\n1.1.1 和差公式、万能公式、倍角公式、半角公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1\n1.1.2 和差化积与积化和差. . . .\n1.1.3 交替三角函数. . .\n1.1.4 重要的三角恒等式. . .\n1.1.5 反三角函数. . .\n1.1.6 三角不等式. . .\n1.2 恒等式. . .\n1.2.1 立方和、四次方和. . .\n1.2.2 最大值、最小值. . .\n1.2.3 次方和. . .\n1.3 不等式. . .\n1.3.1 基本不等式. . .\n1.3.2 Jensen 不等式. . .\n1.3.3 调和级数不等式. . .\n1.4 几何学基础. . .\n1.4.1 常见立体几何体积. . .\n第2章 数列极限 6\n2.1 数列极限的概念与性质. . .\n2.1.1 数列极限的概念. . .\n2.1.2 收敛数列的性质. . .\n2.2 一些重要极限结论. . .\n2.2.1 几个基本极限. . .\n2.2.2 Stirling 公式与 Wallis 公式. . .\n2.2.3 Euler 常数. . .\n2.3 夹逼准则. . .\n2.4 平均值定理. . .\n2.4.1 有限项幂次根号平均. . .\n2.4.2 平均值定理：无穷项算术平均与几何平均. \n2.4.3 技巧：一招解决 n 次根号与除以 n 10\n2.5 使用定积分定义. 10\n2.5.1 使用定积分计算极限. 10\n2.5.2 利用定积分定义构造等价无穷小 12\n2.6 单调有界定理 12\n2.6.1 单调有界定理及其推广 12\n2.6.2 相减法 13\n2.6.3 相除法 13\n2.6.4 不等式放缩 14\n2.7 递推问题 14", "bbox": [ 92, 149, 910, 903 ], "page_idx": 1 }, { "type": "text", "text": "2.7.1 极限压缩定理 14 \n2.7.2 压缩映射定理 15 \n2.8 Stolz 定理 15 \n2.9 积分形式极限：分段法 16 \n2.9.1 定积分形极限 16 \n2.9.2 反常积分形极限 16 \n2.9.3 周期函数积分极限 17 \n\n第3章 函数极限与连续性 18 \n3.1 函数的极限 18 \n3.1.1 函数极限定义 18 \n3.1.2 函数极限的性质 18 \n3.1.3 无穷大与无穷小 19 \n3.1.4 使用定义直接计算 19 \n3.2 函数极限的计算 19 \n3.2.1 等价无穷小公式 19 \n3.2.2 Taylor 展开公式 20 \n3.3 函数的连续性 20 \n3.3.1 函数连续的定义 20 \n3.3.2 间断点的概念 21 \n3.3.3 介值性定理 22 \n3.3.4 介值性定理的无连续推广 23 \n3.4 连续性的应用 23 \n3.5 一致连续 24 \n3.5.1 一致连续的概念 24 \n3.5.2 Cantor 定理及其推广 25 \n3.5.3 Lip 连续与一致连续 26 \n3.5.4 区间合并问题 26 \n3.5.5 四则运算、复合的一致连续性 27 \n3.6 一致连续的经典问题 27 \n\n第4章 一元微分学 28 \n4.1 导数与微分 28 \n4.1.1 导数概念与可导性 28 \n4.1.2 微分的概念 29 \n4.1.3 常用的导数公式 29 \n4.1.4 隐函数、反函数求导 30 \n4.1.5 高阶导数 31 \n4.1.6 使用导数证明恒等式 31 \n4.2 微分中值定理 32 \n4.2.1 三大中值定理 32 \n4.2.2 中值问题：构造辅助函数 33 \n4.2.3 带积分的微分中值问题 35 \n4.2.4 多个中值点的中值问题 35 \n4.2.5 中值等式问题 36", "bbox": [ 102, 82, 910, 902 ], "page_idx": 2 }, { "type": "header", "text": "目录", "bbox": [ 870, 55, 905, 68 ], "page_idx": 2 }, { "type": "page_number", "text": "ii", "bbox": [ 492, 954, 505, 965 ], "page_idx": 2 }, { "type": "text", "text": "4.2.6 中值不等式 36 \n4.2.7 导数极限定理与导数介值定理 37 \n4.3 洛必达法则与Taylor公式 38 \n4.3.1 洛必达法则 38 \n4.3.2 Taylor公式 38 \n4.4 凸函数 39 \n4.4.1 函数的凹凸性 39 \n4.4.2 凸函数的基本性质 40 \n4.4.3 利用凹凸性证明不等式 41 \n4.5 一元极值与导数零点问题 41 \n4.5.1 一元极值的概念与判定 41 \n4.5.2 导数零点问题 41 \n\n第5章 不定积分 43 \n5.1 常用不定积分公式 43 \n5.2 不定积分基本方法 43 \n5.3 不定积分表选例 45 \n5.3.1 三角函数：重点 45 \n5.3.2 对数与指数 48 \n5.3.3 分式问题 48 \n5.3.4 根式问题 49 \n5.3.5 配对积分法 51 \n5.3.6 递推问题 51 \n\n第6章 定积分 52 \n6.1 定积分理论 52 \n6.1.1 可积性 52 \n6.1.2 Newton-Leibniz公式 53 \n6.1.3 四则运算与复合 54 \n6.1.4 定积分的保号性 55 \n6.1.5 积分中值定理 56 \n6.2 三角函数定积分计算 57 \n6.2.1 $[0,\\frac{\\pi}{2}]$ 上三角函数积分公式 57 \n6.2.2 $[0,\\pi],[0,2\\pi]$ 上三角函数积分 58 \n6.2.3 区间再现公式 59 \n6.2.4 Euler积分 60 \n6.2.5 Dirichlet积分 60 \n6.2.6 其他几个常见三角积分 61 \n6.3 积分(不)等式 61 \n6.3.1 整体放缩 61 \n6.3.2 同区域单调性放缩 61 \n6.3.3 利用Newton-Leibniz公式 62 \n6.3.4 利用Cauchy-Schwarz不等式 63 \n6.3.5 利用微分中值定理 63", "bbox": [ 102, 82, 910, 884 ], "page_idx": 3 }, { "type": "text", "text": "第7章 反常积分", "bbox": [ 90, 895, 226, 910 ], "page_idx": 3 }, { "type": "header", "text": "目录", "bbox": [ 870, 55, 905, 68 ], "page_idx": 3 }, { "type": "page_number", "text": "65", "bbox": [ 884, 897, 905, 909 ], "page_idx": 3 }, { "type": "page_number", "text": "iii", "bbox": [ 490, 954, 507, 965 ], "page_idx": 3 }, { "type": "text", "text": "7.1 反常积分理论 65\n7.1.1 无穷积分与瑕积分概念 65\n7.1.2 反常积分比较判别法 66\n7.1.3 Dirichlet与Abel判别法 67\n7.1.4 函数在无穷远处的性质 69\n7.2 反常积分的计算 70\n7.2.1 两个常用的基础反常积分 70\n7.2.2 富如兰尼积分 70\n7.2.3 Dirichlet积分 71\n第8章 数项级数 73\n8.1 数项级数基本理论 73\n8.2 正项级数 74\n8.2.1 比较原则 74\n8.2.2 比式判别法与根式判别法 75\n8.2.3 积分判别法和拉贝判别法 77\n8.2.4 放缩证明敛散性 77\n8.3 任意项级数 78\n8.3.1 交错项级数 78\n8.3.2 Dirichlet与Abel判别法 79\n8.4 数项级数理论 79\n8.4.1 级数的加括号 79\n8.4.2 级数的重排 80\n8.4.3 正部与负部 81\n8.4.4 级数的乘积 82\n8.4.5 级数的相互控制 82\n第9章 函数列与函数项级数 84\n9.1 函数列的一致收敛 84\n9.1.1 一致收敛的概念 84\n9.1.2 一致收敛的基本判别法 84\n9.1.3 一致收敛判别练习 85\n9.1.4 四则运算、复合极限的一致收敛性 86\n9.2 函数列极限的性质 87\n9.2.1 极限函数的连续性 87\n9.2.2 极限函数的可积性 88\n9.2.3 极限函数的可微性 89\n9.2.4 连续+单调：推出一致收敛 90\n9.3 函数项级数的一致收敛性 90\n9.3.1 一致收敛的基本性质与判别 90\n9.3.2 Dirichlet与Abel判别法 91\n9.4 函数项级数极限函数的性质 92\n第10章 幂级数 93\n10.1 幂级数概念及其收敛区间 93\n10.1.1 收敛区间与收敛半径 93", "bbox": [ 97, 82, 910, 915 ], "page_idx": 4 }, { "type": "header", "text": "目录", "bbox": [ 870, 55, 905, 68 ], "page_idx": 4 }, { "type": "page_number", "text": "iv", "bbox": [ 490, 954, 507, 965 ], "page_idx": 4 }, { "type": "text", "text": "10.1.2 幂级数的一致收敛性 ..... 94\n10.1.3 缺项幂级数的收敛区域 ..... 95\n10.2 幂级数展开式求和 ..... 95\n10.2.1 等比级数 ..... 96\n10.2.2 arctan x 级数 ..... 96\n10.2.3 $e^x$ 级数 ..... 97\n10.3 幂级数求和式展开 ..... 97\n10.3.1 基本理论与直接展开 ..... 97\n10.3.2 求导与求积 ..... 98\n\n第 11 章 傅里叶级数 ..... 99\n11.1 以 $2\\pi$ 为周期的傅里叶级数 ..... 99\n11.2 以 $2l$ 为周期的傅里叶级数 ..... 99\n11.3 Parseval 等式 ..... 100\n\n第 12 章 多元极限与连续 ..... 101\n12.1 累次极限与重极限 ..... 101\n12.1.1 基本概念 ..... 101\n12.1.2 重极限的计算 ..... 102\n12.2 多元函数连续性 ..... 103\n12.2.1 多元函数连续性 ..... 103\n12.2.2 多元函数的一致连续性 ..... 103\n\n第 13 章 多元微分学 ..... 105\n13.1 多变量导数与微分 ..... 105\n13.1.1 全微分与偏导数 ..... 105\n13.1.2 可微性的证明 ..... 105\n13.1.3 梯度与方向导数 ..... 106\n13.1.4 可微、偏导、方向导数、连续关系总结 ..... 107\n13.1.5 复合求导：链式法则 ..... 108\n13.1.6 混合偏导 ..... 108\n13.2 多元中值定理与泰勒展开 ..... 109\n13.2.1 多元中值定理 ..... 109\n13.2.2 多元 Taylor 展开 ..... 110\n13.3 隐函数定理 ..... 110\n13.3.1 隐函数存在定理与可微定理 ..... 110\n13.3.2 隐函数组存在定理与微分定理 ..... 111\n13.4 多元无条件极值问题 ..... 112\n13.4.1 无条件极值 ..... 113\n13.4.2 最值问题：极值点 + 边界 ..... 114\n13.4.3 多元极值理论证明 ..... 114\n13.5 条件极值 ..... 115\n13.5.1 Lagrange 乘数法 ..... 115\n\n第 14 章 含参积分 ..... 117\n14.1 含参正常积分 ..... 117", "bbox": [ 95, 82, 910, 908 ], "page_idx": 5 }, { "type": "header", "text": "目录", "bbox": [ 870, 55, 905, 68 ], "page_idx": 5 }, { "type": "page_number", "text": "V", "bbox": [ 492, 954, 504, 964 ], "page_idx": 5 }, { "type": "text", "text": "14.1.1 含参正常积分基本概念与定理 ..... 117\n14.1.2 常用含参正常积分的计算 ..... 118\n14.2 含参反常积分与一致收敛 ..... 119\n14.2.1 基本概念 ..... 119\n14.2.2 Dirichlet 与 Abel 判别法 ..... 120\n14.3 含参反常积分的性质 ..... 121\n14.3.1 含参反常积分的极限与连续性 ..... 121\n14.3.2 含参反常积分的可微性与可积性 ..... 121\n14.3.3 含参反常积分与函数项级数的关系 ..... 122\n\n第 15 章 多重积分 ..... 124\n15.1 二重积分 ..... 124\n15.1.1 二重积分的概念与计算 ..... 124\n15.1.2 二重积分可积性 ..... 125\n15.1.3 二重积分换元法 ..... 125\n15.1.4 极坐标换元 ..... 126\n15.2 三重积分 ..... 127\n15.2.1 投影法 ..... 127\n15.2.2 截面法 ..... 128\n15.2.3 三重积分换元法 ..... 128\n15.2.4 柱面坐标变换与球坐标变换 ..... 128\n\n第 16 章 曲线积分 ..... 130\n16.1 曲线的参数化 ..... 130\n16.2 第一型曲线积分 ..... 130\n16.2.1 第一型曲线积分的基本概念 ..... 130\n16.2.2 使用对称性 ..... 131\n16.2.3 曲线积分中值问题 ..... 132\n16.3 第二型曲线积分 ..... 132\n16.3.1 基本概念与参数计算 ..... 132\n16.3.2 使用对称性 ..... 133\n16.3.3 两类曲线积分的关系 ..... 135\n16.4 Green 公式 ..... 135\n16.4.1 Green 公式及其基本应用 ..... 135\n16.4.2 内部有瑕点 ..... 136\n16.4.3 曲线积分与路径无关性 ..... 137\n\n第 17 章 曲面积分 ..... 138\n17.1 曲面的面积 ..... 138\n17.2 第一型曲面积分 ..... 138\n17.2.1 基本概念与计算公式 ..... 138\n17.2.2 使用对称性 ..... 139\n17.3 第二型曲面积分 ..... 140\n17.3.1 基本概念、投影法、参数方程法 ..... 140\n17.3.2 利用对称性 ..... 141\n17.3.3 两类曲面积分的联系 ..... 141", "bbox": [ 90, 83, 910, 915 ], "page_idx": 6 }, { "type": "header", "text": "目录", "bbox": [ 870, 55, 905, 68 ], "page_idx": 6 }, { "type": "page_number", "text": "vi", "bbox": [ 490, 954, 507, 964 ], "page_idx": 6 }, { "type": "text", "text": "17.4 Gauss 公式 ..... 142\n17.4.1 Gauss 公式与基本使用 ..... 142\n17.4.2 内部有瑕点 ..... 143\n17.5 Stokes 公式 ..... 143\n17.5.1 Stokes 公式与基本使用 ..... 143\n17.5.2 空间第二型曲线积分与路径无关性 ..... 145\n18 章 实数完备性定理 ..... 146", "bbox": [ 114, 84, 907, 223 ], "page_idx": 7 }, { "type": "header", "text": "目录", "bbox": [ 870, 55, 905, 68 ], "page_idx": 7 }, { "type": "page_number", "text": "vii", "bbox": [ 489, 954, 507, 965 ], "page_idx": 7 }, { "type": "text", "text": "第1章 数学基础", "text_level": 2, "bbox": [ 394, 87, 620, 111 ], 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"type": "equation", "text": "$$\n\\cos 2 \\alpha = \\cos^ {2} \\alpha - \\sin^ {2} \\alpha = 2 \\cos^ {2} \\alpha - 1 = 1 - 2 \\sin^ {2} \\alpha\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 302, 728, 694, 745 ], "page_idx": 8 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\tan 2 \\alpha = \\frac {2 \\tan \\alpha}{1 - \\tan^ {2} \\alpha}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 420, 749, 574, 778 ], "page_idx": 8 }, { "type": "text", "text": "五、半角公式", "bbox": [ 92, 780, 200, 795 ], "page_idx": 8 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sin {\\frac {\\alpha}{2}} = \\pm \\sqrt {\\frac {1 - \\cos \\alpha}{2}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 324, 102, 492, 133 ], "page_idx": 9 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\cos {\\frac {\\alpha}{2}} = \\pm \\sqrt {\\frac {1 + \\cos \\alpha}{2}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 324, 136, 492, 167 ], "page_idx": 9 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\tan {\\frac {\\alpha}{2}} = \\frac {\\sin \\alpha}{1 + \\cos \\alpha} = \\frac {1 - \\cos \\alpha}{\\sin \\alpha} = \\pm \\sqrt {\\frac {1 - \\cos \\alpha}{1 + \\cos \\alpha}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 322, 168, 673, 200 ], "page_idx": 9 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\cot {\\frac {\\alpha}{2}} = \\frac {1 + \\cos \\alpha}{\\sin \\alpha} = \\frac {\\sin \\alpha}{1 - \\cos \\alpha} = \\pm \\sqrt {\\frac {1 + \\cos \\alpha}{1 - \\cos \\alpha}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 324, 203, 673, 234 ], "page_idx": 9 }, { "type": "text", "text": "1.1.2 和差化积与积化和差", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 252, 332, 268 ], "page_idx": 9 }, { "type": "text", "text": "一、和差化积", "text_level": 2, "bbox": [ 90, 280, 200, 294 ], "page_idx": 9 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\cos \\alpha + \\cos \\beta = 2 \\cos {\\frac {\\alpha + \\beta}{2}} \\cos {\\frac {\\alpha - \\beta}{2}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 356, 313, 633, 343 ], "page_idx": 9 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\cos \\alpha - \\cos \\beta = - 2 \\sin {\\frac {\\alpha + \\beta}{2}} \\sin {\\frac {\\alpha - \\beta}{2}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 357, 344, 642, 372 ], "page_idx": 9 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sin \\alpha + \\sin \\beta = 2 \\sin {\\frac {\\alpha + \\beta}{2}} \\cos {\\frac {\\alpha - \\beta}{2}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 356, 373, 628, 401 ], "page_idx": 9 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sin \\alpha - \\sin \\beta = 2 \\cos {\\frac {\\alpha + \\beta}{2}} \\sin {\\frac {\\alpha - \\beta}{2}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 357, 401, 626, 430 ], "page_idx": 9 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\tan \\alpha + \\tan \\beta = \\frac {\\sin (\\alpha + \\beta)}{\\cos \\alpha \\cos \\beta}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 357, 432, 559, 462 ], "page_idx": 9 }, { "type": "text", "text": "二、积化和差：异 $\\sin$ 同cos", "text_level": 2, "bbox": [ 90, 464, 304, 480 ], "page_idx": 9 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\cos \\alpha \\cos \\beta = \\frac {1}{2} [ \\cos (\\alpha + \\beta) + \\cos (\\alpha - \\beta) ]\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 344, 500, 645, 527 ], "page_idx": 9 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sin \\alpha \\sin \\beta = - \\frac {1}{2} [ \\cos (\\alpha + \\beta) - \\cos (\\alpha - \\beta) ]\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 344, 530, 653, 556 ], "page_idx": 9 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sin \\alpha \\cos \\beta = \\frac {1}{2} [ \\sin (\\alpha + \\beta) + \\sin (\\alpha - \\beta) ]\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 344, 558, 638, 585 ], "page_idx": 9 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\cos \\alpha \\sin \\beta = \\frac {1}{2} [ \\sin (\\alpha + \\beta) - \\sin (\\alpha - \\beta) ]\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 344, 587, 638, 613 ], "page_idx": 9 }, { "type": "text", "text": "1.1.3 交替三角函数", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 632, 273, 648 ], "page_idx": 9 }, { "type": "text", "text": "1. $(-1)^{n}\\sin nx=\\sin(x+\\pi)n$", "bbox": [ 110, 659, 334, 675 ], "page_idx": 9 }, { "type": "text", "text": "2. $(-1)^{n}\\cos nx = \\cos (x + \\pi)n$", "bbox": [ 110, 678, 337, 694 ], "page_idx": 9 }, { "type": "text", "text": "1.1.4 重要的三角恒等式", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 715, 312, 731 ], "page_idx": 9 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\cos \\frac {x}{2 ^ {n}} \\cdot \\cos \\frac {x}{2 ^ {n - 1}} \\dots \\cos \\frac {x}{2} = \\frac {\\sin x}{2 ^ {n} \\sin \\frac {x}{2 ^ {n}}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 110, 741, 413, 772 ], "page_idx": 9 }, { "type": "equation", "text": "$$\n2. \\sin x + \\sin 2 x + \\dots + \\sin n x = \\frac {\\cos \\frac {x}{2} - \\cos (n + \\frac {1}{2}) x}{2 \\sin \\frac {x}{2}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 110, 772, 505, 803 ], "page_idx": 9 }, { "type": "equation", "text": "$$\n3. \\cos x + \\cos 2 x + \\dots + \\cos n x = \\frac {\\sin (n + \\frac {1}{2}) x - \\sin \\frac {x}{2}}{2 \\sin \\frac {x}{2}} = \\frac {\\sin (n + \\frac {1}{2}) x}{2 \\sin \\frac {x}{2}} - \\frac {1}{2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 110, 802, 650, 837 ], "page_idx": 9 }, { "type": "text", "text": "4. $\\arctan \\frac{1}{2k^2} = \\arctan \\frac{k}{k + 1} - \\arctan \\frac{k - 1}{k}$", "bbox": [ 110, 835, 442, 863 ], "page_idx": 9 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 将右侧分母乘到左侧去，用二倍角即可。", "bbox": [ 90, 863, 455, 877 ], "page_idx": 9 }, { "type": "header", "text": "1.1 三角函数", "bbox": [ 806, 55, 905, 68 ], "page_idx": 9 }, { "type": "page_number", "text": "2", "bbox": [ 492, 953, 505, 964 ], "page_idx": 9 }, { "type": "text", "text": "(2) 左边乘 $\\sin \\frac{x}{2}$ , 得到", "bbox": [ 122, 80, 295, 107 ], "page_idx": 10 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sin {\\frac {x}{2}} I = \\sum_ {k = 1} ^ {n} \\sin k x \\sin {\\frac {x}{2}} = - \\frac {1}{2} \\sum_ {k = 1} ^ {n} [ \\cos (k + \\frac {1}{2}) x - \\cos (k - \\frac {1}{2}) x ] = \\frac {1}{2} \\left[ \\cos {\\frac {x}{2}} - \\cos (n + \\frac {1}{2}) x \\right]\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 164, 110, 828, 146 ], "page_idx": 10 }, { "type": "text", "text": "(3) 和 (2) 类似", "bbox": [ 124, 149, 231, 165 ], "page_idx": 10 }, { "type": "text", "text": "1.1.5 反三角函数", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 187, 252, 204 ], "page_idx": 10 }, { "type": "text", "text": "定理 1.1 (反三角函数倒数关系)", "bbox": [ 124, 219, 352, 235 ], "page_idx": 10 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\arctan x + \\arctan {\\frac {1}{x}} = \\frac {\\pi}{2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 406, 247, 589, 275 ], "page_idx": 10 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\operatorname{arccot} x + \\operatorname{arccot} \\frac {1}{x} = \\frac {\\pi}{2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 413, 275, 581, 304 ], "page_idx": 10 }, { "type": "text", "text": "证明 画一个直角三角形，角 $\\theta_{1}$ 对着边长 $1$ ， $\\theta_{2} = \\frac{\\pi}{2} -\\theta_{1}$ 对着边长 $x$ ， $\\tan \\theta_1 = \\frac{1}{x},\\tan \\theta_2 = x$ ，而两角互补。", "bbox": [ 90, 316, 882, 344 ], "page_idx": 10 }, { "type": "text", "text": "1.1.6 三角不等式", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 362, 253, 379 ], "page_idx": 10 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\text { 定理 } 1. 2 (\\sin x \\text { 不等式 })\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 122, 395, 290, 409 ], "page_idx": 10 }, { "type": "equation", "text": "$$\nx \\in (0, {\\frac {\\pi}{2}}) \\text { 时 }, {\\frac {2 x}{\\pi}} < \\sin x < x < \\tan x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 114, 414, 400, 442 ], "page_idx": 10 }, { "type": "text", "text": "定理 1.3 (反三角不等式)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 466, 302, 481 ], "page_idx": 10 }, { "type": "text", "text": "$\\arcsin x > x > \\arctan x$ ，当 x 为小正数时。", "bbox": [ 114, 487, 431, 500 ], "page_idx": 10 }, { "type": "text", "text": "1.2 恒等式", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 544, 216, 563 ], "page_idx": 10 }, { "type": "text", "text": "1.2.1 立方和、四次方和", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 583, 312, 600 ], "page_idx": 10 }, { "type": "text", "text": "定理 1.4 (立方和公式)", "bbox": [ 122, 615, 285, 630 ], "page_idx": 10 }, { "type": "equation", "text": "$$\na ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) \\left(a ^ {2} - a b + b ^ {2}\\right), a ^ {3} - b ^ {3} = (a - b) \\left(a ^ {2} + a b + b ^ {2}\\right)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 114, 634, 576, 653 ], "page_idx": 10 }, { "type": "text", "text": "定理 1.5 (四次方和差公式)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 677, 319, 692 ], "page_idx": 10 }, { "type": "equation", "text": "$$\na ^ {4} + b ^ {4} = (a ^ {2} + b ^ {2}) ^ {2} - 2 a ^ {2} b ^ {2} = (a ^ {2} + b ^ {2} - \\sqrt {2} a b) (a ^ {2} + b ^ {2} - \\sqrt {2} a b)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 114, 697, 594, 714 ], "page_idx": 10 }, { "type": "text", "text": "1.2.2 最大值、最小值", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 753, 292, 769 ], "page_idx": 10 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\min \\{a, b \\} = \\frac {1}{2} (a + b - | a - b |), \\max \\{a, b \\} = \\frac {1}{2} (a + b + | a - b |)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 270, 793, 724, 821 ], "page_idx": 10 }, { "type": "header", "text": "1.2 恒等式", "bbox": [ 823, 55, 905, 68 ], "page_idx": 10 }, { "type": "page_number", "text": "3", "bbox": [ 492, 954, 504, 965 ], "page_idx": 10 }, { "type": "text", "text": "1.2.3 次方和", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 85, 213, 102 ], "page_idx": 11 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} 1 + 2 + \\dots + n = \\frac {n (n - 1)}{2} \\\\ 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + \\dots + n ^ {2} = \\frac {n (n + 1) (2 n + 1)}{6} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 339, 124, 638, 180 ], "page_idx": 11 }, { "type": "text", "text": "1.3 不等式", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 200, 218, 219 ], "page_idx": 11 }, { "type": "text", "text": "1.3.1 基本不等式", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 239, 253, 256 ], "page_idx": 11 }, { "type": "text", "text": "一、均值不等式：", "text_level": 2, "bbox": [ 90, 267, 220, 282 ], "page_idx": 11 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\frac {n}{\\frac {1}{x _ {1}} + \\cdots + \\frac {1}{x _ {n}}} \\leq \\sqrt [ n ]{x _ {1} x _ {2} \\cdots x _ {n}} \\leq \\frac {x _ {1} + \\cdots + x _ {n}}{n} \\leq \\sqrt {\\frac {x _ {1} ^ {2} + \\cdots + x _ {n} ^ {2}}{n}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 255, 298, 741, 335 ], "page_idx": 11 }, { "type": "text", "text": "二、对数不等式", "text_level": 2, "bbox": [ 90, 341, 215, 357 ], "page_idx": 11 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\frac {x}{1 + x} \\leq \\ln (1 + x) \\leq x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 416, 375, 584, 401 ], "page_idx": 11 }, { "type": "text", "text": "1.3.2 Jensen 不等式", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 419, 277, 437 ], "page_idx": 11 }, { "type": "text", "text": "定理 1.6 (Jensen 不等式)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 451, 305, 467 ], "page_idx": 11 }, { "type": "text", "text": "若 $\\sum_{i=1}^{n} t_i = 1$ , $f$ 是 (下) 凸函数, 则", "bbox": [ 115, 474, 378, 510 ], "page_idx": 11 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sum_ {i = 1} ^ {n} t _ {i} f (x _ {i}) \\geq f (\\sum_ {i = 1} ^ {n} t _ {i} x _ {i})\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 405, 508, 589, 546 ], "page_idx": 11 }, { "type": "text", "text": "练习 1.1Jensen 不等式的应用 (1)ZJU2021: 若 $\\sum_{i=1}^{n} p_{i} = 1, \\quad p_{i} \\in (0,1), \\quad x_{1}, \\cdots, x_{n} \\in R$ ，证明 $\\sum_{i=1}^{n} p_{i}(x_{i} - \\ln p_{i}) \\leq \\ln(\\sum_{i=1}^{n} e^{x_{i}})$", "bbox": [ 58, 558, 904, 630 ], "page_idx": 11 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 根据 $x_{i} = \\ln (e^{x_{i}})$ ，因此即证明 $\\sum_{i=1}^{n} p_{i} (\\ln \\frac{e^{x_{i}}}{p_{i}}) \\leq \\ln (\\sum_{i=1}^{n} e^{x_{i}})$ ，设 $t_{i} = \\frac{e^{x_{i}}}{p_{i}}$ ，不等式变为 $\\sum_{i=1}^{n} p_{i} \\ln (t_{i}) \\leq \\ln (\\sum_{i=1}^{n} t_{i} p_{i})$ ，由于 $\\ln x$ 是凹函数，因此得证。", "bbox": [ 87, 629, 905, 703 ], "page_idx": 11 }, { "type": "text", "text": "1.3.3 调和级数不等式", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 722, 294, 739 ], "page_idx": 11 }, { "type": "text", "text": "定理 1.7 (调和级数不等式)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 755, 321, 770 ], "page_idx": 11 }, { "type": "text", "text": "$\\ln(n+1)<1+\\frac{1}{2}+\\cdots+\\frac{1}{n}<1+\\ln n,$ 进一步地， $\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{1+\\frac{1}{2}+\\cdots+\\frac{1}{n}}{\\ln n}=1$ (即 Euler 常数)", "bbox": [ 110, 772, 794, 808 ], "page_idx": 11 }, { "type": "text", "text": "证明 由于 $\\frac{x}{1 + x} \\leq \\ln (1 + x) \\leq x$ ，因此 $\\frac{\\frac{1}{n}}{1 + \\frac{1}{n}} < \\ln (1 + \\frac{1}{n}) < \\frac{1}{n}$ ，即 $\\frac{1}{n + 1} < \\ln \\frac{n + 1}{n} < \\frac{1}{n}$ ，求和得到：", "bbox": [ 89, 816, 855, 852 ], "page_idx": 11 }, { "type": "equation", "text": "$$\n1 + \\frac {1}{2} + \\dots + \\frac {1}{n} < 1 + \\ln \\frac {2}{1} + \\dots + \\ln \\frac {n}{n - 1} = 1 + \\ln n\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 295, 854, 700, 884 ], "page_idx": 11 }, { "type": "text", "text": "另一侧同理", "bbox": [ 90, 885, 179, 900 ], "page_idx": 11 }, { "type": "header", "text": "1.3 不等式", "bbox": [ 823, 54, 905, 68 ], "page_idx": 11 }, { "type": "page_number", "text": "4", "bbox": [ 492, 954, 505, 964 ], "page_idx": 11 }, { "type": "text", "text": "1.4 几何学基础", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 87, 265, 107 ], "page_idx": 12 }, { "type": "text", "text": "1.4.1 常见立体几何体积", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 127, 312, 143 ], "page_idx": 12 }, { "type": "text", "text": "定理 1.8 (椭球面积)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 160, 270, 175 ], "page_idx": 12 }, { "type": "text", "text": "$ax^{2} + by^{2} + cz^{2}\\leq r^{2}$ 的体积为 $\\frac{4\\pi r^3}{3\\sqrt{abc}}$", "bbox": [ 114, 179, 396, 212 ], "page_idx": 12 }, { "type": "text", "text": "证明 做仿射变换 $x' = \\sqrt{ax}, y' = \\sqrt{by}, z' = \\sqrt{cz}$ ，而 $S' = \\frac{4}{3}\\pi r^3$ ，因此", "bbox": [ 92, 225, 605, 250 ], "page_idx": 12 }, { "type": "equation", "text": "$$\nS = \\frac {S ^ {\\prime}}{\\sqrt {a b c}} = \\frac {4 \\pi r ^ {3}}{3 \\sqrt {a b c}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 421, 255, 573, 287 ], "page_idx": 12 }, { "type": "header", "text": "1.4 几何学基础", "bbox": [ 789, 55, 905, 68 ], "page_idx": 12 }, { "type": "page_number", "text": "5", "bbox": [ 494, 954, 504, 964 ], "page_idx": 12 }, { "type": "text", "text": "第 2 章 数列极限", "text_level": 1, "bbox": [ 396, 87, 618, 111 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "2.1 数列极限的概念与性质", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 145, 384, 165 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "2.1.1 数列极限的概念", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 184, 292, 200 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "定义 2.1 (数列极限)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 217, 270, 231 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "$a_{n}$ 是实数列， $A\\in \\mathbb{R}$ ，若 $\\forall \\epsilon ,\\exists N,\\forall n > N$ 有 $|a_n - A| < \\epsilon$ ，则称 $a_{n}$ 收敛到 $A$ ，记作 $\\lim_{n\\to \\infty}a_n = A$", "bbox": [ 112, 235, 825, 259 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "定理 2.1 (极限的四则运算)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 282, 321, 297 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "若 $\\lim_{n\\to \\infty}a_n,\\lim_{n\\to \\infty}b_n$ 都存在(不存在时不能拆！)，则 $\\lim_{n\\to \\infty}(a_n\\odot b_n) = \\lim_{n\\to \\infty}a_n\\odot \\lim_{n\\to \\infty}b_n$ ，这里 $\\odot$ 指任意运算(除法额外要求 $\\lim_{n\\to \\infty}b_n\\neq 0)$ 。", "bbox": [ 114, 302, 882, 337 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "定理 2.2 (cauchy 收敛准则)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 367, 322, 382 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "数列 $a_{n}$ 收敛当且仅当 $\\forall \\epsilon, \\exists N, \\forall m, n > N$ 有 $|a_{n} - a_{m}| < \\epsilon$", "bbox": [ 114, 387, 542, 403 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "练习 2.1 几个经典极限 (1) 证明 $\\sin n$ 发散", "bbox": [ 60, 423, 400, 437 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "(2) 证明 $a_{n} = 1 + \\frac{1}{2} + \\cdots + \\frac{1}{n}$ 发散", "bbox": [ 122, 438, 386, 462 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 显然区间 $\\left[2k\\pi+\\frac{\\pi}{4},2k\\pi+\\frac{3\\pi}{4}\\right]$ 长度大于 1，一定包含一个整数，可以取 $n\\in\\left[2k\\pi+\\frac{\\pi}{4},2k\\pi+\\frac{3\\pi}{4}\\right]$ ，取 $m\\in\\left[2k\\pi+\\pi,2k\\pi+2\\pi\\right]$ ，则 n,m 可取无穷大， $\\left|\\sin n-\\sin m\\right|\\geq\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ ，因此根据 Cauchy 收敛准则知道发散。\n(2) $\\forall N$ ，取n=N,m=2N，则 $\\left|a_{n}-a_{m}\\right|=\\frac{1}{N+1}+\\cdots+\\frac{1}{2N}\\geq\\frac{N}{2N}=\\frac{1}{2}$ ，因此根据Cauchy收敛准则逆否命题可知发散", "bbox": [ 89, 461, 905, 556 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "2.1.2 收敛数列的性质", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 577, 292, 594 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "定理 2.3 (收敛数列的性质)", "text_level": 2, "bbox": [ 124, 609, 321, 624 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "若 $\\lim_{n\\to \\infty}a_n = A$ ，则", "bbox": [ 115, 630, 265, 646 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "\\- 有界性： $a_{n}$ 有界", "bbox": [ 139, 648, 282, 662 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "\\- 保号性：若 $A > a$ ，则 $n \\to \\infty$ 时 $a_{n} > a$", "bbox": [ 139, 667, 458, 681 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "\\- 收敛当且仅当 $a_{n}$ 所有子列都收敛到 $A$", "bbox": [ 139, 684, 442, 699 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "定理 2.4 (奇偶子列收敛)", "text_level": 2, "bbox": [ 124, 724, 302, 738 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "$a_{n}$ 收敛到 $A$ 当且仅当 $a_{2k}, a_{2k + 1}$ 收敛到 $A$", "bbox": [ 114, 744, 428, 758 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "证明 只右推左：根据偶数列可知 $\\forall \\epsilon, \\exists K, \\forall 2k > K$ 满足 $|a_{2k} - A| < \\epsilon$ ，而对上面的 $\\epsilon, \\exists K', \\forall 2k + 1 > k'$ 满足 $|a_{2k+1} - A| < \\epsilon$ ，因此取 $N = \\max\\{K, K'\\}$ 即可。", "bbox": [ 90, 778, 905, 814 ], "page_idx": 13 }, { "type": "text", "text": "2.2 一些重要极限结论", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 87, 337, 107 ], "page_idx": 14 }, { "type": "text", "text": "2.2.1 几个基本极限", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 126, 273, 143 ], "page_idx": 14 }, { "type": "text", "text": "定理 2.5 (常用基本极限)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 160, 302, 175 ], "page_idx": 14 }, { "type": "text", "text": "设 $a > 0, b > 1$ ，则基本极限的关系为： $\\log n < n^a < b^n < n! < n^n$ ，更具体地", "bbox": [ 115, 179, 685, 193 ], "page_idx": 14 }, { "type": "text", "text": "\\- 根式：(1) $a > 0$ ， $\\lim_{n\\to \\infty}\\sqrt[n]{a} = 1(2)\\lim_{n\\to \\infty}\\sqrt[n]{n} = 1(3)\\lim_{n\\to \\infty}\\sqrt[n]{n!} = +\\infty$", "bbox": [ 139, 197, 628, 218 ], "page_idx": 14 }, { "type": "text", "text": "\\- 比式：(1) $\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{a^n}{n!} = 0(2)a > 1,\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{n^k}{a^n} = 0$", "bbox": [ 139, 219, 480, 247 ], "page_idx": 14 }, { "type": "text", "text": "\\- 对数：(1) $\\forall k, \\lim_{x \\to \\infty} \\frac{\\ln x}{x^k} = 0$ (2) $\\forall k, \\lim_{x \\to 0^+} x^k \\ln x = 0$", "bbox": [ 139, 248, 521, 273 ], "page_idx": 14 }, { "type": "text", "text": "\\- 指数： $\\forall k, \\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{x^k}{e^x} = 0$", "bbox": [ 139, 274, 341, 300 ], "page_idx": 14 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 根式第一个设 $a_{n} = \\sqrt[n]{a} = 1 + h_{n}$ ，得到 $a = (1 + h_{n})^{n} \\geq 1 + nh_{n}$ ，故 $h_{n} \\leq \\frac{a - 1}{n} \\to 0$ 。第二个设 $a_{n} = \\sqrt[n]{n} = 1 + h_{n}$ ，则 $n = (1 + h_{n})^{n} \\geq \\frac{n(n - 1)}{2} h_{n}^{2}$ ，得到 $0 < h_{n} < \\frac{2}{n - 1}$ ，夹逼准则即可。第三个用Stirling公式，等价于 $\\frac{n}{e}$", "bbox": [ 90, 319, 878, 391 ], "page_idx": 14 }, { "type": "text", "text": "定理 2.6 (重要极限)", "text_level": 2, "bbox": [ 124, 403, 270, 417 ], "page_idx": 14 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {n \\to \\infty} (1 + \\frac {1}{n}) ^ {n} = e, \\lim _ {n \\to \\infty} (1 - \\frac {1}{n}) ^ {n} = \\frac {1}{e} 。 \\lim _ {n \\to \\infty} (1 + \\frac {1}{n}) ^ {n} = e - \\frac {e}{2 n} + o (\\frac {1}{n})\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 115, 422, 648, 451 ], "page_idx": 14 }, { "type": "text", "text": "证明 $\\lim_{n\\to \\infty}\\left(1 + \\frac{1}{n}\\right)^n = \\lim_{x\\to 0}(1 + x)^{\\frac{1}{x}} = \\lim_{x\\to 0}e^{\\frac{\\ln(1 + x)}{x}} = e^1 = e$", "bbox": [ 90, 462, 539, 492 ], "page_idx": 14 }, { "type": "text", "text": "练习2.2相关练习(1)计算 $\\lim_{n\\to \\infty}\\left(1 + \\frac{1}{n} +\\frac{1}{n^2}\\right)^n$", "bbox": [ 60, 498, 450, 529 ], "page_idx": 14 }, { "type": "text", "text": "解(1)等价于 $e^{\\frac{\\ln(1 + x + x^2)}{x}} = e^{\\frac{2x + 1}{1 + x + x^2}} = e$", "bbox": [ 89, 529, 379, 550 ], "page_idx": 14 }, { "type": "text", "text": "2.2.2 Stirling 公式与 Wallis 公式", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 571, 386, 589 ], "page_idx": 14 }, { "type": "text", "text": "定理 2.7 (Stirling 公式)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 604, 295, 619 ], "page_idx": 14 }, { "type": "text", "text": "当 $n\\to \\infty$ 时， $n!\\approx \\sqrt{2\\pi n} (\\frac{n}{e})^n$ ，进一步地 $\\sqrt[n]{n!}\\sim \\frac{n}{e}$", "bbox": [ 115, 623, 502, 651 ], "page_idx": 14 }, { "type": "text", "text": "定理 2.8 (Wallis 公式)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 674, 285, 688 ], "page_idx": 14 }, { "type": "text", "text": "当 $n\\to \\infty$ 时， $\\frac{(2n)!!}{(2n - 1)!!}\\sim \\sqrt{n\\pi}$ ，更具体地， $\\lim_{n\\to \\infty}\\left[\\frac{(2n)!!}{(2n - 1)!!}\\right]\\frac{1}{2n + 1} = \\frac{\\pi}{2}$", "bbox": [ 115, 693, 682, 725 ], "page_idx": 14 }, { "type": "text", "text": "证明 根据 $\\sin^{2n+1}x < \\sin^{2n}x < \\sin^{2n-1}x$ 得到 $\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\sin^{2n+1}xdx < \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\sin^{2n}xdx < \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\sin^{2n-1}xdx$ ，根据 Wallis 积分公式下面不等式，并构造 $A_{n}, B_{n}$", "bbox": [ 89, 738, 905, 784 ], "page_idx": 14 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\frac {(2 n) ! !}{(2 n + 1) ! !} < \\frac {(2 n - 1) ! !}{(2 n) ! !} \\frac {\\pi}{2} < \\frac {(2 n - 2) ! !}{(2 n - 1) ! !} \\Rightarrow A _ {n} := \\left[ \\frac {(2 n) ! !}{(2 n - 1) ! !} \\right] ^ {2} \\frac {1}{2 n + 1} < \\frac {\\pi}{2} < \\left[ \\frac {(2 n) ! !}{(2 n - 1) ! !} \\right] ^ {2} \\frac {1}{2 n} := B _ {n}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 127, 787, 868, 821 ], "page_idx": 14 }, { "type": "text", "text": "此时 $B_{n} - A_{n} = \\left[\\frac{(2n)!!}{(2n - 1)!!}\\right]^{2}\\frac{1}{2n(2n - 1)} = A_{n}\\cdot \\frac{1}{2n} < \\frac{\\pi}{2}\\frac{1}{2n}\\rightarrow 0$ ，因此 $\\lim_{n\\to \\infty}A_n = \\lim_{n\\to \\infty}B_n = \\frac{\\pi}{2}$", "bbox": [ 90, 825, 810, 857 ], "page_idx": 14 }, { "type": "header", "text": "2.2 一些重要极限结论", "bbox": [ 737, 54, 905, 68 ], "page_idx": 14 }, { "type": "page_number", "text": "7", "bbox": [ 492, 953, 504, 964 ], "page_idx": 14 }, { "type": "text", "text": "2.2.3 Euler 常数", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 86, 245, 102 ], "page_idx": 15 }, { "type": "text", "text": "定理 2.9 (Euler 常数)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 118, 280, 133 ], "page_idx": 15 }, { "type": "text", "text": "极限 $\\lim_{n\\to \\infty}\\left[\\left(\\sum_{k = 1}^{n}\\frac{1}{k}\\right) - \\ln n\\right]$ 存在且为常数 $\\gamma$ ，记作Euler常数。", "bbox": [ 114, 137, 584, 177 ], "page_idx": 15 }, { "type": "text", "text": "推论 2.1 (Euler 常数的应用)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 202, 332, 217 ], "page_idx": 15 }, { "type": "text", "text": "当 $n\\to \\infty$ 时， $\\sum_{k = 1}^{n}\\frac{1}{k} = \\ln n + \\gamma = \\ln n + o(n)$", "bbox": [ 115, 223, 452, 261 ], "page_idx": 15 }, { "type": "text", "text": "2.3 夹逼准则", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 304, 240, 323 ], "page_idx": 15 }, { "type": "text", "text": "定理 2.10 (夹逼准则)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 344, 278, 360 ], "page_idx": 15 }, { "type": "text", "text": "$a_{n}, b_{n}, c_{n}$ 为三个序列，若 $\\exists N$ 使得 $n \\geq N$ 时 $a_{n} \\leq b_{n} \\leq c_{n}$ ，且 $\\lim_{n \\to \\infty} a_{n} = \\lim_{n \\to \\infty} c_{n} = A$ ，则 $\\lim_{n \\to \\infty} b_{n} = A$ 。", "bbox": [ 110, 362, 900, 393 ], "page_idx": 15 }, { "type": "text", "text": "练习2.3两道经典夹逼准则求极限(1) $\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{1}{2}\\cdot \\frac{3}{4}\\dots \\frac{2n - 1}{2n}$ (2) $\\lim_{n\\to \\infty}\\sum_{k = n^2}^{(n + 1)^2}\\frac{1}{\\sqrt{k}}$ 解(1)可用Wallis公式，或者夹逼准则。记 $a_{n} = \\frac{1}{2}\\cdot \\frac{3}{4}\\dots \\frac{2n - 1}{2n},b_{n} = \\frac{2}{3}\\cdot \\frac{4}{5}\\dots \\frac{2n}{2n + 1}$ ，则 $a_{n} < b_{n},a_{n}b_{n} = \\frac{1}{2n + 1}$ 得到 $a_n^2 < a_nb_n = \\frac{1}{2n + 1}\\rightarrow 0$ ，因此 $\\lim_{n\\to \\infty}a_n = 0$", "bbox": [ 58, 420, 905, 513 ], "page_idx": 15 }, { "type": "text", "text": "(2) 用 $\\frac{1}{n + 1} \\leq \\frac{1}{\\sqrt{k}} \\leq \\frac{1}{n}$ ，从而求和后得到 $\\frac{2n + 2}{n + 1} \\leq \\sum_{k=n^2}^{(n+1)^2} \\frac{1}{\\sqrt{k}} \\leq \\frac{2n + 2}{n}$ ，取极限得到 2。", "bbox": [ 122, 513, 781, 551 ], "page_idx": 15 }, { "type": "text", "text": "练习2.4整体放缩or局部放缩(1) $\\lim_{n\\to \\infty}\\left(\\frac{1}{\\sqrt{n^2 + 1}} +\\frac{1}{\\sqrt{n^2 + 2}} +\\dots +\\frac{1}{\\sqrt{n^2 + n}}\\right)$", "bbox": [ 58, 554, 680, 585 ], "page_idx": 15 }, { "type": "text", "text": "解(1)如果是 $\\frac{1}{\\sqrt{n^2 + i^2}}$ 形式则是用定积分，这里看上去就是 $\\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{n} = 1$ ，因此放缩为 $\\frac{n}{\\sqrt{n^2 + n}} \\leq I \\leq \\frac{n}{\\sqrt{n^2}}$ 即可知结果为 1。", "bbox": [ 87, 586, 904, 634 ], "page_idx": 15 }, { "type": "text", "text": "2.4 平均值定理", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 662, 265, 680 ], "page_idx": 15 }, { "type": "text", "text": "2.4.1 有限项幂次根号平均", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 701, 332, 717 ], "page_idx": 15 }, { "type": "text", "text": "定理 2.11 (根号平均)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 733, 278, 747 ], "page_idx": 15 }, { "type": "text", "text": "$a_{1},a_{2},\\cdots,a_{m}$ 是 m 个正数，则 $\\lim_{n\\to\\infty}\\sqrt[n]{a_{1}^{n}+\\cdots+a_{m}^{n}}=\\max\\{a_{1},\\cdots,a_{m}\\}$ (注意这里不是 $\\sqrt[n]{a_{1}^{n}+\\cdots+a_{n}^{n}}$ ，与平均值定理不同)", "bbox": [ 112, 752, 900, 794 ], "page_idx": 15 }, { "type": "text", "text": "证明 设 $A = \\max\\{a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{m}\\}$ ，因此 $\\sqrt[n]{A^{n}} \\leq \\sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \\cdots + a_{m}^{n}} \\leq \\sqrt[n]{mA^{n}}$ ，两侧都趋于 A，因此极限为 A。", "bbox": [ 87, 807, 902, 841 ], "page_idx": 15 }, { "type": "text", "text": "练习 2.5 根号平均的两个经典推广 (1) 正数列 $a_{n}$ 收敛到 a > 0，证明 $\\lim_{n\\to\\infty}\\sqrt[n]{a_{n}} = 1$", "bbox": [ 58, 863, 700, 879 ], "page_idx": 15 }, { "type": "text", "text": "(2) $a_{n}$ 非负且有界 (可能是可数个)，则 $\\lim_{n\\to\\infty}\\sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\\cdots+a_{n}^{n}}=\\sup_{n\\geq1}a_{n}$ 证明 (1) 根据保号性， $\\exists N, n > N$ 时 $\\frac{1}{2} a \\leq a_n \\leq \\frac{3}{2} a$ ，因此 $n > N$ 时 $\\sqrt[n]{\\frac{1}{2} a} \\leq \\sqrt[n]{a_n} \\leq \\sqrt[n]{\\frac{3}{2} a}$ ，由夹逼准则得到结果为 1。", "bbox": [ 122, 883, 668, 908 ], "page_idx": 15 }, { "type": "header", "text": "2.3夹逼准则", "bbox": [ 805, 54, 905, 68 ], "page_idx": 15 }, { "type": "page_number", "text": "8", "bbox": [ 492, 954, 504, 965 ], "page_idx": 15 }, { "type": "text", "text": "", "bbox": [ 89, 82, 905, 126 ], "page_idx": 16 }, { "type": "text", "text": "(2) 记 $a = \\sup_{n \\geq 1} a_n$ ，则 $a_n \\leq a$ 且 $\\forall \\epsilon, \\exists k, a_k > a - \\epsilon$ 。当 $n \\geq k$ 时， $a_k^n \\leq a_1^n + a_2^n + \\cdots + a_n^n \\leq na^n$ ，两侧开 n 次根号得到 $a - \\epsilon < \\sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \\cdots + a_n^n} \\leq a\\sqrt[n]{n}$ ，由于 $\\lim_{n \\to \\infty} a\\sqrt[n]{n} = a$ ，对上述 $\\epsilon, \\exists N, \\forall n > N$ 有 $a\\sqrt[n]{n} < a + \\epsilon$ ，根据夹逼准则可证。", "bbox": [ 90, 131, 907, 189 ], "page_idx": 16 }, { "type": "text", "text": "2.4.2 平均值定理：无穷项算术平均与几何平均", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 211, 515, 228 ], "page_idx": 16 }, { "type": "text", "text": "定理 2.12 (平均值定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 244, 295, 258 ], "page_idx": 16 }, { "type": "text", "text": "已知 $\\lim_{n\\to \\infty}a_n = a$ （有限数或正负无穷），则", "bbox": [ 115, 263, 425, 284 ], "page_idx": 16 }, { "type": "text", "text": "1. 算术平均： $\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{a_{1}+a_{2}+\\cdots+a_{n}}{n}=a$", "bbox": [ 134, 282, 453, 305 ], "page_idx": 16 }, { "type": "text", "text": "2. 几何平均：若 $a_{n} > 0$ ，则 $\\lim_{n \\to \\infty} \\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\\cdots a_{n}} = a$", "bbox": [ 134, 304, 515, 326 ], "page_idx": 16 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 只证 $a$ 为有限数的情况。 $\\forall \\epsilon, \\exists N, n > N$ 时 $|a_{n} - a| < \\epsilon$ ，因此", "bbox": [ 90, 347, 611, 363 ], "page_idx": 16 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{r l} \\left| \\frac {a _ {1} + a _ {2} + \\cdots + a _ {n}}{n} - a \\right| = & \\left| \\frac {(a _ {1} - a) + \\cdots + (a _ {N} - a) + (a _ {N + 1} - a) + \\cdots + (a _ {n} - a)}{n} \\right| \\\\ & \\leq \\frac {| a _ {1} - a | + \\cdots + | a _ {N} - a |}{n} + \\frac {| a _ {N + 1} - a | + \\cdots + | a _ {n} - a |}{n} \\leq 2 \\epsilon \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 179, 365, 818, 429 ], "page_idx": 16 }, { "type": "text", "text": "(2) 取对数则转换为 (1)", "bbox": [ 122, 430, 295, 444 ], "page_idx": 16 }, { "type": "text", "text": "练习 2.6 奇偶子列推广 已知 $\\lim_{n\\to\\infty}a_{2n+1}=a,\\lim_{n\\to\\infty}a_{2n}=b$ ，证明 $\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{a_{1}+a_{2}+\\cdots+a_{n}}{n}=\\frac{a+b}{2}$ 证明 分为奇偶数项进行讨论：", "bbox": [ 58, 461, 803, 499 ], "page_idx": 16 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{l} \\lim _ {n \\to \\infty} \\frac {a _ {1} + a _ {2} + \\cdots + a _ {2 n}}{2 n} \\\\ = \\frac {1}{2} \\lim _ {n \\to \\infty} \\frac {a _ {1} + a _ {3} + \\cdots + a _ {2 n - 1}}{n} + \\frac {1}{2} \\lim _ {n \\to \\infty} \\frac {a _ {2} + a _ {4} + \\cdots + a _ {2 n}}{n} = \\frac {a + b}{n} \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 238, 502, 759, 560 ], "page_idx": 16 }, { "type": "text", "text": "另一方面", "bbox": [ 90, 560, 163, 574 ], "page_idx": 16 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{l} \\lim _ {n \\to \\infty} \\frac {a _ {1} + a _ {2} + \\cdots + a _ {2 n + 1}}{2 n + 1} \\\\ = \\lim _ {n \\to \\infty} \\frac {a _ {1} + a _ {2} + \\cdots + a _ {2 n + 1}}{n} \\cdot \\frac {n}{2 n - 1} + \\lim _ {n \\to \\infty} \\frac {a _ {2} + a _ {4} + \\cdots + a _ {2 n - 2}}{n - 1} \\cdot \\frac {n - 1}{2 n - 1} = \\frac {a + b}{2} \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 183, 577, 815, 636 ], "page_idx": 16 }, { "type": "text", "text": "因此得到结论成立。", "bbox": [ 90, 638, 238, 652 ], "page_idx": 16 }, { "type": "text", "text": "练习2.7倒乘推广 $\\lim_{n\\to \\infty}a_n = a,\\lim_{n\\to \\infty}b_n = b$ ，证明： $\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{a_1b_n + a_2b_{n - 1} + \\cdots + a_nb_1}{n} = ab$ 证明由于 $\\lim_{n\\to \\infty}a_n = a$ ，因此 $a_{n}$ 有界，即 $\\exists M$ 使得 $|a_n| < M$ ，故：", "bbox": [ 58, 668, 757, 711 ], "page_idx": 16 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\vert a _ {k} b _ {n - k + 1} - a b \\vert < \\vert a _ {k} \\vert \\cdot \\vert b _ {n - k + 1} - b \\vert + \\vert b \\vert \\cdot \\vert a _ {k} - a \\vert \\leq M \\vert b _ {n - k + 1} - b \\vert + \\vert b \\vert \\cdot \\vert a _ {k} - a \\vert\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 194, 715, 801, 733 ], "page_idx": 16 }, { "type": "text", "text": "因此得到：", "bbox": [ 90, 739, 169, 753 ], "page_idx": 16 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{l} \\left| \\frac {a _ {1} b _ {n} + \\cdots + a _ {n} b _ {1}}{n} - a b \\right| \\\\ \\leq \\frac {| a _ {1} b _ {n} - a b | + \\cdots + | a _ {n} b _ {1} - a b |}{n} \\\\ \\leq M \\cdot \\frac {| b _ {n} - b | + \\cdot + | b _ {1} - b |}{n} + | b | \\cdot \\frac {| a _ {1} - a | + \\cdots + | a _ {n} - a |}{n} \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 280, 753, 715, 845 ], "page_idx": 16 }, { "type": "text", "text": "有平均值定理可知右侧极限为0，因此 $\\left|\\frac{a_{1}b_{n}+\\cdots+a_{n}b_{1}}{n}-ab\\right|\\leq0$ ，得到目标极限为0。", "bbox": [ 90, 848, 742, 879 ], "page_idx": 16 }, { "type": "header", "text": "2.4 平均值定理", "bbox": [ 788, 55, 905, 68 ], "page_idx": 16 }, { "type": "page_number", "text": "9", "bbox": [ 492, 953, 504, 964 ], "page_idx": 16 }, { "type": "text", "text": "2.4.3 技巧：一招解决 n 次根号与除以 n", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 85, 452, 102 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "定理 2.13 (n 次根号与除以 n)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 118, 339, 133 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "$a_{n}$ 为数列，则", "bbox": [ 114, 137, 226, 153 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "若 $\\lim_{n\\to \\infty}(a_n - a_{n - 1}) = a$ ，则 $\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{a_n}{n} = a$", "bbox": [ 139, 153, 465, 178 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "若 $\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{a_n}{a_{n - 1}} = a$ ，则 $\\lim_{n\\to \\infty}\\sqrt[n]{a_n} = a$", "bbox": [ 139, 177, 433, 203 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 由于 $a_{n}=a_{1}+(a_{2}-a_{1})+\\cdots+(a_{n}-a_{n-1})$ ，因此 $\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{a_{n}}{n}=\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{a_{1}+(a_{2}-a_{1})+\\cdots+(a_{n}-a_{n-1})}{n}$ ，根据平均值定理即 a", "bbox": [ 90, 216, 902, 255 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "(2) 根据 $a_{n} = a_{1} \\cdot \\frac{a_{2}}{a_{1}} \\cdots \\frac{a_{n}}{a_{n-1}}$ , $\\lim_{n \\to \\infty} \\sqrt[n]{a_n} = \\lim_{n \\to \\infty} \\sqrt[n]{a_1 \\cdot \\frac{a_2}{a_1} \\cdots \\frac{a_n}{a_{n-1}}}$ , 根据平均值定理即 $a_{n}$ .", "bbox": [ 122, 253, 791, 284 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "练习 2.8n 次根号 计算极限 (1) $\\lim_{n\\to\\infty}\\sqrt[n]{a}$ (2) $\\lim_{n\\to\\infty}\\sqrt[n]{n}$ (3) $\\lim_{n\\to\\infty}\\sqrt[n]{n!}$", "bbox": [ 58, 294, 561, 318 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "解 (1) $\\frac{a_n}{a_{n-1}} = 1$ ，因此极限为 $1$ 。", "bbox": [ 90, 315, 327, 341 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "(2) $\\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\\frac{n}{n-1}\\rightarrow1$ ，极限为1", "bbox": [ 122, 338, 366, 368 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "(3) $\\frac{a_n}{a_{n-1}} = n \\to \\infty$ ，因此不收敛", "bbox": [ 122, 368, 364, 393 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "练习 2.9 除以 n 重点：计算极限 (1) $\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{\\sqrt[n]{n!}}{n}$ (2) $\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{\\sqrt[n]{n(n+1)\\cdots(2n-1)}}{n}$", "bbox": [ 58, 398, 658, 430 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "解 $(1)a_{n} = \\frac{n!}{n^{n}}$ ， $\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{a_n}{a_{n - 1}} = \\frac{\\frac{n!}{n^n}}{\\frac{(n - 1)!}{(n - 1)^{n - 1}}} = \\frac{1}{(1 - \\frac{1}{n})^{n - 1}} = \\frac{1}{\\left[(1 - \\frac{1}{n})^n\\right]^{\\frac{n - 1}{n}}} = \\frac{1}{e}$ 因此极限为 $\\frac{1}{e}$", "bbox": [ 87, 428, 771, 466 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "(2) $a_{n}=\\frac{n(n+1)\\cdots(2n-1)}{n^{n}}$ ，因此", "bbox": [ 122, 464, 391, 494 ], "page_idx": 17 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {n \\to \\infty} \\frac {a _ {n}}{a _ {n - 1}} = \\lim _ {n \\to \\infty} \\frac {2 (2 n - 1) (n - 1) ^ {n - 1}}{n ^ {n}} = (4 - \\frac {2}{n}) \\left((1 - \\frac {1}{n}) ^ {n}\\right) ^ {\\frac {n - 1}{n}} = \\frac {4}{e}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 233, 498, 761, 532 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "因此极限为 $\\frac{4}{e}$", "bbox": [ 92, 533, 196, 563 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "2.5 使用定积分定义", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 583, 312, 602 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "2.5.1 使用定积分计算极限", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 621, 332, 639 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "定理 2.14 (用定积分定义计算极限)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 653, 379, 670 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，则", "bbox": [ 115, 675, 302, 690 ], "page_idx": 17 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {n \\rightarrow \\infty} \\frac {b - a}{n} \\left[ f \\left(a + \\frac {b - a}{n}\\right) + f \\left(a + \\frac {2 (b - a)}{n}\\right) + \\dots + f \\left(a + \\frac {n (b - a)}{n}\\right)\\right] = \\int_ {a} ^ {b} f (x) \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 171, 693, 825, 728 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "笔记 如果是 $\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{1}{n + a}\\sum_{k = 1}^{n}f\\left(\\frac{k}{n}\\right)$ ，则可以加一项得到 $\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{n}{n + a}\\cdot \\frac{1}{n}\\sum_{k = 1}^{n}f\\left(\\frac{k}{n}\\right)$ 再转换为定积分。", "bbox": [ 58, 739, 821, 776 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "练习 2.10 直接判断积分 (1) $\\lim_{n\\to\\infty} n\\left(\\frac{1}{n^{2}+1}+\\frac{1}{n^{2}+2}+\\cdots+\\frac{1}{n^{2}+n^{2}}\\right)$", "bbox": [ 60, 778, 610, 808 ], "page_idx": 17 }, { "type": "equation", "text": "$$\n(2) \\lim _ {n \\to \\infty} n \\left[ \\frac {1}{(n + 1) ^ {2}} + \\frac {1}{(n + 2) ^ {2}} + \\dots + \\frac {1}{(n + n) ^ {2}} \\right]\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 126, 809, 487, 840 ], "page_idx": 17 }, { "type": "equation", "text": "$$\n(3) \\lim _ {n \\rightarrow \\infty} \\left(\\frac {1}{\\sqrt {n ^ {2} + 1 ^ {2}}} + \\frac {1}{\\sqrt {n ^ {2} + 2 ^ {2}}} + \\dots + \\frac {1}{\\sqrt {n ^ {2} + n ^ {2}}}\\right)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 122, 839, 507, 869 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "(4) $\\lim_{n\\to \\infty}\\sum_{k = 1}^{n}\\frac{1}{\\sqrt{nk}}$", "bbox": [ 124, 871, 252, 904 ], "page_idx": 17 }, { "type": "header", "text": "2.5 使用定积分定义", "bbox": [ 754, 55, 905, 68 ], "page_idx": 17 }, { "type": "page_number", "text": "10", "bbox": [ 490, 953, 509, 965 ], "page_idx": 17 }, { "type": "text", "text": "解(1)等价于 $\\int_0^1\\frac{1}{1 + x^2}\\mathrm{d}x = \\frac{\\pi}{4}$ (2)等价于 $\\int_0^1\\frac{1}{(1 + x)^2}\\mathrm{d}x = \\frac{1}{2}$ (3)等价于 $\\int_0^1\\frac{1}{\\sqrt{1 + x^2}}\\mathrm{d}x = \\ln (1 + \\sqrt{2})$ (4)转换为 $\\frac{1}{n}\\sum_{k = 1}^{n}\\frac{1}{\\sqrt{\\frac{k}{n}}}$ ，即 $\\int_0^1\\frac{1}{\\sqrt{x}}\\mathrm{d}x$ ，极限为2", "bbox": [ 87, 82, 480, 215 ], "page_idx": 18 }, { "type": "text", "text": "练习2.11对数 $+$ 积分重点：取对数 $\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{\\sqrt[n]{n(n + 1)\\cdots(2n - 1)}}{n}$ 解等价于 $\\exp \\left[\\frac{1}{n}\\ln \\left(\\frac{n(n + 1)\\cdots(2n - 1)}{n^n}\\right)\\right]$ ，指数积分即 $\\int_0^1\\ln (1 + x)\\mathrm{d}x = [(1 + x)\\ln (1 + x) - x]\\bigg|_0^1 = \\ln 4 - 1,$ 因此极限为 $\\frac{4}{e}$ 或者本题也在 $n$ 次根号部分出现了(更推荐 $n$ 次根号的做法)", "bbox": [ 58, 219, 907, 319 ], "page_idx": 18 }, { "type": "text", "text": "练习2.12改变有限项(1)重点： $\\lim_{n\\to \\infty}\\left(\\frac{1}{n} +\\frac{1}{n + 1} +\\dots +\\frac{1}{n + (n - 1)}\\right)$ 解(1)可改变有限项不影响极限，变为 $\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{1}{n + 1} +\\dots +\\frac{1}{n + n}$ ，因此极限为 $\\int_0^1\\frac{1}{1 + x}\\mathrm{d}x = \\ln 2$", "bbox": [ 58, 330, 806, 394 ], "page_idx": 18 }, { "type": "text", "text": "练习 2.13 经典夹逼 + 积分 (1) 重点: $I = \\lim_{n \\to \\infty} \\left( \\frac{\\sin \\frac{\\pi}{n}}{n + \\frac{1}{n}} + \\frac{\\sin \\frac{2}{n}\\pi}{n + \\frac{2}{n}} + \\cdots + \\frac{\\sin \\pi}{n + 1} \\right)$", "bbox": [ 58, 400, 680, 432 ], "page_idx": 18 }, { "type": "text", "text": "(2) 重点: $\\lim_{n \\to \\infty} \\left( \\frac{1}{n^2 + n + 1} + \\frac{2}{n^2 + n + 2} + \\cdots + \\frac{n}{n^2 + n + n} \\right)$", "bbox": [ 122, 432, 591, 464 ], "page_idx": 18 }, { "type": "text", "text": "(3) 重点: $\\lim_{n \\to \\infty} \\left( \\frac{1}{n^2 + n + 1^2} + \\frac{2}{n^2 + n + 2^2} + \\cdots + \\frac{n}{n^2 + n + n^2} \\right)$", "bbox": [ 122, 464, 611, 492 ], "page_idx": 18 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {n \\rightarrow \\infty} \\left(\\frac {\\sin \\frac {x}{n}}{n + 1} + \\frac {2 \\sin \\frac {2}{n} x}{2 n + 1} + \\dots + \\frac {n \\sin \\frac {n}{n} x}{n ^ {2} + 1}\\right), x \\in (0, \\pi)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 144, 493, 537, 523 ], "page_idx": 18 }, { "type": "text", "text": "解 (1) $I = \\lim_{n\\to \\infty}\\frac{1}{n}\\left(\\frac{\\sin\\frac{\\pi}{n}}{1 + \\frac{1}{n^2}} +\\frac{\\sin\\frac{2}{n}\\pi}{1 + \\frac{2}{n^2}} +\\dots +\\frac{\\sin\\pi}{1 + \\frac{n}{n^2}}\\right)$ ，进行 $\\frac{\\sin\\frac{i}{n}\\pi}{n + 1}\\leq \\frac{\\sin\\frac{i}{n}\\pi}{n + \\frac{i}{n}}\\leq \\frac{\\sin\\frac{i}{n}\\pi}{n}$ 放缩： $\\left\\{ \\begin{array}{l}\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{1}{n}\\sum_{i = 1}^{n}\\sin \\frac{i}{n}\\pi = \\int_0^1\\sin \\pi x\\mathrm{d}x = \\frac{2}{\\pi}\\\\ \\lim_{n\\to \\infty}\\frac{1}{n + 1}\\sum_{n = 1}^{\\infty}\\sin \\frac{i}{n}\\pi = \\lim_{n\\to \\infty}\\frac{n}{n + 1}\\cdot \\frac{1}{n}\\sum_{i = 1}^{n}\\sin \\frac{i}{n}\\pi = \\frac{2}{\\pi} \\end{array} \\right.$", "bbox": [ 89, 523, 776, 634 ], "page_idx": 18 }, { "type": "text", "text": "因此根据夹逼可知极限为 $\\frac{2}{\\pi}$", "bbox": [ 90, 636, 297, 658 ], "page_idx": 18 }, { "type": "text", "text": "(2) 进行放缩: $\\frac{1 + 2 + \\cdots + n}{n^2 + n + n} \\leq I \\leq \\frac{1 + 2 + \\cdots + n}{n^2 + n}$ (或者 $\\frac{i}{n^2 + n + n} \\leq \\frac{i}{n^2 + n + i} \\leq \\frac{i}{n^2}$ 也行)。左右侧分别写为 $\\left\\{\\begin{aligned}&\\sum_{k=1}^{n}\\frac{k}{n^2+2n}=\\frac{1}{n+2}\\sum_{k=1}^{n}\\frac{k}{n}=\\frac{n}{n+2}\\cdot\\frac{1}{n}\\sum_{k=1}^{n}\\frac{k}{n}\\\\&\\sum_{k=1}^{n}\\frac{k}{n^2+n}=\\frac{n}{n+1}\\cdot\\frac{1}{n}\\sum_{k=1}^{n}\\frac{k}{n}\\end{aligned}\\right.$", "bbox": [ 90, 656, 905, 774 ], "page_idx": 18 }, { "type": "text", "text": "因此两侧均等于积分 $\\int_0^1 x\\mathrm{d}x = \\frac{1}{2}$ (3)一方面 $\\frac{i}{n^2 + n + i^2}\\leq \\frac{i}{n^2 + i^2} = \\frac{1}{n}\\cdot \\frac{\\frac{i}{n}}{1 + (\\frac{i}{n})^2}$ ，另一方面 $\\frac{i}{n^2 + n + i}\\geq \\frac{i}{(n + 1)^2 + i^2} = \\frac{1}{n + 1}$ $\\frac{\\frac{i}{n + 1}}{1 + \\left(\\frac{i}{n + 1}\\right)^2}$ ，结果等价于 $\\int_0^1\\frac{x}{1 + x^2}\\mathrm{d}x = \\frac{1}{2}\\ln 2$", "bbox": [ 90, 778, 907, 889 ], "page_idx": 18 }, { "type": "header", "text": "2.5 使用定积分定义", "bbox": [ 754, 55, 905, 68 ], "page_idx": 18 }, { "type": "page_number", "text": "11", "bbox": [ 490, 954, 507, 965 ], "page_idx": 18 }, { "type": "text", "text": "(4) 看上去等价于 $\\lim_{n\\to \\infty}\\sum_{k = 1}^{n}\\frac{k\\sin\\frac{x}{n}}{kn} = \\int_0^1\\sin tx\\mathrm{d}t = \\frac{1 - \\cos x}{x}$ ，放缩为 $\\frac{k\\sin\\frac{k}{n}x}{kn + k}\\leq \\frac{k\\sin\\frac{k}{n}x}{kn + 1}\\leq \\frac{k\\sin\\frac{k}{n}x}{kn}$ 再求和即可。 \n笔记一般不能直接写成积分形式的都需要进行放缩。", "bbox": [ 87, 82, 904, 152 ], "page_idx": 19 }, { "type": "text", "text": "2.5.2 利用定积分定义构造等价无穷小", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 173, 433, 190 ], "page_idx": 19 }, { "type": "text", "text": "定理 2.15 (利用积分构造等价无穷小)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 205, 396, 221 ], "page_idx": 19 }, { "type": "text", "text": "对于正整数 k， $1^{k} + 2^{k} + \\cdots + n^{k} \\sim \\frac{1}{k+1} n^{k+1}$", "bbox": [ 114, 227, 465, 254 ], "page_idx": 19 }, { "type": "text", "text": "证明 考虑 $\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{1}{n^{k+1}}\\left(1^{k}+\\cdots+n^{k}\\right)=\\int_{0}^{1}x^{k}\\mathrm{d}x=\\frac{1}{k+1}$ 即可。", "bbox": [ 90, 267, 561, 298 ], "page_idx": 19 }, { "type": "text", "text": "练习 2.14 利用积分构造等价无穷小 计算 $\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{\\ln n}{\\ln(1^{2022}+2^{2022}+\\cdots+n^{2022})}$", "bbox": [ 60, 307, 653, 335 ], "page_idx": 19 }, { "type": "text", "text": "解 $\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{1}{n^{2023}}\\left(1^{2022}+2^{2022}+\\cdots+n^{2022}\\right)=\\int_{0}^{1}x^{2022}\\mathrm{d}x=\\frac{1}{2023}$ ，因此", "bbox": [ 87, 335, 620, 366 ], "page_idx": 19 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {n \\rightarrow \\infty} \\frac {\\ln n}{\\ln \\left(1 ^ {2 0 2 2} + 2 ^ {2 0 2 2} + \\cdots + n ^ {2 0 2 2}\\right)} = \\lim _ {n \\rightarrow \\infty} \\frac {\\ln n}{2 0 2 3 \\ln n + \\ln \\frac {1}{n ^ {2 0 2 3}} \\left(1 ^ {2 0 2 2} + 2 ^ {2 0 2 2} + \\dots + n ^ {2 0 2 2}\\right)} = \\frac {1}{2 0 2 3}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 132, 369, 862, 400 ], "page_idx": 19 }, { "type": "text", "text": "定理 2.16 (已知极限计算求和极限)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 422, 379, 437 ], "page_idx": 19 }, { "type": "text", "text": "若 $\\lim_{n\\to \\infty}a_n = A$ ，则 $\\lim_{n\\to \\infty}\\sum_{k = 1}^{n}\\frac{a_{n + k}}{n + k} = A\\ln 2$", "bbox": [ 114, 442, 443, 479 ], "page_idx": 19 }, { "type": "text", "text": "证明 首先显然 $\\lim_{n\\to \\infty}\\sum_{k = 1}^{n}\\frac{A}{n + k} = A\\ln 2$ ，根据 $\\lim_{n\\to \\infty}a_n = A$ ， $\\forall \\epsilon ,\\exists N,\\forall n > N,|a_n - A| < \\epsilon$ ，因此 $n > N$ 时：", "bbox": [ 89, 493, 878, 530 ], "page_idx": 19 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\sum_ {k = 1} ^ {n} \\frac {a _ {n + k}}{n + k} - \\sum_ {k = 1} ^ {n} \\frac {A}{n + k} \\right| \\leq \\sum_ {k = 1} ^ {n} \\frac {| a _ {n + k} - A |}{n + k} < \\sum_ {k = 1} ^ {n} \\frac {\\epsilon}{n} = \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 297, 533, 700, 573 ], "page_idx": 19 }, { "type": "text", "text": "2.6 单调有界定理", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 599, 289, 618 ], "page_idx": 19 }, { "type": "text", "text": "2.6.1 单调有界定理及其推广", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 637, 352, 653 ], "page_idx": 19 }, { "type": "text", "text": "定理 2.17 (单调有界定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 670, 312, 684 ], "page_idx": 19 }, { "type": "text", "text": "若数列 $a_{n}$ 单调且有界，则其必收敛。", "bbox": [ 115, 690, 388, 706 ], "page_idx": 19 }, { "type": "text", "text": "练习 2.15 单调有界定理理论推广 (1) $a_{n}$ 单增， $b_{n}$ 单减， $\\lim_{n\\to\\infty}(b_{n}-a_{n})=0$ ，证明 $\\lim_{n\\to\\infty}a_{n},\\lim_{n\\to\\infty}b_{n}$ 存在且相等\n\n(2) $a_{n}$ 为有界数列，记 $\\overline{a}=\\sup\\{a_{n},a_{n+1},\\cdots\\},\\underline{a}_{n}=\\inf\\{a_{n},a_{n+1},\\cdots\\}$ ，证明 $\\lim_{n\\to\\infty}\\overline{a}_{n},\\lim_{n\\to\\infty}\\underline{a}_{n}$ 存在，且 $\\lim_{n\\to\\infty}a_{n}$ 存在的充要条件为 $\\lim_{n\\to\\infty}\\overline{a}_{n}=\\lim_{n\\to\\infty}\\underline{a}_{n}$ 证明 (1) 由于 $\\lim_{n\\to\\infty}(b_{n}-a_{n})=0,\\exists N,\\forall n>N$ 使得 $|b_{n}-a_{n}|<1$ ，即 $a_{n} N$ 有", "bbox": [ 90, 837, 905, 873 ], "page_idx": 19 }, { "type": "equation", "text": "$$\na - \\epsilon < \\underline {{a}} _ {n} \\leq \\overline {{a}} _ {n} < a + \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 406, 881, 589, 894 ], "page_idx": 19 }, { "type": "text", "text": "取极限可知极限均为 a.", "bbox": [ 90, 901, 263, 915 ], "page_idx": 19 }, { "type": "header", "text": "2.6 单调有界定理", "bbox": [ 771, 55, 905, 68 ], "page_idx": 19 }, { "type": "page_number", "text": "12", "bbox": [ 490, 954, 507, 964 ], "page_idx": 19 }, { "type": "text", "text": "练习2.16两道经典循环根式(1)重点： $a_1 = \\sqrt{c}$ ， $a_{n + 1} = \\sqrt{a_n + c}$ ，求 $\\lim_{n\\to \\infty}a_n$", "bbox": [ 58, 102, 670, 123 ], "page_idx": 20 }, { "type": "text", "text": "(2) 重点: $a_{n} = \\sqrt{1 + \\sqrt{2 + \\cdots + \\sqrt{n}}}$ , 证明 $a_{n}$ 收敛", "bbox": [ 122, 123, 510, 153 ], "page_idx": 20 }, { "type": "text", "text": "解(1)由于 $a_{n}=\\sqrt{c+\\sqrt{c+\\cdots+\\sqrt{c}}}$ ，根据该通项的形式，每次 $a_{n+1}$ 在 $a_{n}$ 基础上往最里层加入一个 $\\sqrt{c}$ ，因此整体单增。若极限存在，则显然极限为 $a=\\frac{1+\\sqrt{1+4c}}{2}$ ，由于 $a=\\sqrt{a+c}$ ，因此若 $a_{n}\\ln(n+1)-\\ln(n)>0$ (调和级数不等式)，且根据 $\\ln(1+x)\\geq\\frac{x}{1+x}$ 得到 $\\frac{1}{n+1}<\\ln(1+\\frac{1}{n})$", "bbox": [ 58, 378, 882, 464 ], "page_idx": 20 }, { "type": "text", "text": "于是 $a_{n + 1} - a_n = \\frac{1}{n + 1} -\\ln (1 + \\frac{1}{n}) < 0$ ，这说明单减有下界，故收敛。", "bbox": [ 92, 464, 618, 495 ], "page_idx": 20 }, { "type": "text", "text": "练习 2.18 交替级数 $S_{n}=1-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{3}-\\cdots+\\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ ，计算 $\\lim_{n\\to\\infty}S_{n}$ 解由 Leibniz 定理可知收敛。只需要考虑偶数项", "bbox": [ 58, 500, 594, 541 ], "page_idx": 20 }, { "type": "text", "text": "$S_{2n} = (1 + \\frac{1}{2} +\\dots +\\frac{1}{2n}) - 2(\\frac{1}{2} +\\frac{1}{4} +\\dots +\\frac{1}{2n}) = (1 + \\frac{1}{2} +\\dots +\\frac{1}{2n}) - (1 + \\frac{1}{2} +\\dots +\\frac{1}{n}) = (\\frac{1}{n + 1} +\\dots +\\frac{1}{2n})\\to \\ln 2$ 由于收敛数列的奇偶子列收敛到同一极限，因此极限为 $\\ln 2$", "bbox": [ 87, 542, 905, 590 ], "page_idx": 20 }, { "type": "text", "text": "练习2.19经典相减法(1)重点： $A > 0, a_{1} > 0$ ， $a_{n + 1} = \\frac{1}{2} (a_n + \\frac{A}{a_n})$ ，证明 $a_{n}$ 收敛，并求极限解(1)首先 $a_{n + 1} = \\frac{1}{2} (a_n + \\frac{A}{a_n}) > \\sqrt{A}$ ，因此 $n \\geq 2$ 时， $a_{n} > \\sqrt{A}$ ，而前后项相减得到", "bbox": [ 58, 604, 783, 662 ], "page_idx": 20 }, { "type": "equation", "text": "$$\na _ {n + 1} - a _ {n} = \\frac {1}{2} (\\frac {A}{a _ {n}} - a _ {n}) = \\frac {1}{2} \\cdot \\frac {A - a _ {n} ^ {2}}{a _ {n}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 352, 664, 642, 695 ], "page_idx": 20 }, { "type": "text", "text": "结合 $n \\geq 2$ 时 $a_{n} > \\sqrt{A}$ 得到 $a_{n + 1} - a_{n} < 0$ ，因此单减，显然 $a_{n} > 0$ ，因此收敛。两侧取极限得到 $\\lim_{n\\to \\infty}a_n = \\sqrt{A}$", "bbox": [ 87, 697, 905, 725 ], "page_idx": 20 }, { "type": "text", "text": "2.6.3 相除法", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 740, 213, 757 ], "page_idx": 20 }, { "type": "text", "text": "练习2.20两道经典相除法(1)重点： $a_1 = 1, a_{n + 1} = \\sqrt{2a_n}$ ，求 $\\lim_{n\\to \\infty}a_n$", "bbox": [ 58, 768, 611, 787 ], "page_idx": 20 }, { "type": "text", "text": "(2) 重点: $c > 0, 0 < x_{1} < \\frac{1}{c}, x_{n+1} = x_{n}(2 - cx_{n})$ , 证明: $x_{n}$ 收敛并求其极限", "bbox": [ 119, 785, 700, 814 ], "page_idx": 20 }, { "type": "text", "text": "解 (1) $\\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\sqrt{\\frac{2}{a_n}}$ ，当 $a_n < 2$ 时， $a_{n+1} > a_n$ 。根据 $a_{n+1} = \\sqrt{2a_n}$ ，当 $a_n < 2$ 时， $a_{n+1} < 2$ ，单调有界故收敛，两侧同取极限得到极限为 $A = 2$ 。", "bbox": [ 89, 816, 905, 854 ], "page_idx": 20 }, { "type": "text", "text": "(2) $\\frac{x_{n + 1}}{x_n} = 2 - cx_n$ ，当 $x_{n} < \\frac{1}{c}$ 时， $x_{n + 1} > x_n$ 。设 $f(x) = 2x - cx^2, f'(x) = 2 - 2cx$ ， $f(x)$ 在 $x = \\frac{1}{c}$ 取最大，因此 $x_{n} < \\frac{1}{c}$ 时 $x_{n + 1} < \\frac{1}{c}$ 有界，根据单调有界收敛，两侧取极限得到极限为 $\\frac{1}{c}$ 。", "bbox": [ 92, 856, 905, 910 ], "page_idx": 20 }, { "type": "header", "text": "2.6 单调有界定理", "bbox": [ 771, 55, 905, 68 ], "page_idx": 20 }, { "type": "page_number", "text": "13", "bbox": [ 490, 954, 507, 965 ], "page_idx": 20 }, { "type": "text", "text": "2.6.4 不等式放缩", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 85, 253, 102 ], "page_idx": 21 }, { "type": "text", "text": "练习 2.21 两道经典双数列 + 不等式放缩 (1) 重点: $a_1 > b_1 > 0$ , $a_{n+1} = \\frac{a_n + b_n}{2}, b_{n+1} = \\sqrt{a_nb_n}$ , 证明 $\\lim_{n \\to \\infty} a_n, \\lim_{n \\to \\infty} b_n$ 存在且相等。", "bbox": [ 60, 115, 905, 156 ], "page_idx": 21 }, { "type": "text", "text": "(2) 重点: $a_1 > b_1 > 0$ , $a_{n+1} = \\frac{a_n + b_n}{2}$ , $b_{n+1} = \\frac{2a_nb_n}{a_n + b_n}$ , 证明 $\\lim_{n \\to \\infty} a_n, \\lim_{n \\to \\infty} b_n$ 存在, 并求其值", "bbox": [ 104, 156, 836, 187 ], "page_idx": 21 }, { "type": "text", "text": "解(1)根据均值不等式 $a_{n + 1}\\geq b_{n + 1}$ ，根据 $a_1 > b_1$ 可知 $\\forall n,a_n > b_n$ ，从而", "bbox": [ 89, 185, 636, 200 ], "page_idx": 21 }, { "type": "equation", "text": "$$\na _ {n + 1} = \\frac {a _ {n} + b _ {n}}{2} \\leq \\frac {a _ {n} + a _ {n}}{2} = a _ {n}, b _ {n + 1} = \\sqrt {a _ {n} b _ {n}} \\geq \\sqrt {b _ {n} b _ {n}} = b _ {n}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 260, 204, 732, 229 ], "page_idx": 21 }, { "type": "text", "text": "因此 $a_{n}$ 单减， $b_{n}$ 单增，即 $a_{1} \\geq a_{2} \\geq \\cdots \\geq a_{n} \\geq b_{n} \\geq b_{n-1} \\cdots \\geq b_{1}$ ，这说明 $a_{n}, b_{n}$ 均单调有界，故均收敛。 $a_{n+1} = \\frac{a_{n} + b_{n}}{2}$ 两侧取极限可知极限相等。", "bbox": [ 89, 231, 907, 269 ], "page_idx": 21 }, { "type": "text", "text": "(2) 根据均值不等式可知 $a_{n} \\geq b_{n}$ , 由于 $a_{1} > b_{1}$ , 因此 $\\forall n, a_{n} \\geq b_{n}$ , 因此", "bbox": [ 121, 271, 662, 286 ], "page_idx": 21 }, { "type": "equation", "text": "$$\na _ {n + 1} = \\frac {a _ {n} + b _ {n}}{2} \\leq \\frac {a _ {n} + a _ {n}}{2} = a _ {n}, b _ {n + 1} = \\frac {2}{\\frac {1}{a _ {n}} + \\frac {1}{b _ {n}}} \\geq \\frac {2}{\\frac {1}{b _ {n}} + \\frac {1}{b _ {n}}} = b _ {n}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 250, 288, 742, 323 ], "page_idx": 21 }, { "type": "text", "text": "$a_{n}$ 单减， $b_{n}$ 单增，且 $a_{1} \\geq a_{2} \\geq \\cdots \\geq a_{n} \\geq b_{n} \\geq \\cdots \\geq b_{1}$ ，单调有界故均收敛。 $a_{n+1} = \\frac{a_{n} + b_{n}}{2}$ 两侧取极限可知极限满足 $a = \\frac{a + b}{2}$ ，故相等。而", "bbox": [ 89, 326, 905, 376 ], "page_idx": 21 }, { "type": "equation", "text": "$$\na _ {n + 1} b _ {n + 1} = \\frac {a _ {n} + b _ {n}}{2} \\cdot \\frac {2 a _ {n} b _ {n}}{a _ {n} + b _ {n}} = a _ {n} b _ {n}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 354, 380, 640, 410 ], "page_idx": 21 }, { "type": "text", "text": "因此 $ab = a_{1}b_{1}$ ，即极限为 $a = b = \\sqrt{a_1b_1}$", "bbox": [ 90, 414, 400, 430 ], "page_idx": 21 }, { "type": "text", "text": "练习 2.22 前后项不等式放缩 (1) 重点: $0 < a_{n} < 2$ , $(2 - a_{n})a_{n+1} \\geq 1$ , 证明 $a_{n}$ 收敛, 并求其极限", "bbox": [ 58, 451, 813, 467 ], "page_idx": 21 }, { "type": "text", "text": "(2) 重点: $x_{n} > 0$ , $x_{n+1} + \\frac{4}{x_{n}} < 4$ , 证明 $x_{n}$ 收敛并求 $\\lim_{n \\to \\infty} x_{n}$", "bbox": [ 122, 467, 584, 493 ], "page_idx": 21 }, { "type": "text", "text": "解(1)显然 $a_{n}(2 - a_{n})\\leq \\left[\\frac{a_{n} + (2 - a_{n})}{2}\\right]^{2} = 1\\leq a_{n + 1}(2 - a_n)$ ，因此 $a_{n}\\leq a_{n + 1}$ ，根据单调有界定理可知收敛，两侧取极限得到极限为1", "bbox": [ 89, 493, 905, 537 ], "page_idx": 21 }, { "type": "text", "text": "(2) 显然 $x_{n} + \\frac{4}{x_{n}} \\geq 2\\sqrt{x_{n} \\cdot \\frac{4}{x_{n}}} = 4 > x_{n+1} + \\frac{4}{x_{n}}$ ，因此 $x_{n} > x_{n+1}$ ，单减。另外有 $0 < x_{n+1} < x_{n+1} + \\frac{4}{x_{n}} < 4$ 可知 $x_{n}$ 有界，故收敛，两侧取极限得到极限为 2。", "bbox": [ 90, 538, 905, 583 ], "page_idx": 21 }, { "type": "text", "text": "笔记 前后项不等式先用同项进行放缩，可得出单调性结论", "bbox": [ 87, 583, 519, 599 ], "page_idx": 21 }, { "type": "text", "text": "2.7 递推问题", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 627, 240, 645 ], "page_idx": 21 }, { "type": "text", "text": "2.7.1 极限压缩定理", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 665, 273, 683 ], "page_idx": 21 }, { "type": "text", "text": "定理 2.18 (极限压缩定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 697, 312, 713 ], "page_idx": 21 }, { "type": "text", "text": "$A \\in \\mathbb{R}$ , 若 $\\exists r \\in (0,1)$ 使得 $|a_n - A| < r |a_{n-1} - A|$ , 则数列 $a_n$ 收敛到 $A$ 。", "bbox": [ 114, 718, 655, 734 ], "page_idx": 21 }, { "type": "text", "text": "练习2.23经典极限压缩定理题(1)设 $x_{n + 1} = \\cos x_n, x_1 \\in [0, \\frac{\\pi}{3}]$ ，证明 $\\lim_{n \\to \\infty} x_n$ 存在且极限为 $\\cos x - x = 0$ 的根解(1)考虑 $f(x) = \\cos x - x$ ， $f'(x) = \\sin x - 1 \\leq 0$ 单减，因此有唯一解，设 $\\cos a = a$ 。由于", "bbox": [ 58, 771, 902, 806 ], "page_idx": 21 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| x _ {n + 1} - a \\right| = \\left| \\cos x _ {n} - a \\right| = \\left| \\cos x _ {n} - \\cos a \\right| = \\left| \\sin \\xi \\right| \\cdot \\left| x _ {n} - a \\right|\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 270, 814, 726, 829 ], "page_idx": 21 }, { "type": "text", "text": "而由于 $\\xi \\in [0, \\frac{\\pi}{3}]$ , $|\\sin \\xi| < \\frac{\\sqrt{3}}{2}$ , 因此 $|x_{n} - a| \\to 0$", "bbox": [ 90, 835, 475, 863 ], "page_idx": 21 }, { "type": "header", "text": "2.7 递推问题", "bbox": [ 803, 55, 905, 68 ], "page_idx": 21 }, { "type": "page_number", "text": "14", "bbox": [ 490, 954, 509, 964 ], "page_idx": 21 }, { "type": "text", "text": "2.7.2 压缩映射定理", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 85, 273, 102 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "定理 2.19 (压缩映射定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 118, 312, 133 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "若存在 $r \\in (0,1)$ 使得 $|a_{n} - a_{n-1}| \\leq r |a_{n} - a_{n-1}|$ ，则数列 $a_{n}$ 收敛。", "bbox": [ 115, 137, 613, 155 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "推论 2.2 (导数判断压缩映射)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 179, 337, 193 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "若 $a_{n + 1} = f(a_n)$ ， $f$ 可导，且 $\\exists r\\in (0,1)$ 使得 $|f'(x)|\\leq r < 1$ ，则 $a_{n}$ 收敛。", "bbox": [ 115, 198, 668, 215 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "练习 2.24 两个经典循环式 证明收敛并求极限:", "bbox": [ 58, 253, 431, 267 ], "page_idx": 22 }, { "type": "equation", "text": "$$\n(1) x _ {1} = 2, x _ {2} = 2 + \\frac {1}{2}, \\dots , x _ {n + 1} = 2 + \\frac {1}{a _ {n}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 122, 268, 431, 293 ], "page_idx": 22 }, { "type": "equation", "text": "$$\n(2) x _ {1} = 1, x _ {2} = \\sqrt {2}, \\dots , x _ {n + 1} = \\sqrt {2 \\sqrt {x _ {n}}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 122, 296, 423, 313 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "解 (1) $|x_{n+1}-x_{n}|=\\left|\\frac{1}{x_{n}}-\\frac{1}{x_{n-1}}\\right|=\\frac{|x_{n-1}-x_{n}|}{|x_{n}x_{n-1}|}\\leq\\frac{1}{4}|x_{n}-x_{n-1}|$ ，因此收敛，取极限得到极限为 $1+\\sqrt{2}$", "bbox": [ 87, 315, 855, 346 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "(2) 设 $f(x) = \\sqrt{2x}$ , $|f'(x)| = \\frac{\\sqrt{2}}{2\\sqrt{x}} \\leq \\frac{\\sqrt{2}}{2} < 1$ 。", "bbox": [ 122, 347, 470, 376 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "2.8 Stolz 定理", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 400, 248, 418 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "定理 2.20 (Stolz 定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 439, 284, 454 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "Stolz 定理分为以下两种，下面的 $A$ 可以为无穷。", "bbox": [ 114, 460, 472, 473 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "\\- $\\frac{\\infty}{\\infty}$ 型： $b_{n}$ 严格单增趋于 $\\infty$ ，且 $\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{a_n - a_{n - 1}}{b_n - b_{n - 1}} = A$ ，则 $\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{a_n}{b_n} = A$", "bbox": [ 139, 474, 682, 502 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "\\- $\\frac{0}{0}$ 型： $b_{n}$ 严格单减趋于0， $a_{n}$ 也收敛到0，且 $\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{a_n - a_{n - 1}}{b_n - b_{n - 1}} = A$ ，则 $\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{a_n}{b_n} = A$", "bbox": [ 139, 502, 786, 530 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "练习 2.25 直接使用 用 Stolz 定理证明平均值定理", "bbox": [ 58, 568, 452, 582 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "证明 设 $a_{n}=x_{1}+x_{2}+\\cdots+x_{n}, b_{n}=n$ ，则 $\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}=x_{n}\\to a$ ，则 $\\frac{a_{n}}{b_{n}}=\\frac{x_{1}+x_{2}+\\cdots+x_{n}}{n}\\to a$", "bbox": [ 62, 581, 873, 609 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "笔记 由于 Stolz 定理可以证出平均值定理，在使用平均值定理时就不需要使用放缩法了。", "bbox": [ 55, 612, 736, 627 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "练习 2.26 几道经典题目 (1) ZJU2022.2: $x_{0} > 0, x_{n} = \\arctan x_{n-1}$ ，证明：", "bbox": [ 58, 633, 625, 648 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "(a) $\\lim_{n\\to \\infty}x_n = 0$", "bbox": [ 124, 652, 236, 668 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "(b) $\\sqrt[n]{nx_{n}}$ 收敛，并求极限", "bbox": [ 122, 669, 312, 684 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "解(1)(a)由于 $x_{n} = \\arctan x_{n - 1} < x_{n - 1}$ 因此单减，根据单调有界定理则极限存在，且两侧取极限得到零", "bbox": [ 87, 688, 853, 703 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "(b) 考虑 $\\lim_{n\\to \\infty}nx_n^2$ ，由于 $nx_{n}^{2} = \\frac{n}{\\frac{1}{x_{n}^{2}}}$ ，根据Stolz定理即", "bbox": [ 122, 703, 529, 734 ], "page_idx": 22 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {n \\to \\infty} \\frac {1}{\\frac {1}{x _ {n} ^ {2}} - \\frac {1}{x _ {n - 1} ^ {2}}} = \\lim _ {n \\to \\infty} \\frac {x _ {n - 1} ^ {2} x _ {n} ^ {2}}{x _ {n - 1} ^ {2} - x _ {n} ^ {2}} = \\lim _ {n \\to \\infty} \\frac {x _ {n - 1} ^ {2} \\arctan^ {2} x _ {n - 1}}{x _ {n - 1} ^ {2} - \\arctan^ {2} x _ {n - 1}} = \\frac {x _ {n - 1} ^ {2} (x _ {n - 1} ^ {2} + \\frac {2}{3} x _ {n - 1} ^ {4} + \\frac {1}{9} x _ {n - 1} ^ {6})}{- \\frac {2}{3} x _ {n - 1} ^ {4} - \\frac {1}{9} x _ {n - 1} ^ {6}} \\frac {3}{2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 131, 736, 863, 772 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "因此 $\\lim_{n\\to \\infty}\\sqrt{n} x_n = \\frac{\\sqrt{6}}{2}$", "bbox": [ 92, 780, 263, 809 ], "page_idx": 22 }, { "type": "header", "text": "2.8 Stolz 定理", "bbox": [ 801, 55, 905, 68 ], "page_idx": 22 }, { "type": "page_number", "text": "15", "bbox": [ 490, 954, 507, 964 ], "page_idx": 22 }, { "type": "text", "text": "2.9 积分形式极限：分段法", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 87, 386, 107 ], "page_idx": 23 }, { "type": "text", "text": "2.9.1 定积分形极限", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 126, 273, 143 ], "page_idx": 23 }, { "type": "text", "text": "练习 2.27 基础拆分法 求下列极限:", "bbox": [ 58, 155, 349, 168 ], "page_idx": 23 }, { "type": "text", "text": "(1) $\\lim_{n\\to \\infty}\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}\\sin^n x\\mathrm{d}x$ (2) $\\lim_{n\\to \\infty}\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}(1 - \\sin x)^n\\mathrm{d}x$ (3) $\\lim_{n\\to \\infty}\\int_0^1\\frac{x^n}{1 + \\sqrt{x}}\\mathrm{d}x$ (4) $\\lim_{n\\to \\infty}\\int_0^1 e^{x^n}\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 147, 170, 848, 206 ], "page_idx": 23 }, { "type": "text", "text": "解 (1) 显然 $x \\in [0, \\frac{\\pi}{2})$ 时， $\\lim_{n \\to \\infty} \\sin^n x = 0$ ，但 $x = \\frac{\\pi}{2}$ 时， $\\sin x = 1$ ，因此做以下拆分：", "bbox": [ 87, 208, 726, 233 ], "page_idx": 23 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2}} \\sin^ {n} x \\mathrm{d} x = \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2} - \\delta} \\sin^ {n} x \\mathrm{d} x + \\int_ {\\frac {\\pi}{2} - \\delta} ^ {\\frac {\\pi}{2}} \\sin^ {n} x \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 319, 234, 675, 269 ], "page_idx": 23 }, { "type": "text", "text": "前者 $\\int_0^{\\frac{\\pi}{2} -\\delta}\\sin^n x\\mathrm{d}x\\leq \\frac{\\pi}{2}\\sin^n (\\frac{\\pi}{2} -\\delta)\\to 0$ ，后者 $\\int_{\\frac{\\pi}{2} -\\delta}^{\\frac{\\pi}{2}}\\sin^n x\\mathrm{d}x\\leq \\int_{\\frac{\\pi}{2} -\\delta}^{\\frac{\\pi}{2}}1\\mathrm{d}x = \\delta$ ，因此积分极限等于0。", "bbox": [ 89, 273, 850, 309 ], "page_idx": 23 }, { "type": "text", "text": "(2)(3) 同理都是 0", "bbox": [ 122, 307, 253, 321 ], "page_idx": 23 }, { "type": "text", "text": "(4) 可以考虑 $\\int_{0}^{1} e^{x^{n}} - 1 dx$ ，结果为 1.", "bbox": [ 122, 321, 408, 353 ], "page_idx": 23 }, { "type": "text", "text": "练习2.28用分段法证明命题(1) $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，证明 $\\lim_{n\\to \\infty}\\int_0^1 f(\\sqrt[n]{x})\\mathrm{d}x = f(1)$", "bbox": [ 58, 357, 697, 391 ], "page_idx": 23 }, { "type": "text", "text": "2.9.2 反常积分形极限", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 409, 294, 426 ], "page_idx": 23 }, { "type": "text", "text": "定理 2.21 (函数形式平均值定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 441, 364, 457 ], "page_idx": 23 }, { "type": "text", "text": "$f(x)$ 在 $[a, +\\infty)$ 有定义且在任意有限区间可积， $\\lim_{x\\to +\\infty}f(x) = A$ ，则", "bbox": [ 112, 461, 623, 481 ], "page_idx": 23 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {x \\to + \\infty} \\frac {1}{x} \\int_ {0} ^ {x} f (t) \\mathrm{d} t = A\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 408, 487, 588, 518 ], "page_idx": 23 }, { "type": "text", "text": "证明 先斩后奏，已知 $A = \\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{1}{x}\\int_{a}^{x}Adt$ ，因此只需证", "bbox": [ 89, 529, 517, 560 ], "page_idx": 23 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {x \\rightarrow + \\infty} \\left(\\frac {1}{x} \\int_ {a} ^ {x} f (t) \\mathrm{d} t - \\frac {1}{x} \\int_ {a} ^ {x} A \\mathrm{d} t\\right) = \\lim _ {x \\rightarrow + \\infty} \\frac {1}{x} \\int_ {a} ^ {x} (f (t) - A) \\mathrm{d} t = 0\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 247, 562, 749, 595 ], "page_idx": 23 }, { "type": "text", "text": "$\\forall \\epsilon, \\exists M, x \\geq M$ 时 $|f(x) - A| < \\epsilon$ ，因此可有 $N, x > N$ 时 $\\frac{1}{x} \\int_{a}^{M} |f(t) - A| \\mathrm{d}t < \\epsilon$ ，得到", "bbox": [ 87, 598, 732, 630 ], "page_idx": 23 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\frac {1}{x} \\int_ {a} ^ {x} (f (t) - A) \\mathrm{d} t \\right| \\leq \\frac {1}{x} \\int_ {a} ^ {M} | f (t) - A | \\mathrm{d} t + \\frac {1}{x} \\int_ {M} ^ {x} | f (t) - A | \\mathrm{d} t < \\epsilon + \\frac {x - M}{x} \\cdot \\epsilon < 2 \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 186, 633, 808, 667 ], "page_idx": 23 }, { "type": "text", "text": "因此结论成立", "bbox": [ 90, 669, 196, 683 ], "page_idx": 23 }, { "type": "text", "text": "因此结论成立笔记如果有说明 $f(x)$ 连续，则 $\\int_{a}^{x}f(t)\\mathrm{d}t$ 可导，可用洛必达法则证明。", "bbox": [ 55, 675, 613, 713 ], "page_idx": 23 }, { "type": "text", "text": "练习2.29相关练习已知 $f(x)$ 在 $[0, +\\infty)$ 非负，对 $\\forall A > 0$ ， $xf(x)$ 在 $[0, A]$ 可积，且 $\\int_0^{+\\infty} f(x) \\mathrm{d}x$ 可积，证明： $\\lim_{A \\to +\\infty} \\frac{1}{A} \\int_0^A xf(x) \\mathrm{d}x = 0$", "bbox": [ 58, 715, 907, 776 ], "page_idx": 23 }, { "type": "text", "text": "证明 由于 $\\int_0^{+\\infty}f(x)\\mathrm{d}x$ 收敛，因此 $\\forall \\epsilon ,\\exists M,\\forall A^{\\prime \\prime}\\geq A^{\\prime}\\geq M$ 都有 $0\\leq \\int_{A^{\\prime}}^{A^{\\prime \\prime}}f(x)\\mathrm{d}x < \\epsilon$ ，固定上面的 $M$ $\\exists N,\\forall A > N$ 有 $0 < \\frac{1}{A}\\int_0^M xf(x)\\mathrm{d}x < \\epsilon$ ，进而 $A > N$ 时", "bbox": [ 87, 775, 907, 840 ], "page_idx": 23 }, { "type": "equation", "text": "$$\n0 < \\frac {1}{A} \\int_ {0} ^ {A} x f (x) \\mathrm{d} x = \\frac {1}{A} \\int_ {0} ^ {M} x f (x) \\mathrm{d} x + \\frac {1}{A} \\int_ {M} ^ {A} x f (x) \\mathrm{d} x < \\epsilon + \\frac {1}{A} \\int_ {M} ^ {A} A f (x) \\mathrm{d} x < 2 \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 186, 843, 808, 878 ], "page_idx": 23 }, { "type": "header", "text": "2.9 积分形式极限：分段法", "bbox": [ 704, 55, 905, 68 ], "page_idx": 23 }, { "type": "page_number", "text": "16", "bbox": [ 490, 954, 509, 965 ], "page_idx": 23 }, { "type": "text", "text": "2.9.3 周期函数积分极限", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 85, 315, 102 ], "page_idx": 24 }, { "type": "text", "text": "练习2.30 $f(x)$ 是 $\\mathbb{R}$ 上周期为 $T$ 的可积函数，证明： $\\forall a\\in \\mathbb{R},\\int_0^T f(x)\\mathrm{d}x = \\int_a^{a + T}f(x)\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 58, 112, 742, 145 ], "page_idx": 24 }, { "type": "text", "text": "证明 令 $x = T + u$ ，则 $\\int_{T}^{a + T} f(x) \\mathrm{d}x = \\int_{0}^{a} f(T + u) \\mathrm{d}(T + u) = \\int_{0}^{a} f(x) \\mathrm{d}x$ ，因此", "bbox": [ 87, 143, 702, 177 ], "page_idx": 24 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {a} ^ {a + T} f (x) \\mathrm{d} x = \\int_ {a} ^ {0} f (x) \\mathrm{d} x + \\int_ {0} ^ {T} f (x) \\mathrm{d} x + \\int_ {T} ^ {T + a} f (x) \\mathrm{d} x = \\int_ {0} ^ {T} f (x) \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 231, 179, 764, 212 ], "page_idx": 24 }, { "type": "text", "text": "练习2.31 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的连续函数，证明： $\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{1}{x}\\int_0^x f(t)\\mathrm{d}t = \\frac{1}{T}\\int_0^T f(t)\\mathrm{d}t$ 证明对 $\\forall x > 0$ ，都 $\\exists n_x\\in \\mathbb{N}$ 使得 $x - n_{x}T\\in [0,T)$ ，此时 $\\lim_{x\\to \\infty}\\frac{n_x}{x} = \\frac{1}{T}$ 。根据周期性可知", "bbox": [ 58, 223, 754, 280 ], "page_idx": 24 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {x \\rightarrow + \\infty} \\frac {1}{x} \\int_ {0} ^ {n _ {x} T} f (t) \\mathrm{d} t = \\frac {n _ {x}}{x} \\int_ {0} ^ {T} f (t) \\mathrm{d} t = \\frac {1}{T} \\int_ {0} ^ {T} f (t) \\mathrm{d} t\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 297, 282, 697, 316 ], "page_idx": 24 }, { "type": "text", "text": "由于 $||f(x)| - |f(y)|| \\leq |f(x) - f(y)|$ ，从振幅角度来看，若 $f(x)$ 可积，则 $|f(x)|$ 也可积，且显然 $|f(x)|$ 也是周期函数。因此 $\\int_0^T |f(x)|\\mathrm{d}x$ 有界，此时：", "bbox": [ 89, 318, 905, 362 ], "page_idx": 24 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {n _ {x} T} ^ {x} f (t) \\mathrm{d} t \\leq \\int_ {n _ {x} T} ^ {(n _ {x} + 1) T} f (x) \\mathrm{d} x \\leq \\int_ {0} ^ {T} | f (x) | \\mathrm{d} x \\leq M\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 300, 367, 694, 403 ], "page_idx": 24 }, { "type": "text", "text": "因此 $\\lim_{x\\to \\infty}\\frac{1}{x}\\int_{n_xT}^x f(x)\\mathrm{d}x = 0$", "bbox": [ 90, 404, 315, 436 ], "page_idx": 24 }, { "type": "text", "text": "练习 2.32 进阶难度 $f(x) \\geq 0$ ，周期为 T，且连续，证明：", "bbox": [ 58, 449, 512, 463 ], "page_idx": 24 }, { "type": "text", "text": "证明", "bbox": [ 90, 502, 131, 517 ], "page_idx": 24 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {n \\rightarrow \\infty} n \\int_ {n} ^ {+ \\infty} \\frac {f (x)}{x ^ {2}} \\mathrm{d} x = \\frac {1}{T} \\int_ {0} ^ {T} f (x) \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 357, 467, 640, 500 ], "page_idx": 24 }, { "type": "header", "text": "2.9 积分形式极限：分段法", "bbox": [ 704, 55, 905, 68 ], "page_idx": 24 }, { "type": "page_number", "text": "17", "bbox": [ 490, 953, 507, 964 ], "page_idx": 24 }, { "type": "image", "img_path": "images/8eb8fb666bbaa9a816146c4a4a4c8ebfda7fa464a434b62b0448bbe8a2aa3b16.jpg", "image_caption": [], "image_footnote": [], "content": "", "bbox": [ 58, 464, 78, 483 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "第 3 章 函数极限与连续性", "text_level": 1, "bbox": [ 337, 87, 675, 111 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "3.1 函数的极限", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 145, 265, 165 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "3.1.1 函数极限定义", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 184, 273, 200 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "定义 3.1 (函数极限)", "text_level": 2, "bbox": [ 119, 217, 270, 231 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "$x_0 \\in \\mathbb{R}$ , $f$ 在 $x_0$ 邻域有定义 ( $x_0$ 处可以没有), $\\forall \\epsilon, \\exists \\delta$ , s.t. $\\forall x \\in [x_0 - \\delta, x_0 + \\delta] - \\{x_0\\}$ 有 $|f(x) - A| < \\epsilon$ , 则称 $A$ 为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处极限。", "bbox": [ 114, 235, 897, 277 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "练习3.1Riemann函数Riemann函数定义如下，证明对 $\\forall x_0\\in [0,1]$ ，有 $\\lim_{x\\to x_0}R(x) = 0$", "bbox": [ 58, 309, 724, 329 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "$R(x) = \\left\\{ \\begin{array}{ll}\\frac{1}{q}, & x = \\frac{p}{q} (\\frac{p}{q}\\text{是既约真分数})\\\\ 0, & x\\text{是}(0,1)\\text{中的无理数或者}0,1\\text{本身} \\end{array} \\right.$", "bbox": [ 315, 335, 677, 386 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "证明 $\\forall\\epsilon$ ，满足 $\\frac{1}{q}\\geq\\epsilon$ 的正整数 q 只有有限个，从而 $\\frac{p}{q}$ 有限，令这些数为 $x_{1},\\cdots,x_{k}$ ，取", "bbox": [ 87, 388, 737, 420 ], "page_idx": 25 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\delta = \\min \\left\\{\\left| x _ {i} - x _ {0} \\right|: i = 1, 2, \\dots , k \\right\\}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 366, 420, 626, 437 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "当 $x$ 属于 $x_0$ 的 $\\delta$ 邻域时，显然 $R(x) < \\epsilon$ ，因此 $\\lim_{x\\to x_0}R(x) = 0$", "bbox": [ 90, 444, 552, 462 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "笔记 上述练习说明 Riemann 函数在每个点极限为 0，在 $(0,1)$ 的无理点和 0,1 连续，在 $(0,1)$ 有理点间断。这说明 Riemann 函数是几乎处处连续的，根据实变可知其 Riemann 可积。", "bbox": [ 87, 469, 905, 504 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "定理 3.1 (极限的唯一性)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 513, 305, 527 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "若函数的极限存在，则它是唯一的。", "bbox": [ 115, 533, 379, 548 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "证明 反设有两个极限，取 $\\epsilon$ 为差距的一半，根据定义可证。", "bbox": [ 90, 567, 529, 583 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "3.1.2 函数极限的性质", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 605, 292, 621 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "定理 3.2 (函数极限四则运算)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 637, 337, 652 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "若 $f(x), g(x)$ 在 $x_0$ 处极限存在， $f + g, f - g, f \\times g, \\frac{f}{g}$ 极限存在且极限为对应极限的运算 (除法要求分母极限非 0)。", "bbox": [ 112, 657, 884, 700 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "练习3.2函数绝对值的极限设 $\\lim_{x\\to x_0}f(x) = A$ ，则 $\\lim_{x\\to x_0}|f(x)| = |A|$ ，反之不一定成立。", "bbox": [ 58, 719, 729, 739 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "证明 由于 $\\lim_{x\\to x_0}f(x) = A$ ， $\\forall \\epsilon ,\\exists \\delta ,\\forall x\\in U(x_0,\\delta)$ 有 $|f(x) - A| < \\epsilon$ ，而 $||f(x)| - |A||\\leq |f(x) - A|$ ，因此极限存在。反之有反例 $f(x) = \\mathrm{sgn}(x)$", "bbox": [ 75, 736, 905, 777 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "定理 3.3 (归结原则)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 787, 270, 801 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "$\\lim_{x\\to x_{0}}f(x)=A$ 当且仅当任意收敛到 $x_{0}$ 的数列 $x_{n}$ ，有 $\\lim_{n\\to\\infty}f(x_{n})=A$ 。", "bbox": [ 112, 807, 638, 829 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 左推右: $\\forall \\epsilon, \\exists \\delta, |x - x_0| < \\delta$ 时 $|f(x) - A| < \\epsilon$ , 对于 $x_n$ , 由于 $\\lim_{n \\to \\infty} x_n = x_0$ , $\\exists N, \\forall n > N, |x_n - x_0| < \\delta$ , 因此 $|f(x_n) - A| < \\epsilon$", "bbox": [ 90, 848, 905, 884 ], "page_idx": 25 }, { "type": "text", "text": "(2) 右推左：反设 $\\lim_{x\\to x_{0}}f(x)\\neq A$ ，则 $\\exists\\epsilon_{0},\\forall\\delta,\\exists x\\in U(x_{0},\\delta)$ 满足 $|f(x)-A|>\\epsilon_{0}$ ，每次取 $\\delta'=\\delta,\\frac{\\delta}{2},\\cdots,\\frac{\\delta}{n}$ ，每个 $\\delta'$ 邻域对应一个 $x_{n}$ ，但是总有 $|f(x_{n})-A|>\\epsilon_{0}$ ，这与 $\\lim_{n\\to\\infty}f(x_{n})=A$ 矛盾。", "bbox": [ 90, 82, 905, 129 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "练习3.3用归结原则证明不收敛 证明： $\\lim_{x\\to 0}\\sin \\frac{1}{x}$ 不存在。", "bbox": [ 58, 140, 515, 165 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "证明 令 $x_{n} = \\frac{1}{(2n + \\frac{1}{2})\\pi}, x_{n}^{\\prime} = \\frac{1}{2n\\pi}$ ，两者均收敛至0，但是 $f(x_{n}) \\to 1$ ， $f(x_{n}^{\\prime}) \\to 0$ ，从而无极限。", "bbox": [ 90, 166, 818, 197 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "3.1.3 无穷大与无穷小", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 216, 292, 233 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "定义 3.2 (O 与 o)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 249, 250, 263 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "$f, g$ 在 $x_0$ 附近有定义， $g(x) \\neq 0$ ，若 $\\lim_{x \\to x_0} \\frac{|f(x)|}{|g(x)|} \\leq M$ ，则记 $f(x) = O(g(x))$ ；若 $\\lim_{x \\to x_0} \\frac{|f(x)|}{|g(x)|} = 0$ ，则记 $f(x) = o(g(x))$", "bbox": [ 112, 267, 884, 313 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "定义 3.3 (Ω)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 338, 216, 351 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "$f, g$ 是两个算法，若 $\\exists C \\in \\mathbb{R}^{+}$ 使得 $n > n_{0}$ 时 $0 \\leq Cg(n) \\leq f(n)$ ，则记 $f(n) = \\Omega(g(n))$", "bbox": [ 112, 357, 752, 374 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "定义 3.4 ( $\\Theta$ )", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 398, 216, 413 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "若 $f(n)$ 是 $\\Omega (g(n))$ 且 $O(g(n))$ 的，则记 $f(n) = \\Theta (g(n))$", "bbox": [ 114, 418, 527, 434 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "笔记 记忆方法：全以多项式为例，O 表示阶数 (次数) 大于等于，o 表示阶数大于， $\\Omega$ 表示阶数小于等于， $\\Theta$ 表示阶数等于。", "bbox": [ 89, 453, 905, 486 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "3.1.4 使用定义直接计算", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 508, 314, 525 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "练习 3.4 几个经典函数极限 (1) 计算 $\\lim_{n\\to\\infty}\\sin^{2}(\\pi\\sqrt{n^{2}+n})$", "bbox": [ 58, 538, 515, 556 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "(2) $\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{[xf(x)]}{x}$ ，其中 $\\lim_{x\\to +\\infty}f(x) = a$", "bbox": [ 122, 557, 418, 587 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "解 (1) $\\sin^2 (\\pi \\sqrt{n^2 + n}) = \\sin^2 (\\pi \\sqrt{n^2 + n} -\\pi n) = \\sin^2 (\\frac{n\\pi}{\\sqrt{n^2 + n} + n})$ ，极限为 $\\sin^2 (\\frac{\\pi}{2}) = 1$", "bbox": [ 89, 585, 749, 611 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "(2) 由于 $xf(x) - 1 < [xf(x)] \\leq xf(x)$ ，因此 $f(x) - \\frac{1}{x} < \\frac{[xf(x)]}{x} \\leq f(x)$ ，显然 $\\lim_{x \\to +\\infty} \\left( f(x) - \\frac{1}{x} \\right) = \\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = a$ ，因此由夹逼准则，极限为 $a$", "bbox": [ 90, 611, 905, 661 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "练习3.5几个经典递推问题 $(1)f(x)$ 在 $(0, +\\infty)$ 单调增， $\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{f(2x)}{f(x)} = 1$ ，证明 $\\forall a > 0$ 有 $\\lim_{x\\to +\\infty}\\frac{f(ax)}{f(x)} = 1$ 证明", "bbox": [ 58, 669, 882, 714 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "3.2 函数极限的计算", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 741, 314, 760 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "3.2.1 等价无穷小公式", "bbox": [ 92, 780, 294, 797 ], "page_idx": 26 }, { "type": "equation", "text": "$$\n1 - \\cos x \\sim \\frac {1}{2} x ^ {2} \\tan x \\sim x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 509, 819, 717, 846 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "反三角： $\\arcsin x\\sim x$", "bbox": [ 243, 847, 455, 862 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "$\\arctan x \\sim x$", "bbox": [ 509, 850, 606, 860 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "指数、对数： $\\ln (1 + x)\\sim x$", "bbox": [ 243, 865, 465, 879 ], "page_idx": 26 }, { "type": "equation", "text": "$$\ne ^ {x} - 1 \\sim x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 509, 866, 593, 879 ], "page_idx": 26 }, { "type": "equation", "text": "$$\na ^ {x} - 1 \\sim x \\ln a\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 640, 866, 754, 879 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "其他： $(1 + x)^{\\alpha} - 1\\sim \\alpha x$", "bbox": [ 243, 884, 500, 898 ], "page_idx": 26 }, { "type": "page_number", "text": "19", "bbox": [ 490, 954, 507, 964 ], "page_idx": 26 }, { "type": "header", "text": "3.2 函数极限的计算", "bbox": [ 754, 55, 905, 68 ], "page_idx": 26 }, { "type": "text", "text": "3.2.2 Taylor 展开公式", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 86, 295, 103 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "指数、对数:", "bbox": [ 97, 137, 194, 155 ], "page_idx": 27 }, { "type": "equation", "text": "$$\ne ^ {x} = \\sum_ {n = 0} ^ {\\infty} \\frac {x ^ {n}}{n !}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 215, 130, 309, 167 ], "page_idx": 27 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\ln (1 + x) = \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} (- 1) ^ {n - 1} \\frac {x ^ {n}}{n}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 618, 130, 821, 165 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "三角：", "bbox": [ 97, 174, 144, 189 ], "page_idx": 27 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sin x = \\sum_ {n = 0} ^ {\\infty} (- 1) ^ {n} \\frac {x ^ {2 n + 1}}{(2 n + 1) !}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 213, 165, 413, 200 ], "page_idx": 27 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\cos x = \\sum_ {n = 0} ^ {\\infty} (- 1) ^ {n} \\frac {x ^ {2 n}}{(2 n) !}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 621, 166, 793, 200 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "反三角：", "bbox": [ 99, 208, 161, 224 ], "page_idx": 27 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\arcsin x = \\sum_ {n = 0} ^ {\\infty} \\left(\\frac {(2 n) !}{2 ^ {2 n} (n !) ^ {2}}\\right) \\frac {x ^ {2 n + 1}}{2 n + 1} = x + \\frac {1}{6} x ^ {3} + o \\left(x ^ {3}\\right)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 213, 199, 608, 235 ], "page_idx": 27 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\arctan x = \\sum_ {n = 0} ^ {\\infty} \\frac {(- 1) ^ {n} x ^ {2 n + 1}}{2 n + 1} = x - \\frac {1}{3} x ^ {3} + o (x ^ {3})\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 621, 199, 966, 235 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "分式:", "bbox": [ 97, 242, 144, 259 ], "page_idx": 27 }, { "type": "equation", "text": "$$\n{\\frac {1}{1 + x}} = \\sum_ {n = 0} ^ {\\infty} (- 1) ^ {n} x ^ {n}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 215, 236, 374, 269 ], "page_idx": 27 }, { "type": "equation", "text": "$$\n{\\frac {1}{1 - x}} = \\sum_ {n = 0} ^ {\\infty} x ^ {n}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 621, 236, 739, 269 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "其他：", "bbox": [ 97, 277, 144, 293 ], "page_idx": 27 }, { "type": "equation", "text": "$$\n(1 + x) ^ {\\alpha} = 1 + \\alpha x + \\frac {\\alpha (\\alpha - 1)}{2} x ^ {2} + o (x ^ {2})\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 215, 269, 517, 300 ], "page_idx": 27 }, { "type": "equation", "text": "$$\n(1 + x) ^ {\\alpha} = \\sum_ {n = 0} ^ {\\infty} {\\binom {\\alpha} {n}} x ^ {n}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 621, 269, 791, 306 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "3.3 函数的连续性", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 326, 289, 347 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "3.3.1 函数连续的定义", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 366, 292, 384 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "定义 3.5 (单点连续)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 398, 270, 414 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "$f:[a,b]\\to \\mathbb{R},x_0\\in [a,b]$ 若 $\\lim_{x\\to x_0}f(x) = f(x_0)$ ，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。", "bbox": [ 112, 418, 653, 439 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "笔记 有时也可以展开用 $\\forall \\epsilon, \\exists \\delta$ 使得 $\\forall x \\in (x_0 - \\delta, x_0 + \\delta)$ 满足 $|f(x) - f(x_0)| < \\epsilon$ 证明。例如证明 Riemann 函数在无理点连续。", "bbox": [ 87, 460, 905, 494 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "定义 3.6 (单点左右连续)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 502, 304, 519 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "若 $f(x_0^+) = f(x_0)$ 则称 $f(x)$ 右连续。左连续同理。", "bbox": [ 114, 524, 485, 541 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "笔记 注意右连续是指右极限等于当前点的函数值，而非左侧极限靠过来等于当前点的函数值！", "bbox": [ 87, 558, 778, 575 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "练习 3.6Dirichlet 函数的连续性 判断下面 Dirichlet 函数的连续性、单调性、周期性", "bbox": [ 58, 596, 700, 612 ], "page_idx": 27 }, { "type": "equation", "text": "$$\nD (x) = {\\left\\{ \\begin{array}{l l} {1,} & {x \\text {为有理数}} \\\\ {0} & {x \\text {为无理数}} \\end{array} \\right.}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 401, 615, 591, 659 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "解(1)周期: 任意有理数(显然)", "bbox": [ 87, 664, 324, 678 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "(2) 连续性：处处不连续，因为根据有理数和无理数的稠密性，总能在小邻域中找到相差 1 的点，因此不连续。", "bbox": [ 89, 683, 905, 715 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "练习 3.7Riemann 函数的连续性 证明 Riemann 函数在无理点连续，在有理点间断。", "bbox": [ 58, 738, 692, 753 ], "page_idx": 27 }, { "type": "equation", "text": "$$\nR (x) = {\\left\\{ \\begin{array}{l l} { {\\frac {1}{q}},} & {x = {\\frac {p}{q}} \\text {为既约分数}} \\\\ {0,} & {x \\text {为无理数}} \\end{array} \\right.}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 374, 756, 618, 806 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 有理点: 设 $x_0 = \\frac{p}{q}$ 为有理点, $R(x_0) = \\frac{1}{q}$ , 无理点列趋于 $x_0$ 时, 极限为 0 , 与函数值不同。", "bbox": [ 87, 810, 831, 839 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "(2) 无理点： $x_{0}$ 是无理点， $\\forall \\epsilon, \\frac{1}{q} > \\epsilon$ 的个数有限，设这些点为 $x_{1}, \\cdots, x_{n}$ ，取 $\\delta < \\min\\{|x_{0} - x_{i}| : i = 1 \\sim n\\}$ ， $x \\in (x_{0} - \\delta, x_{0} + \\delta) - \\{x_{0}\\}$ 时 $|f(x_{0}) - f(x)| < \\epsilon$", "bbox": [ 87, 841, 905, 881 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "练习 3.8 初等函数的连续性 f, g, h 连续，证明： $\\max\\{f(x), g(x)\\}, \\min\\{f(x), g(x)\\}, |f(x)|$ 连续", "bbox": [ 58, 901, 778, 917 ], "page_idx": 27 }, { "type": "header", "text": "3.3 函数的连续性", "bbox": [ 771, 55, 905, 68 ], "page_idx": 27 }, { "type": "page_number", "text": "20", "bbox": [ 489, 954, 509, 965 ], "page_idx": 27 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 最大、最小：根据 $\\max \\{f(x), g(x)\\} = \\frac{1}{2}[f(x) + g(x) + |f(x) - g(x)|]$", "bbox": [ 90, 82, 662, 109 ], "page_idx": 28 }, { "type": "text", "text": "(2) 绝对值: $|f(x)| = \\sqrt{|f(x)|^2}$ 连续", "bbox": [ 122, 109, 389, 124 ], "page_idx": 28 }, { "type": "text", "text": "3.3.2 间断点的概念", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 146, 273, 162 ], "page_idx": 28 }, { "type": "text", "text": "定义 3.7 (第一类间断点)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 179, 304, 193 ], "page_idx": 28 }, { "type": "text", "text": "跳跃点与可去间断点统称为 $f(x)$ 的第一类间断点", "bbox": [ 112, 199, 480, 212 ], "page_idx": 28 }, { "type": "text", "text": "\\- 跳跃点：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处左右极限 $f(x_0^-), f(x_0^+)$ 存在但不相等，", "bbox": [ 139, 217, 623, 231 ], "page_idx": 28 }, { "type": "text", "text": "\\- 可去间断点：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处左右极限存在且相等，即 $f(x_0^-) = f(x_0^+)$", "bbox": [ 139, 235, 678, 252 ], "page_idx": 28 }, { "type": "text", "text": "练习3.9第一类间断点的性质(1)若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 至多有第一类间断点，证明： $f(x)$ 在 $[a,b]$ 有界证明(1)若没有间断点，则连续，显然有界。否则反设无界，则对 $M = 1$ ，存在 $x_{1} \\in [a,b]$ 使得 $|f(x_1)| > 1$ ， $M = 2$ 存在 $x_{2} \\in [a,b]$ 使得 $|f(x_2)| > 2$ ，以此类推构造 $x_{n}$ 。由于 $x_{n} \\in [a,b]$ ，根据致密性定理，存在收敛子列 $x_{n_k}$ ，而由于 $f(x)$ 只有第一类间断点，因此 $\\lim_{k \\to +\\infty} f(x_{n_k})$ 存在，但其趋于无穷，矛盾。", "bbox": [ 58, 290, 905, 365 ], "page_idx": 28 }, { "type": "text", "text": "定义 3.8 (第二类间断点)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 387, 304, 401 ], "page_idx": 28 }, { "type": "text", "text": "若 $f(x_0^+)$ 和 $f(x_0^-)$ 至少一个不存在或者不是有限的数，则称 $x_0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点。", "bbox": [ 114, 407, 766, 424 ], "page_idx": 28 }, { "type": "text", "text": "练习 3.10 判断间断点类型 (1) 已知 $f(x) = \\text{sgn}(x)$ , $g(x) = x - [x]$ ，讨论 $f(g(x))$ 和 $g(f(x))$ 的间断点类型\n\n解 (1) $f(g(x))$ 在 x 为整数时等于 0，在 x 非整数时大于 0，因此在整数处取可去间断点。 $g(f(x)) = 0$ ，因此连续", "bbox": [ 58, 462, 904, 497 ], "page_idx": 28 }, { "type": "text", "text": "练习 3.11 单调函数的间断点 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 邻域单增， $f(x_{0}^{-}), f(x_{0}^{+})$ 均存在，证明如下性质，即单调函数的间断点都是跳跃间断点", "bbox": [ 58, 517, 905, 550 ], "page_idx": 28 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x _ {0} ^ {-}) = \\sup _ {x \\in U _ {-} ^ {o} (x _ {0})} f (x), f (x _ {0} ^ {+}) = \\inf _ {x \\in U _ {+} ^ {o} (x _ {0})} f (x)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 329, 554, 665, 579 ], "page_idx": 28 }, { "type": "text", "text": "证明 取 $x_{1} \\in U_{+}^{o}(x_{0})$ ，则 $\\forall x \\in U_{-}^{o}(x_{0})$ 有 $f(x) \\leq f(x_{1})$ ，从而根据确界原理有上确界 $A$ ，从而 $f(x) \\leq A$ 且 $\\forall \\epsilon, \\exists x'$ 满足 $f(x') > A - \\epsilon$ ，从而 $\\forall x \\in (x_{0} - \\delta, x_{0})$ 有 $|f(x) - A| < \\epsilon$ 笔记 单调函数左右极限均存在是一个会在考题中使用的结论。", "bbox": [ 75, 589, 902, 642 ], "page_idx": 28 }, { "type": "text", "text": "练习3.12单调函数右连续 $f(x)$ 是 $\\mathbb{R}$ 上单调函数，定义 $g(x) = f(x + 0)$ ，证明 $g(x)$ 在 $\\mathbb{R}$ 每一点右连续证明只需要证明 $\\forall \\epsilon, \\exists \\delta$ ，当 $|x - x_0| < \\delta$ 时，满足", "bbox": [ 58, 663, 847, 697 ], "page_idx": 28 }, { "type": "equation", "text": "$$\n| g (x) - g (x _ {0}) | < \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 431, 706, 566, 722 ], "page_idx": 28 }, { "type": "text", "text": "根据 $g(x_0) = \\lim_{y\\to x_0^+}f(y)$ 得到 $y\\in (x_0,x_0 + \\delta)$ 时有 $|f(y) - g(x_0)| < \\epsilon$ ，令 $y\\to x^{+}$ 即可得到", "bbox": [ 89, 728, 757, 753 ], "page_idx": 28 }, { "type": "equation", "text": "$$\n| g (x) - g (x _ {0}) | < \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 431, 757, 566, 772 ], "page_idx": 28 }, { "type": "text", "text": "练习3.13极限的连续性 $f(x)$ 只有可去间断点， $g(x) = \\lim_{y\\to x}f(y)$ ，证明 $g(x)$ 是连续函数证明可去间断点说明极限存在， $g(x_0) = \\lim_{y\\to x_0}f(y)$ ，即对 $\\forall \\epsilon, \\exists \\delta, y \\in U^o(x_0, \\delta)$ 时：", "bbox": [ 58, 797, 736, 840 ], "page_idx": 28 }, { "type": "equation", "text": "$$\ng (x _ {0}) - \\epsilon < f (y) < g (x _ {0}) + \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 389, 845, 606, 860 ], "page_idx": 28 }, { "type": "text", "text": "根据 $g(x) = \\lim_{y\\to x}f(y)$ 和保不等式性得到", "bbox": [ 90, 866, 388, 888 ], "page_idx": 28 }, { "type": "equation", "text": "$$\ng (x _ {0}) - \\epsilon \\leq g (x) \\leq g (x _ {0}) + \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 389, 892, 605, 907 ], "page_idx": 28 }, { "type": "page_number", "text": "21", "bbox": [ 489, 954, 507, 965 ], "page_idx": 28 }, { "type": "header", "text": "3.3 函数的连续性", "bbox": [ 771, 55, 904, 68 ], "page_idx": 28 }, { "type": "text", "text": "因此 $g(x)$ 在 $x_{0}$ 连续，由 $x_{0}$ 任意性可知结论成立。", "bbox": [ 90, 85, 462, 99 ], "page_idx": 29 }, { "type": "text", "text": "练习 3.14 第一类间断点的经典题目 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 至多只有第一类间断点，且对 $\\forall x,y\\in(a,b)$ 有 $f\\left(\\frac{x+y}{2}\\right)\\leq\\frac{f(x)+f(y)}{2}$ ，证明： $f(x)$ 在 $(a,b)$ 连续", "bbox": [ 58, 116, 905, 166 ], "page_idx": 29 }, { "type": "text", "text": "证明 $\\forall x_{0}\\in(a,b),\\forall h$ 满足 $x_{0}\\pm h\\in(a,b)$ 时，根据条件可知：", "bbox": [ 87, 167, 539, 184 ], "page_idx": 29 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x _ {0}) \\leq \\frac {f (x _ {0} + h) + f (x _ {0} - h)}{2} \\quad f (x _ {0} + \\frac {h}{2}) \\leq \\frac {f (x _ {0}) + f (x _ {0} + h)}{2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 255, 187, 737, 216 ], "page_idx": 29 }, { "type": "text", "text": "前者取 $h \\rightarrow 0^{+}$ ，后者分别取 $h \\rightarrow 0^{+}, h \\rightarrow 0^{-}$ 则", "bbox": [ 90, 218, 450, 231 ], "page_idx": 29 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} f (x _ {0}) \\leq \\frac {f (x _ {0} + 0) + f (x _ {0} - 0)}{2} \\\\ f (x _ {0} + 0) \\leq \\frac {f (x _ {0}) + f (x _ {0} + 0)}{2} \\\\ f (x _ {0} - 0) \\leq \\frac {f (x _ {0}) + f (x _ {0} - 0)}{2} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 368, 235, 611, 313 ], "page_idx": 29 }, { "type": "text", "text": "综合得到 $f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0) = f(x_0)$ ，因此在任意点连续。", "bbox": [ 90, 316, 549, 332 ], "page_idx": 29 }, { "type": "text", "text": "3.3.3 介值性定理", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 353, 253, 370 ], "page_idx": 29 }, { "type": "text", "text": "定理 3.4 (零点存在定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 385, 304, 400 ], "page_idx": 29 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (a) f (b) < 0\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 312, 407, 408, 420 ], "page_idx": 29 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\exists \\xi \\in (a, b)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 442, 407, 517, 420 ], "page_idx": 29 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (\\xi) = 0\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 559, 407, 623, 420 ], "page_idx": 29 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 使用闭区间套定理进行证明：取 $a_1 = a, b_1 = b, c_1 = \\frac{a_1 + b_1}{2}$ ，根据 $f(c_1)$ 正负性选取 $a_2, b_2$ ，以此类推，由于 $\\lim_{n\\to \\infty}|a_n - b_n| = 0$ ， $f(a_n)f(b_n) < 0$ ，根据闭区间套 $\\exists \\xi$ 使得 $f^2 (\\xi)\\leq 0$ ，因此得出 $f(\\xi) = 0$", "bbox": [ 90, 438, 905, 476 ], "page_idx": 29 }, { "type": "text", "text": "(2) 使用有限覆盖定理证明：根据连续函数局部保号性， $\\forall x \\in [a, b]$ ， $\\exists \\delta_x$ 使得 $f(x)$ 在 $(x - \\delta_x, x + \\delta_x) \\cap [a, b]$ 中保号，取遍 $[a, b]$ 显然是一族开覆盖，根据有限覆盖定理可找到有限覆盖，不妨设这有限覆盖相互有重叠，则全部等号，这与 $f(a)f(b) < 0$ 矛盾。", "bbox": [ 90, 479, 905, 530 ], "page_idx": 29 }, { "type": "text", "text": "定理 3.5 (介值性定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 542, 287, 557 ], "page_idx": 29 }, { "type": "text", "text": "$f(x)$ 是 $[a,b]$ 中的连续函数， $a\\leq x_1 < x_2\\leq b$ ， $f(x_{1})\\neq f(x_{2})$ ，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可取遍 $f(x_{1}),f(x_{2})$ 间任意值。", "bbox": [ 112, 561, 894, 596 ], "page_idx": 29 }, { "type": "text", "text": "练习 3.15 构造辅助函数 (1) $f(x), g(x)$ 是 [0,1] 上的连续函数，且在 [0,1] 有相同最大值，证明 $\\exists \\xi \\in [a,b]$ 使得 $f(\\xi) = g(\\xi)$", "bbox": [ 58, 632, 905, 665 ], "page_idx": 29 }, { "type": "text", "text": "(2) 重点: $f(x)$ 是 $[0, 2a]$ 连续函数, 且 $f(0) = f(2a)$ , 证明 $\\exists \\xi \\in [0, a]$ 使得 $f(\\xi) = f(\\xi + a)$", "bbox": [ 121, 669, 789, 684 ], "page_idx": 29 }, { "type": "text", "text": "(3) 重点： $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上连续函数， $f(0) = f(1) = 0$ ，证明 $\\forall n \\in \\mathbb{N}^{+}, \\exists \\xi \\in [0,1]$ 使得 $f(\\xi + \\frac{1}{n}) = f(\\xi)$", "bbox": [ 121, 687, 870, 706 ], "page_idx": 29 }, { "type": "text", "text": "(4) 重点: $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上非负连续函数, $f(0) = f(1) = 0$ , 证明: 对 $\\forall a \\in (0,1), \\exists \\xi \\in [0,1]$ , 使得 $f(\\xi) = f(\\xi + a)$ 证明 (1) 问题在于最大值取值点不一定一样: 若最大值对应 $f(x_1), g(x_2)$ , 若 $x_1 = x_2$ , 则显然成立。若 $x_1 \\neq x_2$ , 则取 $F(x) = f(x) - g(x)$ , $F(x_1) \\geq 0, F(x_2) \\leq 0$ , 从而由零点存在定理成立。", "bbox": [ 87, 707, 904, 760 ], "page_idx": 29 }, { "type": "text", "text": "(2) 取 $F(x) = f(x) - f(x + a)$ , $F(0) = f(0) - f(a)$ , $F(a) = f(a) - f(2a) = f(a) - f(0)$ ，因此 $F(0) = -F(a)$ ，显然成立。", "bbox": [ 90, 763, 902, 795 ], "page_idx": 29 }, { "type": "equation", "text": "$$\nF (x) = f \\left(x + \\frac {1}{n}\\right) - f (x), F (0) = f \\left(\\frac {1}{n}\\right) - f (0), F \\left(\\frac {1}{n}\\right) = f \\left(\\frac {2}{n}\\right) - f \\left(\\frac {1}{n}\\right), \\dots , F \\left(\\frac {n - 1}{n}\\right) = f (1) - f \\left(\\frac {n - 1}{n}\\right)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 169, 793, 899, 821 ], "page_idx": 29 }, { "type": "text", "text": "得到 $F(0)+F(\\frac{1}{n})+\\cdots+F(\\frac{n-1}{n})=f(1)-f(0)=0$ ，要么这些全部为零，要么有正有负，根据定理可知。", "bbox": [ 90, 820, 890, 841 ], "page_idx": 29 }, { "type": "text", "text": "(4) 取 $F(x) = f(x) - f(x + a)$ ， $F(0) = f(0) - f(a) = -f(a)$ , $F(1 - a) = f(1 - a) - f(1) = f(1 - a)$ ，由于 $f$ 非负，因此 $F(0)F(1 - a) \\leq 0$ 。", "bbox": [ 89, 843, 905, 878 ], "page_idx": 29 }, { "type": "header", "text": "3.3 函数的连续性", "bbox": [ 771, 55, 904, 68 ], "page_idx": 29 }, { "type": "page_number", "text": "22", "bbox": [ 489, 953, 509, 964 ], "page_idx": 29 }, { "type": "text", "text": "定理 3.6 (连续函数平均值定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 87, 354, 101 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "$f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续， $x_{1},\\dots ,x_{n}\\in [a,b]$ ，证明： $\\exists \\xi \\in [a,b]$ ，使得", "bbox": [ 114, 105, 584, 123 ], "page_idx": 30 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (\\xi) = \\frac {1}{n} [ f (x _ {1}) + \\dots + f (x _ {n}) ]\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 384, 126, 610, 153 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "证明 不妨设 $f(x_{1}),\\cdots,f(x_{n})$ 中最大值为 $f(x_{n})$ ，最小值为 $f(x_{1})$ ，则", "bbox": [ 89, 171, 611, 187 ], "page_idx": 30 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x _ {1}) \\leq \\frac {1}{n} [ f (x _ {1}) + \\dots + f (x _ {n}) ] \\leq f (x _ {n})\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 347, 190, 647, 218 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "若 $f(x_{1}) = \\frac{1}{n}\\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})$ 或 $f(x_{n}) = \\frac{1}{n}\\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})$ ，则取 $\\xi = x_{1},x_{n}$ 。否则由连续函数介值性定理可证。", "bbox": [ 89, 219, 818, 258 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "3.3.4 介值性定理的无连续推广", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 275, 374, 293 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "有时没有连续的条件却能推出介值性定理的结论，常见的条件如单调。", "bbox": [ 122, 305, 640, 319 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "练习3.16单调介值定理 核心： $f(x)$ 在[0,1]上单增， $f(0) > 0,f(1) < 1$ ， $k\\in \\mathbb{N}^{+}$ ，证明 $\\exists x_0\\in (0,1)$ 使得 $f(x_0) = x_0^k$ 证明取 $F(x) = f(x) - x^k$ ，显然 $F(0) = f(0) > 0,F(1) = f(1) - 1 < 0$ ，不停地二分取闭区间套，有 $\\lim_{n\\to \\infty}|a_n-$ $b_{n}| = 0$ ， $\\lim_{n\\to \\infty}a_n = \\lim_{n\\to \\infty}b_n = x_0$ ， $F(a_{n}) < 0,F(b_{n}) > 0\\Rightarrow f(a_{n}) > a_{n}^{k},f(b_{n}) < b_{n}^{k}$ ，由于 $f(x)$ 单增， $a_{n}^{k} < f(a_{n})\\leq f(x_{0})\\leq f(b_{n}) < b_{n}^{k}$ ，因此取极限可知 $x_0^k\\leq f(x_0)\\leq x_0^k$ 得证。", "bbox": [ 58, 341, 907, 437 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "笔记 单调介值性定理不能将极限取进函数，但是用了两侧夹逼的方式。", "bbox": [ 55, 435, 610, 451 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "练习 3.17 证明：闭区间连续函数一定有界", "bbox": [ 58, 474, 403, 489 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "证明 根据局部有界性以及有限开覆盖可证。", "bbox": [ 89, 492, 413, 507 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "3.4 连续性的应用", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 535, 287, 554 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "练习3.18几道经典题目(1) $f(x)$ 在 $x = 0$ 连续， $f(2x) = f(x)$ ，证明 $f(x)$ 是常值函数", "bbox": [ 58, 569, 719, 585 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "(2) $f(x)$ 在 x=0,1 连续， $f(x^{2})=f(x)$ ，证明 $f(x)$ 是常值函数", "bbox": [ 121, 588, 589, 604 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "(3) $f(x), g(x)$ 在 R 上连续，且在每个有理点有 $f(x) = g(x)$ ，证明 $f(x)$ 恒等于 $g(x)$", "bbox": [ 122, 607, 731, 621 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "(4) 容易被吓到： $f(x) \\in C[a, b]$ ，且对 $\\forall x \\in [a, b]$ 都有 $y \\in [a, b]$ 使得 $|f(y)| \\leq \\frac{1}{2} |f(x)|$ ，证明 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 存在零点\n\n证明 (1) $f(x) = f\\left(\\frac{x}{2}\\right) = \\cdots = f\\left(\\frac{x}{2n}\\right) = f(0)$ ，因此为常值", "bbox": [ 87, 624, 905, 681 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "(2)x 为正直接 $f(x)=f(x^{\\frac{1}{2}})=\\cdots=f(x^{\\frac{1}{2^{n}}})=f(1)$ ，x 为负平方一下转换为正，x=0 根据连续性可知等于附近，因此整体常数", "bbox": [ 89, 684, 905, 717 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "(3) 根据有理点稠密性 + 连续性", "bbox": [ 122, 722, 354, 736 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "(4) 假设无零点，根据闭区间连续函数有最小值，这与 $|f(y)| \\leq \\frac{1}{2} |f(x)|$ 矛盾\n\n练习 3.19 几道经典最值问题 (1) 重点：设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 连续，且 $\\lim_{x \\to a^{+}} f(x) = \\lim_{x \\to b^{-}} f(x) = A$ ，这里 $A$ 可以有限，也可以为 $\\pm \\infty$ ，证明 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上有最大或最小值", "bbox": [ 58, 739, 905, 794 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "(2) 重点： $f(x)$ 在 $\\mathbb{R}$ 上连续， $\\lim_{x\\to+\\infty}f(x)=\\lim_{x\\to-\\infty}f(x)=A$ ，这里 A 可以有限，也可以为 $\\pm\\infty$ ，证明 $f(x)$ 在 $\\mathbb{R}$ 上有最大或最小值", "bbox": [ 87, 797, 905, 832 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "(3) 重点： $f(x)$ 在 $[a, +\\infty)$ 连续， $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = A$ ，这里 $A$ 为有限数，证明 $f(x)$ 在 $[a, +\\infty)$ 存在最大值或最小值", "bbox": [ 89, 835, 905, 872 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 对 $A$ 进行分类讨论:", "bbox": [ 89, 873, 309, 889 ], "page_idx": 30 }, { "type": "header", "text": "3.4 连续性的应用", "bbox": [ 771, 55, 905, 68 ], "page_idx": 30 }, { "type": "page_number", "text": "23", "bbox": [ 489, 953, 509, 965 ], "page_idx": 30 }, { "type": "text", "text": "(a) 先考虑 $A$ 为有限值。如果 $f(x) \\equiv A$ ，则显然。若 $\\exists x_0, f(x_0) > A$ ，则 $\\exists \\delta, \\forall x \\in (a, a + \\delta) \\cup (b - \\delta, b)$ 满足 $f(x) < f(x_0)$ ，由于 $f(x)$ 在 $[a + \\delta, b - \\delta]$ 上连续，因此 $\\exists \\xi$ 使得 $f(\\xi)$ 在 $[a + \\delta, b - \\delta]$ 最大，而 $\\forall x \\in (a, a + \\delta] \\cup [b - \\delta, b)$ ，自然也有 $f(\\xi) \\geq f(x_0) \\geq f(x)$ ，因此 $f(\\xi)$ 在 $(a, b)$ 最大。若 $f(x_0) < A$ 也同理有最小值。", "bbox": [ 90, 84, 905, 137 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "(b) 若 $A = +\\infty$ ，则对 $\\forall x_0 \\in (a, b)$ ， $f(x_0)$ 为有限数， $\\exists \\delta, \\forall x \\in (a, a + \\delta) \\cup (b - \\delta, b)$ 有 $f(x) > f(x_0)$ ，由于 $f(x)$ 在 $[a + \\delta, b - \\delta]$ 连续，因此有最小值，且最小值比 $f(x_0)$ 还小，因此在 $(a, b)$ 上取最小值。", "bbox": [ 89, 140, 905, 174 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "(2) 和 (1) 同理，只是把 $\\exists \\delta$ 换成 $\\exists N$", "bbox": [ 122, 177, 388, 191 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "(3) 若 $f(x) \\equiv A$ ，则显然。若 $\\exists x_0, f(x_0) > A$ ，则 $\\exists M, \\forall x > M$ 有 $f(x_0) \\geq f(x)$ ，由于在 $[a, M]$ 连续，有最大值 $f(\\xi)$ ，且 $\\forall x > M, f(\\xi) > f(x_0) > f(x)$ ，因此有最大值。最小值同理", "bbox": [ 89, 195, 905, 230 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "3.5 一致连续", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 256, 240, 274 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "3.5.1 一致连续的概念", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 294, 292, 312 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "定义 3.9 (一致连续)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 326, 270, 342 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "$I$ 是任意区间 (任意开闭，有界无界)， $f: I \\to \\mathbb{R}$ ， $\\forall \\epsilon, \\exists \\delta$ 对 $\\forall x_1, x_2 \\in I$ 满足 $|x_1 - x_2| < \\delta$ 时有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \\epsilon$ ，则称 $f$ 在 $I$ 一致连续", "bbox": [ 112, 344, 897, 386 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "定理 3.7 (常用充要条件)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 406, 304, 420 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "$f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，则 $f(x)$ 在 $I$ 一致连续当且仅当任意数列 $x_{n}^{\\prime}, x_{n}^{\\prime \\prime}$ ，若 $\\lim_{n\\to \\infty}x_n' - x_n'' = 0$ ，则 $\\lim_{n\\to \\infty}[f(x_n') - f(x_n')] = 0$", "bbox": [ 112, 424, 885, 468 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 左推右: 显然", "bbox": [ 90, 485, 263, 500 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "(2) 右推左：反设不一致连续， $\\exists \\epsilon_0, \\forall \\delta, \\exists x', x''$ ，虽然 $|x' - x''| < \\delta$ ，但是 $|f(x') - f(x'')| \\geq \\epsilon_0$ 。取 $\\delta = 1, \\frac{1}{2}, \\cdots, \\frac{1}{n}, \\cdots, \\exists x_n', x_n''$ , $|x_n' - x_n''| < \\frac{1}{n}$ , $|f(x_n') - f(x_n'')| \\geq \\epsilon_0$ ，这与条件矛盾。", "bbox": [ 89, 502, 905, 545 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "笔记 证明不一致连续绝大多数情况都用上述定理。", "bbox": [ 87, 548, 460, 562 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "练习3.20连续但不一致连续的例子： $(1)x^{2},(0, + \\infty)(2)\\sin x^{2},[0, + \\infty)(3)\\frac{x + 2}{x + 1}\\sin \\frac{1}{x},(0,1)(4)\\frac{1}{x},x\\in (0,1)$ 证明 $(1)x_{n} = \\sqrt{n},y_{n} = \\sqrt{n + 1},\\lim_{n\\to \\infty}(x_n - y_n) = 0,\\lim_{n\\to \\infty}[f(x_n) - f(y_n)] = -1$", "bbox": [ 58, 579, 860, 627 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "(2) 取 $x_{n} = \\sqrt{2n\\pi}, y_{n} = \\sqrt{2n\\pi + \\frac{\\pi}{2}}$", "bbox": [ 122, 627, 384, 656 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "(3) 取 $x_{n} = \\frac{1}{2n\\pi}, y_{n} = \\frac{1}{2n\\pi + \\frac{\\pi}{2}}$", "bbox": [ 122, 657, 359, 684 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "(4) 取 $x_{n} = \\frac{1}{n}, y_{n} = \\frac{1}{n + 1}$", "bbox": [ 122, 684, 319, 713 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "练习3.21一致连续的证明 (1) 证明 $f(x) = \\cos \\sqrt{x}$ 在 $[0, +\\infty)$ 一致连续", "bbox": [ 58, 727, 611, 741 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "(2) 证明 $f(x) = \\sqrt{x}$ 在 $[0, +\\infty)$ 一致连续", "bbox": [ 122, 745, 423, 760 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "(3) 证明 $f(x) = \\sin x$ 在 $[0, +\\infty)$ 一致连续", "bbox": [ 122, 764, 431, 778 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 方法 1: 不妨设 $x_{1} > x_{2}$ , 则", "bbox": [ 89, 783, 369, 797 ], "page_idx": 31 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{l} | f (x _ {1}) - f (x _ {2}) | = | \\cos \\sqrt {x _ {1}} - \\cos \\sqrt {x _ {2}} | = 2 \\left| \\sin \\frac {\\sqrt {x _ {1}} + \\sqrt {x _ {2}}}{2} \\sin \\frac {\\sqrt {x _ {1}} - \\sqrt {x _ {2}}}{2} \\right| \\\\ \\leq 2 \\left| \\sin \\frac {\\sqrt {x _ {1}} - \\sqrt {x _ {2}}}{2} \\right| \\leq | \\sqrt {x _ {1}} - \\sqrt {x _ {2}} | = \\frac {| x _ {1} - x _ {2} |}{\\sqrt {x _ {1}} + \\sqrt {x _ {2}}} \\\\ = \\frac {x _ {1} - x _ {2}}{\\sqrt {(x _ {1} - x _ {2}) + x _ {2}} + \\sqrt {x _ {2}}} \\leq \\frac {x _ {1} - x _ {2}}{\\sqrt {x _ {1} - x _ {2}}} = \\sqrt {x _ {1} - x _ {2}} \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 221, 800, 771, 897 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "当 $\\delta = \\epsilon^2$ 时， $|x_1 - x_2| < \\delta$ 有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \\epsilon$ ，因此一致连续方法 2: $(\\cos \\sqrt{x})' = \\sin \\sqrt{x} \\frac{1}{2 \\sqrt{x}}$ 在 $[1, +\\infty)$ 有界，而 $[0, 1]$ 用 Cantor 定理，因此 Lip 连续推出一致连续 (2) 分段 +Lip 连续", "bbox": [ 90, 901, 576, 917 ], "page_idx": 31 }, { "type": "header", "text": "3.5 一致连续", "bbox": [ 806, 55, 905, 68 ], "page_idx": 31 }, { "type": "page_number", "text": "24", "bbox": [ 489, 954, 509, 964 ], "page_idx": 31 }, { "type": "text", "text": "", "bbox": [ 122, 83, 878, 126 ], "page_idx": 32 }, { "type": "text", "text": "3.5.2 Cantor 定理及其推广", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 147, 339, 164 ], "page_idx": 32 }, { "type": "text", "text": "定理 3.8 (Cantor 定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 180, 292, 193 ], "page_idx": 32 }, { "type": "table", "img_path": "images/63cc111394a953545ebb78d304cc469e5eb6e754232aa5c90b7056bf49befcdc.jpg", "table_caption": [], "table_footnote": [], "table_body": "
定理 3.8 (Cantor 足理)
若 f(x) 在闭区间 [a,b] 连续,则其在 [a,b] 上一致连续。
", "bbox": [ 110, 186, 902, 222 ], "page_idx": 32 }, { "type": "text", "text": "证明 反设在 $[a, b]$ 不一致连续，根据一致连续充要条件， $\\exists \\epsilon_0, \\exists x_n, y_n$ 满足 $\\lim_{n \\to \\infty} (x_n - y_n) = 0$ ，但 $|f(x_n) - f(y_n)| \\geq \\epsilon_0$ 。由于 $x_n$ 有界，根据致密性定理可知 $x_n$ 有收敛子列，设 $\\lim_{k \\to \\infty} x_{n_k} = x_0$ ，从而 $\\lim_{k \\to \\infty} y_{n_k} = \\lim_{k \\to \\infty} [(y_{n_k} - x_{n_k}) + x_{n_k}] = x_0$ ，因此推出 $\\epsilon_0 \\leq \\lim_{k \\to \\infty} |f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| = |f(x_0) - f(x_0)| = 0$ （这一步用了连续条件），矛盾。", "bbox": [ 89, 235, 905, 293 ], "page_idx": 32 }, { "type": "text", "text": "笔记 Cantor 定理的其他证明方式:", "text_level": 2, "bbox": [ 58, 297, 341, 313 ], "page_idx": 32 }, { "type": "text", "text": "\\- 有限覆盖定理： $\\forall \\epsilon, \\exists \\delta_{x_0}, \\forall x \\in B(x_0, \\delta_{x_0})$ ，有 $|f(x) - f(x_0)| < \\epsilon$ ，取遍闭区间，有有限覆盖，上述 $\\epsilon$ 不变，当取 $\\delta = \\min\\{\\delta_x\\}$ 时，即有 $\\forall a, b$ 满足 $|a - b| < \\delta$ 都有 $|f(a) - f(b)| < \\epsilon$", "bbox": [ 114, 318, 905, 351 ], "page_idx": 32 }, { "type": "text", "text": "\\- 闭区间套： $f(x)$ 在 $[a, b]$ 不一致连续，则一定在 $[a, \\frac{a + b}{2}]$ ， $[\\frac{a + b}{2}, b]$ 中有一个区间中不一致连续，不断取区间套，最后套住 $\\xi$ ，由于 $f$ 在 $\\xi$ 连续， $\\forall \\epsilon, \\exists \\delta, \\forall x, |x - \\xi| < \\delta$ 有 $|f(\\xi) - f(x)| < \\frac{\\epsilon}{2}$ ，同理取 $y$ ，得到 $|f(x) - f(y)| < \\epsilon$ ，而存在 $a_n, b_n$ 满足 $[a_n, b_n] \\subseteq [\\xi - \\delta, \\xi + \\delta]$ ，这与不一致连续矛盾", "bbox": [ 114, 353, 905, 414 ], "page_idx": 32 }, { "type": "text", "text": "\\- 单调有界定理：和闭区间套一种构造方式", "bbox": [ 115, 414, 438, 430 ], "page_idx": 32 }, { "type": "text", "text": "定理 3.9 (开区间一致连续充要条件)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 441, 388, 455 ], "page_idx": 32 }, { "type": "table", "img_path": "images/41704ad89be8d3820f1c1f1706b774bd06cfd0feb585c8fafc872b4a9cddc190.jpg", "table_caption": [], "table_footnote": [], "table_body": "
f(x) 在 (a,b) 连续,则 f(x) 在 (a,b) 一致连续的充要条件是 $\\lim_{x\\to a^{+}}f(x),\\lim_{x\\to b^{-}}f(x)$ 存在(有限)
", "bbox": [ 107, 451, 902, 492 ], "page_idx": 32 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 左推右：根据 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 一致连续， $\\forall \\epsilon, \\exists \\delta, \\forall x', x'', |x' - x''| < \\delta$ ，有 $|f(x') - f(x'')| < \\epsilon$ 。取 $x', x'' \\in (a, a + \\delta)$ ，显然 $|f(x') - f(x'')| < \\epsilon$ ，即右极限的 Cauchy 准则，另一侧同理。", "bbox": [ 90, 502, 905, 536 ], "page_idx": 32 }, { "type": "text", "text": "(2) 右推左：补充定义两个端点，根据 Cantor 定理可知。", "bbox": [ 122, 539, 532, 554 ], "page_idx": 32 }, { "type": "text", "text": "练习 3.22 开区间一致连续应用 (1)(东北师大) 设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续，证明 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上有界\n\n证明 (1) 由于一致连续，因此 $f(x)$ 在 a,b 的分别存在右、左极限，补充定义为 $F(x)$ ， $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续有界，且 $f(x)$ 和 $F(x)$ 在 $(a,b)$ 相等，因此 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 有界。", "bbox": [ 58, 576, 907, 630 ], "page_idx": 32 }, { "type": "text", "text": "定理 3.10 (无穷区间一致连续)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 655, 346, 670 ], "page_idx": 32 }, { "type": "table", "img_path": "images/d6cbdc1fb91fffbb43593ae91955c2e9169fa002b44b1cbd630e88ba5887ba25.jpg", "table_caption": [], "table_footnote": [], "table_body": "
定理3.10(元为区间一致连续)
f(x)在[a,+∞)连续,limx→+∞f(x)=A(有限),则f(x)在[a,+∞)一致连续
", "bbox": [ 105, 664, 902, 707 ], "page_idx": 32 }, { "type": "text", "text": "证明 由于 $\\lim_{x\\to +\\infty}f(x) = A$ ，根据Cauchy收敛准则， $\\forall \\epsilon ,\\exists M,\\forall x^{\\prime},x^{\\prime \\prime} > M$ 有 $|f(x^{\\prime}) - f(x^{\\prime \\prime})| < \\epsilon$ 。根据Cantor定理， $f(x)$ 在 $[a,M + 1]$ 一致连续，对 $\\forall \\epsilon ,\\exists \\delta \\in (0,1)$ ，只要 $|x^{\\prime} - x^{\\prime \\prime}| < \\delta$ 时，两点要么同时落在 $[a,M + 1]$ ，要么同时落在 $[M, + \\infty)$ ，根据上面的命题可知一致连续。", "bbox": [ 89, 715, 905, 771 ], "page_idx": 32 }, { "type": "text", "text": "笔记 $[a, +\\infty)$ 一致连续并不代表无穷处 $f(x)$ 极限一定存在，只是一个充分条件，例如 $f(x) = x$ 极限不存在，但一致连续。", "bbox": [ 87, 774, 905, 807 ], "page_idx": 32 }, { "type": "text", "text": "练习 3.23 开区间一致连续 证明：(1) $x \\sin \\frac{1}{x}$ 在 (0,1) 一致连续 (2) $\\sin \\frac{1}{x}$ 在 (0,1) 不一致连续证明 (1) 因为 $\\lim_{x \\to 0} x \\sin \\frac{1}{x} = 1$ ，因此一致连续", "bbox": [ 58, 822, 754, 876 ], "page_idx": 32 }, { "type": "text", "text": "(2) 因为 $\\lim_{x\\to 0}\\sin \\frac{1}{x}$ 不存在，故不一致连续。", "bbox": [ 122, 877, 438, 902 ], "page_idx": 32 }, { "type": "page_number", "text": "25", "bbox": [ 489, 954, 507, 965 ], "page_idx": 32 }, { "type": "header", "text": "3.5 一致连续", "bbox": [ 805, 55, 905, 68 ], "page_idx": 32 }, { "type": "text", "text": "3.5.3 Lip 连续与一致连续", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 85, 329, 103 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "定理 3.11 (Lip 连续与一致连续)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 118, 359, 133 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "$f(x)$ 在区间 $I$ 上满足Lip条件，则 $f(x)$ 在 $I$ 上一致连续", "bbox": [ 114, 137, 532, 154 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "证明 Lip 条件即 $\\forall x', x''$ 有 $|f(x') - f(x'')| \\leq L|x' - x''|$ ，取 $\\forall \\epsilon, \\delta = \\frac{\\epsilon}{L}$ 即可。", "bbox": [ 89, 170, 650, 195 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "推论 3.1 (导数有界一定一致连续)", "bbox": [ 119, 205, 371, 221 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "若 $f'(x)$ 在 $I$ 上有界，则根据Lagrange中值定理可知Lip连续，从而一致连续", "bbox": [ 114, 225, 689, 241 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "推论 3.2 (导数在无穷处趋于无穷则不一致连续)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 266, 472, 281 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "若 $\\lim_{x\\to +\\infty}f'(x) = \\infty$ ，则 $f(x)$ 在 $[a, + \\infty)$ 不一致连续", "bbox": [ 115, 286, 505, 307 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "证明 根据 $\\lim_{x\\to +\\infty}|f'(x)| = \\infty$ 可知 $|x' - x''|$ 控制不住导数的增长。", "bbox": [ 89, 326, 576, 348 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "笔记 注意上述两个推论都是充分条件。前者例如 $\\sqrt{x}$ 在 $[0,1]$ 一致连续，其导数 $\\frac{1}{2\\sqrt{x}}$ 却不有界。后者例如 $x^2$ 在无穷处导数趋于无穷，则一定不一致连续。", "bbox": [ 87, 350, 905, 391 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "练习 3.24 基础练习 判断一致连续性：(1) $\\sin x, x \\in R$ (2) $x^{k}, x \\in (1, +\\infty)$ (3) $\\cos \\sqrt{x}, x \\in (1, +\\infty)$ (4) $x \\ln x, x \\in (0, +\\infty)$", "bbox": [ 58, 412, 905, 445 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "解(1)一致连续，因为导数有界", "bbox": [ 89, 450, 324, 464 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "(2) 若 $k \\leq 0$ ，则 $\\lim_{x \\to \\infty} f(x)$ 存在，补充定义 $x = 1$ ，根据 Cantor 定理的无穷推广可知一致连续。若 $0 < k \\leq 1$ ，则导数有界，因此一致连续。若 $k > 1$ ，因为导数在无穷处趋于无穷，则不一致连续", "bbox": [ 89, 468, 904, 502 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "(3) 导数有界，一致连续", "bbox": [ 122, 506, 305, 520 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "(4) 导数在无穷处趋于无穷，则不一致连续。", "bbox": [ 122, 524, 445, 539 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "3.5.4 区间合并问题", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 561, 273, 577 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "定理 3.12 (一致连续区间合并定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 593, 379, 608 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "设区间 $I_{1}$ 右端点为 $c \\in I_{1}(\\text{闭})$ ， $I_{2}$ 左端点为 $c \\in I_{2}(\\text{闭})$ ， $f(x)$ 在 $I_{1}, I_{2}$ 均一致连续，则其在 $I_{1} \\cup I_{2}$ 也一致连续", "bbox": [ 114, 613, 895, 649 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "证明 由于 $f(x)$ 在 $I_1, I_2$ ，对 $\\forall \\epsilon$ ，存在公共 $\\delta_1$ ，当 $x', x''$ 同时落于 $I_1$ 或 $I_2$ 时，若 $|x' - x''| < \\delta_1$ ，则 $|f(x') - f(x'')| < \\epsilon$ 。若 $x', x''$ 分别落于 $I_1, I_2$ 中，则 $\\exists \\delta_2, |x' - c| < \\delta_2$ 时， $|f(x') - f(c)| < \\frac{\\epsilon}{2}$ 且 $|x'' - c| < \\delta_2$ 时 $|f(x'') - f(c)| < \\frac{\\epsilon}{2}$ ，取 $\\delta = \\min\\{\\delta_1, \\delta_2\\}$ ，得出 $\\forall x', x'' \\in I_1 \\cup I_2$ ，当 $|x' - x''| < \\delta$ 时 $|f(x') - f(x'')| < \\epsilon$", "bbox": [ 90, 663, 907, 721 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "笔记 如果边界点为开区间点，则可以补上定义。", "bbox": [ 87, 721, 443, 734 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "练习3.25区间合并练习(1)考虑 $f(x) = \\frac{|\\sin x|}{x}$ 在 $(-1,0)\\cup (0,1)$ 上是否一致连续证明(1)由于 $\\lim_{x\\to 0^{+}}f(x) = 1,\\lim_{x\\to 0^{-}}f(x) = -1,\\lim_{x\\to 1^{-}}f(x),\\lim_{x\\to -1^{+}}f(x)$ 显然存在，因此 $f(x)$ 在 $(-1,0),(0,1)$ 显然一致连续。但是由于0处左右极限不相同，取 $x_{n}$ 单减趋于 $0,y_{n}$ 单增趋于0，则 $|x_{n} - y_{n}|\\rightarrow 0$ ，而 $|f(x_n) - f(y_n)|\\to 2$ ，因此不一致连续。", "bbox": [ 58, 752, 905, 832 ], "page_idx": 33 }, { "type": "header", "text": "3.5 一致连续", "bbox": [ 805, 54, 905, 68 ], "page_idx": 33 }, { "type": "page_number", "text": "26", "bbox": [ 489, 954, 509, 965 ], "page_idx": 33 }, { "type": "text", "text": "3.5.5 四则运算、复合的一致连续性", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 85, 413, 102 ], "page_idx": 34 }, { "type": "text", "text": "定理 3.13 (四则运算的一致连续性)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 118, 379, 133 ], "page_idx": 34 }, { "type": "text", "text": "设 $f(x), g(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续，则", "bbox": [ 115, 137, 401, 153 ], "page_idx": 34 }, { "type": "text", "text": "\\- 数乘、加减： $\\forall k \\in \\mathbb{R}$ ， $kf(x), f(x) \\pm g(x)$ 在 $I$ 一致连续", "bbox": [ 139, 156, 569, 171 ], "page_idx": 34 }, { "type": "text", "text": "\\- 乘法： $I$ 为有限区间时， $f(x)g(x)$ 在 $I$ 一致连续。 $I$ 为无穷区间时， $f(x)g(x)$ 在 $I$ 不一定一致连续", "bbox": [ 139, 175, 875, 190 ], "page_idx": 34 }, { "type": "text", "text": "\\- 除法： $f(x) \\neq 0$ ， $\\frac{1}{f(x)}$ ， $\\frac{g(x)}{f(x)}$ 不一定一致连续", "bbox": [ 139, 191, 495, 219 ], "page_idx": 34 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 直接三角不等式放缩", "text_level": 2, "bbox": [ 90, 240, 312, 255 ], "page_idx": 34 }, { "type": "text", "text": "(2) $|f(x')g(x')-f(x'')g(x'')|\\leq|f(x')g'(x)-f(x')g(x'')|+|f(x')g(x'')-f(x'')g(x'')|\\leq|f(x')||g(x')-g(x'')|+|g(x'')||f(x')-f(x'')|<2M\\epsilon$ ，因此若M有限显然成立，M不有限时不一定。", "bbox": [ 89, 258, 904, 293 ], "page_idx": 34 }, { "type": "text", "text": "例题3.1四则运算反例(1)乘法： $x$ 在 $(1, + \\infty)$ 一致连续，但是 $x^{2}$ 在 $(1, + \\infty)$ 不一致连续(2)倒数： $x$ 在 $(0,1)$ 一致连续，但是 $\\frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 不一致连续", "bbox": [ 89, 313, 905, 356 ], "page_idx": 34 }, { "type": "text", "text": "练习3.26四则运算练习 $f(x)$ 在 $[a, +\\infty)$ 连续， $g(x)$ 在 $[a, +\\infty)$ 一致连续， $\\lim_{x \\to \\infty} [f(x) - g(x)] = 0$ ，证明： $f(x)$ 在 $[a, +\\infty)$ 上一致连续", "bbox": [ 60, 370, 905, 404 ], "page_idx": 34 }, { "type": "text", "text": "证明 由于 $f(x) - g(x)$ 在无穷远处极限存在，其一致连续。 $g(x)$ 一致连续，根据四则运算可知 $f(x) = [f(x) - g(x)] + g(x)$ 一致连续。", "bbox": [ 87, 407, 905, 443 ], "page_idx": 34 }, { "type": "text", "text": "笔记 上述练习本身也是一个重要的结论。", "bbox": [ 57, 443, 391, 458 ], "page_idx": 34 }, { "type": "text", "text": "定理 3.14 (复合的一致连续性)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 486, 344, 501 ], "page_idx": 34 }, { "type": "text", "text": "$f(x)$ 在 $I_{1}$ 一致连续， $g(x)$ 在 $I_{2}$ 一致连续， $f(x)$ 值域在 $I_{2}$ 中，则 $g(f(x))$ 在 $I_{1}$ 一致连续", "bbox": [ 114, 506, 769, 521 ], "page_idx": 34 }, { "type": "text", "text": "证明 根据定义套即可。外层取 $\\epsilon, \\delta$ ，内层取 $\\delta, \\delta'$ 。", "bbox": [ 89, 542, 452, 557 ], "page_idx": 34 }, { "type": "text", "text": "练习 3.27 复合一致连续性 设 $f(x)$ 在 $[0, +\\infty)$ 满足 Lip 条件， $\\alpha \\in (0, 1)$ ，证明： $f(x^{\\alpha})$ 在 $[0, +\\infty)$ 一致连续证明 $\\alpha \\in (0, 1)$ 时， $x^{\\alpha}$ 在 $[0, +\\infty)$ 一致连续，而 f 满足 Lip 条件也一致连续，根据复合一致连续即可。", "bbox": [ 58, 579, 877, 613 ], "page_idx": 34 }, { "type": "text", "text": "3.6 一致连续的经典问题", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 640, 361, 658 ], "page_idx": 34 }, { "type": "text", "text": "练习3.28设 $f(x)$ 在 $\\mathbb{R}$ 上一致连续，证明 $\\exists a, b > 0$ 使得 $|f(x)| \\leq a|x| + b$", "bbox": [ 58, 674, 626, 689 ], "page_idx": 34 }, { "type": "text", "text": "证明 由于 $f(x)$ 一致连续，对 $\\epsilon = 1, \\exists \\delta$ ，当 $|x' - x''| < \\delta$ 时 $|f(x') - f(x'')| \\leq 1$ ，不妨设", "bbox": [ 87, 692, 741, 708 ], "page_idx": 34 }, { "type": "equation", "text": "$$\n| f (x) | \\leq M, x \\in [ - \\delta , \\delta ]\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 413, 715, 581, 732 ], "page_idx": 34 }, { "type": "text", "text": "对 $\\forall x > \\delta, \\exists n_x$ 使得 $x - n_x\\delta = x_0 \\in [0, \\delta)$ ，此时 $n_x = \\frac{x - x_0}{\\delta} \\leq \\frac{|x|}{\\delta}$ ，因此", "bbox": [ 90, 736, 636, 762 ], "page_idx": 34 }, { "type": "equation", "text": "$$\n| f (x) | \\leq \\sum_ {k = 0} ^ {n - 1} | f (x - k \\delta) - f (x - (k + 1) \\delta) | + | f (x - n _ {x} \\delta) | \\leq n _ {x} + M \\leq \\frac {| x |}{\\delta} + M\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 205, 766, 789, 803 ], "page_idx": 34 }, { "type": "text", "text": "同理 $\\forall x < -\\delta$ 也有 $|f(x)| < \\frac{|x|}{\\delta} + M$ ，综上，取 $a = \\frac{1}{\\delta}, b = M$ 即可。", "bbox": [ 90, 807, 596, 837 ], "page_idx": 34 }, { "type": "header", "text": "3.6 一致连续的经典问题", "bbox": [ 721, 55, 905, 68 ], "page_idx": 34 }, { "type": "page_number", "text": "27", "bbox": [ 489, 953, 507, 964 ], "page_idx": 34 }, { "type": "image", "img_path": "images/c122ebe756b85cc934a9cc595d279b73472d6fd550c0d6f9bccc6b54fa5a2a43.jpg", "image_caption": [], "image_footnote": [], "content": "", "bbox": [ 57, 285, 80, 304 ], "page_idx": 35 }, { "type": "image", "img_path": "images/17fd49c281bf8c586d120b9c43414c3c152dbfa67f7288b38082014cd6080b4a.jpg", "image_caption": [], "image_footnote": [], "content": "", "bbox": [ 58, 780, 80, 800 ], "page_idx": 35 }, { "type": "text", "text": "第 4 章 一元微分学", "text_level": 2, "bbox": [ 379, 87, 633, 111 ], "page_idx": 35 }, { "type": "text", "text": "4.1 导数与微分", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 145, 265, 165 ], "page_idx": 35 }, { "type": "text", "text": "4.1.1 导数概念与可导性", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 184, 314, 202 ], "page_idx": 35 }, { "type": "table", "img_path": "images/cb0cb82adcfedbbd3225fe35deca2cf88f479879c66b07bb44ae7f3078c7942d.jpg", "table_caption": [], "table_footnote": [], "table_body": "
定义4.1(导数、左右导数)
导数定义为 $\\lim_{x\\to x_0}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ ,左右导数定义为 $\\lim_{x\\to x_0^-}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},\\lim_{x\\to x_0^+}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
", "bbox": [ 100, 218, 905, 278 ], "page_idx": 35 }, { "type": "text", "text": "笔记 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导当且仅当其在 $x_0$ 处左右导数存在且相等。", "bbox": [ 55, 288, 566, 306 ], "page_idx": 35 }, { "type": "text", "text": "练习 4.1 用定义求导函数 设 $g(0)=g'(0)=0$ ， $f(x)$ 定义如下，求 $f'(0)$", "bbox": [ 58, 326, 618, 343 ], "page_idx": 35 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x) = \\left\\{ \\begin{array}{l l} g (x) \\sin {\\frac {1}{x}}, & x \\neq 0 \\\\ 0, & x = 0 \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 391, 347, 605, 392 ], "page_idx": 35 }, { "type": "text", "text": "解 根据定义可知 $f'(0) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(\\Delta x) - f(0)}{\\Delta x} = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{g(\\Delta x) \\sin \\frac{1}{\\Delta x}}{\\Delta x} = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{g(\\Delta x) - g(0)}{\\Delta x - 0} \\sin \\frac{1}{\\Delta x} = 0$", "bbox": [ 87, 397, 835, 430 ], "page_idx": 35 }, { "type": "text", "text": "练习4.2可导概念推广(1)重点： $f(x)$ 在 $x = 0$ 连续， $\\lim_{x\\to 0}\\frac{f(2x) - f(x)}{x} = A$ ，证明 $f^{\\prime}(0)$ 存在且 $f^{\\prime}(0) = A$", "bbox": [ 58, 436, 878, 464 ], "page_idx": 35 }, { "type": "text", "text": "(2) 重点：若 $\\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x_0 + \\Delta x) - f(x_0 - \\Delta x)}{\\Delta x}$ ，并不能推出 $x_0$ 处导数存在，例如 $|x|$ 。但反命题成立", "bbox": [ 121, 462, 860, 492 ], "page_idx": 35 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 根据极限存在可知 $\\forall \\epsilon, \\exists \\delta, |x| < \\delta$ 时 $A - \\frac{\\epsilon}{2} < \\frac{f(2x) - f(x)}{x} < A + \\frac{\\epsilon}{2}$ ，同理可以得到：", "bbox": [ 87, 489, 781, 518 ], "page_idx": 35 }, { "type": "equation", "text": "$$\nA - \\frac {\\epsilon}{2} < \\frac {f (\\frac {x}{2 ^ {k - 1}}) - f (\\frac {x}{2 ^ {k}})}{x / 2 ^ {k}} < A + \\frac {\\epsilon}{2} \\Rightarrow \\frac {1}{2 ^ {k}} (A - \\frac {\\epsilon}{2}) < \\frac {f (\\frac {x}{2 ^ {k - 1}}) - f (\\frac {x}{2 ^ {k}})}{x} < \\frac {1}{2 ^ {k}} (A + \\frac {\\epsilon}{2})\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 191, 520, 806, 551 ], "page_idx": 35 }, { "type": "text", "text": "取 $x_{k}=\\frac{x}{2^{k}}$ ，将 $k=1,2,\\cdots,n$ 全部相加得到 $(1-\\frac{1}{2^{n}})(A-\\frac{\\epsilon}{2})<\\frac{f(x)-f(x_{n})}{x}<(1-\\frac{1}{2^{n}})(A+\\frac{\\epsilon}{2})$ ，令 $n\\to\\infty$ 得到 $A-\\frac{\\epsilon}{2}<\\frac{f(x)-f(0)}{x} 0$ , 证明 $\\exists \\xi \\in (a, b)$ 使得 $\\frac{af(b) - bf(a)}{a - b} = f(\\xi) - \\xi f'(\\xi)$", "bbox": [ 60, 398, 904, 438 ], "page_idx": 40 }, { "type": "text", "text": "(2) 实例： $0 < a < b < \\infty$ ，证明 $\\exists\\theta \\in (a, b)$ 使得 $ae^{b} - be^{a} = (1 - \\theta)e^{\\theta}(a - b)$", "bbox": [ 122, 441, 687, 456 ], "page_idx": 40 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 由于左侧有交叉项，考虑分子分母同除以 $ab$ ，凑 Cauchy 中值定理形式即 $\\frac{\\left(\\frac{f(x)}{x}\\right)'}{\\left(\\frac{1}{x}\\right)'}$ 在 $\\xi$ 处取值，因此即证明：", "bbox": [ 87, 457, 905, 502 ], "page_idx": 40 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\frac {\\frac {f (b)}{b} - \\frac {f (a)}{a}}{\\frac {1}{b} - \\frac {1}{a}} = \\frac {\\left(\\frac {f (x)}{x}\\right) ^ {\\prime}}{\\left(\\frac {1}{x}\\right) ^ {\\prime}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 418, 500, 578, 538 ], "page_idx": 40 }, { "type": "text", "text": "根据 Cauchy 中值定理即可证明。", "bbox": [ 90, 545, 329, 558 ], "page_idx": 40 }, { "type": "text", "text": "(2) 等价于 $\\frac{\\frac{e^{b}}{b}-\\frac{e^{a}}{a}}{\\frac{1}{b}-\\frac{1}{a}}=e^{\\theta}-\\theta e^{\\theta}$", "bbox": [ 122, 560, 349, 596 ], "page_idx": 40 }, { "type": "text", "text": "4.2.2 中值问题：构造辅助函数", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 614, 373, 631 ], "page_idx": 40 }, { "type": "text", "text": "定理 4.9 (直接积分法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 646, 287, 662 ], "page_idx": 40 }, { "type": "text", "text": "要构造 $f^{\\prime}(\\xi) = g(\\xi)$ ，则构造 $F(x) = f(x) - \\int_0^x g(t)\\mathrm{d}t$ 即可", "bbox": [ 114, 665, 554, 697 ], "page_idx": 40 }, { "type": "text", "text": "定理 4.10 (常用中值定理辅助函数)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 722, 379, 737 ], "page_idx": 40 }, { "type": "text", "text": "看到 $f'(\\xi) + f(\\xi)g(\\xi)$ ，需要构造 $f(x)e^{\\int g(x)dx}$ ，因为 $[f(x)e^{\\int g(x)dx}]' = [f'(x) + f(x)g(x)]e^{\\int g(x)dx}$ ，具体有下面这些技巧：", "bbox": [ 112, 741, 880, 777 ], "page_idx": 40 }, { "type": "equation", "text": "$$\nm f (\\xi) + n f ^ {\\prime} (\\xi): f (x) e ^ {\\frac {m}{n} x}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 139, 781, 352, 797 ], "page_idx": 40 }, { "type": "text", "text": "\\- $mf(\\xi) + n\\xi f'(\\xi)$ : $x^{m}f^{n}(x)$ (注意不是 $x^{\\frac{m}{n}}f(x)!$ )", "bbox": [ 139, 799, 521, 815 ], "page_idx": 40 }, { "type": "text", "text": "\\- $mf(\\xi) - n\\xi f'(\\xi)$ : $\\frac{f^n(x)}{x^m}$ 或者 $\\frac{x^m}{f^n(x)}$ ，但此时一般要配上 $g(x) = \\frac{1}{x^m}$ ，用 Cauchy 中值定理消去分母", "bbox": [ 139, 814, 880, 844 ], "page_idx": 40 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left[ \\frac {f ^ {n} (x)}{x ^ {m}} \\right] = \\frac {f ^ {n - 1} (x)}{x ^ {m + 1}} [ n x f ^ {\\prime} (x) - m f (x) ], \\quad \\left[ \\frac {x ^ {m}}{f ^ {n} (x)} \\right] ^ {\\prime} = \\frac {x ^ {m - 1}}{f ^ {n + 1} (x)} [ m f (x) - n x f ^ {\\prime} (x) ]\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 220, 847, 818, 881 ], "page_idx": 40 }, { "type": "equation", "text": "$$\nn f ^ {\\prime} (\\xi) f (1 - \\xi) - m f (\\xi) f ^ {\\prime} (1 - \\xi): f ^ {n} (x) f ^ {m} (1 - x)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 141, 883, 532, 898 ], "page_idx": 40 }, { "type": "header", "text": "4.2 微分中值定理", "bbox": [ 769, 55, 905, 68 ], "page_idx": 40 }, { "type": "page_number", "text": "33", "bbox": [ 489, 953, 507, 965 ], "page_idx": 40 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{l} \\bullet m f ^ {\\prime} (x) g (x) + n f (x) g ^ {\\prime} (x): f ^ {m} (x) g ^ {n} (x) \\\\ \\bullet m f ^ {\\prime} (x) g (x) - n f (x) g ^ {\\prime} (x): \\frac {f ^ {m} (x)}{g ^ {n} (x)} \\\\ \\left[ \\frac {f ^ {m} (x)}{g ^ {n} (x)} \\right] ^ {\\prime} = \\frac {f ^ {m - 1} (x)}{g ^ {n + 1} (x)} [ m f ^ {\\prime} (x) g (x) - n f (x) g ^ {\\prime} (x) ] \\\\ \\bullet f (\\xi) g ^ {\\prime \\prime} (\\xi) - g (\\xi) f ^ {\\prime \\prime} (\\xi): f ^ {\\prime} (x) g (x) - f (x) g ^ {\\prime} (x) \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 137, 93, 700, 197 ], "page_idx": 41 }, { "type": "text", "text": "笔记 主要看高阶导数项的系数是啥，是常数的话肯定是 $e^{ax}f(x)$ ，是 $\\xi$ 的话是 $x^{a}f(x)$ ，是 $-\\xi$ 的话是 $\\frac{f(x)}{x^{a}}$ ，是 $(1-\\xi)$ 的话是 $(1-x)^{a}f(x)$", "bbox": [ 55, 210, 902, 250 ], "page_idx": 41 }, { "type": "text", "text": "练习4.18行列式求导 $f(x), g(x), h(x)$ 在 $[a, b]$ 连续， $(a, b)$ 可导，证明： $\\exists \\xi \\in (a, b)$ 下面等式成立。若 $h(x) = 1$ 则为Cauchy中值定理，若 $h(x) = 1, g(x) = x$ 则为Lagrange中值定理。", "bbox": [ 58, 269, 904, 304 ], "page_idx": 41 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\begin{array}{c c c} f (a) & g (a) & h (a) \\\\ f (b) & g (b) & h (b) \\\\ f ^ {\\prime} (\\xi) & g ^ {\\prime} (\\xi) & h ^ {\\prime} (\\xi) \\end{array} \\right| = 0\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 400, 309, 601, 365 ], "page_idx": 41 }, { "type": "text", "text": "证明 构造下面的 $F(x)$ ，注意到 $F(a) = F(b) = 0$ 以及行列式求导即对一行求导即可。", "bbox": [ 87, 369, 717, 385 ], "page_idx": 41 }, { "type": "equation", "text": "$$\nF (x) = \\left| \\begin{array}{c c c} f (a) & g (a) & h (a) \\\\ f (b) & g (b) & h (b) \\\\ f (x) & g (x) & h (x) \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 386, 390, 601, 447 ], "page_idx": 41 }, { "type": "text", "text": "练习4.19直接积分法(1)重点： $f(x)$ 在[1,2]连续， $(1,2)$ 可微，证明 $\\exists \\xi \\in (1,2)$ 使得 $f(2) - f(1) = \\frac{1}{2}\\xi^2 f'\\left(\\xi\\right)$ (2)重点： $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续， $(a,b)$ 可导， $\\exists \\xi \\in (a,b)$ 使得 $2\\xi [f(b) - f(a)] = (b^{2} - a^{2})f^{\\prime}(\\xi)$", "bbox": [ 58, 456, 892, 494 ], "page_idx": 41 }, { "type": "text", "text": "(2) 重点： $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续， $(a, b)$ 可导， $\\exists \\xi \\in (a, b)$ 使得 $2\\xi[f(b) - f(a)] = (b^2 - a^2)f'(\\xi)$ 证明 (1) 由于只有单项，只需要直接用积分法：所求等价于 $f'(\\xi) = \\frac{2}{\\xi^2}[f(2) - f(1)]$ ，构造 $F(x) = f(x) + \\frac{2}{x}[f(2) - f(1)]$ ，此时 $F(1) = F(2) = 2f(2) - f(1)$ ，因此根据 Rolle 中值定理可知 $\\exists \\xi \\in (1, 2), F'(\\xi) = 0$", "bbox": [ 84, 476, 894, 536 ], "page_idx": 41 }, { "type": "text", "text": "(2) 直接用积分法： $F(x) = (b^{2} - a^{2})f(x) - x^{2}[f(b) - f(a)]$ ，根据 $F(b) = F(a)$ 以及 Rolle 中值定理可知。", "bbox": [ 121, 537, 890, 554 ], "page_idx": 41 }, { "type": "text", "text": "练习 4.20 简单的辅助函数法 (1) $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续， $(a, b)$ 可导， $f(a) < 0, f(b) < 0$ ， $\\exists c \\in (a, b)$ 使得 $f(c) > 0$ ，证明： $\\xi \\in (a, b)$ 使得 $f(\\xi) + f'(\\xi) = 0$", "bbox": [ 58, 574, 905, 608 ], "page_idx": 41 }, { "type": "text", "text": "(2) 重点： $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上 $n$ 阶连续可微，在 $(a, b)$ 上存在 $n + 1$ 阶导数， $f^{(k)}(a) = f^{(k)}(b), k = 0, 1, \\cdots, n$ ，证明： $\\exists \\xi \\in (a, b)$ 使得 $f(\\xi) = f^{(n+1)}(\\xi)$ (3) 重点： $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 连续， $(0, 1)$ 可导， $f(0) = f(1) = 0, f(\\frac{1}{2}) = 1$ ，证明： $\\forall \\lambda > 0, \\exists \\xi \\in (0, 1)$ 使得 $f'(\\xi) - \\lambda[f(\\xi) - \\xi] = 1$", "bbox": [ 90, 609, 907, 684 ], "page_idx": 41 }, { "type": "text", "text": "(4) 重点: $f(x)$ 在 $[0,1]$ 可微, $f(0) = 0$ , 对 $\\forall x \\in (0,1), f(x) \\neq 0$ , 证明: $\\forall n, \\exists \\xi \\in (0,1)$ 使得 $n\\frac{f'(\\xi)}{f(\\xi)} = \\frac{f'(1 - \\xi)}{f(1 - \\xi)}$ 证明 (1) 构造 $F(x) = e^x f(x)$ , 则 $F(a) < 0, F(b) < 0, F(c) > 0$ , 根据连续函数零点存在定理可知有两个零点, 再根据 Rolle 中值定理可知。", "bbox": [ 87, 684, 905, 744 ], "page_idx": 41 }, { "type": "text", "text": "(2) 构造 $F(x) = [f(x) + f'(x) + \\cdots + f^{(n)}(x)]e^{-x}$ ， $F(a) = F(b) = 0$ ，根据 $F'(\\xi) = 0$ 可以得到结论", "bbox": [ 122, 747, 855, 763 ], "page_idx": 41 }, { "type": "text", "text": "(3) 考虑配为 $[f'(\\xi) - 1] - \\lambda[f(\\xi) - \\xi] = 0$ ，故构造 $F(x) = [f(x) - x]e^{-\\lambda x}$ ，此时 $F(0) = 0, F(\\frac{1}{2}) > 0, F(1) < 0$ ，在 $[\\frac{1}{2}, 1]$ 中 $F(x)$ 有一个零点，根据 Rolle 可知。", "bbox": [ 89, 766, 905, 812 ], "page_idx": 41 }, { "type": "text", "text": "(4) 即 $nf'(\\xi)f(1-\\xi)-f(\\xi)f'(1-\\xi)=0$ ，因此构造 $F(x)=f^n(x)f(1-x)$", "bbox": [ 119, 810, 675, 827 ], "page_idx": 41 }, { "type": "text", "text": "练习 4.21 进阶难度的辅助函数法 (1)(上交 2021) $f(x)$ 在 $[a, c]$ 可导， $f_{-}^{\\prime}(c) = 0$ ，证明： $\\exists \\xi \\in (a, c)$ 使得 $f^{\\prime}(\\xi) = 2(f(\\xi) - f(a))$", "bbox": [ 58, 847, 905, 883 ], "page_idx": 41 }, { "type": "text", "text": "(2) $f(x)$ 在 $[0,1]$ 二阶可导， $f(0)=f(1)$ ，证明： $\\exists\\xi\\in(0,1)$ ，使得 $f''(\\xi)=\\frac{3f'(\\xi)}{1-\\xi}$ 证明 (1) 首先显然最终等式可写为 $[f(x) - f(a)]' - 2(f(x) - f(a)) = 0$ ，因此构造 $F(x) = (f(x) - f(a))e^{-2x}$ ， $F'(x) = [f'(x) - 2(f(x) - f(a))]e^{-2x}$ ，显然 $F(a) = 0$ ，但另一侧信息不足。根据条件可知 $F_{-}'(c) = -2[f(c) - f(a)]e^{-2c}$ ，下面对 $F(c)$ 情况进行讨论。(a) 若 $F(c) = 0$ 则显然成立 (b) 若 $F(c) \\neq 0$ ，不妨设 $F(c) > 0$ ，根据 $F(c) = -2F_{-}'(c)$ （根据表达式）可看出 $F_{-}'(c) < 0$ ，根据 Lagrange 中值定理：", "bbox": [ 121, 881, 719, 910 ], "page_idx": 41 }, { "type": "header", "text": "4.2 微分中值定理", "bbox": [ 769, 55, 905, 68 ], "page_idx": 41 }, { "type": "page_number", "text": "34", "bbox": [ 489, 953, 509, 964 ], "page_idx": 41 }, { "type": "text", "text": "", "bbox": [ 89, 84, 905, 156 ], "page_idx": 42 }, { "type": "equation", "text": "$$\n0 < F (c) = F (c) - F (a) = F ^ {\\prime} (\\eta) (c - a) \\Rightarrow F ^ {\\prime} (\\eta) > 0\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 300, 162, 694, 179 ], "page_idx": 42 }, { "type": "text", "text": "根据导数介值性定理可知结论成立。", "bbox": [ 90, 186, 356, 200 ], "page_idx": 42 }, { "type": "text", "text": "(2) 等价于 $(1 - \\xi)f''(\\xi) - 3f'(\\xi) = 0$ ，因此构造 $F(x) = (1 - x)^3 f'(x)$ ，根据 $f(0) = f(1) = 0$ ，根据 Rolle 可知 $\\exists \\eta$ 使得 $f'(\\eta) = 0$ ，因此 $F(\\eta) = 0$ ，再根据 $F(1) = 0$ 可知 $\\exists \\xi$ 使得 $F'(\\xi) = 0$", "bbox": [ 89, 204, 905, 240 ], "page_idx": 42 }, { "type": "text", "text": "4.2.3 带积分的微分中值问题", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 259, 354, 275 ], "page_idx": 42 }, { "type": "text", "text": "由于变限积分 $\\int_{a}^{x}f(t)\\mathrm{d}t$ 的导数为 $f(x)$ ，该性质常常会应用于微分中值定理。", "bbox": [ 122, 285, 690, 318 ], "page_idx": 42 }, { "type": "text", "text": "练习4.22基础问题 (1)重点： $f(x)$ 在[0,1]连续，(0,1)可导， $\\int_0^1 xf(x)\\mathrm{d}x = f(1)$ ，证明： $\\exists \\xi \\in (0,1)$ 使得 $f^{\\prime}(\\xi) = -\\frac{f(\\xi)}{\\xi}$", "bbox": [ 58, 318, 905, 374 ], "page_idx": 42 }, { "type": "text", "text": "(2)ZJU2021: $f(x)$ 在 $\\mathbb{R}$ 连续， $g(x) = f(x)\\int_0^x f(t)\\mathrm{d}t$ 单减，证明 $f(x)$ 恒为0", "bbox": [ 121, 373, 690, 405 ], "page_idx": 42 }, { "type": "text", "text": "(3) 重点: $f(x)$ 是 $(0,1)$ 上连续函数, 证明: $\\exists c \\in (0,1)$ 使得 $\\int_{0}^{c} f(x) \\mathrm{d}x = (1 - c)f(c)$ 证明 (1) 所证形式即 $\\xi f'(\\xi) + f(\\xi) = 0$ , 因此 $F(x) = xf(x)$ , 根据积分第一中值定理可知", "bbox": [ 87, 407, 749, 447 ], "page_idx": 42 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {0} ^ {1} x f (x) d x = \\eta f (\\eta) \\cdot 1 = F (\\eta) = f (1)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 352, 451, 642, 483 ], "page_idx": 42 }, { "type": "text", "text": "而 $F(1)=f(1)$ ，因此根据 Rolle 中值定理可知。", "bbox": [ 90, 486, 440, 500 ], "page_idx": 42 }, { "type": "text", "text": "(2) $F(x)=\\frac{1}{2}(\\int_{0}^{x}f(t)\\mathrm{d}t)^{2}$ ，根据条件 $F'(x)$ 单减， $F'(0)=0$ ，根据 $F(0)=0$ 得出 $F(x)\\leq0$ ，但 $F(x)\\geq0$ ，因此 $F(x)$ 恒为0，推出 $f(x)$ 恒为0。", "bbox": [ 90, 502, 904, 543 ], "page_idx": 42 }, { "type": "text", "text": "(3) 所求即 $\\int_0^c f(x)\\mathrm{d}x - (1 - c)f(c) = 0$ ，构造 $F(x) = (1 - x)\\int_0^x f(t)\\mathrm{d}t$ ，显然 $F(0) = F(1) = 0$ ，根据 Rolle 可知。", "bbox": [ 90, 544, 905, 585 ], "page_idx": 42 }, { "type": "text", "text": "练习4.23进阶问题 $f(x)$ 在[0,2]可导，(0,2)上三阶可导， $f(0) = f'(0) = 0, \\int_0^2 f(x) \\mathrm{d}x = 8 \\int_0^1 f(x) \\mathrm{d}x$ ，证明： $\\exists \\xi \\in (0,2)$ 使得 $f'''(\\xi) = 0$ 。证明构造 $F(x) = \\int_0^{2x} f(t) dt - 8 \\int_0^x f(t) dt$ ，得到 $F(0) = F(1) = 0$ ，故 $\\exists \\xi_1, F'(\\xi_1) = 0$ ，根据 $F'(x) = 2f(2x) - 8f(x)$ ，因此 $F'(0) = 0$ ，得到 $\\exists \\xi_2$ 使得 $F''(\\xi_2) = 0$ 。再根据 $F''(x) = 4f'(2x) - 8f'(x)$ ， $F''(0) = 0$ ，得到 $\\exists \\xi_3$ 使得 $F'''(\\xi_3) = 0$ 。而 $F'''(x) = 8f''(2x) - 8f''(x)$ ，代入 $\\xi_3$ 得到 $f''(2\\xi_3) = f''(\\xi_3)$ ，因此 $\\exists \\xi$ 使得 $f'''(\\xi) = 0$", "bbox": [ 58, 600, 909, 711 ], "page_idx": 42 }, { "type": "text", "text": "4.2.4 多个中值点的中值问题", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 730, 354, 746 ], "page_idx": 42 }, { "type": "text", "text": "练习4.24经典两个中值点的问题设 $f(x)$ 在[0,1]连续，(0,1)可导， $f(0) = 0,f(1) = 1$ ，证明：", "bbox": [ 58, 758, 789, 772 ], "page_idx": 42 }, { "type": "text", "text": "(1) $\\exists\\xi\\in(0,1)$ 使得 $f(\\xi)=1-\\xi$", "bbox": [ 122, 777, 357, 791 ], "page_idx": 42 }, { "type": "text", "text": "(2) 存在互异的 $\\eta_1, \\eta_2 \\in (0,1)$ 使得 $f'(\\eta_1)f'(\\eta_2) = 1$", "bbox": [ 122, 795, 497, 810 ], "page_idx": 42 }, { "type": "text", "text": "(3) 存在互异的 $\\eta_1, \\eta_2 \\in (0,1)$ 使得 $f'(\\eta_1)(f'(\\eta_2) + 1) = 2$", "bbox": [ 122, 813, 542, 828 ], "page_idx": 42 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 构造 $F(x) = f(x) - 1 + x$ ，则 $F(0) = -1, F(1) = 1$ ，根据连续零点存在定理可得", "bbox": [ 89, 832, 754, 847 ], "page_idx": 42 }, { "type": "text", "text": "(2) 对 (1) 中的 $\\xi$ ，在 $[0, \\xi]$ , $[\\xi, 1]$ 上用 Lagrange 中值定理，得到 $\\eta_{1}, \\eta_{2}$ 满足", "bbox": [ 121, 851, 663, 866 ], "page_idx": 42 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf ^ {\\prime} (\\eta_ {1}) = \\frac {f (\\xi) - 0}{\\xi} = \\frac {1 - \\xi}{\\xi}, f ^ {\\prime} (\\eta_ {2}) = \\frac {f (1) - f (\\xi)}{1 - \\xi} = \\frac {\\xi}{1 - \\xi}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 277, 868, 717, 900 ], "page_idx": 42 }, { "type": "text", "text": "因此 $f^{\\prime}(\\eta_{1})f^{\\prime}(\\eta_{2}) = 1$", "bbox": [ 90, 902, 252, 917 ], "page_idx": 42 }, { "type": "page_number", "text": "35", "bbox": [ 489, 954, 507, 965 ], "page_idx": 42 }, { "type": "header", "text": "4.2 微分中值定理", "bbox": [ 771, 55, 905, 68 ], "page_idx": 42 }, { "type": "text", "text": "(3) 提示：先找 $\\xi$ 满足 $f(\\xi) = 2(1 - \\xi)$ ，再用两次 Lagrange 中值定理。", "bbox": [ 121, 85, 633, 99 ], "page_idx": 43 }, { "type": "text", "text": "4.2.5 中值等式问题", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 122, 275, 137 ], "page_idx": 43 }, { "type": "text", "text": "中值等式问题本质很像多项式插值中 Cauchy 常数的构造方法，根据目标等式的形式，将某个常数换成 x，以此得出辅助函数在某些位置相等或等于 0。", "bbox": [ 87, 149, 905, 184 ], "page_idx": 43 }, { "type": "text", "text": "练习 4.25 利用等式构造辅助函数 (1) 重点: $f(x)$ 在 $[a, b]$ 二阶可导, $f(a) = f(b) = 0$ , 证明对 $\\forall x \\in (a, b)$ , 都存在 $\\xi \\in (a, b)$ , 使得 $f(x) = \\frac{f''(\\xi)}{2}(x - a)(x - b)$", "bbox": [ 58, 205, 904, 243 ], "page_idx": 43 }, { "type": "text", "text": "(2) 变形： $f(x)$ 在 $[a, b]$ 二阶可导，a < c < b，证明 $\\exists \\xi \\in (a, b)$ 使得", "bbox": [ 121, 244, 618, 260 ], "page_idx": 43 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\frac {f (b) - f (a)}{b - a} - \\frac {f (c) - f (a)}{c - a} = \\frac {1}{2} f ^ {\\prime \\prime} (\\xi) (b - c)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 337, 262, 660, 293 ], "page_idx": 43 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 固定 $x$ ，记常数 $k = \\frac{2f(x)}{(x - a)(x - b)}$ ，构造 $F(t) = f(t) - \\frac{k}{2}(t - a)(t - b)$ ，满足 $F(x) = F(a) = F(b) = 0$ ， $\\exists \\xi_1 \\in (a, x), \\xi_2 \\in (x, b)$ 使得 $F'(\\xi_1) = F'(\\xi_2) = 0$ ，根据 Rolle 定理可知 $\\exists \\xi \\in (\\xi_1, \\xi_2)$ 满足 $F''(\\xi) = 0$ ，因此 $f''(\\xi) = k$ ，结论成立。", "bbox": [ 87, 297, 907, 357 ], "page_idx": 43 }, { "type": "text", "text": "(2) 构造常数 $k = \\frac{(c - a)[f(b) - f(a)] - (b - a)[f(c) - f(a)]}{\\frac{1}{2}(b - c)(b - a)(c - a)}$ ，辅助函数将 $c$ 用 $x$ 代替", "bbox": [ 121, 356, 749, 388 ], "page_idx": 43 }, { "type": "equation", "text": "$$\nF (x) = (x - a) [ f (b) - f (a) ] - (b - a) [ f (x) - f (a) ] - \\frac {k}{2} (b - x) (b - a) (x - a)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 218, 392, 776, 419 ], "page_idx": 43 }, { "type": "text", "text": "得到 $F(a)=F(b)=F(c)=0$ ，因此根据两次 Rolle 得到 $F''(\\xi)=0$ ，从而得到结论。", "bbox": [ 87, 420, 709, 437 ], "page_idx": 43 }, { "type": "text", "text": "练习4.26另外几道经典题(1) $f(x)$ 在 $[a,b]$ 三阶可导，证明 $\\exists \\xi \\in (a,b)$ 使得", "bbox": [ 58, 458, 642, 474 ], "page_idx": 43 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (b) = f (a) + \\frac {1}{2} (b - a) [ f ^ {\\prime} (a) + f ^ {\\prime} (b) ] - \\frac {1}{1 2} (b - a) ^ {3} f ^ {\\prime \\prime \\prime} (\\xi)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 287, 476, 707, 502 ], "page_idx": 43 }, { "type": "text", "text": "(2) 配合拉格朗日插值或拉格朗日余项的 Taylor 展开： $f(x)$ 在 $[a, b]$ 二阶可导，证明 $\\exists \\xi \\in (a, b)$ 使得", "bbox": [ 121, 506, 850, 521 ], "page_idx": 43 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (b) - 2 f (\\frac {a + b}{2}) + f (a) = \\frac {1}{4} (b - a) ^ {2} f ^ {\\prime \\prime} (\\xi)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 339, 525, 655, 552 ], "page_idx": 43 }, { "type": "text", "text": "(3) 需配合 Taylor 展开: $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导, 证明 $\\exists \\xi \\in (a, b)$ , 使得", "bbox": [ 122, 554, 663, 570 ], "page_idx": 43 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {a} ^ {b} f (x) \\mathrm{d} x = (b - a) f \\left(\\frac {a + b}{2}\\right) + \\frac {1}{2 4} (b - a) ^ {3} f ^ {\\prime \\prime} (\\xi)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 310, 573, 685, 605 ], "page_idx": 43 }, { "type": "text", "text": "证明 (3) 设 $k = \\frac{\\int_{a}^{b} f(x) \\, \\mathrm{d}x - (b - a)f\\left(\\frac{a + b}{2}\\right)}{\\frac{1}{24}(b - a)^{3}}$ ，构造", "bbox": [ 87, 609, 468, 645 ], "page_idx": 43 }, { "type": "equation", "text": "$$\nF (x) = \\int_ {a} ^ {x} f (t) \\mathrm{d} t - (x - a) f \\left(\\frac {x + a}{2}\\right) + \\frac {1}{2 4} (x - a) ^ {3} k\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 297, 648, 699, 678 ], "page_idx": 43 }, { "type": "text", "text": "$F(a)=F(b)=0$ ，根据 Rolle 得到 $\\exists\\eta\\in(a,b)$ 使得 $F'(\\eta)=0$ ，即", "bbox": [ 90, 682, 571, 697 ], "page_idx": 43 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (\\eta) - f \\left(\\frac {a + \\eta}{2}\\right) - f ^ {\\prime} \\left(\\frac {a + \\eta}{2}\\right) \\frac {\\eta - a}{2} - \\frac {k}{8} (\\eta - a) ^ {2} = 0\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 292, 701, 705, 731 ], "page_idx": 43 }, { "type": "text", "text": "而根据 $\\eta$ 在 $\\frac{a+\\eta}{2}$ 的 Taylor 展开， $\\exists\\xi\\in\\left(\\frac{a+\\eta}{2},\\eta\\right)$", "bbox": [ 90, 736, 468, 765 ], "page_idx": 43 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (\\eta) = f \\left(\\frac {a + \\eta}{2}\\right) + f ^ {\\prime} \\left(\\frac {a + \\eta}{2}\\right) \\frac {\\eta - a}{2} + \\frac {f ^ {\\prime \\prime} (\\xi)}{2} \\left(\\frac {\\eta - a}{2}\\right) ^ {2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 280, 770, 715, 802 ], "page_idx": 43 }, { "type": "text", "text": "因此对比得到 $k = f''(\\xi)$", "bbox": [ 90, 806, 272, 821 ], "page_idx": 43 }, { "type": "text", "text": "4.2.6 中值不等式", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 843, 253, 859 ], "page_idx": 43 }, { "type": "text", "text": "练习4.27基于Taylor展开(1) $f(x)$ 在 $[a,b]$ 二阶可导， $|f(x)| \\leq A, |f''(x)| \\leq B$ ，证明 $|f'(x)| \\leq \\frac{2A}{b - a} + \\frac{B}{2}(b - a)$", "bbox": [ 58, 869, 905, 898 ], "page_idx": 43 }, { "type": "text", "text": "(3) 特例 1: 区间 $[0,2]$ , $|f(x)| \\leq 1$ , $|f''(x)| \\leq 2$ 证明 $|f'(x)| \\leq 3$", "bbox": [ 121, 896, 586, 913 ], "page_idx": 43 }, { "type": "page_number", "text": "36", "bbox": [ 489, 954, 509, 965 ], "page_idx": 43 }, { "type": "header", "text": "4.2 微分中值定理", "bbox": [ 769, 55, 905, 68 ], "page_idx": 43 }, { "type": "text", "text": "(4) 特例 2：区间 $[0,1]$ ， $|f(x)| \\leq A, |f''(x)| \\leq B$ ，证明 $|f'(x)| \\leq 2A + \\frac{1}{2}B$", "bbox": [ 122, 83, 667, 108 ], "page_idx": 44 }, { "type": "text", "text": "(5) 推论：将 $|f(x)| \\leq A$ 的条件改为 $f(a) = f(b)$ ，则得到 $|f'(x)| \\leq \\frac{B}{2}(b - a)$", "bbox": [ 122, 110, 685, 133 ], "page_idx": 44 }, { "type": "text", "text": "(6) 推论特例 1: $f(x)$ 在 $[0,1]$ 二阶可导, $f(0) = f(1) = f(\\frac{1}{2}) = 0$ , $|f''(x)| \\leq M$ , 证明 $|f'(x)| \\leq \\frac{M}{2}$ 证明 注意这里是已知点在 $x$ 处展开, 并使用 Lagrange 余项! 不要写成 $x$ 在 $a, b$ 展开, 或用 Peano 余项。", "bbox": [ 90, 133, 853, 173 ], "page_idx": 44 }, { "type": "text", "text": "(1) 根据 Taylor 展开得到 $\\exists \\xi \\in (a, x), \\eta \\in (x, b)$ 使得", "bbox": [ 122, 175, 499, 191 ], "page_idx": 44 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} f (a) = f (x) + f ^ {\\prime} (x) (a - x) + \\frac {f ^ {\\prime \\prime} (\\xi)}{2} (a - x) ^ {2} \\\\ f (b) = f (x) + f ^ {\\prime} (x) (b - x) + \\frac {f ^ {\\prime \\prime} (\\eta)}{2} (b - x) ^ {2} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 317, 193, 660, 247 ], "page_idx": 44 }, { "type": "text", "text": "两式相减得到 $f(b)-f(a)=f'(x)(b-a)+\\frac{f''(\\eta)}{2}(b-x)^{2}-\\frac{f''(\\xi)}{2}(a-x)^{2}$ ，结合 A, B 得到", "bbox": [ 90, 250, 764, 279 ], "page_idx": 44 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| f ^ {\\prime} (x) \\right| \\leq \\frac {2 A}{b - a} + \\frac {B}{2 (b - a)} \\left[ (a - x) ^ {2} + (b - x) ^ {2} \\right]\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 324, 281, 670, 310 ], "page_idx": 44 }, { "type": "text", "text": "而 $(a - x)^2 +(b - x)^2 < (b - a)^2$ （用二次函数最值)，因此得到 $|f'(x)| < \\frac{2A}{b - a} +\\frac{B}{2} (b - a)$", "bbox": [ 89, 315, 747, 341 ], "page_idx": 44 }, { "type": "text", "text": "(5) 由于 $f(b) - f(a) = f'(x)(b - a) + \\frac{f''(\\eta)}{2} (b - x)^2 - \\frac{f''(\\xi)}{2} (a - x)^2 = 0$ ，因此 $f(x)$ 项被消除，后面同理。", "bbox": [ 121, 340, 907, 370 ], "page_idx": 44 }, { "type": "text", "text": "练习 4.28 几道经典配凑放缩 (1) $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续， $(a, b)$ 可导， $f(a) = f(b), |f'(x)| \\leq 1$ ，证明： $\\forall x_1, x_2$ 满足 $|f(x_1) - f(x_2)| \\leq \\frac{b - a}{2}$", "bbox": [ 60, 384, 905, 424 ], "page_idx": 44 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 首先根据 Lagrange 中值定理得到 $\\left|f(x_{1})-f(x_{2})\\right|\\leq x_{2}-x_{1}$ ，再根据", "bbox": [ 87, 424, 660, 439 ], "page_idx": 44 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| f \\left(x _ {1}\\right) - f \\left(x _ {2}\\right) \\right| = \\left| f \\left(x _ {1}\\right) - f (a) + f (b) - f \\left(x _ {2}\\right) \\right| \\leq \\left(x _ {1} - a\\right) + \\left(b - x _ {2}\\right)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 240, 445, 754, 463 ], "page_idx": 44 }, { "type": "text", "text": "因此相加得到 $\\left|f(x_{1})-f(x_{2})\\right|\\leq\\frac{b-a}{2}$", "bbox": [ 90, 466, 374, 493 ], "page_idx": 44 }, { "type": "text", "text": "4.2.7 导数极限定理与导数介值定理", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 511, 413, 527 ], "page_idx": 44 }, { "type": "text", "text": "定理 4.11 (导数介值定理：达布定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 543, 396, 558 ], "page_idx": 44 }, { "type": "table", "img_path": "images/3783c0874b99c547e766ea447319b6ef265256fa2f854f4a029111f07cd666d1.jpg", "table_caption": [], "table_footnote": [], "table_body": "
定理4.11(等数升值定理:达布定理)
f(x)在[a,b]可导,f′+(a)≠f′-b),k介于f′+(a),f′-b之间,则∃ξ∈(a,b)使得f′(ξ)=k
", "bbox": [ 105, 552, 902, 589 ], "page_idx": 44 }, { "type": "text", "text": "证明 构造 $F(x) = f(x) - kx$ ，则 $F'(x) = f'(x) - k$ ，由于 $k$ 介于 $f_{+}'(a), f_{-}'(b)$ 之间，因此 $F_{+}'(a)F_{-}'(b) < 0$ ，不妨设 $F_{+}'(a) > 0, F_{-}'(b) < 0$ ，则", "bbox": [ 89, 600, 905, 634 ], "page_idx": 44 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {x \\to a ^ {+}} \\frac {F (x) - F (a)}{x - a} > 0, \\lim _ {x \\to a ^ {-}} \\frac {F (x) - F (b)}{x - b} < 0\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 324, 638, 673, 668 ], "page_idx": 44 }, { "type": "text", "text": "根据极限保号性得到 $\\exists x_{1},x_{2}\\in (a,b),x_{1} < x_{2}$ 使得 $\\frac{F(x_1) - F(a)}{x_1 - a} >0,\\frac{F(x_2) - F(b)}{x_2 - b} < 0$ ，即 $F(x_{1}) > F(a),F(x_{2})>$ $F(b)$ ，由于 $F(x)$ 连续，存在 $\\xi \\in [a,b]$ 使得 $F(\\xi)$ 最大值，根据费马定理得到 $F^{\\prime}(\\xi) = 0$ ，即 $f^{\\prime}(\\xi) = k$ 笔记导数介值定理在ZJU2020中出现过", "bbox": [ 87, 671, 927, 732 ], "page_idx": 44 }, { "type": "header", "text": "4.3 洛必达法则与 Taylor 公式", "bbox": [ 687, 55, 905, 68 ], "page_idx": 44 }, { "type": "page_number", "text": "37", "bbox": [ 489, 953, 507, 965 ], "page_idx": 44 }, { "type": "text", "text": "4.3 洛必达法则与 Taylor 公式", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 87, 416, 108 ], "page_idx": 45 }, { "type": "text", "text": "4.3.1 洛必达法则", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 126, 253, 143 ], "page_idx": 45 }, { "type": "text", "text": "定理 4.12 (洛必达法则)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 159, 295, 175 ], "page_idx": 45 }, { "type": "table", "img_path": "images/ed8db0b53f71e51c5cc9d644b137880b6d507194d33ff01dd70c2c327da6cd5f.jpg", "table_caption": [], "table_footnote": [], "table_body": "
f,g满足(1) $\\lim_{x\\to x_0}f(x)=\\lim_{x\\to x_0}g(x)=0$ 或者 $\\lim_{x\\to x_0}g(x)=\\infty(2)x_0$ 空心邻域中 $f'(x),g'(x)$ 有定义(非常重要的条件!)则 $\\lim_{x\\to x_0}\\frac{f(x)}{g(x)}=\\lim_{x\\to x_0}\\frac{f'(x)}{g'(x)}$
", "bbox": [ 104, 170, 902, 252 ], "page_idx": 45 }, { "type": "text", "text": "笔记 $x_0$ 空心邻域中 $f(x), g(x)$ 有定义且可导条件非常重要！", "bbox": [ 87, 262, 529, 278 ], "page_idx": 45 }, { "type": "text", "text": "练习 4.29 空心邻域中没定义则只能用定义 已知 $g(0)=g'(0)=0, g''(0)=3$ ，求 $f'(0)$", "bbox": [ 58, 299, 715, 315 ], "page_idx": 45 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x) = \\left\\{ \\begin{array}{l l} \\frac {g (x)}{x}, & x \\neq 0 \\\\ 0, & x = 0 \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 408, 319, 586, 365 ], "page_idx": 45 }, { "type": "text", "text": "证明 可以直接用 Peano 余项的 Taylor 展开。但这里展现其证明过程，先代入并用一次洛必达，", "bbox": [ 87, 370, 781, 386 ], "page_idx": 45 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {x \\rightarrow 0} \\frac {f (x) - f (0)}{x - 0} = \\lim _ {x \\rightarrow 0} \\frac {g (x)}{x ^ {2}} = \\lim _ {x \\rightarrow 0} \\frac {g ^ {\\prime} (x)}{2 x}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 344, 388, 650, 418 ], "page_idx": 45 }, { "type": "text", "text": "注意后面不能继续用洛必达了，原因在于 $g'(x)$ 在 $x_0$ 空心邻域中不一定有定义，极限 $\\lim_{x\\to 0}g''(x)$ 没有意义。因此需要用导数定义： $\\lim_{x\\to 0}\\frac{g'(x) - g'(0)}{2x} = \\frac{1}{2}\\lim_{x\\to 0}g''(x) = \\frac{3}{2}$", "bbox": [ 87, 420, 905, 470 ], "page_idx": 45 }, { "type": "text", "text": "笔记 该证明过程是 Peano 余项的 Taylor 公式的证明思路，极度重要，保证最后一次不能用洛必达法则。", "bbox": [ 87, 472, 843, 488 ], "page_idx": 45 }, { "type": "text", "text": "4.3.2 Taylor 公式", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 508, 253, 526 ], "page_idx": 45 }, { "type": "text", "text": "定理 4.13 (Peano 余项 Taylor 公式)", "text_level": 2, "bbox": [ 119, 541, 381, 556 ], "page_idx": 45 }, { "type": "text", "text": "若 $f$ 在 $x_0$ 存在直至 $n$ 阶导数 (只需要单点导数，比Lagrange要求低很多)，则", "bbox": [ 112, 562, 689, 577 ], "page_idx": 45 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x) = f (x _ {0}) + f ^ {\\prime} (x _ {0}) (x - x _ {0}) + \\dots + \\frac {f ^ {(n)} (x _ {0})}{n !} (x - x _ {0}) ^ {n} + o ((x - x _ {0}) ^ {n})\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 231, 580, 764, 611 ], "page_idx": 45 }, { "type": "text", "text": "证明 设 $T_{n}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\\cdots+\\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}$ ， $R_{n}(x)=f(x)-T_{n}(x)$ ， $Q_{n}(x)=(x-x_{0})^{n}$ ，先做 n-1 次洛必达，再用一次导数定义可以得到：", "bbox": [ 87, 623, 905, 663 ], "page_idx": 45 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {x \\to x _ {0}} \\frac {R _ {n} (x)}{Q _ {n} (x)} = \\lim _ {x \\to x _ {0}} \\frac {R _ {n} ^ {(n - 1)} (x)}{Q _ {n} ^ {(n - 1)} (x)} = \\frac {1}{n !} \\lim _ {x \\to x _ {0}} \\left[ \\frac {f ^ {(n - 1)} (x) - f ^ {(n - 1)} (x _ {0})}{x - x _ {0}} - f ^ {(n)} (x _ {0}) \\right] = 0\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 191, 665, 805, 701 ], "page_idx": 45 }, { "type": "text", "text": "定理 4.14 (Lagrange 余项 Taylor 公式)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 718, 406, 733 ], "page_idx": 45 }, { "type": "text", "text": "若 $f$ 在 $[a,b]$ 存在直至 $n + 1$ 阶导数，且在 $(a,b)$ 满足 $n$ 阶连续可导(条件比Peano强得多)，则", "bbox": [ 114, 737, 806, 753 ], "page_idx": 45 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x) = f \\left(x _ {0}\\right) + f ^ {\\prime} \\left(x _ {0}\\right) \\left(x - x _ {0}\\right) + \\dots + \\frac {f ^ {(n)} \\left(x _ {0}\\right)}{n !} \\left(x - x _ {0}\\right) ^ {n} + \\frac {f ^ {(n + 1)} (\\xi)}{(n + 1) !} \\left(x - x _ {0}\\right) ^ {n + 1}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 196, 756, 798, 788 ], "page_idx": 45 }, { "type": "text", "text": "证明 设 $T_{n}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\\cdots+\\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}$ ，构造 $F(t)=f(t)-T_{n}(t), G(t)=(x-t)^{n+1}$ ，即证明 $\\frac{F(x_{0})}{G(x_{0})}=\\frac{f^{(n+1)}(\\xi)}{(n+1)!}$ ，因为 $F(x)=G(x)=0, F'(t)=-\\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^{n}, G'(t)=-(n+1)(x-t)^{n}$ ，因此根据 Cauchy 中值定理可知", "bbox": [ 87, 803, 905, 873 ], "page_idx": 45 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\frac {F (x _ {0})}{G (x _ {0})} = \\frac {F (x _ {0}) - F (x)}{G (x _ {0}) - G (x)} = \\frac {F ^ {\\prime} (\\xi)}{G ^ {\\prime} (\\xi)} = \\frac {f ^ {(n + 1)} (\\xi)}{(n + 1) !}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 327, 877, 667, 910 ], "page_idx": 45 }, { "type": "header", "text": "4.3 洛必达法则与 Taylor 公式", "bbox": [ 687, 55, 905, 68 ], "page_idx": 45 }, { "type": "page_number", "text": "38", "bbox": [ 489, 954, 507, 965 ], "page_idx": 45 }, { "type": "text", "text": "4.4 凸函数", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 87, 216, 107 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "4.4.1 函数的凹凸性", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 126, 273, 143 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "定义 4.3 (凸函数)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 159, 253, 174 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "$f$ 是区间 $I$ 上的函数，若对 $\\forall x_{1},x_{2}\\in I$ 和 $\\forall \\lambda \\in (0,1)$ 满足以下条件，则称 $f(x)$ 为凸函数", "bbox": [ 112, 179, 766, 193 ], "page_idx": 46 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (\\lambda x _ {1} + (1 - \\lambda) x _ {2}) \\leq \\lambda f (x _ {1}) + (1 - \\lambda) f (x _ {2})\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 332, 203, 663, 219 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "引理 4.1 (定比分点公式)", "text_level": 2, "bbox": [ 124, 243, 304, 258 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "对于一点 $x \\in [x_1, x_2]$ ，则 $x$ 可由其与 $x_1, x_2$ 的距离唯一表出：", "bbox": [ 114, 263, 566, 278 ], "page_idx": 46 }, { "type": "equation", "text": "$$\nx = \\frac {x _ {2} - x}{x _ {2} - x _ {1}} x _ {1} + \\frac {x - x _ {1}}{x _ {2} - x _ {1}} x _ {2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 391, 282, 603, 309 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "记忆方式：首先保证分子都是正的，而且 $x_{1}$ 对应的权重是 x 到 $x_{2}$ 的距离", "bbox": [ 114, 312, 657, 326 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "定理 4.15 (凸函数的等价条件)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 351, 344, 366 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "$f$ 是 $I$ 上的凸函数与下面条件等价：", "bbox": [ 112, 370, 376, 385 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "\\- 一阶可导最常用： $\\forall x_0 \\in I$ ，有 $f(x) \\geq f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ 。", "bbox": [ 137, 390, 616, 404 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "\\- 若不可导，上述命题等价于： $f(x) \\geq f(x_0) + k(x - x_0)$", "bbox": [ 139, 407, 566, 423 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "若 $f(x)$ 可导，则等价于 $f'(x)$ 单增", "bbox": [ 139, 426, 416, 441 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "\\- 二阶可导：若 $f(x)$ 二阶可导，则等价于 $f''(x) \\geq 0$", "bbox": [ 139, 445, 532, 460 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "练习 4.30 不二阶可导凸性质的应用 (1) 重点：函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=0$ ， $f'(x)$ 单增，证明： $F(x)=\\frac{f(x)}{x}$ 在 $(0,+\\infty)$ 单增", "bbox": [ 58, 494, 905, 533 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) $f'(x)$ 单增等价于可导，而没说二阶可导，因此取 y > x > 0，只能用 $f(y) \\geq f(x) + f'(x)(y - x)$ 。此时", "bbox": [ 87, 535, 905, 551 ], "page_idx": 46 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{l} F (y) - F (x) = \\frac {x f (y) - y f (x)}{x y} \\geq \\frac {x f (x) + x f ^ {\\prime} (x) (y - x) - (y - x) f (x) - x f (x)}{x y} \\\\ \\quad = \\frac {(y - x) (x f ^ {\\prime} (x) - f (x))}{x y} = \\frac {(y - x) (f ^ {\\prime} (x) - \\frac {f (x) - f (0)}{x - 0})}{y} \\\\ \\quad = \\frac {(y - x) (f ^ {\\prime} (x) - f ^ {\\prime} (\\xi))}{y} \\geq 0 \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 206, 554, 786, 652 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "练习 4.31 凸函数等价条件应用 (1) $f(x)$ 在 R 二阶连续可导，证明 $f''(x) \\geq 0$ 当且仅当 $\\forall x \\in \\mathbb{R}, \\forall h, f(x + h) + f(x - h) - 2f(x) \\geq 0$", "bbox": [ 58, 671, 905, 706 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "(2) $f(x)$ 为 I 上凸函数当且仅当 $\\forall x_{1}, x_{2} \\in I$ 满足 $\\varphi(\\lambda) = f(\\lambda x_{1} + (1 - \\lambda)x_{2})$ 为 [0,1] 上的凸函数", "bbox": [ 119, 709, 821, 724 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) $f''(x) \\geq 0$ 等价于凸函数，等价于 $\\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\geq \\frac{f(x)-f(x-h)}{h}$ ，即得到结论。", "bbox": [ 87, 724, 774, 745 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "(2.1) 右推左：要证 $f(\\lambda x_1 + (1 - \\lambda)x_2) \\leq \\lambda f(x_1) + (1 - \\lambda)f(x_2)$ ，等价于 $\\varphi(\\lambda) \\leq \\lambda \\varphi(1) + (1 - \\lambda)\\varphi(0)$ ，而 $\\varphi(\\lambda) = \\varphi(\\lambda \\cdot 1 + (1 - \\lambda) \\cdot 0)$ ，根据 $\\varphi$ 的凸性可直接得出。", "bbox": [ 89, 747, 902, 783 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "(2.2) 左推右：要证 $\\varphi(\\alpha t_1 + (1 - \\alpha)t_2) \\leq \\alpha \\varphi(t_1) + (1 - \\alpha)\\varphi(t_2)$ ，等价于", "bbox": [ 121, 785, 653, 801 ], "page_idx": 46 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf \\left(\\left(\\alpha t _ {1} + (1 - \\alpha) t _ {2}\\right) x _ {1} + \\left(1 - \\alpha t _ {1} - (1 - \\alpha) t _ {2}\\right) x _ {2}\\right) \\leq \\alpha f \\left(t _ {1} x _ {1} + \\left(1 - t _ {1}\\right) x _ {2}\\right) + (1 - \\alpha) f \\left(t _ {2} x _ {1} + \\left(1 - t _ {2}\\right) x _ {2}\\right)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 114, 809, 878, 824 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "根据 $f(x)$ 的凸性，右侧大于等于左侧 (可能有点麻烦)。", "bbox": [ 90, 832, 495, 846 ], "page_idx": 46 }, { "type": "header", "text": "4.4 凸函数", "bbox": [ 821, 55, 905, 68 ], "page_idx": 46 }, { "type": "page_number", "text": "39", "bbox": [ 489, 953, 507, 964 ], "page_idx": 46 }, { "type": "text", "text": "定理 4.16 (凸性质的保持)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 86, 310, 102 ], "page_idx": 47 }, { "type": "text", "text": "考虑凸函数的四则运算、复合、最值：", "bbox": [ 115, 105, 396, 120 ], "page_idx": 47 }, { "type": "text", "text": "\\- 凸函数的数乘和加法保持凸性质，差、积、商不一定", "bbox": [ 139, 124, 547, 139 ], "page_idx": 47 }, { "type": "text", "text": "\\- 复合：若 $f(x)$ 为凸函数， $g(x)$ 为凸增函数，则 $g(f(x))$ 为凸函数，去掉增性质则不一定", "bbox": [ 139, 143, 803, 158 ], "page_idx": 47 }, { "type": "text", "text": "\\- 最值：若 $f(x), g(x)$ 均为 $I$ 上凸函数，则 $\\max \\{f(x), g(x)\\}$ 为凸函数", "bbox": [ 139, 162, 655, 177 ], "page_idx": 47 }, { "type": "text", "text": "证明 (3) 最值： $F(\\lambda x_{1} + (1 - \\lambda)x_{2}) = \\max \\{f(\\lambda x_{1} + (1 - \\lambda)x_{2}), g(\\lambda x_{1} + (1 - \\lambda)x_{2})\\} \\leq \\max \\{\\lambda f(x_{1}) + (1 - \\lambda)f(x_{2}), \\lambda g(x_{1}) + (1 - \\lambda)g(x_{2})\\}$ ，进行放缩 $F \\geq f, g$ 得到", "bbox": [ 89, 197, 904, 231 ], "page_idx": 47 }, { "type": "equation", "text": "$$\nF (\\lambda x _ {1} + (1 - \\lambda) x _ {2}) \\leq \\lambda F (x _ {1}) + (1 - \\lambda) F (x _ {2})\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 327, 239, 668, 255 ], "page_idx": 47 }, { "type": "text", "text": "定义 4.4 (拐点)", "text_level": 2, "bbox": [ 124, 285, 236, 300 ], "page_idx": 47 }, { "type": "text", "text": "$y = f(x)$ 在 $x_0$ 两侧分别为严格凸和严格凹的，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的拐点。若 $f$ 在 $x_0$ 二阶可导，则 $x_0$ 是拐点的必要条件为 $f''(x_0) = 0$", "bbox": [ 112, 305, 880, 338 ], "page_idx": 47 }, { "type": "text", "text": "4.4.2 凸函数的基本性质", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 378, 312, 395 ], "page_idx": 47 }, { "type": "text", "text": "定理 4.17 (凸函数基本性质)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 411, 329, 425 ], "page_idx": 47 }, { "type": "text", "text": "设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上为凸函数，则", "bbox": [ 115, 431, 363, 445 ], "page_idx": 47 }, { "type": "text", "text": "\\- $f(x)$ 在 $I$ 中任意一点有左右导函数", "bbox": [ 139, 449, 416, 464 ], "page_idx": 47 }, { "type": "text", "text": "\\- $f(x)$ 在 $I$ 区间内部连续，端点未知，若是开区间，则在整个区间连续", "bbox": [ 139, 467, 668, 483 ], "page_idx": 47 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 只证右导数: $F(h) = \\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ 为增函数, 根据有界的单调函数有左右极限可知左右导数存在。", "bbox": [ 90, 497, 904, 536 ], "page_idx": 47 }, { "type": "text", "text": "(2) 根据左右导数的存在性可知左右连续 (否则导数定义中分母趋于 0，分子不趋于 0，显然无极限)，因此在内部点连续，端点单边连续。", "bbox": [ 90, 539, 904, 574 ], "page_idx": 47 }, { "type": "text", "text": "定理 4.18 (凸函数的最值)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 600, 312, 615 ], "page_idx": 47 }, { "type": "text", "text": "设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上的凸函数，则 $f(x) \\leq \\max \\{f(a), f(b)\\}$ ，即凸函数的最值只在端点取到。", "bbox": [ 115, 619, 771, 636 ], "page_idx": 47 }, { "type": "text", "text": "证明 $\\forall x\\in [a,b]$ ，设 $x = \\lambda a + (1 - \\lambda)b$ ，根据 $f(x)$ 为凸函数可知：", "bbox": [ 90, 656, 576, 671 ], "page_idx": 47 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x) \\leq \\lambda f (a) + (1 - \\lambda) f (b) \\leq \\max \\{f (a), f (b) \\}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 324, 678, 668, 695 ], "page_idx": 47 }, { "type": "text", "text": "定理 4.19 (Jensen 不等式)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 725, 314, 741 ], "page_idx": 47 }, { "type": "text", "text": "$f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的凸函数，则对 $\\forall x_{i}\\in [a,b],\\lambda_{i} > 0,\\sum_{i = 1}^{n}\\lambda_{i} = 1$ ，有", "bbox": [ 114, 747, 606, 782 ], "page_idx": 47 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf \\left(\\sum_ {i = 1} ^ {n} \\lambda_ {i} x _ {i}\\right) \\leq \\sum_ {i = 1} ^ {n} \\lambda_ {i} f (x _ {i})\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 394, 785, 601, 825 ], "page_idx": 47 }, { "type": "header", "text": "4.4 凸函数", "bbox": [ 821, 55, 905, 68 ], "page_idx": 47 }, { "type": "page_number", "text": "40", "bbox": [ 489, 954, 509, 965 ], "page_idx": 47 }, { "type": "text", "text": "练习 4.32Jensen 不等式经典题 正数 $p_{1}, \\cdots, p_{n}$ 满足 $\\sum_{i=1}^{n} p_{i} = 1$ ，对 $\\forall x_{1}, \\cdots, x_{n} \\in R$ ，证明：", "bbox": [ 58, 80, 761, 120 ], "page_idx": 48 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sum_ {i = 1} ^ {n} p _ {i} \\left(x _ {i} - \\ln p _ {i}\\right) \\leq \\ln \\left(\\sum_ {i = 1} ^ {n} e ^ {x _ {i}}\\right)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 374, 123, 616, 162 ], "page_idx": 48 }, { "type": "text", "text": "证明 即证明 $\\sum_{i=1}^{n}p_{i}\\ln\\frac{e^{x_{i}}}{p_{i}}\\leq\\ln\\left(\\sum_{i=1}^{n}e^{x_{i}}\\right)$ ，视 $e^{x_{i}}=t_{i}$ ，根据 $\\ln t$ 的凹性即可得到结论。", "bbox": [ 87, 164, 726, 203 ], "page_idx": 48 }, { "type": "text", "text": "4.4.3 利用凹凸性证明不等式", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 222, 354, 239 ], "page_idx": 48 }, { "type": "text", "text": "练习4.33对中点位置的估计(1)经典：设 $\\varphi (x)$ 是[0,1]上连续凸函数，证明 $\\varphi \\left(\\frac{1}{2}\\right)\\leq \\int_0^1\\varphi (x)\\mathrm{d}x\\leq \\frac{\\varphi(0) + \\varphi(1)}{2}$", "bbox": [ 58, 250, 902, 281 ], "page_idx": 48 }, { "type": "text", "text": "(2) 太经典： $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上连续凸函数，证明 $f\\left(\\frac{a + b}{2}\\right) \\leq \\frac{1}{b - a} \\int_{a}^{b} f(x) \\, \\mathrm{d}x \\leq \\frac{f(a) + f(b)}{2}$ 证明 (1) 由于 $x = x \\cdot 1 + (1 - x) \\cdot 0$ ，因此", "bbox": [ 87, 282, 800, 326 ], "page_idx": 48 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {0} ^ {1} \\varphi (x) \\mathrm{d} x \\leq \\int_ {0} ^ {1} [ (1 - x) \\varphi (0) + x \\varphi (1) ] = \\frac {\\varphi (0) + \\varphi (1)}{2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 295, 330, 697, 363 ], "page_idx": 48 }, { "type": "text", "text": "另一方面做变量替换 $x = 1 - t$ ，则 $\\int_0^1\\varphi (x)\\mathrm{d}x = \\int_0^1\\varphi (1 - x)\\mathrm{d}x$ （区间再现），得到", "bbox": [ 90, 365, 695, 398 ], "page_idx": 48 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {0} ^ {1} \\varphi (x) \\mathrm{d} x = \\int_ {0} ^ {1} \\frac {1}{2} \\varphi (x) + \\frac {1}{2} \\varphi (1 - x) \\mathrm{d} x \\geq \\int_ {0} ^ {1} \\varphi \\left(\\frac {x}{2} + \\frac {1 - x}{2}\\right) \\mathrm{d} x = \\varphi \\left(\\frac {1}{2}\\right)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 220, 400, 773, 434 ], "page_idx": 48 }, { "type": "text", "text": "(2) 作替换 $x = \\lambda a + (1 - \\lambda)b = b - (b - a)\\lambda$ ，则 $\\frac{1}{b - a}\\int_{a}^{b}f(x)\\mathrm{d}x = \\int_{0}^{1}\\varphi (\\lambda)\\mathrm{d}\\lambda$ ，转换为 (1)", "bbox": [ 121, 437, 800, 470 ], "page_idx": 48 }, { "type": "text", "text": "4.5 一元极值与导数零点问题", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 491, 410, 511 ], "page_idx": 48 }, { "type": "text", "text": "4.5.1 一元极值的概念与判定", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 530, 352, 546 ], "page_idx": 48 }, { "type": "text", "text": "定理 4.20 (一元极值三大充分条件)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 562, 379, 577 ], "page_idx": 48 }, { "type": "text", "text": "$f(x)$ 可导，且满足必要条件 $f'(x_{0})=0$ ，则有三大充分条件：", "bbox": [ 112, 583, 564, 598 ], "page_idx": 48 }, { "type": "text", "text": "1. $f(x)$ 在 $x_0$ 连续， $U^o (x_0,\\delta)$ 可导，若左邻域 $f^{\\prime}(x)\\leq 0$ ，右邻域 $f^{\\prime}(x)\\geq 0$ ，则为极小值。反之为极大值", "bbox": [ 134, 601, 880, 633 ], "page_idx": 48 }, { "type": "text", "text": "2. 若在 $U(x_{0},\\delta)$ 二阶可导 $f''(x_{0})\\neq0$ ，则 $f''(x_{0})<0$ 时取极大值， $f''(x_{0})>0$ 时取极小值", "bbox": [ 132, 638, 803, 653 ], "page_idx": 48 }, { "type": "text", "text": "3. 若在 $U(x_{0}, \\delta)$ 存在 n 阶导数，且 $f'(x_{0}), \\cdots, f^{(n-1)}(x_{0}) = 0, f^{(n)}(x_{0}) \\neq 0$ 。则 n 为偶时， $x_{0}$ 为极值点， $f^{(n)}(x_{0}) < 0$ 极大， $f^{(n)}(x_{0}) > 0$ 时极小，n 为奇时不取极值。", "bbox": [ 134, 655, 887, 692 ], "page_idx": 48 }, { "type": "text", "text": "证明 只证明第三充分条件。用 Peano 余项的 Taylor 展开，根据前面导数为 0 得到 $f(x)-f(x_{0})=\\left[\\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}+o(1)\\right](x-x_{0})^{n}$ 。若 n 为偶且导数大于 0，则显然为极小值，极大值同理。若 n 为奇数，则 $(x-x_{0})^{n}$ 符号不定，因此无法确定。", "bbox": [ 87, 703, 936, 768 ], "page_idx": 48 }, { "type": "text", "text": "4.5.2 导数零点问题", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 789, 275, 806 ], "page_idx": 48 }, { "type": "text", "text": "要善于取出区间中的极值点或最值点，利用 $f'(x_0) = 0$ 的性质加上中值定理或 Taylor 展开研究更高阶的导数。", "bbox": [ 90, 816, 905, 852 ], "page_idx": 48 }, { "type": "text", "text": "练习 4.34 几道经典导数零点问题 (1) 经典: $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续, 在 $(a, b)$ 二阶可导, $f(a) = f(b) = 0$ , $\\exists c \\in (a, b)$ 满足 $f(c) > 0$ , 证明 $\\exists \\xi \\in (a, b)$ 使得 $f''(\\xi) < 0$", "bbox": [ 58, 873, 905, 908 ], "page_idx": 48 }, { "type": "page_number", "text": "41", "bbox": [ 489, 954, 507, 964 ], "page_idx": 48 }, { "type": "header", "text": "4.5 一元极值与导数零点问题", "bbox": [ 687, 55, 905, 68 ], "page_idx": 48 }, { "type": "text", "text": "证明 由于 $f(a) = f(b) = 0$ ， $f(c) > 0$ ，由于 $f(x)$ 连续，总能找到最大值 $f(x_0)$ ，由于是最值点， $f'(x_0) = 0$ ，考虑 $f(a)$ 在 $x_0$ 处 Lagrange 余项的 Taylor 展开：", "bbox": [ 87, 84, 902, 118 ], "page_idx": 49 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (a) = f (x _ {0}) + \\frac {1}{2} f ^ {\\prime \\prime} (\\xi) (a - x _ {0}) ^ {2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 376, 120, 618, 149 ], "page_idx": 49 }, { "type": "text", "text": "由于 $f(a)=0$ ，得到 $f''(\\xi)<0$", "bbox": [ 92, 151, 322, 166 ], "page_idx": 49 }, { "type": "header", "text": "4.5 一元极值与导数零点问题", "bbox": [ 687, 55, 905, 68 ], "page_idx": 49 }, { "type": "page_number", "text": "42", "bbox": [ 489, 954, 507, 964 ], "page_idx": 49 }, { "type": "text", "text": "第5章 不定积分", "text_level": 2, "bbox": [ 396, 87, 618, 111 ], "page_idx": 50 }, { "type": "text", "text": "5.1 常用不定积分公式", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 145, 337, 165 ], "page_idx": 50 }, { "type": "text", "text": "必背部分:", "bbox": [ 122, 180, 203, 195 ], "page_idx": 50 }, { "type": "text", "text": "普通三角：", "bbox": [ 119, 219, 200, 236 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int \\sin x \\mathrm{d} x = - \\cos x + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 221, 214, 401, 243 ], "page_idx": 50 }, { "type": "text", "text": "sec、csc:", "bbox": [ 119, 248, 193, 262 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int \\sec^ {2} x \\mathrm{d} x = \\tan x + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 231, 242, 400, 268 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int \\cos x \\mathrm{d} x = \\sin x + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 524, 214, 690, 243 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\csc^ {2} x \\mathrm{d} x = - \\cot x + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 539, 243, 714, 263 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {a} ^ {b} \\sec x \\mathrm{d} x = \\ln | \\sec x + \\tan x |\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 225, 267, 442, 297 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int \\sec^ {3} x \\mathrm{d} x = \\frac {1}{2} \\tan x \\sec x + \\frac {1}{2} \\ln | \\tan x + \\sec x |\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 532, 267, 875, 294 ], "page_idx": 50 }, { "type": "text", "text": "乘积三角：", "bbox": [ 119, 299, 200, 315 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sec x \\tan x \\mathrm{d} x = \\sec x + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 236, 297, 425, 317 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\csc x \\cot x \\mathrm{d} x = - \\csc x + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 541, 298, 742, 317 ], "page_idx": 50 }, { "type": "text", "text": "分式:", "bbox": [ 119, 325, 166, 341 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int {\\frac {1}{x ^ {2} + a ^ {2}}} \\mathrm{d} x = \\frac {1}{a} \\arctan {\\frac {x}{a}} + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 225, 319, 453, 348 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {a} \\frac {1}{x ^ {2} - a ^ {2}} \\mathrm{d} x = \\frac {1}{2 a} \\ln | \\frac {x - a}{x + a} | + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 534, 319, 773, 349 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {c} \\frac {1}{\\sqrt {x ^ {2} + a ^ {2}}} \\mathrm{d} x = \\ln | x + \\sqrt {x ^ {2} + a ^ {2}} | + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 223, 346, 515, 376 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int {\\frac {1}{\\sqrt {x ^ {2} - a ^ {2}}}} \\mathrm{d} x = \\ln | x + \\sqrt {x ^ {2} - a ^ {2}} | + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 526, 347, 820, 376 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {a} \\frac {1}{\\sqrt {a ^ {2} - x ^ {2}}} \\mathrm{d} x = \\arcsin {\\frac {x}{a}} + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 223, 376, 448, 403 ], "page_idx": 50 }, { "type": "text", "text": "对数:", "bbox": [ 119, 406, 166, 420 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int \\ln x \\mathrm{d} x = x \\ln x - x + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 228, 403, 413, 428 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int \\ln (1 + x) \\mathrm{d} x = (1 + x) \\ln (1 + x) - x + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 524, 398, 836, 430 ], "page_idx": 50 }, { "type": "text", "text": "会算部分:", "bbox": [ 122, 431, 203, 447 ], "page_idx": 50 }, { "type": "text", "text": "三角：", "bbox": [ 122, 472, 159, 488 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int \\tan x \\mathrm{d} x = - \\ln | \\cos x | + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 213, 466, 426, 494 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int \\cot x \\mathrm{d} x = \\ln | \\sin x | + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 668, 464, 860, 494 ], "page_idx": 50 }, { "type": "text", "text": "平方三角：", "bbox": [ 112, 498, 191, 514 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {a} ^ {b} \\sin^ {2} x \\mathrm{d} x = \\frac {x}{2} - \\frac {\\sin 2 x}{4} + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 213, 493, 428, 521 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int \\cos^ {2} x \\mathrm{d} x = \\frac {x}{2} + \\frac {\\sin 2 x}{4} + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 668, 493, 884, 521 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int \\tan^ {2} x \\mathrm{d} x = \\tan x - x + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 213, 520, 421, 545 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int \\cot^ {2} x \\mathrm{d} x = - \\cot x - x + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 665, 520, 885, 548 ], "page_idx": 50 }, { "type": "text", "text": "复合三角：", "bbox": [ 112, 551, 191, 567 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {a} ^ {b} e ^ {a x} \\cos b x \\mathrm{d} x = \\frac {e ^ {a x}}{a ^ {2} + b ^ {2}} (a \\cos b x + b \\sin b x) + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 213, 545, 571, 574 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int e ^ {a x} \\sin b x \\mathrm{d} x = \\frac {e ^ {a x}}{a ^ {2} + b ^ {2}} (a \\sin b x - b \\cos b x) + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 215, 571, 569, 600 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {a} ^ {b} x \\cos n x \\mathrm{d} x = \\frac {1}{n ^ {2}} \\cos n x + \\frac {x}{n} \\sin n x + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 213, 598, 517, 627 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int x \\sin n x \\mathrm{d} x = \\frac {1}{n ^ {2}} \\sin n x - \\frac {x}{n} \\cos n x + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 213, 627, 515, 652 ], "page_idx": 50 }, { "type": "text", "text": "根式:", "bbox": [ 112, 656, 159, 671 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {0} ^ {1} \\sqrt {x ^ {2} \\pm a ^ {2}} \\mathrm{d} x = \\frac {1}{2} \\left[ x \\sqrt {x ^ {2} \\pm a ^ {2}} \\pm a ^ {2} \\ln | x + \\sqrt {x ^ {2} \\pm a ^ {2}} | \\right] + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 213, 651, 658, 678 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int {\\sqrt {a ^ {2} - x ^ {2}}} \\mathrm{d} x = \\frac {1}{2} \\left[ x \\sqrt {a ^ {2} - x ^ {2}} + a ^ {2} \\arcsin {\\frac {x}{a}} \\right] + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 213, 677, 591, 706 ], "page_idx": 50 }, { "type": "text", "text": "5.2 不定积分基本方法", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 728, 337, 747 ], "page_idx": 50 }, { "type": "text", "text": "定理 5.1 (分部积分公式)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 768, 304, 784 ], "page_idx": 50 }, { "type": "text", "text": "函数 $u, v$ 的积分满足：", "bbox": [ 115, 789, 280, 803 ], "page_idx": 50 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int u \\mathrm{d} v = u v - \\int v \\mathrm{d} u\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 416, 799, 579, 829 ], "page_idx": 50 }, { "type": "text", "text": "定理 5.2 (表格法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 86, 253, 102 ], "page_idx": 51 }, { "type": "text", "text": "函数 u, v 的积分 $\\int uv^{(n+1)}\\mathrm{d}x = uv^{(n)} - u'v^{(n-1)} + u''v^{(n-2)} - \\cdots + (-1)^{n}u^{(n)}v + (-1)^{n+1} \\int u^{(n+1)}v\\mathrm{d}x$ ，具体操作时可列以下表格：", "bbox": [ 115, 108, 882, 149 ], "page_idx": 51 }, { "type": "table", "img_path": "images/98059397853c4ee6e58e23c248cf60ba2313e3f9bcc186a1a41d0682c63aa193.jpg", "table_caption": [], "table_footnote": [], "table_body": "
u的各阶导数u $u'$ $u''$ $u'''$ ... $u^{(n+1)}$
$v^{(n+1)}$ 的各阶原函数 $v^{(n+1)}$ $v^{(n)}$ $v^{(n-1)}$ $v^{(n-2)}$ ...v
", "bbox": [ 231, 156, 764, 196 ], "page_idx": 51 }, { "type": "text", "text": "计算方法：以 $u$ 为起点，左上右下相乘，符号先正后负交替，最后一项为最后一列两个的积分 $(-1)^{n + 1}\\int u^{(n + 1)}v\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 114, 204, 882, 246 ], "page_idx": 51 }, { "type": "text", "text": "笔记 $\\int P_{n}(x)e^{kx}\\mathrm{d}x,\\int P_{n}(x)\\sin ax\\mathrm{d}x,\\int P_{n}(x)\\cos ax\\mathrm{d}x$ 都可以使用表格法快速算出", "bbox": [ 55, 258, 709, 288 ], "page_idx": 51 }, { "type": "text", "text": "练习 $5.1P_{n}(x)e^{kx}$ 型 计算 $\\int(x^{3}+2x+6)e^{2x}\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 58, 297, 443, 325 ], "page_idx": 51 }, { "type": "text", "text": "解 先列表格:", "bbox": [ 90, 324, 191, 338 ], "page_idx": 51 }, { "type": "table", "img_path": "images/24317722ca95f84eab9df580854fba2241192cc4a0c7ae0edeb80463a7a22e33.jpg", "table_caption": [], "table_footnote": [], "table_body": "
$x^{3} + 2x + 6$ $3x^{2} + 2$ $6x$ $6$ $0$
$e^{2x}$ $\\frac{1}{2}e^{2x}$ $\\frac{1}{4}e^{2x}$ $\\frac{1}{8}e^{2x}$ $\\frac{1}{16}e^{2x}$
", "bbox": [ 317, 347, 678, 392 ], "page_idx": 51 }, { "type": "text", "text": "得到结果为 $(x^{3} + 2x + 6)\\frac{1}{2} e^{2x} - (3x^{2} + 2)\\frac{1}{4} e^{2x} + 6x\\left(\\frac{1}{8} e^{2x}\\right) - 6\\left(\\frac{1}{16} e^{2x}\\right) + \\int 0\\cdot \\left(\\frac{1}{16} e^{2x}\\right)\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 90, 399, 749, 429 ], "page_idx": 51 }, { "type": "text", "text": "定理 5.3 (积分有理分解)", "text_level": 2, "bbox": [ 124, 439, 302, 455 ], "page_idx": 51 }, { "type": "text", "text": "若被积函数为 $R(x)=\\frac{P(x)}{Q(x)}$ ，且 $Q(x)$ 的次数大于等于 3，若 $Q(x)=(x-a_{1})^{\\lambda_{1}}\\cdots(x-a_{k})^{\\lambda_{k}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\\mu_{1}}\\cdots(x^{2}+p_{l}x+q_{l})^{\\mu_{l}}$ ，对于 $(x-a_{1})^{\\lambda_{1}}$ 和 $(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\\mu_{1}}$ 项，对应展开式为：", "bbox": [ 114, 461, 880, 506 ], "page_idx": 51 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} \\frac {A _ {1}}{x - a _ {1}} + \\frac {A _ {2}}{(x - a _ {1}) ^ {2}} + \\dots + \\frac {A _ {\\lambda_ {1}}}{(x - a) ^ {\\lambda_ {1}}} \\\\ \\frac {B _ {1} x + C _ {1}}{x ^ {2} + p _ {1} x + q _ {1}} + \\dots + \\frac {B _ {\\mu_ {1}} x + C _ {\\mu_ {1}}}{(x ^ {2} + p _ {1} x + q _ {1}) ^ {\\mu_ {1}}} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 332, 508, 643, 565 ], "page_idx": 51 }, { "type": "text", "text": "其中 $\\frac{A_{\\lambda_l}}{(x - a)^{\\lambda_l}}$ 的积分好算，而 $\\frac{B_{\\mu_l}x + C_{\\mu_l}}{(x^2 + p_1x + q_1)^{\\mu_l}}$ 可配方化为 $\\int \\frac{Lu + N}{(u^2 + r^2)^j}\\mathrm{d}u$ (因为判别式一定小于0)，第一部分 $L\\int \\frac{u}{(u^2 + r^2)^j}\\mathrm{d}u$ 好算，第二部分 $N\\int \\frac{1}{(u^2 + r^2)^j}\\mathrm{d}u$ 用 $u = r\\tan v$ 替换，变为形如 $\\int \\cos^k vv\\mathrm{d}v$ 的不定积分，有递推公式辅助求解。", "bbox": [ 114, 567, 882, 640 ], "page_idx": 51 }, { "type": "text", "text": "定理 5.4 (三角有理式转化为有理式)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 683, 386, 699 ], "page_idx": 51 }, { "type": "text", "text": "若 $R(\\sin x, \\cos x)$ 为关于 $\\sin x, \\cos x$ 的有理式，记 $t = \\tan \\frac{x}{2}$ ，则 $x = 2\\arctan t, \\mathrm{d}x = \\frac{2}{1 + t^2}\\mathrm{d}t$ ，以及万能公式", "bbox": [ 114, 703, 880, 741 ], "page_idx": 51 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sin x = \\frac {2 t}{1 + t ^ {2}}, \\cos x = \\frac {1 - t ^ {2}}{1 + t ^ {2}}, \\tan x = \\frac {2 t}{1 - t ^ {2}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 329, 739, 662, 771 ], "page_idx": 51 }, { "type": "text", "text": "因此", "bbox": [ 115, 776, 154, 790 ], "page_idx": 51 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int R (\\sin x, \\cos x) \\mathrm{d} x = \\int R \\left(\\frac {2 t}{1 + t ^ {2}}, \\frac {1 - t ^ {2}}{1 + t ^ {2}}\\right) \\frac {2}{1 + t ^ {2}} \\mathrm{d} t\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 300, 787, 695, 819 ], "page_idx": 51 }, { "type": "header", "text": "5.2 不定积分基本方法", "bbox": [ 737, 55, 905, 68 ], "page_idx": 51 }, { "type": "page_number", "text": "44", "bbox": [ 489, 954, 509, 964 ], "page_idx": 51 }, { "type": "text", "text": "定理 5.5 (两类无理根式的不定积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 86, 388, 102 ], "page_idx": 52 }, { "type": "text", "text": "对于 $\\int R\\left(x,\\sqrt[n]{\\frac{ax + b}{cx + d}}\\right)\\mathrm{d}x$ ，只需要令 $t = \\sqrt[n]{\\frac{ax + b}{cx + d}}$ 即可化为有理函数。对于 $\\int R(x,\\sqrt{ax^2 + bx + c})$ 要么进行配方，要么用Euler变换。", "bbox": [ 112, 107, 885, 159 ], "page_idx": 52 }, { "type": "text", "text": "5.3 不定积分表选例", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 200, 312, 219 ], "page_idx": 52 }, { "type": "text", "text": "下面假设必背部分都会背，且不做计算证明", "bbox": [ 124, 235, 448, 250 ], "page_idx": 52 }, { "type": "text", "text": "5.3.1 三角函数：重点", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 273, 292, 290 ], "page_idx": 52 }, { "type": "text", "text": "练习 5.2 核心会算", "text_level": 2, "bbox": [ 58, 300, 226, 315 ], "page_idx": 52 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{r l} \\int \\tan x \\mathrm{d} x = - \\ln | \\cos x | + c & \\int \\cot x \\mathrm{d} x = \\ln | \\sin x | + c \\\\ \\int \\sec x \\mathrm{d} x = \\ln | \\sec x + \\tan x | + c & \\int \\csc x \\mathrm{d} x = - \\ln | \\csc x + \\cot x | + c \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 235, 318, 761, 372 ], "page_idx": 52 }, { "type": "text", "text": "解 $\\int \\tan x\\mathrm{d}x = -\\int \\frac{\\mathrm{d}\\cos x}{\\cos x},\\int \\cot x\\mathrm{d}x$ 同理。另外两个要记住", "bbox": [ 87, 376, 563, 406 ], "page_idx": 52 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int \\sec x \\mathrm{d} x = \\int \\frac {\\sec x (\\sec x + \\tan x)}{\\sec x + \\tan x} \\mathrm{d} x = \\int \\frac {\\mathrm{d} (\\sec x + \\tan x)}{\\sec x + \\tan x} = \\ln | \\sec x + \\tan x | + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 191, 407, 803, 439 ], "page_idx": 52 }, { "type": "text", "text": "练习5.3简单平方(1) $\\int \\sin^2 x\\mathrm{d}x(2)$ 重点： $\\int \\tan^2 x\\mathrm{d}x$ (3)超重点： $\\int \\sec^3 x\\mathrm{d}x$ 解(1)直接用半角公式", "bbox": [ 58, 449, 663, 492 ], "page_idx": 52 }, { "type": "text", "text": "(2) 这个要记住， $\\int \\tan^2 x \\mathrm{d}x = \\int \\sec^2 x - 1 \\mathrm{d}x = \\tan x - x + c$", "bbox": [ 121, 489, 586, 519 ], "page_idx": 52 }, { "type": "text", "text": "(3) 这个经常会用到!", "bbox": [ 122, 518, 280, 533 ], "page_idx": 52 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{c} \\int \\sec^ {3} x \\mathrm{d} x = \\int \\sec x \\mathrm{d} \\tan x = \\sec x \\tan x - \\int \\tan^ {2} x \\sec x \\mathrm{d} x \\\\ = \\sec x \\tan x - \\int \\sec^ {3} x \\mathrm{d} x + \\int \\sec x \\mathrm{d} x \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 273, 533, 721, 595 ], "page_idx": 52 }, { "type": "text", "text": "因此 $I = \\frac{1}{2}\\sec x\\tan x + \\ln |\\sec x + \\tan x| + c$", "bbox": [ 90, 598, 423, 626 ], "page_idx": 52 }, { "type": "text", "text": "练习 $5.4\\sin x, \\cos x$ 加常数分式积分 (1) 重点: $\\int \\frac{\\mathrm{d}x}{1 \\pm \\cos x}$ (2) 重点: $\\int \\frac{\\mathrm{d}x}{1 \\pm \\sin x}$", "bbox": [ 58, 633, 678, 664 ], "page_idx": 52 }, { "type": "text", "text": "(3) 极度重点，含参积分大量用到： $\\int \\frac{\\mathrm{d}x}{1 + a\\cos x}, |a| \\leq 1$", "bbox": [ 122, 663, 544, 690 ], "page_idx": 52 }, { "type": "text", "text": "解(1)根据 $1+\\cos x=2\\cos^{2}\\frac{x}{2},1-\\cos x=2\\sin^{2}\\frac{x}{2}$ ，因此", "bbox": [ 89, 689, 522, 714 ], "page_idx": 52 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} \\int \\frac {\\mathrm{d} x}{1 + \\cos x} = \\frac {1}{2} \\int \\sec^ {2} \\frac {x}{2} \\mathrm{d} x = \\tan \\frac {x}{2} + c \\\\ \\int \\frac {\\mathrm{d} x}{1 - \\cos x} = \\frac {1}{2} \\int \\csc^ {2} \\frac {x}{2} \\mathrm{d} x = - \\cot \\frac {x}{2} + c \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 324, 715, 657, 772 ], "page_idx": 52 }, { "type": "text", "text": "(2) 根据诱导公式 $\\sin x = \\cos \\left(\\frac{\\pi}{2} - x\\right)$", "bbox": [ 122, 776, 401, 799 ], "page_idx": 52 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} \\int \\frac {\\mathrm{d} x}{1 + \\sin x} = \\int \\frac {\\mathrm{d} x}{1 + \\cos \\left(\\frac {\\pi}{2} - x\\right)} = - \\tan \\left(\\frac {\\pi}{4} - \\frac {x}{2}\\right) + c \\\\ \\int \\frac {\\mathrm{d} x}{1 - \\sin x} = \\int \\frac {\\mathrm{d} x}{1 - \\cos \\left(\\frac {\\pi}{2} - x\\right)} = \\cot \\left(\\frac {\\pi}{4} - \\frac {x}{2}\\right) + c \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 277, 802, 702, 863 ], "page_idx": 52 }, { "type": "header", "text": "5.3 不定积分表选例", "bbox": [ 754, 55, 905, 68 ], "page_idx": 52 }, { "type": "page_number", "text": "45", "bbox": [ 489, 954, 507, 964 ], "page_idx": 52 }, { "type": "text", "text": "(3) $a = \\pm 1$ 时即(1)。用万能公式，令 $t = \\tan \\frac{x}{2}$ ，则 $\\mathrm{dx} = \\frac{2}{1 + t^2}\\mathrm{dt}$ ，因此", "bbox": [ 122, 80, 663, 111 ], "page_idx": 53 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int \\frac {1}{1 + a \\frac {1 - t ^ {2}}{1 + t ^ {2}}} \\cdot \\frac {2}{1 + t ^ {2}} \\mathrm{d} t = \\int \\frac {2}{(1 + t ^ {2}) + a (1 - t ^ {2})} \\mathrm{d} t = \\int \\frac {2}{(1 - a) t ^ {2} + (1 + a)} \\mathrm{d} t = \\frac {2}{1 - a} \\sqrt {\\frac {1 - a}{1 + a}} \\arctan \\left(\\sqrt {\\frac {1 - a}{1 + a}} t\\right) + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 90, 114, 971, 149 ], "page_idx": 53 }, { "type": "text", "text": "得到结果为 $I = \\frac{2}{\\sqrt{1 - a^2}}\\arctan \\left(\\sqrt{\\frac{1 - a}{1 + a}}\\tan \\frac{x}{2}\\right) + c$", "bbox": [ 90, 155, 490, 192 ], "page_idx": 53 }, { "type": "text", "text": "定理 5.6 ( $\\frac{1}{a\\sin^{2}x + b\\cos^{2}x}$ 积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 225, 371, 255 ], "page_idx": 53 }, { "type": "text", "text": "形如 $\\int \\frac{\\mathrm{d}x}{a\\sin^2x + b\\cos^2x}$ 的积分都采用上下同除以 $\\cos^2 x$ ，转换为", "bbox": [ 114, 259, 608, 288 ], "page_idx": 53 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int {\\frac {\\sec^ {2} x \\mathrm{d} x}{a \\tan^ {2} x + b}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 440, 291, 554, 323 ], "page_idx": 53 }, { "type": "text", "text": "直接用 $\\mathrm{d}(\\tan x) = \\sec^2 x\\mathrm{d}x$ 即可。", "bbox": [ 117, 324, 361, 341 ], "page_idx": 53 }, { "type": "text", "text": "定理5.7 $\\left(\\frac{1}{a\\sin^2x + b\\sin x\\cos x + c\\cos^2x + d}\\right.$ 积分）", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 367, 500, 397 ], "page_idx": 53 }, { "type": "text", "text": "形如 $\\int \\frac{\\mathrm{d}x}{a\\sin^2x + b\\sin x\\cos x + c\\cos^2x + d}$ 的积分首先上下同除以 $\\cos^2 x$ ，得到", "bbox": [ 114, 400, 705, 430 ], "page_idx": 53 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int {\\frac {\\sec^ {2} x \\mathrm{d} x}{a \\tan^ {2} x + b \\tan x + c + d \\sec^ {2} x}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 369, 432, 623, 464 ], "page_idx": 53 }, { "type": "text", "text": "再利用 $\\sec^2 x = \\tan^2 x + 1$ ，全部转换为 $\\tan x$ ，再分母配方即可", "bbox": [ 114, 464, 586, 482 ], "page_idx": 53 }, { "type": "text", "text": "练习 $5.5\\sin x, \\cos x$ 无常数、无分子分式 (1) 重点: $\\int \\frac{dx}{\\sin^{2}x + 2\\cos^{2}x}$ (2) $\\int \\frac{1}{\\sin^{2}x\\cos x} dx$ (3) $\\int \\frac{dx}{\\sin x\\cos^{2}x}$ 解(1)同除以 $\\cos^{2}x$ ，得到 $\\int\\frac{\\sec^{2}x\\mathrm{d}x}{2+\\tan^{2}x}$ ，易算", "bbox": [ 58, 512, 873, 570 ], "page_idx": 53 }, { "type": "text", "text": "(2) 同乘 $\\cos x$ ，得到 $I = \\int \\frac{\\mathrm{d}(\\sin x)}{\\sin^2 x (1 - \\sin^2 x)}$ ，即 $\\int \\frac{1}{\\sin^2 x} \\mathrm{d}(\\sin x) + \\int \\frac{1}{1 - \\sin^2 x} \\mathrm{d}x$ ，前者直接算，后者用 $\\int \\frac{1}{x^2 - a} \\mathrm{d}x = \\frac{1}{2a} \\ln \\left|\\frac{x - a}{x + a}\\right|$ 。\n(3) 与 (2) 同理", "bbox": [ 87, 568, 905, 644 ], "page_idx": 53 }, { "type": "text", "text": "练习 5.6sin x, cos x 的高次 (1) $\\int(\\sin^{4}x + \\cos^{4}x)\\mathrm{d}x$ (2) 重点: $\\int\\frac{\\sin x\\cos x}{\\sin^{4}x + \\cos^{4}x}\\mathrm{d}x$ (3) 重点: $\\int\\frac{\\mathrm{d}x}{\\sin^{4}x + \\cos^{4}x}$ (4) $\\int\\sin^{6}x + \\cos^{6}x\\mathrm{d}x$ (5) $\\int\\frac{\\mathrm{d}x}{\\sin^{6}x + \\cos^{6}x}$", "bbox": [ 58, 657, 890, 715 ], "page_idx": 53 }, { "type": "text", "text": "解(1)降到一次： $\\sin^4 x + \\cos^4 x = (\\sin^2 x + \\cos^2 x)^2 - 2\\sin^2 x\\cos^2 x = 1 - \\frac{1}{2}\\sin^2 2x = 1 - \\frac{1}{4}(1 - \\cos 4x)$", "bbox": [ 89, 714, 853, 741 ], "page_idx": 53 }, { "type": "text", "text": "(2) 降到二次，并切换 $\\sin x, \\cos x: \\int \\frac{\\frac{1}{2} \\sin 2x}{1 - \\frac{1}{2} \\sin^2 2x}$ ，要善于切换正余弦：", "bbox": [ 122, 739, 657, 772 ], "page_idx": 53 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int {\\frac {\\sin 2 x}{2 - \\sin^ {2} 2 x}} \\mathrm{d} x = - \\frac {1}{2} \\int {\\frac {\\mathrm{d} (\\cos 2 x)}{1 + \\cos^ {2} 2 x}} = - \\frac {1}{2} \\arctan (\\cos 2 x) + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 265, 777, 731, 807 ], "page_idx": 53 }, { "type": "text", "text": "(3) 直接降到二次，并转换为 $\\tan x, \\sec x$ ：使用 $\\sec^2 x = 1 + \\tan^2 x$", "bbox": [ 122, 810, 613, 825 ], "page_idx": 53 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int {\\frac {\\mathrm{d} x}{1 - \\frac {1}{2} \\sin^ {2} 2 x}} = \\int {\\frac {\\sec^ {2} 2 x}{\\sec^ {2} 2 x - \\frac {1}{2} \\tan^ {2} 2 x}} = \\frac {1}{2} \\int {\\frac {\\mathrm{d} (\\tan 2 x)}{1 + \\frac {1}{2} \\tan^ {2} 2 x}} = \\frac {1}{\\sqrt {2}} \\arctan {\\frac {\\tan 2 x}{\\sqrt {2}}} + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 163, 828, 833, 860 ], "page_idx": 53 }, { "type": "text", "text": "(4) $\\sin^6 x + \\cos^6 x = (\\sin^2 x + \\cos^2 x)(\\sin^4 - \\sin^2 \\cos^2 x + \\cos^4 x)$ 转化为四次，再配方：", "bbox": [ 122, 863, 751, 881 ], "page_idx": 53 }, { "type": "equation", "text": "$$\n(\\sin^ {2} x + \\cos^ {2} x) ^ {2} - 3 \\sin^ {2} x \\cos^ {2} x = 1 - \\frac {3}{4} \\sin^ {2} 2 x = 1 - \\frac {3}{8} (1 - \\cos 4 x)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 240, 883, 754, 912 ], "page_idx": 53 }, { "type": "page_number", "text": "46", "bbox": [ 489, 954, 509, 965 ], "page_idx": 53 }, { "type": "header", "text": "5.3 不定积分表选例", "bbox": [ 754, 55, 905, 68 ], "page_idx": 53 }, { "type": "text", "text": "结果为 $\\frac{5}{8} x + \\frac{3}{32}\\sin 4x + c$", "bbox": [ 90, 80, 289, 109 ], "page_idx": 54 }, { "type": "equation", "text": "$$\n(5) I = \\int {\\frac {1}{1 - \\frac {3}{4} \\sin^ {2} 2 x}} \\mathrm{d} x = \\int {\\frac {\\sec^ {2} x}{\\sec^ {2} 2 x - \\frac {3}{4} \\tan^ {2} 2 x}} \\mathrm{d} x = 2 \\int {\\frac {\\mathrm{d} (\\tan 2 x)}{\\tan^ {2} 2 x + 4}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 122, 107, 653, 141 ], "page_idx": 54 }, { "type": "text", "text": "笔记 高次问题，如果分母为 1 则降到一次直接积分，分子为 1 则降到二次转换为 $\\sec, \\tan$ ，均不为 1 则降到齐次转化为有理式。降次要用立方和公式，要么用配方。", "bbox": [ 87, 143, 905, 179 ], "page_idx": 54 }, { "type": "text", "text": "定理 5.8 ( $\\frac{a\\sin x + b\\cos x}{c\\sin x + d\\cos x}$ 型计算技巧)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 205, 405, 234 ], "page_idx": 54 }, { "type": "text", "text": "$\\frac{a\\sin x + b\\cos x}{c\\sin x + d\\cos x}$ 型的积分把分子写为 $A$ 倍分母加上 $B$ 倍分母导数的形式，用待定系数法进行计算", "bbox": [ 115, 237, 833, 271 ], "page_idx": 54 }, { "type": "text", "text": "推论 5.1 ( $\\tan x, \\cot x$ 分式型)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 290, 337, 306 ], "page_idx": 54 }, { "type": "text", "text": "类似于 $\\int \\frac{a\\mathrm{d}x}{b + c\\tan x},\\int \\frac{a\\mathrm{d}x}{b + c\\cot x}$ 都可以转换回 $\\frac{a\\sin x + b\\cos x}{c\\sin x + d\\cos x}$ 型积分进行计算", "bbox": [ 115, 309, 721, 342 ], "page_idx": 54 }, { "type": "text", "text": "练习 5.7 $\\frac{a\\sin x+b\\cos x}{c\\sin x+d\\cos x}$ 型计算 (1) 重点: $\\int\\frac{\\sin x}{\\sin x+\\cos x}\\mathrm{d}x$ (2) 重点: $\\int\\frac{\\mathrm{d}x}{3+5\\tan x}$", "bbox": [ 58, 370, 712, 401 ], "page_idx": 54 }, { "type": "text", "text": "解(1)设 $\\sin x = A(\\sin x + \\cos x) + B(\\cos x - \\sin x)$ ，得到 $A = \\frac{1}{2}, B = -\\frac{1}{2}$ ，因此", "bbox": [ 87, 400, 687, 425 ], "page_idx": 54 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int {\\frac {{\\frac {1}{2}} (\\sin x + \\cos x) - {\\frac {1}{2}} \\mathrm{d} (\\sin x + \\cos x)}{\\sin x + \\cos x}} \\mathrm{d} x = {\\frac {1}{2}} x - {\\frac {1}{2}} \\ln | \\sin x + \\cos x | + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 220, 428, 776, 460 ], "page_idx": 54 }, { "type": "text", "text": "(2) 由于 $\\frac{1}{3 + 5\\tan x} = \\frac{\\cos x}{5\\sin x + 3\\cos x}$ ，设 $\\cos x = A(5\\sin x + 3\\cos x) + B(5\\cos x - 3\\sin x)$ ，则 $5A = 3B, 3A + 5B = 1$ ，得到 $A = \\frac{3}{34}, B = \\frac{5}{34}$ ，得到", "bbox": [ 87, 463, 905, 516 ], "page_idx": 54 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\frac {3}{3 4} x + \\frac {5}{3 4} \\ln | 5 \\sin x + 3 \\cos x | + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 359, 517, 638, 546 ], "page_idx": 54 }, { "type": "text", "text": "定理 5.9 ( $\\frac{1}{a\\sin x + b\\cos x + c}$ 积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 571, 381, 600 ], "page_idx": 54 }, { "type": "text", "text": "类似于 $\\int \\frac{\\mathrm{d}x}{a\\sin x + b\\cos x + c}$ 的积分采用二倍角公式转换为二次，得到", "bbox": [ 114, 604, 642, 633 ], "page_idx": 54 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int {\\frac {1}{2 a \\sin {\\frac {x}{2}} \\cos {\\frac {x}{2}} + b (2 \\cos^ {2} {\\frac {x}{2}} - 1) + c}} \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 349, 636, 647, 668 ], "page_idx": 54 }, { "type": "text", "text": "使用前面的积分方法，上下同时除以 $\\cos^2\\frac{x}{2}$ ，再根据 $\\sec^2 x = \\tan^2 x + 1$ 进行配方即可。", "bbox": [ 112, 670, 759, 697 ], "page_idx": 54 }, { "type": "text", "text": "练习 5.8 相关训练 (1) $\\int\\frac{dx}{\\sin x+2\\cos x+3}$", "bbox": [ 58, 725, 403, 753 ], "page_idx": 54 }, { "type": "text", "text": "解 (1) $\\sin x + 2\\cos x + 3 = 1 + 2\\sin \\frac{x}{2}\\cos \\frac{x}{2} +4\\cos^2{\\frac{x}{2}}$ ，因此", "bbox": [ 89, 750, 534, 778 ], "page_idx": 54 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int {\\frac {\\sec^ {2} {\\frac {x}{2}}}{4 + 2 \\tan {\\frac {x}{2}} + \\sec^ {2} x}} = 2 \\int {\\frac {d (\\tan {\\frac {x}{2}} + 1)}{(\\tan {\\frac {x}{2}} + 1) ^ {2} + 4}} = \\arctan {\\frac {\\tan {\\frac {x}{2}} + 1}{2}} + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 225, 778, 773, 813 ], "page_idx": 54 }, { "type": "text", "text": "推论 5.2 ( $\\frac{p\\sin x + q\\cos x + s}{a\\sin x + b\\cos x + c}dx$ )", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 835, 364, 864 ], "page_idx": 54 }, { "type": "text", "text": "这类积分可以将分子写为 $A$ 倍分母加 $B$ 倍分母导数加 $C$ 常数，其中常数项用前一个定理进行计算。", "bbox": [ 114, 866, 845, 884 ], "page_idx": 54 }, { "type": "header", "text": "5.3 不定积分表选例", "bbox": [ 754, 55, 905, 68 ], "page_idx": 54 }, { "type": "page_number", "text": "47", "bbox": [ 489, 953, 507, 964 ], "page_idx": 54 }, { "type": "text", "text": "练习5.9三角根号 (1) $\\int \\sin x\\cos x\\sqrt{a^2\\sin^2x + b^2\\cos^2x}\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 58, 82, 519, 110 ], "page_idx": 55 }, { "type": "text", "text": "解(1)写为 $\\frac{1}{2}\\int \\sqrt{(a^2 - b^2)\\sin^2x + b^2}\\mathrm{d}(\\sin^2 x)$ 即可", "bbox": [ 87, 109, 475, 139 ], "page_idx": 55 }, { "type": "text", "text": "5.3.2 对数与指数", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 158, 253, 175 ], "page_idx": 55 }, { "type": "text", "text": "练习 5.10 几道经典指数积分 (1) $\\int\\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}$ (2) $\\int\\frac{dx}{\\sqrt{1+e^{2x}}}$ (3) $\\int e^{x}\\left(\\frac{1-x}{1+x^{2}}\\right)^{2}dx$", "bbox": [ 58, 186, 695, 219 ], "page_idx": 55 }, { "type": "text", "text": "解(1)本质是 $e^x$ 的有理函数，故 $I = \\int \\frac{\\mathrm{d}(e^x)}{e^{2x} + 1} = \\arctan (e^x) + c$", "bbox": [ 87, 219, 573, 246 ], "page_idx": 55 }, { "type": "text", "text": "(2) 同乘 $e^{-x}$ ，故 $I = -\\int \\frac{\\mathrm{d}(e^{-x})}{\\sqrt{e^{-2x} + 1}} = -\\ln |e^{-x} + \\sqrt{e^{-2x} + 1}| + c$", "bbox": [ 121, 246, 621, 277 ], "page_idx": 55 }, { "type": "text", "text": "(3) $I=\\int\\frac{e^{x}}{1+x^{2}}dx-\\int\\frac{e^{x}}{(1+x^{2})^{2}}d(x^{2}+1)$ ，第一项实在是没法处理，只能期待第二项，第二项等于 $\\int e^{x}d(\\frac{1}{1+x^{2}})$ ，因此用分部积分得到", "bbox": [ 90, 275, 934, 317 ], "page_idx": 55 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int {\\frac {e ^ {x}}{1 + x ^ {2}}} \\mathrm{d} x + \\int e ^ {x} \\mathrm{d} (\\frac {1}{1 + x ^ {2}}) = \\frac {e ^ {x}}{1 + x ^ {2}} + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 334, 313, 662, 344 ], "page_idx": 55 }, { "type": "text", "text": "练习5.11几道经典对数积分 (1) $\\int x^n\\ln x\\mathrm{d}x$ (2) $\\int \\left(\\frac{\\ln x}{x}\\right)^2\\mathrm{d}x$ (3) $\\int \\sqrt{x}\\ln^2 x\\mathrm{d}x$ (4) 特殊： $\\int \\frac{1}{1 - x^2}\\ln \\frac{1 + x}{1 - x}\\mathrm{d}x$ 解(1)列表法得到： $I = \\frac{x^{n + 1}\\ln x}{n + 1} -\\int \\frac{x^n}{n + 1}\\mathrm{d}x = \\frac{x^{n + 1}}{1 + n} (\\ln x - \\frac{1}{n + 1}) + c$", "bbox": [ 58, 359, 892, 424 ], "page_idx": 55 }, { "type": "table", "img_path": "images/3623663f8cdefaa2ef062ce586721f529a462452fc11c7907f2ac2f7c13542c8.jpg", "table_caption": [], "table_footnote": [], "table_body": "
$ \\ln x $$ \\frac{1}{x} $
$ x^{n} $$ \\frac{1}{n+1}x^{n+1} $
", "bbox": [ 423, 431, 574, 483 ], "page_idx": 55 }, { "type": "text", "text": "(2) 无法直接列表，因为中间项会交叉，因此可以用表格法一步一步列，", "bbox": [ 121, 492, 645, 506 ], "page_idx": 55 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = - \\frac {\\ln^ {2} x}{x} + \\int \\frac {2 \\ln x}{x ^ {2}} \\mathrm{d} x = - \\frac {\\ln^ {2} x}{x} - \\frac {2 \\ln x}{x} + \\int \\frac {2}{x ^ {2}} \\mathrm{d} x = - \\frac {1}{x} (\\ln^ {2} x + 2 \\ln x + 2) + c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 188, 510, 806, 539 ], "page_idx": 55 }, { "type": "text", "text": "(3) 同理用表格法一步一步列，", "bbox": [ 122, 544, 344, 558 ], "page_idx": 55 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\frac {2}{3} x ^ {\\frac {3}{2}} \\ln^ {2} x - \\frac {4}{3} \\int x ^ {\\frac {1}{2}} \\ln x \\mathrm{d} x = \\frac {2}{3} x ^ {\\frac {3}{2}} \\ln^ {2} x - \\frac {4}{3} \\left(\\frac {2}{3} \\ln x x ^ {\\frac {3}{2}} - \\frac {2}{3} \\int x ^ {\\frac {1}{2}} \\mathrm{d} x\\right)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 228, 560, 764, 592 ], "page_idx": 55 }, { "type": "text", "text": "(4)一看就是特殊配凑的，要注意到 $\\frac{1}{1 - x^2}\\mathrm{d}x = \\frac{1}{2}\\mathrm{d}\\left(\\ln \\frac{1 + x}{1 - x}\\right)$", "bbox": [ 121, 595, 589, 626 ], "page_idx": 55 }, { "type": "text", "text": "5.3.3 分式问题", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 645, 233, 662 ], "page_idx": 55 }, { "type": "text", "text": "练习5.12几个基础型(1) $\\int \\frac{\\mathrm{d}x}{ax^2 + b} (a > 0)$ (2)重点： $\\int \\frac{\\mathrm{d}x}{(ax^2 + b)^2}$ (3) $\\int \\frac{\\mathrm{d}x}{(ax^2 + b)^n}$", "bbox": [ 58, 671, 705, 703 ], "page_idx": 55 }, { "type": "text", "text": "(4) 重点: $\\int \\frac{\\mathrm{d}x}{ax^2 + bx + c}$ (5) 重点: $\\int \\frac{x}{ax^2 + bx + c}\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 122, 701, 532, 731 ], "page_idx": 55 }, { "type": "text", "text": "解(1)原式 $= \\frac{1}{a}\\int \\frac{\\mathrm{d}x}{x^2 + \\frac{b}{a}}$ ，需要分类讨论： $b > 0$ 时变为 $\\frac{1}{a}\\int \\frac{\\mathrm{d}x}{x^2 + (\\sqrt{\\frac{b}{a}})^2} = \\frac{1}{a}\\cdot \\sqrt{\\frac{a}{b}}\\arctan (\\sqrt{\\frac{a}{b}} x)$ 。 $b < 0$ 时变为 $\\frac{1}{a}\\int \\frac{\\mathrm{d}x}{x^2 + (\\sqrt{-\\frac{b}{a}})^2}$ ，后面同理", "bbox": [ 87, 728, 905, 804 ], "page_idx": 55 }, { "type": "text", "text": "(2) 原式 $= -\\int \\frac{1}{2ax} \\mathrm{d}\\frac{1}{ax^2 + b} = -\\frac{1}{2ax} \\cdot \\frac{1}{ax^2 + b} + \\int \\frac{1}{ax^2 + b} \\mathrm{d}\\frac{1}{2ax} = -\\frac{1}{2ax} \\cdot \\frac{1}{ax^2 + b} - \\int \\frac{1}{ax^2 + b} \\cdot \\frac{1}{2ax^2} \\mathrm{d}x,$ 再对 $\\frac{1}{2ax^2(ax^2 + b)} = \\frac{\\frac{1}{b}}{2ax^2} + \\frac{-\\frac{1}{2b}}{ax^2 + b}$ 有理分解，代入后全变为基础型1。", "bbox": [ 90, 804, 905, 866 ], "page_idx": 55 }, { "type": "text", "text": "(3) 同理转化为 $\\int \\frac{1}{2ax(1 - n)}\\mathrm{d}\\left(\\frac{1}{(ax^2 + b)^{n - 1}}\\right)$ ，再用分部积分去做。", "bbox": [ 121, 866, 621, 896 ], "page_idx": 55 }, { "type": "header", "text": "5.3 不定积分表选例", "bbox": [ 754, 55, 905, 68 ], "page_idx": 55 }, { "type": "page_number", "text": "48", "bbox": [ 489, 953, 507, 965 ], "page_idx": 55 }, { "type": "text", "text": "(4) 原式 $= \\frac{1}{a} \\int \\frac{\\mathrm{d}x}{x^2 + \\frac{b}{a} x + \\frac{c}{a}} = \\frac{1}{a} \\int \\frac{\\mathrm{d}x}{(x + \\frac{b}{2a})^2 + \\frac{c}{a} - \\frac{b^2}{4a^2}}$ ，将 $\\frac{c}{a} - \\frac{b^2}{4a^2}$ 看作整体，变为 (1)", "bbox": [ 121, 80, 791, 116 ], "page_idx": 56 }, { "type": "text", "text": "(5) 原式 = $\\frac{1}{2a}\\int\\frac{2ax}{ax^{2}+bx+c}=\\frac{1}{2a}\\int\\frac{2ax+b}{ax^{2}+bx+c}-\\frac{b}{ax^{2}+bx+c}dx=\\frac{1}{2a}\\left(\\int\\frac{\\mathrm{d}(ax^{2}+bx+c)}{ax^{2}+bx+c}-\\int\\frac{b}{ax^{2}+bx+c}\\mathrm{d}x\\right)$ ，变为 (4).", "bbox": [ 90, 114, 976, 159 ], "page_idx": 56 }, { "type": "text", "text": "练习 5.13 次方和差 尽量记住下面的分解方法:", "bbox": [ 58, 180, 433, 193 ], "page_idx": 56 }, { "type": "text", "text": "(1) $\\int \\frac{\\mathrm{d}x}{x^3 + 1}$ (2) $\\int \\frac{\\mathrm{d}x}{x^3 - 1}$", "bbox": [ 122, 193, 310, 221 ], "page_idx": 56 }, { "type": "text", "text": "(3) $\\int\\frac{dx}{x^{4}-1}$ (4)重点： $\\int\\frac{dx}{x^{4}+1}$ (一定要记住！)", "bbox": [ 122, 219, 480, 249 ], "page_idx": 56 }, { "type": "text", "text": "(5) $\\int\\frac{dx}{x^{6}-1}$ (6) $\\int\\frac{dx}{x^{6}+1}$", "bbox": [ 124, 248, 312, 277 ], "page_idx": 56 }, { "type": "text", "text": "解(1)写为 $\\frac{1}{x^3 + 1} = \\frac{1}{3(x + 1)} + \\frac{-x + 2}{3(x^2 - x + 1)}$ ，后者给分母配方即可", "bbox": [ 89, 273, 603, 305 ], "page_idx": 56 }, { "type": "text", "text": "(2) 用立方差即可", "bbox": [ 122, 303, 252, 317 ], "page_idx": 56 }, { "type": "text", "text": "(3) 用 $\\frac{1}{x^4 - 1} = \\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{x^2 - 1} - \\frac{1}{x^2 + 1}\\right)$", "bbox": [ 122, 316, 406, 344 ], "page_idx": 56 }, { "type": "text", "text": "(4) 构造 $M = \\int \\frac{x^2 - 1}{x^4 + 1} \\, \\mathrm{d}x, N = \\int \\frac{x^2 + 1}{x^4 + 1}$ ，得到", "bbox": [ 122, 346, 485, 376 ], "page_idx": 56 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} M = \\int \\frac {1 - \\frac {1}{x ^ {2}}}{x ^ {2} + \\frac {1}{x ^ {2}}} = \\int \\frac {\\mathrm{d} (x + \\frac {1}{x})}{(x + \\frac {1}{x}) ^ {2} - 2} \\\\ N = \\int \\frac {x ^ {2} + 1}{x ^ {4} + 1} \\mathrm{d} x = \\int \\frac {1 + \\frac {1}{x ^ {2}}}{x ^ {2} + \\frac {1}{x ^ {2}}} \\mathrm{d} x = \\int \\frac {\\mathrm{d} (x - \\frac {1}{x})}{(x - \\frac {1}{x}) ^ {2} + 2} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 287, 379, 690, 445 ], "page_idx": 56 }, { "type": "text", "text": "因此所求即 $\\frac{1}{2} (N - M)$", "bbox": [ 90, 448, 263, 476 ], "page_idx": 56 }, { "type": "text", "text": "(5) 用平方差 (不要用立方差): $\\frac{1}{x^6 - 1} = \\frac{1}{2}\\left(\\frac{1}{x^3 - 1} + \\frac{1}{x^3 + 1}\\right)$ , 转换为 (1)(2)", "bbox": [ 122, 470, 682, 501 ], "page_idx": 56 }, { "type": "text", "text": "(6) 类似四次方的讨论 + 立方和", "bbox": [ 122, 500, 356, 513 ], "page_idx": 56 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{l} I = \\frac {1}{2} \\int \\frac {x ^ {4} + 1}{x ^ {6} + 1} \\mathrm{d} x - \\frac {1}{2} \\int \\frac {x ^ {4} - 1}{x ^ {6} + 1} \\mathrm{d} x \\\\ = \\frac {1}{2} \\int \\frac {x ^ {2} + (x ^ {4} - x ^ {2} + 1)}{x ^ {6} + 1} \\mathrm{d} x - \\frac {1}{2} \\int \\frac {(x ^ {2} - 1) (x ^ {2} + 1)}{(x ^ {2} + 1) (x ^ {4} - x ^ {2} + 1)} \\mathrm{d} x \\\\ = \\frac {1}{2} \\int \\frac {x ^ {2}}{x ^ {6} + 1} \\mathrm{d} x + \\frac {1}{2} \\int \\frac {\\mathrm{d} x}{x ^ {2} + 1} - \\frac {1}{2} \\int \\frac {x ^ {2} - 1}{x ^ {4} - x ^ {2} + 1} \\mathrm{d} x \\\\ = \\frac {1}{6} \\int \\frac {\\mathrm{d} (x ^ {3})}{(x ^ {3}) ^ {2} + 1} + \\frac {1}{2} \\arctan x - \\frac {1}{2} \\int \\frac {\\mathrm{d} (x + \\frac {1}{x})}{(x + \\frac {1}{x}) ^ {2} + 3} \\mathrm{d} x \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 267, 517, 729, 649 ], "page_idx": 56 }, { "type": "text", "text": "练习5.14几个经典题 (1) $\\int \\frac{x^2}{(1 - x)^{100}}\\mathrm{d}x$ (2) $\\int \\frac{\\mathrm{d}x}{(x + a)^2(x + b)^2}$ 解(1)显然待定系数法有理分解不可行,因此用技巧 $x^{2}=[(1-x)-1]^{2}$ 得到 $\\frac{x^{2}}{(1-x)^{100}}=\\frac{(1-x)^{2}-2(1-x)+1}{(1-x)^{100}}$ ,做换元即可", "bbox": [ 58, 657, 559, 690 ], "page_idx": 56 }, { "type": "text", "text": "", "bbox": [ 87, 689, 905, 731 ], "page_idx": 56 }, { "type": "text", "text": "(2) 这种有理分解比较常见，最好记下来，", "bbox": [ 122, 736, 428, 750 ], "page_idx": 56 }, { "type": "equation", "text": "$$\n{\\frac {1}{(x + a) ^ {2} (x + b) ^ {2}}} = {\\frac {1}{(b - a) ^ {2}}} \\left({\\frac {1}{x + a}} - {\\frac {1}{x + b}}\\right) ^ {2} = {\\frac {1}{(b - a) ^ {2}}} \\left[ {\\frac {1}{(x + a) ^ {2}}} + {\\frac {1}{(x + b) ^ {2}}} - {\\frac {2}{(x + a) (x + b)}} \\right]\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 134, 753, 858, 789 ], "page_idx": 56 }, { "type": "text", "text": "5.3.4 根式问题", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 806, 233, 822 ], "page_idx": 56 }, { "type": "text", "text": "练习5.15三个基础公式的证明(1) $\\int \\sqrt{a^2 - x^2}\\mathrm{d}x$ (2)重点： $\\int \\sqrt{x^2 + a^2}\\mathrm{d}x$ (3)重点： $\\int \\sqrt{x^2 - a^2}\\mathrm{d}x$ 解(1)设 $x = a\\sin t$ ，则 $I = \\int a\\cos t\\cdot a\\cos t\\mathrm{d}t = \\frac{a^2}{2}\\int (1 + \\cos 2t)\\mathrm{d}t = \\frac{a^2}{2} (t + \\sin t\\cos t) + C$ 。画一个三角形做辅助，角 $t$ 对着 $x$ ，斜边为 $a$ ，因此 $\\sin t = \\frac{x}{a},\\cos t = \\frac{\\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$ ，带回得到：", "bbox": [ 58, 831, 905, 892 ], "page_idx": 56 }, { "type": "page_number", "text": "49", "bbox": [ 489, 953, 507, 964 ], "page_idx": 56 }, { "type": "header", "text": "5.3 不定积分表选例", "bbox": [ 754, 55, 905, 68 ], "page_idx": 56 }, { "type": "text", "text": "", "bbox": [ 90, 83, 648, 114 ], "page_idx": 57 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\frac {1}{2} (x \\sqrt {a ^ {2} - x ^ {2}} + a ^ {2} \\arcsin {\\frac {x}{a}}) + C\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 359, 116, 636, 142 ], "page_idx": 57 }, { "type": "text", "text": "(2) $x = a\\tan t$ ， $I = \\int a^2\\sec^3 x\\mathrm{d}t = \\frac{a^2}{2} (\\sec x\\tan x) + \\frac{a^2}{2}\\ln |\\tan x + \\sec x|$ （一定要记住 $\\sec x,\\sec^3 x$ 的积分，如果一次方都没记住，就死翘翘了。。），因此得到结果为", "bbox": [ 89, 143, 907, 189 ], "page_idx": 57 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\frac {1}{2} (x \\sqrt {x ^ {2} + a ^ {2}} + a ^ {2} \\ln | x + \\sqrt {x ^ {2} + a ^ {2}} |) + C\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 341, 191, 655, 218 ], "page_idx": 57 }, { "type": "text", "text": "(3) 设 $x = a \\sec t$ ，得到 $I = a^2 \\int \\tan^2 t \\sec t \\, \\mathrm{d}t = a^2 \\int \\sec^3 t - \\sec t \\, \\mathrm{d}t$ ，背公式以及画三角形得到：", "bbox": [ 122, 219, 835, 250 ], "page_idx": 57 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\frac {a ^ {2}}{2} (\\sec t \\tan t - \\ln | \\tan t + \\sec t |) + C = \\frac {1}{2} (x \\sqrt {x ^ {2} - a ^ {2}} - a ^ {2} \\ln | x + \\sqrt {x ^ {2} - a ^ {2}} |) + C\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 179, 252, 816, 282 ], "page_idx": 57 }, { "type": "text", "text": "练习5.16 $(x - a)(b - x)$ 型(1) $\\int \\frac{\\mathrm{d}x}{\\sqrt{x(1 - x)}}$ (2) $\\int \\frac{\\mathrm{d}x}{\\sqrt{(x - a)(b - x)}}$ (3) $\\int \\sqrt{(x - a)(b - x)}\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 58, 294, 763, 326 ], "page_idx": 57 }, { "type": "text", "text": "解(1)设 $x = \\sin^2 t$ ，则 $I = \\int \\frac{2\\sin t\\cos t}{\\sin t\\cos t}\\mathrm{d}t = 2t + C$ ，直接带回得到 $I = 2\\arcsin \\sqrt{x} +C$", "bbox": [ 87, 326, 751, 355 ], "page_idx": 57 }, { "type": "text", "text": "(2) 令 $t = x - a$ ，则变为 $\\int \\frac{\\mathrm{d}t}{\\sqrt{t(b - a - t)}}$ ，令 $t = (b - a)\\sin^2 s$ 即可，故", "bbox": [ 121, 355, 663, 385 ], "page_idx": 57 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int {\\frac {2 (b - a) \\sin s \\cos s \\mathrm{d} s}{(b - a) \\sin s \\cos s}} = 2 s = 2 \\arcsin {\\sqrt {\\frac {t}{(b - a)}}} = 2 \\arcsin {\\sqrt {\\frac {x - a}{b - a}}} + C\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 213, 391, 781, 425 ], "page_idx": 57 }, { "type": "text", "text": "(3) 同理得到 $I = \\int 2(b - a)^2 \\sin^2 s \\cos^2 s \\, \\mathrm{d}s = \\frac{(b - a)^2}{4} \\int (1 - \\cos 4t) \\, \\mathrm{d}t$ ，后续略", "bbox": [ 122, 430, 710, 462 ], "page_idx": 57 }, { "type": "text", "text": "练习5.17其他特别经典的根式积分问题(1) $\\int \\left(\\sqrt{\\frac{1 + x}{1 - x}} +\\sqrt{\\frac{1 - x}{1 + x}}\\right)\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 58, 468, 621, 505 ], "page_idx": 57 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int \\frac {\\mathrm{d} x}{(\\sqrt {x} + 1) (x + 3)}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 147, 504, 287, 535 ], "page_idx": 57 }, { "type": "text", "text": "(3) $\\int \\frac{\\mathrm{d}x}{x\\sqrt{x^2 - 2x - 3}}$", "bbox": [ 124, 533, 285, 569 ], "page_idx": 57 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\frac {\\mathrm{d} x}{x + \\sqrt {x ^ {2} - x + 1}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 147, 568, 302, 590 ], "page_idx": 57 }, { "type": "text", "text": "解(1)让分母一样： $\\frac{1 + x}{\\sqrt{1 - x^2}} +\\frac{1 - x}{\\sqrt{1 - x^2}} = \\frac{2}{\\sqrt{1 - x^2}}$ ，直接转换为了 $\\arcsin x$ 的积分", "bbox": [ 87, 587, 707, 620 ], "page_idx": 57 }, { "type": "text", "text": "(2) 令 $t = \\sqrt{x}$ ，则 $I = \\int \\frac{2t}{(t + 1)(t^2 + 3)}\\mathrm{d}t = \\int \\frac{A}{t + 1}\\mathrm{d}t + \\int \\frac{Bt + C}{t^2 + 3}\\mathrm{d}t$ ，解出 $A = -\\frac{1}{2}, B = \\frac{1}{2}, C = \\frac{3}{2}$ ，从而 $I = -\\frac{1}{2}\\ln |t + 1| + \\int \\frac{1}{4}\\ln |t^2 + 3| + \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\arctan \\frac{t}{\\sqrt{3}} + C$", "bbox": [ 90, 615, 902, 690 ], "page_idx": 57 }, { "type": "text", "text": "(3.1) 方法 1: 使用 Euler 变换。设 $\\sqrt{x^2 - 2x + 3} = x - t$ ，则得到 $x = \\frac{t^2 + 3}{2(t - 1)}$ ，进而 $\\mathrm{d}x = \\frac{t^2 - 2t + 3}{2(t - 1)^2}\\mathrm{d}t$ ，此时积分变为", "bbox": [ 89, 695, 905, 739 ], "page_idx": 57 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = - \\int {\\frac {2}{t ^ {2} + 3}} \\mathrm{d} t = - \\frac {2}{\\sqrt {3}} \\arctan {\\frac {t}{\\sqrt {3}}} + C\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 342, 736, 653, 768 ], "page_idx": 57 }, { "type": "text", "text": "(3.2) 方法 2: 配方 + 三角函数 (一般还是推荐三角函数)。 $I = \\int \\frac{\\mathrm{d}x}{x[(x-1)^{2}-4]^{\\frac{1}{2}}}$ ，做换元 $x - 1 = 2 \\sec t$ ，因此", "bbox": [ 90, 776, 905, 820 ], "page_idx": 57 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int {\\frac {2 \\sec {t} \\tan {t}}{(2 \\sec {t} + 1) 2 \\tan {t}}} \\mathrm{d} t = \\int {\\frac {\\mathrm{d} t}{2 + \\cos {t}}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 344, 816, 652, 848 ], "page_idx": 57 }, { "type": "text", "text": "背公式即 $\\frac{2}{\\sqrt{1 - a^2}}\\arctan \\left(\\sqrt{\\frac{1 - a}{1 + a}}\\tan \\frac{x}{2}\\right) + C$ ，代入 $a = \\frac{1}{2}$ 。注意带回时需要用半角公式， $\\tan \\frac{t}{2} = \\frac{\\sin t}{1 + \\cos t}$ 再画个三角形进行辅助。", "bbox": [ 89, 857, 907, 908 ], "page_idx": 57 }, { "type": "header", "text": "5.3 不定积分表选例", "bbox": [ 754, 55, 905, 68 ], "page_idx": 57 }, { "type": "page_number", "text": "50", "bbox": [ 489, 953, 509, 965 ], "page_idx": 57 }, { "type": "text", "text": "(4) 可以用 Euler 变换或者配方三角替换。", "bbox": [ 122, 85, 423, 99 ], "page_idx": 58 }, { "type": "text", "text": "5.3.5 配对积分法", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 121, 253, 137 ], "page_idx": 58 }, { "type": "text", "text": "练习5.18经典配对积分法 (1) 计算 $I_{1} = \\int e^{ax}\\cos bx\\mathrm{d}x,I_{2} = \\int e^{ax}\\sin bx\\mathrm{d}x$ (2) 计算 $I_{1} = \\sin (\\ln x)\\mathrm{d}x,I_{2} = \\int \\cos (\\ln x)\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 58, 147, 905, 202 ], "page_idx": 58 }, { "type": "text", "text": "解(1)用分部积分得到 $I_{1} = \\frac{1}{a}\\left(e^{ax}\\cos bx + bI_{2}\\right)$ ，同理 $I_{2} = \\frac{1}{a}\\left(e^{ax}\\sin x - bI_{1}\\right)$ ，列出线性方程组：", "bbox": [ 87, 203, 796, 231 ], "page_idx": 58 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} a I _ {1} - b I _ {2} = e ^ {a x} \\cos b x \\\\ b I _ {1} + a I _ {2} = e ^ {a x} \\sin b x \\end{array} \\right. \\Rightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l} I _ {1} = \\frac {e ^ {a x}}{a ^ {2} + b ^ {2}} (a \\cos b x + b \\sin b x) + C \\\\ I _ {2} = \\frac {e ^ {a x}}{a ^ {2} + b ^ {2}} (a \\sin b x - b \\cos b x) + C \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 238, 234, 742, 285 ], "page_idx": 58 }, { "type": "text", "text": "(2) 直接用分部积分： $\\int \\sin (\\ln x)\\mathrm{d}x = x\\sin (\\ln x) - \\int \\cos (\\ln x)\\mathrm{d}x$ ，同理 $\\int \\cos (\\ln x)\\mathrm{d}x = x\\cos (\\ln x) + \\int \\sin (\\ln x)\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 87, 288, 905, 346 ], "page_idx": 58 }, { "type": "text", "text": "5.3.6 递推问题", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 363, 233, 381 ], "page_idx": 58 }, { "type": "text", "text": "练习 5.19 几个最常见递推 (1) $I_{n}=\\int\\frac{\\sin nx}{\\sin x}dx$ (2) $I_{n}=\\int\\sec^{n}x\\mathrm{d}x$ (3) $I_{n}=\\int e^{ax}\\sin^{n}x\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 58, 391, 749, 423 ], "page_idx": 58 }, { "type": "text", "text": "解(1)首先根据和差公式和积化和差:", "bbox": [ 87, 419, 366, 434 ], "page_idx": 58 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sin n x = \\sin [ (n - 1) x + x ] = \\sin (n - 1) x \\cos x + \\cos (n - 1) x \\sin x = \\frac {1}{2} [ \\sin n x + \\sin (n - 2) x ] + \\cos (n - 1) x \\sin x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 92, 436, 900, 466 ], "page_idx": 58 }, { "type": "text", "text": "因此", "bbox": [ 92, 466, 129, 480 ], "page_idx": 58 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI _ {n} = \\frac {1}{2} (I _ {n} + I _ {n - 2}) + \\frac {1}{n - 1} \\sin (n - 1) x \\Rightarrow I _ {n} = \\frac {2}{n - 1} \\sin (n - 1) x + I _ {n - 2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 228, 476, 766, 506 ], "page_idx": 58 }, { "type": "text", "text": "(2) 先凑出 $\\mathrm{d}\\tan x$ 并使用分部积分:", "bbox": [ 122, 513, 384, 527 ], "page_idx": 58 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int \\sec^ {n} x \\mathrm{d} x = \\int \\sec^ {n - 2} x \\mathrm{d} (\\tan x) = \\tan x \\sec^ {n - 2} x - (n - 2) \\int \\tan^ {2} x \\sec^ {n - 2} x \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 201, 530, 794, 560 ], "page_idx": 58 }, { "type": "text", "text": "再代入 $\\tan^2 x = \\sec^2 x - 1$ :", "bbox": [ 92, 562, 294, 577 ], "page_idx": 58 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI _ {n} = \\tan x \\sec^ {n - 2} x - (n - 2) (I _ {n} - I _ {n - 2}) \\Rightarrow I _ {n} = \\frac {\\tan x \\sec^ {n - 2} x}{n - 1} + \\frac {n - 2}{n - 1} I _ {n - 2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 213, 580, 781, 609 ], "page_idx": 58 }, { "type": "text", "text": "笔记 $\\int^{\\text{(3)}}\\sec x\\mathrm{d}x = \\ln |\\tan x + \\sec x|$ 和 $\\int \\sec^3 x\\mathrm{d}x = \\frac{1}{2}\\tan x\\sec x + \\frac{1}{2}\\ln |\\tan x + \\sec x|$ 在根式中经常用到，要记住，具体证明过程见前面部分。", "bbox": [ 55, 613, 905, 665 ], "page_idx": 58 }, { "type": "header", "text": "5.3 不定积分表选例", "bbox": [ 754, 55, 905, 68 ], "page_idx": 58 }, { "type": "page_number", "text": "51", "bbox": [ 489, 954, 507, 965 ], "page_idx": 58 }, { "type": "text", "text": "第6章 定积分", "text_level": 2, "bbox": [ 410, 87, 603, 111 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "6.1 定积分理论", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 145, 265, 165 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "6.1.1 可积性", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 184, 213, 200 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "定义 6.1 (Riemann 积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 217, 307, 231 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "$f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的函数，将 $[a,b]$ 划分为 $n$ 等份 $T$ ，若 $\\lim_{||T||\\to 0}\\sum_{i = 1}^{n}f(\\xi_i)\\Delta x_i = J$ ，这里 $J$ 为常数，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积，且记 $\\int_{a}^{b}f(x)\\mathrm{d}x = J$", "bbox": [ 112, 236, 882, 306 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "定义 6.2 (Darboux 上下和)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 330, 322, 344 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "在每个区间上取 $M_{i} = \\sup_{x\\in \\Delta_{i}}f(x),m_{i} = \\inf_{x\\in \\Delta_{i}}f(x)$ ，记振幅 $\\omega_{i} = M_{i} - m_{i}$ ，定义Darboux上下和为", "bbox": [ 114, 349, 828, 374 ], "page_idx": 59 }, { "type": "equation", "text": "$$\nS (T) = \\sum_ {i = 1} ^ {n} M _ {i} \\Delta x _ {i}, s (T) = \\sum_ {i = 1} ^ {n} m _ {i} \\Delta x _ {i}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 356, 378, 640, 416 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "定义 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 的上下积分为：", "bbox": [ 115, 418, 361, 434 ], "page_idx": 59 }, { "type": "equation", "text": "$$\nS = \\inf _ {T} S (T), s = \\sup _ {T} s (T)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 398, 436, 596, 458 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "定理 6.1 (可积函数的性质)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 486, 319, 501 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则：", "bbox": [ 115, 506, 327, 521 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "\\- 有界性： $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界 (反之不正确，有界不一定可积，例如 Dirichlet 函数)", "bbox": [ 137, 524, 759, 539 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "证明 反设 $f$ 无界，则存在某个小区间 $\\Delta_k$ ，使得 $\\Delta_k$ 上 $f$ 无界，假设其他区间都有界，此时 Riemann 和", "bbox": [ 89, 558, 853, 575 ], "page_idx": 59 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\sum_ {i = 1} ^ {n} f \\left(\\xi_ {i}\\right) \\Delta x _ {i} \\right| \\geq \\left| f \\left(\\xi_ {k}\\right) \\Delta x _ {k} \\right| - \\left| \\sum_ {i \\neq k} f \\left(\\xi_ {i}\\right) \\Delta x _ {i} \\right|\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 327, 577, 668, 615 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "对 $\\forall M > 0$ ，无论如何分割，Riemann和都能大于 $M$ ，因此无界不可积。", "bbox": [ 92, 620, 621, 634 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "定理 6.2 (可积性充要条件)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 645, 319, 659 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "$f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积当且仅当", "bbox": [ 114, 665, 315, 680 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "\\- 上下积分角度： $f(x)$ 在 $[a, b]$ 的上积分 $s$ 等于下积分 $S$", "bbox": [ 139, 683, 557, 697 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "\\- 上下和角度 (最常用！): $\\forall \\epsilon$ ，存在分割 $T$ 使得 $S(T) - s(T) = \\sum_{T} \\omega_i \\Delta x_i < \\epsilon$", "bbox": [ 139, 699, 717, 728 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "\\- 振幅角度：对 $\\forall \\epsilon, \\eta$ ，总存在分割 $T$ ，使得振幅 $\\omega_{k'} \\geq \\epsilon$ 的那些小区间总长 $\\sum \\omega_{k'} < \\eta$", "bbox": [ 139, 730, 781, 747 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "\\- 实变角度： $f(x)$ 在 $[a, b]$ 几乎处处连续", "bbox": [ 139, 747, 442, 765 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "练习6.1Dirichlet函数的不可积性证明Dirichlet函数在 $[a,b]$ 不可积", "bbox": [ 58, 803, 591, 818 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "证明 由于任意分割 T，振幅 $\\omega = 1$ ，因此 $S(T) - s(T) = \\sum_{i=1}^{n} \\Delta x_i = b - a$ ，因此不可积。", "bbox": [ 87, 822, 741, 854 ], "page_idx": 59 }, { "type": "text", "text": "定理 6.3 (Riemann 可积函数类)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 87, 357, 102 ], "page_idx": 60 }, { "type": "text", "text": "$f(x)$ 定义于 $[a,b]$ ，常见的有三个Riemann可积函数类：", "bbox": [ 114, 107, 522, 122 ], "page_idx": 60 }, { "type": "text", "text": "• $[a,b]$ 连续函数", "bbox": [ 139, 126, 267, 141 ], "page_idx": 60 }, { "type": "text", "text": "\\- 在 $[a, b]$ 只有有限个间断点的有界函数", "bbox": [ 139, 143, 438, 159 ], "page_idx": 60 }, { "type": "text", "text": "\\- $[a, b]$ 上单调函数", "bbox": [ 139, 162, 284, 177 ], "page_idx": 60 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 根据一致连续性，每个 $\\omega_{i}$ 都可以足够小，因此 $\\sum \\omega_{i} \\Delta x_{i}$ 足够小", "bbox": [ 90, 196, 636, 212 ], "page_idx": 60 }, { "type": "text", "text": "(2) 将间断点处的 $\\Delta x_{i}$ 设置得足够小，控制住间断点差距", "bbox": [ 122, 217, 542, 231 ], "page_idx": 60 }, { "type": "text", "text": "(3) $\\omega_{i}=f(x_{i})-f(x_{i-1})$ ，只需要 $\\omega_{i}$ 取得足够小", "bbox": [ 122, 235, 477, 250 ], "page_idx": 60 }, { "type": "text", "text": "练习6.2可积性判断(1)证明Riemann函数 $R(x)$ 在 $[0,1]$ 可积，且 $\\int_0^1 R(x)\\mathrm{d}x = 0$", "bbox": [ 58, 263, 697, 296 ], "page_idx": 60 }, { "type": "text", "text": "(2) 证明下面的 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积:", "bbox": [ 122, 294, 394, 310 ], "page_idx": 60 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x) = \\left\\{ \\begin{array}{l l} 0, & x = 0 \\\\ \\frac {1}{x} - \\left[ \\frac {1}{x} \\right], & x \\in (0, 1 ] \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 379, 313, 613, 366 ], "page_idx": 60 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 只需证 $\\sum \\omega_{i} \\Delta x_{i} < \\epsilon$ ，给定 $\\forall \\epsilon$ ，满足 $\\frac{1}{q} > \\frac{\\epsilon}{2}$ 的只有有限个，且它们的函数值均小于等于 $\\frac{1}{2}$ 。把这有限个全部列出 $x_{1}, \\cdots, x_{k}$ ，这些点每个最多落入两个小区间中，取 $\\|T\\| < \\frac{\\epsilon}{2k}$ 即可，则该部分 $\\sum \\omega_{i} \\Delta x_{i} < \\frac{\\epsilon}{2}$ 。另一侧直接 $\\sum \\omega_{i} \\Delta x_{i} < \\frac{\\epsilon}{2} \\sum \\Delta x_{i} \\leq \\frac{\\epsilon}{2}$ 就行。", "bbox": [ 89, 369, 905, 442 ], "page_idx": 60 }, { "type": "text", "text": "(2) $f(x)$ 振幅小于等于1，不连续点为 $0, \\frac{1}{2}, \\frac{1}{3}, \\dots, \\frac{1}{n}, \\dots$ 。对 $\\forall \\epsilon, \\exists \\delta_1$ ，当 $|\\Delta x_i| < \\delta_1$ 时， $(\\epsilon, 1)$ 分割满足 $\\sum \\omega_i \\Delta x_i < \\epsilon$ 。而 $(0, \\epsilon)$ 的任意分割也满足 $\\sum \\omega_i \\Delta x_i < \\epsilon$ ，因此取 $\\delta = \\min\\{\\delta_1, \\epsilon\\}$ 时，整体的分割满足：", "bbox": [ 87, 443, 905, 489 ], "page_idx": 60 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sum \\omega_ {i} \\Delta x _ {i} < \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 443, 492, 552, 512 ], "page_idx": 60 }, { "type": "text", "text": "练习 6.3 可积性相关证明 (1) $f(x)$ 在 $[a, b]$ 有定义， $\\forall \\epsilon$ ，存在 $[a, b]$ 上可积函数 $g(x)$ ，使得 $\\forall x \\in [a, b], |f(x) - g(x)| < \\epsilon$ ，证明 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积", "bbox": [ 58, 516, 905, 550 ], "page_idx": 60 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 由于 $g(x)$ 可以，存在分割 $T$ 使得 $\\sum_{T} \\omega_{i}^{g} \\Delta x_{i} < \\epsilon$ ，而 $\\omega_{i}^{f} \\leq \\omega_{i}^{f - g} + \\omega_{i}^{g}$ ，以及 $\\omega_{i}^{f - g} \\leq 2\\epsilon$ （因为 $g$ 本身可能 $\\epsilon$ 震荡， $|f(x) - g(x)|$ 又可能 $\\epsilon$ 震荡），得到", "bbox": [ 87, 551, 905, 596 ], "page_idx": 60 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sum_ {T} \\omega_ {i} ^ {f} \\Delta x _ {i} \\leq \\sum_ {T} \\omega_ {i} ^ {f - g} \\Delta x _ {i} + \\sum_ {T} \\omega_ {i} ^ {g} \\Delta x _ {i} < 2 \\epsilon (b - a) + \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 292, 600, 702, 630 ], "page_idx": 60 }, { "type": "text", "text": "6.1.2 Newton-Leibniz 公式", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 655, 334, 671 ], "page_idx": 60 }, { "type": "text", "text": "定理 6.4 (Newton-Leibniz 公式)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 687, 356, 702 ], "page_idx": 60 }, { "type": "text", "text": "$f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积， $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且除有限个点外， $F^{\\prime}(x) = f(x)$ ，则", "bbox": [ 114, 707, 692, 722 ], "page_idx": 60 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {a} ^ {b} f (x) \\mathrm{d} x = F (b) - F (a)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 400, 726, 596, 760 ], "page_idx": 60 }, { "type": "text", "text": "笔记 Newton-Leibniz 公式的意义在于将定积分的计算转换为了原函数的计算，不过可积与存在原函数也没有直接关系，具体见下面题目。", "bbox": [ 87, 778, 905, 812 ], "page_idx": 60 }, { "type": "text", "text": "练习 6.4 可积与原函数 举例说明可积未必有原函数，有原函数未必可积", "bbox": [ 58, 834, 618, 848 ], "page_idx": 60 }, { "type": "text", "text": "解(1)例如 $[-1, 1]$ 上的 $\\operatorname{sgn}(x)$ ，其可积但无原函数", "bbox": [ 89, 852, 463, 866 ], "page_idx": 60 }, { "type": "header", "text": "6.1 定积分理论", "bbox": [ 788, 55, 905, 68 ], "page_idx": 60 }, { "type": "page_number", "text": "53", "bbox": [ 489, 954, 507, 965 ], "page_idx": 60 }, { "type": "text", "text": "(2)例如原函数如下，其在 $[0,1]$ 可导，但是 $F^{\\prime}(x)$ 无界", "bbox": [ 122, 85, 529, 99 ], "page_idx": 61 }, { "type": "equation", "text": "$$\nF (x) = \\left\\{ \\begin{array}{l l} 0, & x = 0 \\\\ x ^ {\\frac {3}{2}} \\sin \\frac {1}{x}, & x \\in (0, 1 ] \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 381, 105, 611, 152 ], "page_idx": 61 }, { "type": "text", "text": "练习6.5使用Newton-Leibniz公式(1)已知 $f(x) = \\left\\{ \\begin{array}{ll}2022, & x = 0\\\\ 2x\\sin \\frac{1}{x} -\\cos \\frac{1}{x}, & x\\in (0,1] \\end{array} \\right.$ ，证明 $f(x)$ 在[0,1]可积，求 $\\int_0^1 f(x)\\mathrm{d}x$ 解(1) $f(x)$ 在0处为跳跃间断点，只有一处，而[0,1]上 $f(x)$ 有界，故可积。构造 $F(x)$", "bbox": [ 58, 159, 905, 243 ], "page_idx": 61 }, { "type": "text", "text": "解(1) $f(x)$ 在0处为跳跃间断点，只有一处，而 $[0,1]$ 上 $f(x)$ 有界，故可积。构造 $F(x)$ ：", "bbox": [ 87, 233, 737, 249 ], "page_idx": 61 }, { "type": "equation", "text": "$$\nF (x) = \\left\\{ \\begin{array}{l l} 0, & x = 0 \\\\ x ^ {2} \\sin \\frac {1}{x}, & x \\in (0, 1 ] \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 384, 255, 608, 300 ], "page_idx": 61 }, { "type": "text", "text": "$F(x)$ 除了0处外满足 $F^{\\prime}(x) = f(x)$ ，因此 $\\int_0^1 f(x)\\mathrm{d}x = F(1) - F(0) = \\sin 1$", "bbox": [ 90, 302, 650, 338 ], "page_idx": 61 }, { "type": "text", "text": "定理 6.5 (微积分基本定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 354, 321, 369 ], "page_idx": 61 }, { "type": "text", "text": "$f(x)$ 为 $[a,b]$ 可积函数，定义 $F(x) = \\int_{a}^{x}f(t)\\mathrm{d}t,x\\in [a,b]$ ，则", "bbox": [ 112, 374, 571, 406 ], "page_idx": 61 }, { "type": "text", "text": "\\- $F(x)$ 是 $[a, b]$ 上的连续函数", "bbox": [ 139, 403, 361, 418 ], "page_idx": 61 }, { "type": "text", "text": "若 $x_0 \\in [a, b]$ 为 $f(x)$ 连续点，则 $F(x)$ 在 $x_0$ 可导，且 $F'(x_0) = f(x_0)$", "bbox": [ 139, 420, 665, 437 ], "page_idx": 61 }, { "type": "text", "text": "若 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上连续函数，则 $F(x)$ 为 $[a,b]$ 上连续可微函数，且 $F'(x) = f(x)$", "bbox": [ 139, 439, 747, 456 ], "page_idx": 61 }, { "type": "text", "text": "练习 6.6 使用微积分基本定理 (1) 重点: $f(x)$ 在 $[A, B]$ 上可积, $a, b \\in (A, B)$ 是 $f(x)$ 的两个连续点, 证明", "bbox": [ 58, 494, 865, 508 ], "page_idx": 61 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {h \\rightarrow 0} \\int_ {a} ^ {b} \\frac {f (x + h) - f (x)}{h} \\mathrm{d} x = f (b) - f (a)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 342, 513, 650, 545 ], "page_idx": 61 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 对左侧做如下化简:", "bbox": [ 89, 548, 304, 562 ], "page_idx": 61 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{l} \\int_ {a} ^ {b} \\frac {f (x + h) - f (x)}{h} \\mathrm{d} x = \\frac {1}{h} \\left(\\int_ {a} ^ {b} f (x + h) \\mathrm{d} x - \\int_ {a} ^ {b} f (x) \\mathrm{d} x\\right) \\\\ \\qquad = \\frac {1}{h} \\left(\\int_ {a + h} ^ {b + h} f (x) \\mathrm{d} x - \\int_ {a} ^ {b} f (x) \\mathrm{d} x\\right) \\\\ \\qquad = \\frac {1}{h} \\left(\\int_ {b} ^ {b + h} f (x) \\mathrm{d} x - \\int_ {a} ^ {a + h} f (x) \\mathrm{d} x\\right) \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 272, 565, 721, 682 ], "page_idx": 61 }, { "type": "text", "text": "令 $F(x) = \\int_{A}^{x}f(t)\\mathrm{d}t$ ，则显然 $F^{\\prime}(b) = \\lim_{h\\to 0^{+}}\\frac{F(b + h) - F(b)}{h} = f(b),F^{\\prime}(a) = f(a)$ 同理。", "bbox": [ 90, 686, 749, 719 ], "page_idx": 61 }, { "type": "text", "text": "6.1.3 四则运算与复合", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 736, 292, 753 ], "page_idx": 61 }, { "type": "text", "text": "定理 6.6 (四则运算的可积性)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 770, 337, 785 ], "page_idx": 61 }, { "type": "text", "text": "若 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $kf(x), f(x) \\pm g(x), f(x)g(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，但 $g(x) \\neq 0$ 时 $\\frac{f(x)}{g(x)}$ 也不一定可积", "bbox": [ 114, 788, 895, 837 ], "page_idx": 61 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 数乘、加减显然", "bbox": [ 90, 851, 280, 866 ], "page_idx": 61 }, { "type": "text", "text": "(2) 乘法：根据可积可知有界，设 $|f(x)| \\leq M, |g(x)| \\leq N$ ， $\\sum_{T} \\omega_{i}^{fg} \\Delta x_{i} < M \\sum_{T} \\omega_{i}^{g} \\Delta x_{i} + N \\sum_{T} \\omega_{i}^{f} \\Delta x_{i}$ 即可", "bbox": [ 122, 866, 905, 898 ], "page_idx": 61 }, { "type": "page_number", "text": "54", "bbox": [ 489, 954, 509, 964 ], "page_idx": 61 }, { "type": "header", "text": "6.1 定积分理论", "bbox": [ 788, 55, 905, 68 ], "page_idx": 61 }, { "type": "text", "text": "(3)除法：例如 $f(x) = 1,g(x) = \\left\\{ \\begin{array}{ll}x, & x\\in (0,1]\\\\ 1, & x = 0 \\end{array} \\right.$ ， $\\frac{1}{g(x)}$ 因为无界而不可积", "bbox": [ 121, 82, 668, 128 ], "page_idx": 62 }, { "type": "text", "text": "练习6.7除法增加条件可积设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上函数，证明", "bbox": [ 58, 136, 517, 152 ], "page_idx": 62 }, { "type": "text", "text": "(1) 若 $f(x)$ 可积，且 $|f(x)| \\geq m > 0$ ，则 $\\frac{1}{f(x)}$ 在 $[a, b]$ 可积", "bbox": [ 121, 154, 563, 180 ], "page_idx": 62 }, { "type": "text", "text": "(2) 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续且恒不为零，则 $\\frac{1}{f(x)}$ 在 $[a, b]$ 可积", "bbox": [ 121, 181, 557, 208 ], "page_idx": 62 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 考虑振幅放缩:", "bbox": [ 90, 206, 270, 221 ], "page_idx": 62 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\frac {1}{f (x ^ {\\prime})} - \\frac {1}{f (x ^ {\\prime \\prime})} \\right| = \\left| \\frac {f (x ^ {\\prime \\prime}) - f (x ^ {\\prime})}{f (x ^ {\\prime}) f (x ^ {\\prime \\prime})} \\right| \\leq \\frac {1}{m ^ {2}} \\omega_ {i} ^ {f}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 332, 218, 662, 250 ], "page_idx": 62 }, { "type": "text", "text": "(2) 由于连续，能找到最小值，可转换为 (1)", "bbox": [ 122, 258, 445, 273 ], "page_idx": 62 }, { "type": "text", "text": "定理 6.7 (复合 (较难，重点！))", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 300, 352, 315 ], "page_idx": 62 }, { "type": "text", "text": "$f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续， $\\varphi(t)$ 在 $[\\alpha,\\beta]$ 可积，且 $a \\leq \\varphi(t) \\leq b, t \\in [\\alpha,\\beta]$ ，则 $f(\\varphi(t))$ 在 $[\\alpha,\\beta]$ 可积", "bbox": [ 110, 316, 902, 341 ], "page_idx": 62 }, { "type": "text", "text": "证明 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，因此有界且一致连续。设 $M = \\max_{x\\in [a,b]}f(x)$ ， $\\forall \\epsilon, \\exists \\delta, \\forall x', x'' \\in [a,b]$ ，若 $|x' - x''| < \\delta$ 就有 $|f(x') - f(x'')| < \\epsilon$ 。由于 $\\varphi$ 可积，存在分割 $T$ ，使得 $\\sum_{\\omega_i^\\varphi \\geq \\delta} \\Delta t_i < \\epsilon$ ，因此", "bbox": [ 89, 353, 905, 410 ], "page_idx": 62 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{r l} & {\\sum_ {T} \\omega_ {i} ^ {f \\circ \\varphi} \\Delta t _ {i} = \\sum_ {\\omega_ {i} ^ {\\varphi} \\geq \\delta} \\omega_ {i} ^ {f \\circ \\varphi} \\Delta t _ {i} + \\sum_ {\\omega_ {i} ^ {\\varphi} < \\delta} \\omega_ {i} ^ {f \\circ \\varphi} \\Delta t _ {i}} \\\\ & {\\qquad \\leq 2 M \\sum_ {\\omega_ {i} ^ {\\varphi} \\geq \\delta} \\Delta t _ {i} + \\epsilon \\sum_ {\\omega_ {i} ^ {\\varphi} < \\delta} \\Delta t _ {i}} \\\\ & {\\qquad < 2 M \\epsilon + (\\beta - \\alpha) \\epsilon = \\epsilon^ {\\prime}} \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 329, 414, 665, 507 ], "page_idx": 62 }, { "type": "text", "text": "6.1.4 定积分的保号性", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 533, 294, 550 ], "page_idx": 62 }, { "type": "text", "text": "定理 6.8 (定积分保号性)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 565, 305, 580 ], "page_idx": 62 }, { "type": "text", "text": "$f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续， $f(x)\\geq 0$ ，则 $\\int_{a}^{b}f(x)\\mathrm{d}x\\geq 0$ ，且 $\\int_{a}^{b}f(x)\\mathrm{d}x = 0$ 当且仅当 $f(x)\\equiv 0$", "bbox": [ 110, 583, 761, 620 ], "page_idx": 62 }, { "type": "text", "text": "练习6.8等于0的推广(1)重点: $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续,且对任意满足 $\\int_{a}^{b}g(x)\\mathrm{d}x=0$ 的连续函数 $g(x)$ 有 $\\int_{a}^{b}f(x)g(x)\\mathrm{d}x=0$ ,证明: $f(x)$ 为常值函数", "bbox": [ 60, 649, 927, 695 ], "page_idx": 62 }, { "type": "text", "text": "(2) 重点 (ZJU2020): $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可导, $f(a) = 0$ , 对 $\\forall x \\in [a, b]$ 有 $|f(x)| \\geq |f'(x)|$ , 证明: $f(x) \\equiv 0$ 证明 (1) 取 $g(x) = f(x) - \\frac{1}{b - a} \\int_{a}^{b} f(t) \\mathrm{d}t$ , 显然 $\\int_{a}^{b} g(x) \\mathrm{d}x = 0$ 满足条件, 此时", "bbox": [ 87, 697, 865, 746 ], "page_idx": 62 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {a} ^ {b} g ^ {2} (x) \\mathrm{d} x = \\int_ {a} ^ {b} g (x) \\left(f (x) - \\frac {1}{b - a} \\int_ {a} ^ {b} f (x) \\mathrm{d} x\\right) = 0\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 295, 747, 702, 784 ], "page_idx": 62 }, { "type": "text", "text": "(2) 可证明 $\\int_{a}^{x} f(t) \\mathrm{d}t = 0, \\forall x \\in [a, b]$ ，则考虑 $g(x) = \\int_{a}^{x} |f(t)| \\mathrm{d}t$ ，有", "bbox": [ 122, 788, 631, 820 ], "page_idx": 62 }, { "type": "equation", "text": "$$\ng (x) \\geq \\int_ {a} ^ {x} | f ^ {\\prime} (t) | \\mathrm{d} t \\geq \\left| \\int_ {a} ^ {x} f ^ {\\prime} (t) \\mathrm{d} t \\right| = | f (x) | = g ^ {\\prime} (x)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 305, 822, 687, 854 ], "page_idx": 62 }, { "type": "text", "text": "因此得到 $(e^{-x}g(x))' = e^{-x}(g'(x) - g(x))\\leq 0$ ，即 $e^{-x}g(x)$ 单调减，而 $e^{-a}g(a) = 0$ ，且 $e^{-x}g(x)\\geq 0$ ，综上得到 $g(x)\\equiv 0$", "bbox": [ 87, 856, 905, 892 ], "page_idx": 62 }, { "type": "page_number", "text": "55", "bbox": [ 489, 954, 507, 965 ], "page_idx": 62 }, { "type": "header", "text": "6.1 定积分理论", "bbox": [ 788, 55, 905, 68 ], "page_idx": 62 }, { "type": "text", "text": "练习 6.9 零点问题 (1) $f(x)$ 为 $[0, \\pi]$ 上连续函数，且 $\\int_{0}^{\\pi} f(x) \\sin x \\, \\mathrm{d}x = \\int_{0}^{\\pi} f(x) \\cos x \\, \\mathrm{d}x = 0$ ，证明 $f(x)$ 在 $(0, \\pi)$ 上至少有两个零点。\n\n(2) $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上连续函数， $\\int_{a}^{b} f(x) \\, \\mathrm{d}x = \\int_{a}^{b} x f(x) \\, \\mathrm{d}x = \\cdots = \\int_{a}^{b} x^n f(x) \\, \\mathrm{d}x = 0$ ，证明 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上至少有 $n + 1$ 个零点\n\n证明 (1) 反设无零点，则 $f(x)$ 在 $(0, \\pi)$ 不变号，而 $\\sin x$ 也不变号，因此与 $\\int_{0}^{\\pi} f(x) \\sin x \\, \\mathrm{d}x = 0$ 矛盾，因此至少有一个零点。若 $f(x)$ 只有一个零点 $\\xi$ ，则 $f(x)$ 在 $(0, \\xi), (\\xi, \\pi)$ 内不变号，由于 $\\int_{0}^{\\pi} f(x) \\sin x \\, \\mathrm{d}x = 0$ ，因此在上述两个区间符号相反，而 $\\sin (x - \\xi)$ 也仅在 $\\xi$ 为 0， $(0, \\xi), (\\xi, \\pi)$ 符号相反，因此", "bbox": [ 58, 82, 905, 240 ], "page_idx": 63 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {0} ^ {\\pi} f (x) \\sin (x - \\xi) \\mathrm{d} x = \\cos \\xi \\int_ {0} ^ {\\pi} f (x) \\sin x \\mathrm{d} x - \\sin \\xi \\int_ {0} ^ {\\pi} f (x) \\cos x \\mathrm{d} x = 0\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 228, 242, 768, 273 ], "page_idx": 63 }, { "type": "text", "text": "这与 $f(x)\\sin (x - \\xi)$ 非零矛盾，因此 $f(x)$ 至少有两个零点", "bbox": [ 89, 275, 521, 290 ], "page_idx": 63 }, { "type": "text", "text": "(2) 反设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上至多 n 个零点，则其最多改变 n 次符号。由于 $\\int_{a}^{b} f(x) \\, dx = 0$ ，得到 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 至少改变一次符号，一定有能从 n 个零点中找出 k 个零点 $x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{k}$ 满足 $f(x)$ 在 $(a, x_{1}), (x_{1}, x_{2}), \\cdots, (x_{k}, b)$ 上不变号，且在相邻区间变号，而 $g(x) = (x - x_{1})(x - x_{2}) \\cdots (x - x_{k})$ 有同样的性质，于是 $f(x)g(x)$ 不变号，但 $\\int_{a}^{b} f(x)g(x) \\, dx = 0$ ，这显然矛盾。", "bbox": [ 89, 291, 905, 386 ], "page_idx": 63 }, { "type": "text", "text": "6.1.5 积分中值定理", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 403, 273, 419 ], "page_idx": 63 }, { "type": "text", "text": "定理 6.9 (积分第一中值定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 435, 337, 451 ], "page_idx": 63 }, { "type": "text", "text": "$f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 连续， $g(x)$ 在 $[a, b]$ 不变号，则 $\\exists \\xi \\in (a, b)$ 使得 $\\int_{a}^{b} f(x) g(x) \\mathrm{d}x = f(\\xi) \\int_{a}^{b} g(x) \\mathrm{d}x$", "bbox": [ 110, 453, 845, 491 ], "page_idx": 63 }, { "type": "text", "text": "证明 不妨设 $g(x) \\geq 0$ ，由于 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，设 $M, m$ 分别是最大值和最小值，则 $mg(x) \\leq f(x)g(x) \\leq Mg(x)$ ，因此得到 $m\\int_{a}^{b} g(x) \\mathrm{d}x \\leq \\int_{a}^{b} f(x)g(x) \\mathrm{d}x \\leq M\\int_{a}^{b} g(x) \\mathrm{d}x$ ，根据介值性可知（具体讨论略去）。", "bbox": [ 89, 506, 902, 557 ], "page_idx": 63 }, { "type": "text", "text": "推论 6.1 (第一中值定理的推广)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 565, 354, 580 ], "page_idx": 63 }, { "type": "text", "text": "若 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 可积 (有上下确界但不一定连续)， $g(x)$ 在 $[a, b]$ 不变号， $M, m$ 为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 的上下确界，则 $\\exists \\eta \\in [m, M]$ (不一定能为函数值 $f(\\xi)$ ) 使得 $\\int_{a}^{b} f(x) g(x) \\mathrm{d}x = \\eta \\int_{a}^{b} g(x) \\mathrm{d}x$", "bbox": [ 112, 583, 895, 636 ], "page_idx": 63 }, { "type": "text", "text": "练习6.10第一中值定理(技巧较强) $f(x)$ 是[0,1]连续函数， $\\int_0^1 f(x)\\mathrm{d}x = \\int_0^1 xf(x)\\mathrm{d}x$ ，证明： $\\exists \\xi \\in (0,1)$ 使得 $\\int_0^\\xi f(x)\\mathrm{d}x = 0$ 证明考虑 $F(x) = \\int_0^x f(t)\\mathrm{d}t$ ，想使用积分第一中值定理可证 $\\int_0^1 F(x)\\mathrm{d}x = 0$ ，则可推出 $F(\\xi) = 0$ 。考虑 $\\int_0^1 F(x)\\mathrm{d}x = \\int_0^1\\mathrm{d}x\\int_0^x f(t)\\mathrm{d}t$ ，交换积分顺序得到 $\\int_0^1\\mathrm{d}t\\int_t^1 f(t)\\mathrm{d}x = \\int_0^1 (1 - t)f(t)\\mathrm{d}t = 0$", "bbox": [ 58, 659, 905, 789 ], "page_idx": 63 }, { "type": "text", "text": "定理 6.10 (积分第二中值定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 804, 346, 819 ], "page_idx": 63 }, { "type": "text", "text": "设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积， $g(x)$ 在 $[a,b]$ 单调，则：(记忆方式：非负情况取最大)\n若 $g(x)$ 单增非负： $\\exists \\xi \\in [a,b]$ 使得 $\\int_{a}^{b} f(x) g(x) \\mathrm{d}x = g(b) \\int_{\\xi}^{b} f(x) \\mathrm{d}x$ 若 $g(x)$ 单减非负： $\\exists \\xi \\in [a,b]$ 使得 $\\int_{a}^{b} f(x) g(x) \\mathrm{d}x = g(a) \\int_{a}^{\\xi} f(x) \\mathrm{d}x$ 若 $g(x)$ 单调： $\\exists \\xi \\in [a,b]$ 使得 $\\int_{a}^{b}f(x)g(x)\\mathrm{d}x = g(a)\\int_{a}^{\\xi}f(x)\\mathrm{d}x + g(b)\\int_{\\xi}^{b}f(x)\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 115, 822, 678, 906 ], "page_idx": 63 }, { "type": "header", "text": "6.1 定积分理论", "bbox": [ 788, 55, 905, 68 ], "page_idx": 63 }, { "type": "page_number", "text": "56", "bbox": [ 489, 954, 509, 965 ], "page_idx": 63 }, { "type": "text", "text": "", "bbox": [ 139, 93, 754, 131 ], "page_idx": 64 }, { "type": "text", "text": "证明 只证明 (3) 的特殊情况：设 $f(x)$ 连续， $g(x)$ 连续可微且单调", "bbox": [ 90, 149, 579, 165 ], "page_idx": 64 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{l} \\int_ {a} ^ {b} f (x) g (x) \\mathrm{d} x = \\int_ {a} ^ {b} g (x) \\mathrm{d} (F (x)) = g (x) F (x) | _ {a} ^ {b} - \\int_ {a} ^ {b} F (x) g ^ {\\prime} (x) \\mathrm{d} x \\\\ \\qquad = g (b) F (b) - g (a) F (a) - F (\\xi) \\int_ {a} ^ {b} g ^ {\\prime} (x) \\mathrm{d} x \\\\ \\qquad = g (a) [ F (\\xi) - F (a) ] + g (b) [ F (b) - F (\\xi) ] \\\\ \\qquad = g (a) \\int_ {a} ^ {\\xi} f (x) \\mathrm{d} x + g (b) \\int_ {\\xi} ^ {b} f (x) \\mathrm{d} x \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 250, 167, 744, 294 ], "page_idx": 64 }, { "type": "text", "text": "笔记 第二中值定理证明过于繁琐，这里不给出全部，只给出最后一种特殊情况的证明。其最大的应用是证明反常积分的 Abel 和 Dirichlet 判别法。", "bbox": [ 87, 303, 905, 337 ], "page_idx": 64 }, { "type": "text", "text": "6.2 三角函数定积分计算", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 363, 361, 382 ], "page_idx": 64 }, { "type": "text", "text": "6.2.1 $[0, \\frac{\\pi}{2}]$ 上三角函数积分公式", "bbox": [ 92, 397, 384, 429 ], "page_idx": 64 }, { "type": "text", "text": "定理6.11 $\\left[\\frac{0}{2},\\frac{\\pi}{2}\\right]$ 三角函数积分）", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 439, 356, 463 ], "page_idx": 64 }, { "type": "text", "text": "设 $f(x)$ 是连续函数，则 $\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}f(\\sin x,\\cos x)\\mathrm{d}x = \\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}f(\\cos x,\\sin x)\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 114, 469, 621, 504 ], "page_idx": 64 }, { "type": "text", "text": "证明 令 $x = \\frac{\\pi}{2} - t$ ，则左侧为 $\\int_{\\frac{\\pi}{2}}^{0} f(\\cos t, \\sin t)(-\\mathrm{d}t) = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} f(\\cos t, \\sin t) \\mathrm{d}t$", "bbox": [ 89, 513, 640, 549 ], "page_idx": 64 }, { "type": "text", "text": "练习6.11重要练习结论(1)证明： $\\forall k$ ， $\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}\\frac{\\sin^k x}{\\sin^k x + \\cos^k x}\\mathrm{d}x = \\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}\\frac{\\cos^k x}{\\sin^k x + \\cos^k x}\\mathrm{d}x = \\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}\\frac{x}{1 + \\tan^k x} = \\frac{\\pi}{4}$", "bbox": [ 60, 552, 892, 587 ], "page_idx": 64 }, { "type": "text", "text": "(2) 计算 $\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}\\ln \\tan x\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 122, 583, 297, 615 ], "page_idx": 64 }, { "type": "text", "text": "(3) 计算 $\\int_{0}^{+\\infty}\\frac{\\mathrm{d}x}{(1+x^{2})(1+x^{2022})}$", "bbox": [ 122, 615, 376, 648 ], "page_idx": 64 }, { "type": "text", "text": "(4) 计算 $\\int_0^{+\\infty} \\frac{\\ln x}{4 + x^2} \\, \\mathrm{d}x$", "bbox": [ 124, 646, 309, 677 ], "page_idx": 64 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 根据对称性可知 $2S = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\mathrm{d}x = \\frac{\\pi}{2}$ ，因此 $S = \\frac{\\pi}{4}$", "bbox": [ 89, 676, 514, 707 ], "page_idx": 64 }, { "type": "text", "text": "(2) $\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\ln \\sin x\\mathrm{d}x - \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\ln \\cos x\\mathrm{d}x = 0$", "bbox": [ 122, 706, 405, 739 ], "page_idx": 64 }, { "type": "text", "text": "(3) 设 $x = \\tan t$ ，得到 $\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{1}{1 + \\tan^{2022} x} \\mathrm{d}t$ ，用 (1) 结论可知为 $\\frac{\\pi}{4}$", "bbox": [ 122, 739, 601, 769 ], "page_idx": 64 }, { "type": "text", "text": "(4) 令 $x = 2 \\tan t$ ，得到 $I = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\ln(2 \\tan t)}{4 \\sec^{2} t} 2 \\sec^{2} t \\, \\mathrm{d}t = \\frac{\\pi}{4} \\ln 2 + \\frac{1}{2} \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\ln(\\tan t) \\, \\mathrm{d}t = \\frac{\\pi}{4} \\ln 2$", "bbox": [ 122, 769, 779, 801 ], "page_idx": 64 }, { "type": "header", "text": "6.2 三角函数定积分计算", "bbox": [ 721, 55, 905, 68 ], "page_idx": 64 }, { "type": "page_number", "text": "57", "bbox": [ 489, 953, 507, 964 ], "page_idx": 64 }, { "type": "text", "text": "定理 6.12 (Wallis 推广)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 86, 295, 102 ], "page_idx": 65 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{r l} & {I (m, n) = \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2}} \\cos^ {m} x \\sin^ {n} x \\mathrm{d} x, \\text {则} I (m, n) = I (n, m), \\text {且}} \\\\ & {\\qquad I (m, n) = \\frac {m - 1}{m + n} I (m - 2, n) = \\frac {n - 1}{m + n} I (m, n - 2) = \\left\\{ \\begin{array}{l l} {\\frac {(m - 1) ! ! (n - 1) ! !}{(m + n) ! !},} & {m, n \\text {不全为偶数}} \\\\ {\\frac {(m - 1) ! ! (n - 1) ! !}{(m + n) ! !} \\frac {\\pi}{2},} & {m, n \\text {均为偶数}} \\end{array} \\right.} \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 112, 105, 840, 205 ], "page_idx": 65 }, { "type": "text", "text": "练习6.12基础练习 $(1)\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\cos^{3}x\\sin^{2}x\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 58, 231, 400, 266 ], "page_idx": 65 }, { "type": "equation", "text": "$$\n(3) \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2}} \\sin^ {3} \\cos^ {5} x \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 124, 297, 277, 326 ], "page_idx": 65 }, { "type": "equation", "text": "$$\n(4) \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2}} \\sin^ {2} x \\cos^ {4} x \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 124, 326, 285, 357 ], "page_idx": 65 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\text {解} (1) I (3, 2) = \\frac {2 ! ! \\cdot 1 ! !}{5 ! ! _ {3 \\cdot 2}} = \\frac {2 \\cdot 1}{5 \\cdot 3 \\cdot 1} = \\frac {2}{1 5}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 90, 355, 374, 391 ], "page_idx": 65 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{l} (2) I (4, 3) = \\frac {5 \\cdot 2}{7 \\cdot 5 \\cdot 3} = \\frac {2}{3 5} \\\\ (2) I (3, 5) = \\frac {2 \\cdot 4 \\cdot 2}{1} \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 122, 387, 329, 418 ], "page_idx": 65 }, { "type": "equation", "text": "$$\n(3) I (3, 5) = \\frac {2 \\cdot 4 \\cdot 2}{8 \\cdot 6 \\cdot 4 \\cdot 2} = \\frac {1}{2 4}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 122, 412, 332, 437 ], "page_idx": 65 }, { "type": "equation", "text": "$$\n(4) I (2, 4) = \\frac {8 \\cdot 6 \\cdot 4 \\cdot 2}{1 \\cdot 3 \\cdot 1} \\frac {\\pi}{2} = \\frac {2 4}{\\pi}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 122, 424, 332, 460 ], "page_idx": 65 }, { "type": "text", "text": "6.2.2 $[0, \\pi], [0, 2\\pi]$ 上三角函数积分", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 476, 400, 495 ], "page_idx": 65 }, { "type": "text", "text": "定理 6.13 (对称性的积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 510, 312, 524 ], "page_idx": 65 }, { "type": "text", "text": "若 $f(x)$ 关于 $(x_0,0)$ 中心对称，则 $\\int_{x_0 - a}^{x_0 + a}f(x)\\mathrm{d}x = 0$ 。若 $f(x)$ 关于 $x = x_0$ 轴对称，则 $\\int_{x_0 - a}^{x_0 + a}f(x)\\mathrm{d}x = 2\\int_{x_0 - a}^{x_0}f(x)\\mathrm{d}x = 2\\int_{x_0}^{x_0 + a}f(x)\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 112, 527, 884, 598 ], "page_idx": 65 }, { "type": "text", "text": "笔记 若 $f(x), g(x)$ 都关于 $x = x_0$ 轴对称，则 $f(x)g(x)$ 也关于 $x = x_0$ 轴对称。 $f(x)$ 轴对称， $g(x)$ 中心对称，则 $f(x)g(x)$ 中心对称。 $f(x), g(x)$ 都中心对称，则 $f(x)g(x)$ 轴对称。", "bbox": [ 89, 614, 905, 649 ], "page_idx": 65 }, { "type": "text", "text": "定理 6.14 ([0, π] 上 Wallis 公式推广)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 659, 388, 675 ], "page_idx": 65 }, { "type": "text", "text": "对任意非负整数 $m, n$ ，有", "bbox": [ 115, 680, 307, 695 ], "page_idx": 65 }, { "type": "equation", "text": "$$\nJ (m, n) = \\int_ {0} ^ {\\pi} \\sin^ {m} x \\cos^ {n} x \\mathrm{d} x = {\\left\\{ \\begin{array}{l l} {0,} & {n \\text {为奇数}} \\\\ {2 I (m, n),} & {n \\text {为偶数}} \\end{array} \\right.}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 295, 700, 700, 744 ], "page_idx": 65 }, { "type": "text", "text": "注意这里 $J(m,n)\\neq J(n,m)$", "bbox": [ 115, 747, 324, 763 ], "page_idx": 65 }, { "type": "text", "text": "证明 根据 $\\sin^m x\\cos^n x$ 在 $n$ 为偶关于 $\\frac{\\pi}{2}$ 轴对称， $n$ 为奇时中心对称。", "bbox": [ 90, 778, 603, 804 ], "page_idx": 65 }, { "type": "text", "text": "定理 6.15 ( $[0, 2\\pi]$ 上 Wallis 公式推广)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 815, 396, 831 ], "page_idx": 65 }, { "type": "text", "text": "对任意非负 $m, n$ ，有", "bbox": [ 115, 837, 273, 851 ], "page_idx": 65 }, { "type": "equation", "text": "$$\nK (m, n) = \\int_ {0} ^ {2 \\pi} \\sin^ {m} x \\cos^ {n} x \\mathrm{d} x = {\\left\\{ \\begin{array}{l l} {0,} & {m, n \\text {不全为偶数}} \\\\ {4 I (m, n),} & {m, n \\text {均为偶数}} \\end{array} \\right.}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 260, 854, 734, 901 ], "page_idx": 65 }, { "type": "header", "text": "6.2 三角函数定积分计算", "bbox": [ 721, 54, 905, 68 ], "page_idx": 65 }, { "type": "page_number", "text": "58", "bbox": [ 489, 954, 507, 965 ], "page_idx": 65 }, { "type": "text", "text": "这里 $K(m,n) = K(n,m)$", "bbox": [ 115, 93, 302, 111 ], "page_idx": 66 }, { "type": "text", "text": "练习6.13(0～π)上的计算(1) $\\int_{0}^{\\pi}\\cos^{3}x\\sin^{2}xdx(2)\\int_{0}^{\\pi}\\cos^{4}x\\sin^{3}xdx(3)\\int_{0}^{\\pi}\\sin^{3}x\\cos^{5}xdx(4)\\int_{0}^{\\pi}\\sin^{2}x\\cos^{4}xdx$", "bbox": [ 58, 140, 907, 175 ], "page_idx": 66 }, { "type": "text", "text": "解(1) $\\cos x$ 是奇数幂，因此为0", "bbox": [ 89, 186, 324, 200 ], "page_idx": 66 }, { "type": "text", "text": "(2) 偶数幂，因此 $2I(4,3) = 2\\frac{3 \\cdot 2}{7 \\cdot 5 \\cdot 3} = \\frac{4}{35}$", "bbox": [ 121, 198, 440, 227 ], "page_idx": 66 }, { "type": "text", "text": "(3) 奇数，为 0", "bbox": [ 122, 223, 235, 237 ], "page_idx": 66 }, { "type": "text", "text": "(4) 偶数幂，但 $m, n$ 均为偶数，因此结果为 $\\frac{\\pi}{16}$", "bbox": [ 122, 237, 470, 263 ], "page_idx": 66 }, { "type": "text", "text": "练习 6.14(0 \\~ 2π) 上的计算 (1) $\\int_{0}^{2\\pi}\\cos^{3}x\\sin^{2}xdx$ (2) $\\int_{0}^{2\\pi}\\cos^{2}x\\sin^{3}xdx$ (3) $\\int_{0}^{2\\pi}\\sin^{2}x\\cos^{4}xdx$ 解 (1) 不全为偶，因此为 0 (2)0 (3) 均为偶数，结果为 $\\frac{\\pi}{8}$", "bbox": [ 58, 268, 791, 326 ], "page_idx": 66 }, { "type": "text", "text": "笔记 周期函数的积分区域可以转换至任意周期区间，因此其他区间也可计算。", "bbox": [ 55, 338, 660, 356 ], "page_idx": 66 }, { "type": "text", "text": "练习6.15非标准区间 (1) $\\int_{-\\pi}^{\\pi}\\cos^4 x\\sin^4 x\\mathrm{d}x$ (2) $\\int_{-\\pi}^{3\\pi}\\sin^5 x\\cos^6 x\\mathrm{d}x$ (3) $\\int_{-\\pi}^{0}\\cos^3 x\\sin^2 x\\mathrm{d}x$ (4) $\\int_{-\\pi}^{0}\\cos^4 x\\sin^3 x\\mathrm{d}x$ (5) $\\int_{\\pi}^{2\\pi}\\sin^2 x\\cos^4 x\\mathrm{d}x$ (6) $\\int_0^\\pi |\\cos^5 x|\\mathrm{d}x$ 解(1) $2J(4,4) = 4I(4,4) = \\frac{3}{64}\\pi$", "bbox": [ 58, 354, 905, 439 ], "page_idx": 66 }, { "type": "text", "text": "(2) 先转换到 $[0, 4\\pi]$ ，再变成 2 倍的 $[0, 2\\pi]$ ，非全为偶，因此结果为 0", "bbox": [ 121, 439, 631, 456 ], "page_idx": 66 }, { "type": "text", "text": "(3) 偶函数，转换为 $\\int_0^\\pi \\cos^3 x\\sin^2 x\\mathrm{d}x = 0$", "bbox": [ 122, 455, 440, 483 ], "page_idx": 66 }, { "type": "text", "text": "(4) 奇函数，转换为 $-\\int_{0}^{\\pi}\\cos^{4}x\\sin^{2}xdx=-2I(4,3)=-\\frac{4}{35}$", "bbox": [ 122, 483, 569, 513 ], "page_idx": 66 }, { "type": "text", "text": "(5) 要看 $\\sin$ 在 $x = \\pi$ 的对称性，其是中心对称，因此等价于 $\\int_{0}^{\\pi} \\sin^{2} x \\cos^{4} x dx = \\frac{\\pi}{16}$", "bbox": [ 122, 513, 747, 542 ], "page_idx": 66 }, { "type": "text", "text": "(6) 绝对值肯定轴对称，因此 $2I(5,0) = \\frac{16}{15}$", "bbox": [ 122, 539, 440, 568 ], "page_idx": 66 }, { "type": "text", "text": "练习6.16其他题目证明： $\\int_0^{2\\pi}f(a\\sin x + b\\cos x)\\mathrm{d}x = 2\\int_0^\\pi f(\\sqrt{a^2 + b^2}\\cos x)\\mathrm{d}x$ 证明根据 $a\\sin x + b\\cos x = \\sqrt{a^2 + b^2}\\cos (x + \\varphi)$ ，这里 $\\cos \\varphi = \\frac{b}{\\sqrt{a^2 + b^2}}$ 。因此 $\\int_0^{2\\pi}f(\\sqrt{a^2 + b^2}\\cos (x + y))\\mathrm{d}x = \\int_y^{2\\pi +y}f(\\sqrt{a^2 + b^2}\\cos t)\\mathrm{d}t = \\int_0^{2\\pi}f(\\sqrt{a^2 + b^2}\\cos x)\\mathrm{d}x = 2\\int_0^\\pi f(\\sqrt{a^2 + b^2}\\cos x)\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 58, 574, 942, 676 ], "page_idx": 66 }, { "type": "text", "text": "6.2.3 区间再现公式", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 708, 273, 725 ], "page_idx": 66 }, { "type": "text", "text": "定理 6.16 (区间再现)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 741, 278, 756 ], "page_idx": 66 }, { "type": "text", "text": "$f(x)$ 为连续函数， $\\int_0^\\pi xf(\\sin x)\\mathrm{d}x = \\frac{\\pi}{2}\\int_0^\\pi f(\\sin x)\\mathrm{d}x = \\pi \\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}f(\\sin x)\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 112, 760, 655, 795 ], "page_idx": 66 }, { "type": "text", "text": "证明 令 $x = \\pi - t$ ，得到 $I = \\int_{\\pi}^{0} (\\pi - t) f(\\sin t)(-\\mathrm{d}t) = \\pi \\int_{0}^{\\pi} f(\\sin t) \\mathrm{d}t - \\int_{0}^{\\pi} t f(\\sin t) \\mathrm{d}t$ ，因此得到 $I = \\frac{\\pi}{2} \\int_{0}^{\\pi} f(\\sin t) \\mathrm{d}t$", "bbox": [ 89, 804, 905, 868 ], "page_idx": 66 }, { "type": "text", "text": "练习6.17区间再现公式的应用 (1) $\\int_0^\\pi x\\ln \\sin x\\mathrm{d}x$ (2) $\\int_0^\\pi \\frac{x\\sin x}{1 + \\cos^2x}\\mathrm{d}x$ (3) $\\int_0^\\pi \\frac{x}{1 + \\cos^2x}\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 58, 872, 747, 904 ], "page_idx": 66 }, { "type": "header", "text": "6.2 三角函数定积分计算", "bbox": [ 721, 55, 905, 68 ], "page_idx": 66 }, { "type": "page_number", "text": "59", "bbox": [ 489, 953, 507, 964 ], "page_idx": 66 }, { "type": "text", "text": "解(1)变为 $I = \\frac{\\pi}{2}\\int_0^\\pi \\ln \\sin x dx = -\\frac{\\pi^2}{2}\\ln 2$", "bbox": [ 89, 82, 410, 112 ], "page_idx": 67 }, { "type": "text", "text": "(2) $I=\\frac{\\pi}{2}\\int_{0}^{\\pi}\\frac{\\sin x}{1+\\cos^{2}x}dx=-\\frac{\\pi}{2}\\arctan\\cos x|_{0}^{\\pi}=\\frac{\\pi^{2}}{4}$", "bbox": [ 122, 112, 514, 142 ], "page_idx": 67 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int_ {0} ^ {\\pi} \\frac {x}{1 + \\cos^ {2} x} d x = \\frac {\\pi}{2} \\int_ {0} ^ {\\pi} \\frac {1}{1 + \\cos^ {2} x} d x = \\pi \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2}} \\frac {\\sec^ {2} x}{\\sec^ {2} x + 1} d x = \\pi \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2}} \\frac {d (\\tan x)}{\\tan^ {2} x + 2} = \\frac {\\pi^ {2}}{2 \\sqrt {2}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 122, 141, 825, 175 ], "page_idx": 67 }, { "type": "text", "text": "(4)本题区间比较麻烦，不能用区间再现。可尝试用三角变换： $I = \\int_{0}^{\\frac{1}{4}}\\frac{x}{2\\cos^{2}x} dx = \\frac{1}{2}\\int_{0}^{\\frac{1}{4}}xd(\\tan x)$ ，用分部积分得到", "bbox": [ 90, 175, 905, 217 ], "page_idx": 67 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\frac {1}{2} x \\tan x \\bigg | _ {0} ^ {\\frac {\\pi}{4}} + \\frac {1}{2} \\ln \\cos x \\bigg | _ {0} ^ {\\frac {\\pi}{4}} = \\frac {\\pi}{8} + \\frac {1}{2} \\ln \\frac {\\sqrt {2}}{2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 344, 215, 650, 250 ], "page_idx": 67 }, { "type": "text", "text": "笔记上面几个虽然并非严格的 $xf(\\sin x)$ 形式，但是也可以使用区间再现。", "bbox": [ 58, 261, 633, 279 ], "page_idx": 67 }, { "type": "text", "text": "6.2.4 Euler 积分", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 300, 245, 317 ], "page_idx": 67 }, { "type": "text", "text": "练习6.18Euler积分(1)Euler积分: $I=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\ln\\sin x\\mathrm{d}x=-\\frac{\\pi}{2}\\ln2$ (2)推论: $\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\ln\\cos x\\mathrm{d}x=-\\frac{\\pi}{2}\\ln2,\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\ln\\tan x\\mathrm{d}x=0,\\int_{0}^{\\pi}\\ln\\sin x\\mathrm{d}x=-\\pi\\ln2$", "bbox": [ 58, 326, 921, 387 ], "page_idx": 67 }, { "type": "text", "text": "解(1)该积分是瑕积分, $I=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\ln\\sin xdx=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\ln\\cos xdx=\\frac{1}{2}\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\ln\\sin x+\\ln\\cos xdx=\\frac{1}{2}\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\ln\\sin x\\cos xdx$ ,\n根据倍角公式得到", "bbox": [ 87, 385, 907, 432 ], "page_idx": 67 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\frac {1}{2} \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2}} \\ln \\frac {1}{2} \\sin 2 x \\mathrm{d} x = \\frac {1}{2} \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2}} \\ln \\sin 2 x \\mathrm{d} x - \\frac {\\pi}{4} \\ln 2 = \\frac {1}{4} \\int_ {0} ^ {\\pi} \\ln \\sin t \\mathrm{d} t - \\frac {\\pi}{4} \\ln 2 = \\frac {1}{2} I - \\frac {\\pi}{4} \\ln 2\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 156, 434, 840, 468 ], "page_idx": 67 }, { "type": "text", "text": "因此得到 $I = -\\frac{\\pi}{2}\\ln 2$", "bbox": [ 92, 470, 255, 495 ], "page_idx": 67 }, { "type": "text", "text": "笔记要证明Euler积分收敛，只需证明 $\\lim_{x\\to 0^{+}}x\\ln \\sin x = 0$", "bbox": [ 55, 495, 517, 518 ], "page_idx": 67 }, { "type": "text", "text": "练习6.19Euler积分的应用 (1) $\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}x\\cot x\\mathrm{d}x$ (2) $\\int_0^1\\frac{\\ln x}{\\sqrt{1 - x^2}}\\mathrm{d}x$ (3) $\\int_0^1\\frac{\\arcsin x}{x}\\mathrm{d}x$ (4) $\\int_0^\\pi \\frac{x\\sin x}{1 - \\cos x}\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 58, 527, 818, 560 ], "page_idx": 67 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2}} x \\mathrm{d} (\\ln \\sin x) = x \\ln \\sin x \\big | _ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2}} - \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2}} \\ln \\sin x \\mathrm{d} x = \\frac {\\pi}{2} \\ln 2\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 110, 558, 566, 590 ], "page_idx": 67 }, { "type": "text", "text": "(2) 令 $x = \\sin t$ ，得到 $I = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\ln \\sin t}{\\cos t} \\cos t \\, \\mathrm{d}t = -\\frac{\\pi}{2} \\ln 2$", "bbox": [ 121, 590, 532, 621 ], "page_idx": 67 }, { "type": "text", "text": "(3) 令 $x = \\sin t$ ，得到 $\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{t}{\\sin t} \\cos t \\, \\mathrm{d}t = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} t \\cot t \\, \\mathrm{d}t$ ，即 (1)", "bbox": [ 122, 621, 571, 653 ], "page_idx": 67 }, { "type": "text", "text": "(4) 注意 $\\cot \\frac{x}{2} = \\frac{\\sin x}{1 - \\cos x}$ (或者可以当场对 $1 - \\cos x$ 展开)，因此 $I = \\int_{0}^{\\pi} x \\cot \\frac{x}{2} \\mathrm{d}x = 4 \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} t \\cot(t) \\mathrm{d}t$ ，变为 (1)", "bbox": [ 90, 652, 902, 697 ], "page_idx": 67 }, { "type": "text", "text": "6.2.5 Dirichlet 积分", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 738, 273, 753 ], "page_idx": 67 }, { "type": "text", "text": "定理 6.17 (Dirichlet 积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 770, 312, 784 ], "page_idx": 67 }, { "type": "text", "text": "Dirichlet 积分 $\\int_{0}^{\\pi}\\frac{\\sin\\frac{2n+1}{2}x}{2\\sin\\frac{x}{2}}=\\frac{\\pi}{2}dx$ 。", "bbox": [ 114, 790, 384, 822 ], "page_idx": 67 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\mathrm{推论} \\colon \\int_ {0} ^ {\\pi} {\\frac {\\sin {\\frac {2 n + 1}{2}} x}{\\sin {\\frac {x}{2}}}} \\mathrm{d} x = \\pi , \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2}} {\\frac {\\sin (2 n + 1) x}{\\sin x}} \\mathrm{d} x = {\\frac {\\pi}{2}}, \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2}} {\\frac {\\sin (2 n) x}{\\sin x}} \\mathrm{d} x = 0, \\int_ {0} ^ {\\pi} {\\frac {\\sin (2 n + 1) x}{\\sin x}} \\mathrm{d} x = \\pi\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 115, 822, 850, 856 ], "page_idx": 67 }, { "type": "header", "text": "6.2 三角函数定积分计算", "bbox": [ 721, 55, 905, 68 ], "page_idx": 67 }, { "type": "page_number", "text": "60", "bbox": [ 489, 954, 509, 965 ], "page_idx": 67 }, { "type": "text", "text": "证明 (1)Dirichlet: 关键在于 $\\cos x + \\cos 2x + \\cdots + \\cos nx = \\frac{\\sin(n + \\frac{1}{2})x - \\sin\\frac{x}{2}}{2\\sin\\frac{x}{2}} = \\frac{\\sin\\frac{2n+1}{2}x}{2\\sin\\frac{x}{2}} - \\frac{1}{2}$ ，从而得到： $\\int_{0}^{\\pi}\\frac{\\sin\\frac{2n+1}{2}x}{2\\sin\\frac{x}{2}}dx=\\sum_{k=1}^{n}\\int_{0}^{\\pi}\\cos kxdx+\\frac{\\pi}{2}=\\sum_{k=1}^{n}\\left.\\frac{1}{k}\\sin kx\\right|_{0}^{\\pi}+\\frac{\\pi}{2}=\\frac{\\pi}{2}$", "bbox": [ 90, 80, 895, 156 ], "page_idx": 68 }, { "type": "text", "text": "(2) 推论：第一个就是把分母 2 拿走，第二个 (分子奇数情况) 取 $t = 2x$ ，第四个用对称性", "bbox": [ 121, 160, 774, 175 ], "page_idx": 68 }, { "type": "text", "text": "(3) 第三个设 $I_{n} = \\int_{0}^{\\pi}\\frac{\\sin 2nx}{\\sin x}\\mathrm{d}x,$", "bbox": [ 122, 174, 373, 203 ], "page_idx": 68 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{c} I _ {n} - I _ {n - 1} = \\int_ {0} ^ {\\pi} \\frac {\\sin 2 n x - \\sin (2 n - 2) x}{\\sin x} d x = \\int_ {0} ^ {\\pi} \\frac {2}{\\sin x} (\\cos \\frac {4 n - 2}{2} x \\cdot \\sin \\frac {2 n - (2 n - 2)}{2} x) \\mathrm{d} x \\\\ = 2 \\int_ {0} ^ {\\pi} \\cos (2 n - 1) x \\mathrm{d} x = \\frac {2}{2 n - 1} \\sin (2 n - 1) x \\bigg | _ {0} ^ {\\pi} = 0 \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 163, 204, 831, 271 ], "page_idx": 68 }, { "type": "text", "text": "而 $I_{1} = 0$ ，因此 $I_{n} = 0$", "bbox": [ 90, 274, 265, 288 ], "page_idx": 68 }, { "type": "text", "text": "6.2.6 其他几个常见三角积分", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 310, 354, 326 ], "page_idx": 68 }, { "type": "text", "text": "练习6.20几个常见三角分数积分(1) $\\int_0^\\pi \\frac{dx}{1 + \\sin^2x} dx$ (2) $\\int_0^{2\\pi}\\frac{dx}{1 + a\\cos x},(-1 < a < 1)$ 解(1)上下同乘 $\\sec^2 x$ ，得到 $\\int \\frac{\\sec^2x}{\\sec^2x + \\tan^2x} dx = \\int \\frac{d(\\tan x)}{2\\tan^2x + 1} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\arctan (\\sqrt{2}\\tan x) + c,$ 注意 $\\tan x$ 在 $\\frac{\\pi}{2}$ 是间断的！根据对称性转换为 $I = 2\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}\\frac{dx}{1 + \\sin^2x} = \\sqrt{2}\\arctan (\\sqrt{2}\\tan x)|_0^{\\frac{\\pi}{2}} = \\sqrt{2} (\\frac{\\pi}{2} -0) = 2\\frac{\\pi}{\\sqrt{2}}$", "bbox": [ 58, 337, 949, 432 ], "page_idx": 68 }, { "type": "text", "text": "(2)具体的不定积分计算见不定积分一节,是非常经典的积分。 $I=2\\int_{0}^{\\pi}\\frac{dx}{1+a\\cos x}=\\frac{4}{\\sqrt{1-a^{2}}}\\arctan\\sqrt{\\frac{1-a}{1+a}}\\tan\\frac{x}{2}|_{0}^{\\pi}$ ，显然 $x=\\pi$ 为间断点，使用对称性非常正确！因此结果为 $\\frac{2\\pi}{\\sqrt{1-a^{2}}}$", "bbox": [ 90, 431, 976, 492 ], "page_idx": 68 }, { "type": "text", "text": "笔记 一定要注意函数的连续性，用对称性转换。因此能用对称性的一定要优先用对称性。上面两个题目也是重要的结论。", "bbox": [ 87, 494, 905, 527 ], "page_idx": 68 }, { "type": "text", "text": "6.3 积分 (不) 等式", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 573, 292, 592 ], "page_idx": 68 }, { "type": "text", "text": "6.3.1 整体放缩", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 612, 233, 629 ], "page_idx": 68 }, { "type": "text", "text": "练习6.21几个简单积分放缩证明(1) $1<\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\frac{\\sin x}{x}\\mathrm{d}x<\\frac{\\pi}{2}$ (2) $\\frac{2}{9}\\pi^{2}<\\int_{\\frac{\\pi}{6}}^{\\frac{\\pi}{2}}\\frac{2x}{\\sin x}\\mathrm{d}x<\\frac{1}{3}\\pi^{2}$ (3) $3\\sqrt{e}<\\int_{e}^{4e}\\frac{\\ln x}{\\sqrt{x}}<6$ 证明(1)根据 $f'(x)=\\frac{x-\\tan x}{x^{2}\\sec x}$ 可知函数单减，因此", "bbox": [ 58, 638, 902, 701 ], "page_idx": 68 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf \\left(\\frac {\\pi}{2}\\right) = \\frac {2}{\\pi} \\leq \\frac {\\sin x}{x} < f (0) = 1\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 379, 702, 616, 731 ], "page_idx": 68 }, { "type": "text", "text": "(2) 根据导数可知单调增，因此", "bbox": [ 122, 731, 356, 746 ], "page_idx": 68 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf \\left(\\frac {\\pi}{6}\\right) = \\frac {2}{3} \\pi \\leq \\frac {2 x}{\\sin x} \\leq f \\left(\\frac {\\pi}{2}\\right) = \\pi\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 366, 747, 628, 776 ], "page_idx": 68 }, { "type": "text", "text": "(3) $f'(x)=\\frac{2-\\ln x}{2x\\sqrt{x}}$ ，因此 $\\frac{1}{\\sqrt{e}}=f(e)\\leq f(x)\\leq f(e^{2})=\\frac{2}{e}$", "bbox": [ 121, 777, 552, 809 ], "page_idx": 68 }, { "type": "text", "text": "6.3.2 同区域单调性放缩", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 828, 315, 844 ], "page_idx": 68 }, { "type": "text", "text": "练习6.22几道经典同区域相减(1) $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上严格增的连续函数，证明： $\\int_{a}^{b}xf(x)\\mathrm{d}x > \\frac{a + b}{2}\\int_{a}^{b}f(x)\\mathrm{d}x$ (2)证明 $\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}\\frac{\\cos x}{1 + x^2}\\mathrm{d}x > \\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}\\frac{\\sin x}{1 + x^2}\\mathrm{d}x$ (3)证明 $\\int_0^{\\sqrt{2\\pi}}\\sin x^2\\mathrm{d}x > 0$", "bbox": [ 58, 854, 887, 922 ], "page_idx": 68 }, { "type": "header", "text": "6.3 积分 (不) 等式", "bbox": [ 768, 55, 905, 68 ], "page_idx": 68 }, { "type": "page_number", "text": "61", "bbox": [ 487, 954, 507, 965 ], "page_idx": 68 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 等价于证明 $\\int_{a}^{b}\\left(x - \\frac{a + b}{2}\\right)f(x)\\mathrm{d}x > 0$ ，进行有目的性的换元，分为两段，用 $t$ 表示 $x$ 与 $\\frac{a + b}{2}$ 之间的距离：", "bbox": [ 90, 82, 904, 128 ], "page_idx": 69 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{l} \\int_ {a} ^ {b} \\left(x - \\frac {a + b}{2}\\right) f (x) \\mathrm{d} x = \\int_ {a} ^ {\\frac {a + b}{2}} \\left(x - \\frac {a + b}{2}\\right) f (x) \\mathrm{d} x + \\int_ {\\frac {a + b}{2}} ^ {b} \\left(x - \\frac {a + b}{2}\\right) f (x) \\mathrm{d} x \\\\ = \\int_ {\\frac {b - a}{2}} ^ {0} (- t) f (\\frac {a + b}{2} - t) (- \\mathrm{d} t) + \\int_ {0} ^ {\\frac {b - a}{2}} t f (t + \\frac {a + b}{2}) \\mathrm{d} t \\\\ = \\int_ {0} ^ {\\frac {b - a}{2}} t \\left[ f (t + \\frac {a + b}{2}) - f (\\frac {a + b}{2} - t) \\right] \\mathrm{d} t > 0 \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 194, 131, 801, 244 ], "page_idx": 69 }, { "type": "text", "text": "(2) 等价于 $\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\frac{\\sin x - \\cos x}{1 + x^2} \\mathrm{d}x < 0$ ，而 $\\sin x - \\cos x = \\sqrt{2} \\sin (x - \\frac{\\pi}{4})$ 关于 $\\left(\\frac{\\pi}{4}, 0\\right)$ 中心对称，且 $\\frac{1}{1 + x^2}$ 单减。因此令 $u = x - \\frac{\\pi}{4}$ :", "bbox": [ 89, 248, 904, 300 ], "page_idx": 69 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{r l} & {\\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2}} \\frac {\\sin x - \\cos x}{1 + x ^ {2}} \\mathrm{d} x = \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2}} \\frac {\\sqrt {2} \\sin (x - \\frac {\\pi}{4})}{1 + x ^ {2}} \\mathrm{d} x = \\sqrt {2} \\int_ {- \\frac {\\pi}{4}} ^ {\\frac {\\pi}{4}} \\int_ {- \\frac {\\pi}{4}} ^ {\\frac {\\pi}{4}} \\frac {\\sin u}{1 + (\\frac {\\pi}{4} + u) ^ {2}} \\mathrm{d} u} \\\\ & {\\qquad = \\sqrt {2} \\left(\\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{4}} \\frac {\\sin x}{1 + (\\frac {\\pi}{4} + x) ^ {2}} \\mathrm{d} x - \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{4}} \\frac {\\sin x}{1 + (\\frac {\\pi}{4} - x) ^ {2}} \\mathrm{d} x\\right)} \\\\ & {\\qquad = \\sqrt {2} \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{4}} \\left(\\frac {1}{(\\frac {\\pi}{4} + x) ^ {2}} - \\frac {1}{(\\frac {\\pi}{4} - x) ^ {2}}\\right) \\sin x \\mathrm{d} x < 0} \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 218, 305, 778, 417 ], "page_idx": 69 }, { "type": "text", "text": "练习6.23一道特殊题(1)证明 $\\int_0^1\\frac{\\cos x}{\\sqrt{1 - x^2}}\\mathrm{d}x > \\int_0^1\\frac{\\sin x}{\\sqrt{1 - x^2}}\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 58, 425, 564, 460 ], "page_idx": 69 }, { "type": "text", "text": "6.3.3 利用 Newton-Leibniz 公式", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 478, 379, 495 ], "page_idx": 69 }, { "type": "text", "text": "定理 6.18 (Newton-Leibniz 放缩)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 510, 364, 525 ], "page_idx": 69 }, { "type": "text", "text": "若 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上连续可微函数，则对 $\\forall x_1,x_2\\in [a,b]$ 有 $f(x_{2}) = f(x_{1}) + \\int_{x_{1}}^{x_{2}}f^{\\prime}(x)\\mathrm{d}x$ ，因此", "bbox": [ 114, 530, 801, 562 ], "page_idx": 69 }, { "type": "equation", "text": "$$\n| f (x _ {2}) | \\leq | f (x _ {1}) | + \\int_ {a} ^ {b} | f ^ {\\prime} (x) | \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 376, 565, 618, 599 ], "page_idx": 69 }, { "type": "text", "text": "练习 6.24 几道经典题 下面均假设 $f(x)$ 在区间上连续可微", "bbox": [ 58, 636, 517, 650 ], "page_idx": 69 }, { "type": "text", "text": "(1) 证明 $|f(0)| \\leq \\frac{1}{a} \\int_{0}^{a} |f(x)| \\, \\mathrm{d}x + \\int_{0}^{a} |f'(x)| \\, \\mathrm{d}x$", "bbox": [ 122, 651, 473, 680 ], "page_idx": 69 }, { "type": "text", "text": "(2) 经典：证明 $|f(x)| \\leq \\left|\\frac{1}{b - a}\\int_{a}^{b} f(x)\\mathrm{d}x\\right| + \\int_{a}^{b}|f'(x)|\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 122, 680, 551, 715 ], "page_idx": 69 }, { "type": "text", "text": "(3) 证明 $|f(x)| \\leq \\int_{0}^{1} (|f(x)| + |f'(x)|) \\, \\mathrm{d}x$", "bbox": [ 122, 715, 421, 746 ], "page_idx": 69 }, { "type": "text", "text": "(4) 重点：证明 $\\left|f\\left(\\frac{1}{2}\\right)\\right| \\leq \\int_{0}^{1}|f(x)|\\mathrm{d}x + \\frac{1}{2}\\int_{0}^{1}|f'(x)|\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 122, 745, 542, 778 ], "page_idx": 69 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 用积分第一中值定理可知 $\\frac{1}{a} \\int_{0}^{a} |f(x)| \\mathrm{d}x = |f(\\xi)|$ ，因此得证", "bbox": [ 90, 776, 601, 808 ], "page_idx": 69 }, { "type": "text", "text": "(2)(3) 同理", "bbox": [ 122, 804, 206, 820 ], "page_idx": 69 }, { "type": "text", "text": "(4) 设 $|f(x_0)| = \\min_{x \\in [0, \\frac{1}{2}]} |f(x)|$ ，则 $|f(x_0)| = 2\\int_0^{\\frac{1}{2}} |f(x_0)| \\, \\mathrm{d}x \\leq 2\\int_0^{\\frac{1}{2}} |f(x)| \\, \\mathrm{d}x$ ，因此", "bbox": [ 122, 816, 729, 854 ], "page_idx": 69 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| f \\left(\\frac {1}{2}\\right) \\right| = \\left| f (x _ {0}) + \\int_ {x _ {0}} ^ {\\frac {1}{2}} f ^ {\\prime} (x) \\mathrm{d} x \\right| \\leq 2 \\int_ {0} ^ {\\frac {1}{2}} | f (x) | \\mathrm{d} x + \\int_ {0} ^ {\\frac {1}{2}} | f ^ {\\prime} (x) | \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 253, 857, 742, 894 ], "page_idx": 69 }, { "type": "header", "text": "6.3 积分 (不) 等式", "bbox": [ 768, 55, 905, 68 ], "page_idx": 69 }, { "type": "page_number", "text": "62", "bbox": [ 489, 953, 507, 965 ], "page_idx": 69 }, { "type": "text", "text": "同理取 $[\\frac{1}{2}, 1]$ 的部分可得到", "bbox": [ 90, 80, 292, 110 ], "page_idx": 70 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| f \\left(\\frac {1}{2}\\right) \\right| \\leq 2 \\int_ {\\frac {1}{2}} ^ {1} | f (x) | \\mathrm{d} x + \\int_ {\\frac {1}{2}} ^ {1} | f ^ {\\prime} (x) | \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 344, 105, 650, 142 ], "page_idx": 70 }, { "type": "text", "text": "因此两式相加除以 2 即得到结果。", "bbox": [ 90, 149, 339, 165 ], "page_idx": 70 }, { "type": "text", "text": "6.3.4 利用 Cauchy-Schwarz 不等式", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 187, 406, 204 ], "page_idx": 70 }, { "type": "text", "text": "定理 6.19 (Cauchy-Schwarz 不等式)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 219, 386, 235 ], "page_idx": 70 }, { "type": "text", "text": "设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则", "bbox": [ 114, 240, 359, 256 ], "page_idx": 70 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left(\\int_ {a} ^ {b} f (x) g (x) \\mathrm{d} x\\right) ^ {2} \\leq \\int_ {a} ^ {b} f ^ {2} (x) \\mathrm{d} x \\int_ {a} ^ {b} g ^ {2} (x) \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 329, 259, 670, 299 ], "page_idx": 70 }, { "type": "text", "text": "推论6.2", "text_level": 2, "bbox": [ 124, 324, 188, 338 ], "page_idx": 70 }, { "type": "text", "text": "若 $f(x), g(x)$ 非负可积，则", "bbox": [ 114, 343, 317, 359 ], "page_idx": 70 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {a} ^ {b} f (x) \\mathrm{d} x \\int_ {a} ^ {b} g (x) \\mathrm{d} x \\geq \\left(\\int_ {a} ^ {b} \\sqrt {f (x) g (x)} \\mathrm{d} x\\right) ^ {2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 324, 362, 670, 401 ], "page_idx": 70 }, { "type": "text", "text": "练习 6.25 一些经典题目 (1) $f(x)$ 在 [0,1] 连续可微， $f(1)=f(0)=1$ ，证明 $\\int_{0}^{1}[f'(x)]^{2}\\mathrm{d}x\\geq1$ 证明 (1) 直接根据 Cauchy-Schwarz 不等式得到 $\\int_{0}^{1}[f'(x)]^{2}\\mathrm{d}x\\geq\\left[\\int_{0}^{1}f'(x)\\mathrm{d}x\\right]^{2}\\geq\\frac{1}{4}$", "bbox": [ 58, 436, 771, 500 ], "page_idx": 70 }, { "type": "text", "text": "6.3.5 利用微分中值定理", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 518, 314, 535 ], "page_idx": 70 }, { "type": "text", "text": "练习 6.26 几道具体分段题 (1) 一阶导: $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上可导, $f(0)=f(2)=1$ , $|f'(x)|\\leq1$ , 证明 $1<\\int_{0}^{2}f(x)\\mathrm{d}x<3$ (2) 二阶导:", "bbox": [ 58, 548, 905, 590 ], "page_idx": 70 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 左侧：进行分段处理，对于 $[0, 1], [1, 2]$ 分别有", "bbox": [ 87, 594, 495, 609 ], "page_idx": 70 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l l} f (x) = f (0) + f ^ {\\prime} (\\xi) x \\geq 1 - x, & x \\in [ 0, 1 ] \\\\ f (x) = f (2) + f ^ {\\prime} (\\eta) (x - 2) \\geq x - 1, & x \\in [ 1, 2 ] \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 317, 614, 678, 658 ], "page_idx": 70 }, { "type": "text", "text": "因此 $\\int_0^2 f(x)\\mathrm{d}x\\geq \\int_0^1 (1 - x)\\mathrm{d}x + \\int_1^2 (x - 1)\\mathrm{d}x = 1$ ，且等号取到时在1处不可导，故严格。同理可证明 $f(x)\\geq h(x)$ 其中 $h(x)$ 为", "bbox": [ 89, 662, 905, 708 ], "page_idx": 70 }, { "type": "equation", "text": "$$\nh (x) = \\left\\{ \\begin{array}{l l} 1 + x, & x \\in [ 0, 1 ] \\\\ 3 - x, & x \\in [ 1, 2 ] \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 396, 708, 598, 753 ], "page_idx": 70 }, { "type": "text", "text": "因此 $\\int_0^2 f(x)\\mathrm{d}x\\leq 3$", "bbox": [ 90, 760, 245, 795 ], "page_idx": 70 }, { "type": "text", "text": "练习6.27利用一阶导数研究积分 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续可微， $M = \\max_{x\\in [a,b]}|f'(x)|$ ，证明", "bbox": [ 58, 807, 702, 829 ], "page_idx": 70 }, { "type": "text", "text": "(1) 若 $f(a) = 0$ 或 $f(b) = 0$ ，则 $\\left|\\int_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d}x\\right| \\leq \\int_{a}^{b} |f(x)| \\mathrm{d}x \\leq \\frac{M}{2}(b - a)^{2}$", "bbox": [ 122, 831, 660, 866 ], "page_idx": 70 }, { "type": "text", "text": "(2) 若 $f(a) = f(b) = 0$ ，则 $\\left|\\int_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d}x\\right| \\leq \\int_{a}^{b} |f(x)| \\mathrm{d}x \\leq \\frac{M}{4}(b - a)^2$", "bbox": [ 122, 866, 628, 904 ], "page_idx": 70 }, { "type": "header", "text": "6.3 积分 (不) 等式", "bbox": [ 769, 55, 905, 68 ], "page_idx": 70 }, { "type": "page_number", "text": "63", "bbox": [ 489, 953, 507, 965 ], "page_idx": 70 }, { "type": "text", "text": "(3) 若 $f\\left(\\frac{a + b}{2}\\right) = 0$", "bbox": [ 122, 82, 285, 114 ], "page_idx": 71 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 设 $f(a) = 0$ ，则 $f(x) = f'(\\xi)(x - a)$ ，因此 $\\int_{a}^{b}|f(x)|\\mathrm{d}x \\leq M\\int_{a}^{b}(x - a)\\mathrm{d}x = \\frac{M}{2}(b - a)^2$ (2) 若 $f(a) = f(b) = 0$ ，则分两段在 $a, b$ 展开", "bbox": [ 92, 111, 806, 158 ], "page_idx": 71 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} \\int_ {a} ^ {\\frac {a + b}{2}} | f (x) | \\mathrm{d} x \\leq \\frac {M}{2} \\cdot \\frac {(b - a) ^ {2}}{4} \\\\ \\int_ {\\frac {a + b}{2}} ^ {b} | f (x) | \\mathrm{d} x \\leq \\frac {M}{2} \\cdot \\frac {(b - a) ^ {2}}{4} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 368, 161, 606, 228 ], "page_idx": 71 }, { "type": "text", "text": "(3) 若 $f\\left(\\frac{a + b}{2}\\right) = 0$ ，则分两段在 $f\\left(\\frac{a + b}{2}\\right)$ 展开，和 (2) 类似可得到结果", "bbox": [ 122, 230, 680, 263 ], "page_idx": 71 }, { "type": "text", "text": "练习6.28利用二阶导数研究积分 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 二阶可微， $|f''(x)| \\leq M$ ，证明", "bbox": [ 58, 275, 662, 291 ], "page_idx": 71 }, { "type": "text", "text": "(1) 若 $f\\left(\\frac{a + b}{2}\\right) = 0$ ，则 $\\left|\\int_{a}^{b}f(x)\\mathrm{d}x\\right| \\leq \\frac{M}{24}(b - a)^3$", "bbox": [ 122, 291, 512, 326 ], "page_idx": 71 }, { "type": "text", "text": "(2) 若 $f(a) = f(b) = 0$ ，则 $\\left|\\int_{a}^{b} f(x) \\, \\mathrm{d}x\\right| \\leq \\frac{M}{12}(b - a)^3$", "bbox": [ 122, 328, 517, 363 ], "page_idx": 71 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 在 $\\frac{a + b}{2}$ 处展开:", "bbox": [ 87, 362, 285, 390 ], "page_idx": 71 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x) = f \\left(\\frac {a + b}{2}\\right) + f ^ {\\prime} \\left(\\frac {a + b}{2}\\right) \\left(x - \\frac {a + b}{2}\\right) + \\frac {f ^ {\\prime \\prime} (\\xi)}{2} \\left(x - \\frac {a + b}{2}\\right) ^ {2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 242, 393, 754, 426 ], "page_idx": 71 }, { "type": "text", "text": "显然一阶导数项中心对称，故消去，二阶导数项用积分第一中值定理可以得到： $\\int_{a}^{b}f(x)\\mathrm{d}x=(b-a)f\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)+\\frac{f''(\\eta)}{24}(b-a)^{3}$ ，经过放缩即结论。", "bbox": [ 90, 430, 904, 489 ], "page_idx": 71 }, { "type": "header", "text": "6.3 积分 (不) 等式", "bbox": [ 769, 55, 905, 68 ], "page_idx": 71 }, { "type": "page_number", "text": "64", "bbox": [ 489, 954, 509, 965 ], "page_idx": 71 }, { "type": "text", "text": "第7章 反常积分", "text_level": 2, "bbox": [ 396, 87, 618, 111 ], "page_idx": 72 }, { "type": "text", "text": "一般的定积分都定义于闭区间中，但很多实际问题中的积分可能区间无穷或者某点不连续，这就需要引出无穷积分和瑕积分的概念。", "bbox": [ 87, 140, 905, 174 ], "page_idx": 72 }, { "type": "text", "text": "7.1 反常积分理论", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 200, 289, 219 ], "page_idx": 72 }, { "type": "text", "text": "7.1.1 无穷积分与瑕积分概念", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 239, 352, 256 ], "page_idx": 72 }, { "type": "text", "text": "定义 7.1 (无穷积分与瑕积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 272, 337, 287 ], "page_idx": 72 }, { "type": "text", "text": "\\- 无穷积分：设 $f$ 在 $[a, +\\infty)$ 有定义，若极限 $\\lim_{b \\to +\\infty} \\int_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d}x$ 存在，则记其为 $\\int_{a}^{+\\infty} f(x) \\mathrm{d}x$ 。", "bbox": [ 139, 291, 836, 324 ], "page_idx": 72 }, { "type": "text", "text": "\\- 瑕积分： $f$ 在 $(a, b]$ 有定义，且 $\\lim_{x \\to a^{+}} f(x) = \\infty$ ，若 $\\lim_{\\epsilon \\to 0^{+}} \\int_{a + \\epsilon}^{b} f(x) \\mathrm{d}x$ 收敛，则记其为 $\\int_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d}x$", "bbox": [ 139, 323, 875, 359 ], "page_idx": 72 }, { "type": "text", "text": "笔记 如果 $\\lim_{x\\to a^{+}}f(x)\\neq \\infty$ ，则不能称 $a$ 为 $f(x)$ 的瑕点，比如 $\\int_0^1\\frac{x}{1 - e^x}\\mathrm{d}x$ ，0不是其瑕点，其就是个定积分。", "bbox": [ 87, 369, 895, 401 ], "page_idx": 72 }, { "type": "text", "text": "定理 7.1 (反常积分 Leibniz 公式)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 412, 366, 426 ], "page_idx": 72 }, { "type": "text", "text": "\\- 无穷积分：设 $\\int_{a}^{+\\infty}f(x)\\mathrm{d}x$ 存在，且 $f$ 有原函数 $F$ ，则 $\\int_{a}^{+\\infty}f(x)\\mathrm{d}x = F(+\\infty) - F(a)$", "bbox": [ 139, 432, 803, 464 ], "page_idx": 72 }, { "type": "text", "text": "\\- 瑕积分：若 $F$ 是 $f$ 在 $(a, b]$ 的一个原函数， $a$ 是瑕点，则 $\\int_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d}x = F(b) - F(a + 0)$", "bbox": [ 139, 467, 798, 497 ], "page_idx": 72 }, { "type": "text", "text": "定理 7.2 (定义判敛)", "text_level": 2, "bbox": [ 124, 520, 270, 535 ], "page_idx": 72 }, { "type": "text", "text": "无穷积分： $\\int_{a}^{+\\infty}f(x)\\mathrm{d}x$ 收敛当且仅当 $\\forall \\epsilon ,\\exists A,\\forall u\\geq A,|\\int_{u}^{+\\infty}f(x)\\mathrm{d}x| < \\epsilon$", "bbox": [ 139, 539, 710, 571 ], "page_idx": 72 }, { "type": "text", "text": "\\- 瑕积分： $\\int_{a}^{b}f(x)\\mathrm{d}x$ 收敛当且仅当 $\\forall \\epsilon ,\\exists \\delta ,\\forall u\\in (a,a + \\delta)$ 有 $|\\int_{a}^{u}f(x)\\mathrm{d}x| < \\epsilon$", "bbox": [ 139, 571, 715, 605 ], "page_idx": 72 }, { "type": "text", "text": "证明 根据收敛的定义可知。", "bbox": [ 90, 621, 295, 637 ], "page_idx": 72 }, { "type": "text", "text": "定理 7.3 ( $\\frac{1}{x^{p}}$ 的反常积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 646, 312, 675 ], "page_idx": 72 }, { "type": "text", "text": "$\\int_0^1\\frac{\\mathrm{d}x}{x^p}$ 在 $p < 1$ 时收敛， $p \\geq 1$ 时发散。 $\\int_1^{+\\infty}\\frac{\\mathrm{d}x}{x^p}$ 在 $p > 1$ 时收敛， $p \\leq 1$ 时发散", "bbox": [ 112, 677, 712, 715 ], "page_idx": 72 }, { "type": "text", "text": "证明 只讨论 $[1, +\\infty)$ 上的，直接积分：", "bbox": [ 89, 731, 376, 747 ], "page_idx": 72 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {1} ^ {u} \\frac {\\mathrm{d} x}{x ^ {p}} = \\left\\{ \\begin{array}{l l} \\frac {1}{1 - p} (u ^ {1 - p} - 1), & p \\neq 1 \\\\ \\ln u, & p = 1 \\end{array} \\right. \\Rightarrow \\lim _ {u \\to + \\infty} \\int_ {1} ^ {u} \\frac {\\mathrm{d} x}{x ^ {p}} = \\left\\{ \\begin{array}{l l} \\frac {1}{p - 1}, & p > 1 \\\\ + \\infty , & p \\leq 1 \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 226, 751, 766, 803 ], "page_idx": 72 }, { "type": "text", "text": "7.1.2 反常积分比较判别法", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 85, 332, 103 ], "page_idx": 73 }, { "type": "text", "text": "定理 7.4 (Cauchy 收敛准则)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 118, 329, 133 ], "page_idx": 73 }, { "type": "text", "text": "无穷积分： $\\int_{a}^{\\infty}f(x)\\mathrm{d}x$ 收敛当且仅当 $\\forall \\epsilon ,\\exists G\\geq a,\\forall u_1,u_2 > G$ ，满足", "bbox": [ 139, 137, 662, 171 ], "page_idx": 73 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\int_ {u _ {1}} ^ {u _ {2}} f (x) \\mathrm{d} x \\right| < \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 450, 172, 588, 204 ], "page_idx": 73 }, { "type": "text", "text": "\\- 瑕积分： $\\int_{a}^{b}f(x)\\mathrm{d}x$ 的瑕点为 $a$ ，则其收敛当且仅当 $\\forall \\epsilon ,\\exists \\delta ,\\forall u_1,u_2\\in (a,a + \\delta)$ 满足", "bbox": [ 139, 206, 769, 240 ], "page_idx": 73 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\int_ {u _ {1}} ^ {u _ {2}} f (x) \\mathrm{d} x \\right| < \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 450, 241, 586, 274 ], "page_idx": 73 }, { "type": "text", "text": "定义 7.2 (绝对收敛与条件收敛)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 298, 352, 313 ], "page_idx": 73 }, { "type": "text", "text": "若 $\\int_{a}^{b}|f(x)|\\mathrm{d}x$ 收敛（ $b$ 可以为 $\\infty$ ），则称 $\\int_{a}^{b}f(x)\\mathrm{d}x$ 绝对收敛；若 $\\int_{a}^{b}f(x)\\mathrm{d}x$ 收敛但不绝对收敛，则称其条件收敛。", "bbox": [ 115, 316, 880, 365 ], "page_idx": 73 }, { "type": "text", "text": "定理 7.5 (绝对收敛)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 388, 270, 403 ], "page_idx": 73 }, { "type": "text", "text": "\\- 无穷积分：若 $\\int_{a}^{+\\infty}|f(x)|\\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\\int_{a}^{+\\infty}f(x)\\mathrm{d}x$ 也收敛，且有下述等式", "bbox": [ 139, 406, 715, 442 ], "page_idx": 73 }, { "type": "equation", "text": "$$\n| \\int_ {a} ^ {+ \\infty} f (x) \\mathrm{d} x | \\leq \\int_ {a} ^ {+ \\infty} | f (x) | \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 396, 443, 640, 476 ], "page_idx": 73 }, { "type": "text", "text": "\\- 瑕积分：设 $f$ 瑕点为 $a$ ， $f$ 在 $(a, b]$ 任一内闭区间上可积，则当 $\\int_{a}^{b} |f(x)| \\mathrm{d}x$ 收敛时， $\\int_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d}x$ 也收敛，且", "bbox": [ 139, 478, 880, 523 ], "page_idx": 73 }, { "type": "equation", "text": "$$\n| \\int_ {a} ^ {b} f (x) \\mathrm{d} x | \\leq \\int_ {a} ^ {b} | f (x) | \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 416, 521, 621, 556 ], "page_idx": 73 }, { "type": "text", "text": "证明 用 Cauchy 收敛准则转换至有限区间，再根据积分绝对值放缩可得到结论。", "bbox": [ 90, 573, 673, 589 ], "page_idx": 73 }, { "type": "text", "text": "定理 7.6 (比较判别法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 600, 287, 615 ], "page_idx": 73 }, { "type": "text", "text": "下面考虑 $f(x)$ 非负，则有", "bbox": [ 115, 619, 312, 634 ], "page_idx": 73 }, { "type": "text", "text": "\\- 无穷积分： $f, g$ 在任意有限区间可积，且 $0 \\leq f(x) \\leq g(x)$ ，当 $\\int_{a}^{+\\infty} g(x) \\mathrm{d}x$ 收敛时， $\\int_{a}^{+\\infty} f(x) \\mathrm{d}x$ 必收敛", "bbox": [ 139, 632, 882, 677 ], "page_idx": 73 }, { "type": "text", "text": "\\- 瑕积分： $f, g$ 在内包有限闭区间可积，且 $0 \\leq f(x) \\leq g(x)$ ，当 $\\int_{a}^{b} g(x) \\mathrm{d}x$ 收敛时， $\\int_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d}x$ 必收敛", "bbox": [ 139, 675, 882, 719 ], "page_idx": 73 }, { "type": "text", "text": "推论 7.1 (等价无穷小判别)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 741, 321, 757 ], "page_idx": 73 }, { "type": "text", "text": "\\- 无穷积分： $f$ 在任意有限闭区间可积，且 $x \\to \\infty$ 时 $f(x) \\sim \\frac{\\lambda}{x^p}$ ，若 $p > 1$ 则收敛， $p \\leq 1$ 则发散\n- 瑕积分： $f$ 在任意闭区间可积， $x \\to a$ 时 $f(x) \\sim \\frac{\\lambda}{(x - a)^p}$ ，若 $p < 1$ 则收敛， $p \\geq 1$ 则发散", "bbox": [ 137, 762, 860, 824 ], "page_idx": 73 }, { "type": "text", "text": "练习7.1基础训练 判断(1) $\\int_{0}^{+\\infty}\\frac{x\\arctan x}{1+x^{p}}\\mathrm{d}x$ (2) $\\int_{0}^{+\\infty}\\frac{1}{x^{p}+x^{q}}\\mathrm{d}x$ (3) $\\int_{0}^{+\\infty}\\frac{x^{p}}{1+x^{q}}\\mathrm{d}x$ 解(1)0不是瑕点，只需考虑 $\\infty$ 。若p>0， $\\frac{x\\arctan x}{1+x^{p}}\\sim\\frac{\\pi}{2}\\frac{1}{x^{p-1}}$ ，因此要求p>2，此时x不是瑕点。若p=0，显然发散。若p<0， $\\infty$ 显然发散。", "bbox": [ 58, 829, 905, 902 ], "page_idx": 73 }, { "type": "header", "text": "7.1 反常积分理论", "bbox": [ 771, 54, 905, 68 ], "page_idx": 73 }, { "type": "page_number", "text": "66", "bbox": [ 489, 954, 509, 965 ], "page_idx": 73 }, { "type": "text", "text": "(2) $0, +\\infty$ 均有可能是瑕点。先考虑 $p = q$ ，此时 $\\frac{1}{x^p + x^q} = \\frac{1}{2x^p}$ ， $\\infty$ 处要求 $p > 1$ ，但是 0 处要求 $p < 1$ ，因此不可能成立。若 $p < q$ ，则 $x \\to 0$ 时 $\\frac{1}{x^p + x^q} \\sim \\frac{1}{x^p}$ ，要求 $p < 1$ ，同理 $x \\to \\infty$ 时要求 $q > 1$", "bbox": [ 90, 80, 905, 135 ], "page_idx": 74 }, { "type": "text", "text": "(3) $\\frac{x^p}{1 + x^q} = \\frac{1}{x^{-p} + x^{q - p}}$ ，当 $-p < 1 < q - p$ 或者 $q - p < 1 < -p$ 时收敛，其余情况发散。", "bbox": [ 122, 135, 789, 162 ], "page_idx": 74 }, { "type": "text", "text": "推论 7.2 (对数、指数比较判别法)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 173, 371, 187 ], "page_idx": 74 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\forall \\alpha > 0, \\lim _ {x \\rightarrow 0 ^ {+}} x ^ {\\alpha} \\ln x = 0, \\lim _ {x \\rightarrow \\infty} \\frac {\\ln x}{x ^ {\\alpha}} = 0, \\lim _ {x \\rightarrow + \\infty} x ^ {\\alpha} e ^ {- x} = 0:\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 136, 196, 568, 219 ], "page_idx": 74 }, { "type": "text", "text": "\\- $x \\to \\infty$ 时，等价视为 $\\ln x \\sim x^{\\epsilon}, e^{x} \\sim x^{+\\infty}$", "bbox": [ 139, 219, 468, 235 ], "page_idx": 74 }, { "type": "text", "text": "\\- $x \\to 0$ 时， $\\ln (1 + x) \\sim x, e^x - 1 \\sim x, \\ln x \\sim \\frac{1}{x^\\epsilon}, e^x \\sim 1$", "bbox": [ 139, 235, 556, 260 ], "page_idx": 74 }, { "type": "text", "text": "练习7.2对数、指数比较判别训练 判断收敛性：(1) $\\int_0^{+\\infty}\\frac{x}{1 - e^x}\\mathrm{d}x$ (2) $\\int_0^{+\\infty}\\frac{\\ln(1 + x)}{x^p}\\mathrm{d}x$ (3) $\\int_0^{+\\infty}\\frac{\\ln x}{e^x}\\mathrm{d}x$ （重点！）", "bbox": [ 58, 288, 907, 332 ], "page_idx": 74 }, { "type": "text", "text": "解(1)由于0处极限为1，不是瑕点。 $\\infty$ 处 $e^x\\sim x^\\infty$ ，因此 $\\lim_{x\\to \\infty}x^2\\frac{x}{1 - e^x} = 0$ ，根据比较判别法可知收敛", "bbox": [ 87, 334, 863, 355 ], "page_idx": 74 }, { "type": "text", "text": "(2)0处等价于 $\\frac{1}{x^{p - 1}}$ ，要求 $p < 2$ ， $+\\infty$ 处等价于 $\\frac{1}{x^p}$ ，要求 $p > 1$ ，因此 $1 < p < 2$ 时收敛", "bbox": [ 121, 356, 779, 382 ], "page_idx": 74 }, { "type": "text", "text": "(3) $\\lim_{x\\to 0}\\frac{\\ln x\\cdot x^{1 / 2}}{e^x} = 0$ ，因此0处收敛。 $\\infty$ 处 $\\lim_{x\\to \\infty}x^2\\frac{\\ln x}{e^x} = 0$ ，因此 $\\infty$ 处也收敛。", "bbox": [ 122, 382, 724, 412 ], "page_idx": 74 }, { "type": "text", "text": "练习7.3对数比较判别进阶 判断 $\\int_{3}^{+\\infty}\\frac{\\mathrm{d}x}{x^p(\\ln x)^q(\\ln\\ln x)^r}$ 的敛散性解 $p > 1$ 肯定收敛， $p < 1$ 肯定发散。若 $p = 1$ ，则积分变为 $\\int_{3}^{+\\infty}\\frac{\\mathrm{d}(\\ln x)}{(\\ln x)^q(\\ln\\ln x)^r}$ ，要求 $q > 1$ 。若 $p = q = 1$ 则同理要求 $r > 1$ 。", "bbox": [ 58, 413, 902, 486 ], "page_idx": 74 }, { "type": "text", "text": "练习7.4变号情况：绝对收敛 $+$ 比较判别法 判断敛散性：(1) $\\int_{1}^{+\\infty}\\frac{\\cos x\\sin\\frac{1}{x}}{x}\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 58, 483, 680, 514 ], "page_idx": 74 }, { "type": "text", "text": "解 (1) $\\left|\\frac{\\cos x\\sin\\frac{1}{x}}{x}\\right|\\sim\\frac{1}{x^{2}}$ ，因此绝对收敛", "bbox": [ 87, 512, 384, 544 ], "page_idx": 74 }, { "type": "text", "text": "练习7.5三角双瑕点训练重点： $|q| < 1$ ，判断 $\\int_0^\\pi \\frac{\\sin^{p - 1}x}{|1 + q\\cos x|^p}\\mathrm{d}x$ 的敛散性解0处 $\\frac{\\sin^{p - 1}x}{|1 + q\\cos x|^p}\\sim \\frac{x^{p - 1}}{|1 + q|^p}$ ，要求 $p - 1 < 1$ 。π处 $\\frac{\\sin^{p - 1}x}{|1 + q\\cos x|^p} = \\frac{\\sin^{p - 1}(\\pi -x)}{|1 + q\\cos x|^p}\\sim \\frac{(\\pi -x)^{p - 1}}{|1 + q|^p}$ ，要求 $p - 1 < 1$", "bbox": [ 58, 546, 905, 615 ], "page_idx": 74 }, { "type": "text", "text": "7.1.3 Dirichlet 与 Abel 判别法", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 637, 363, 653 ], "page_idx": 74 }, { "type": "text", "text": "定理 7.7 (Dirichlet 与 Abel 判别法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 670, 379, 684 ], "page_idx": 74 }, { "type": "text", "text": "\\- Dirichlet 判别法：若 $(1)F(x) = \\int_{a}^{x}f(t)\\mathrm{d}t$ 在 $[a, + \\infty)$ 有界(2) $g(x)$ 在 $[a, + \\infty)$ 上当 $x\\to \\infty$ 时单调趋于0，则 $\\int_{a}^{+\\infty}f(x)g(x)\\mathrm{d}x$ 收敛。", "bbox": [ 139, 690, 882, 749 ], "page_idx": 74 }, { "type": "text", "text": "\\- Abel 判别法：若 (1) $\\int_{a}^{+\\infty} f(x) \\mathrm{d}x$ 收敛 (2) $g(x)$ 单调有界，则 $\\int_{a}^{+\\infty} f(x) g(x) \\mathrm{d}x$ 收敛", "bbox": [ 139, 747, 766, 784 ], "page_idx": 74 }, { "type": "text", "text": "练习7.6在 $\\sin x$ 反常积分判敛的应用判断以下带三角函数的反常积分的绝对收敛性与条件收敛性：", "bbox": [ 58, 819, 816, 834 ], "page_idx": 74 }, { "type": "text", "text": "1. $\\int_{1}^{+\\infty}\\frac{\\sin x}{x^p}\\mathrm{d}x,\\int_{1}^{+\\infty}\\frac{\\cos x}{x^p}\\mathrm{d}x$ ： $p > 0$ 就收敛， $p > 1$ 绝对收敛， $0 < p\\leq 1$ 条件收敛", "bbox": [ 110, 834, 744, 863 ], "page_idx": 74 }, { "type": "text", "text": "2. $\\int_{0}^{+\\infty}\\frac{\\sin x}{x^{p}}dx:1 1$ 时 $\\left|\\frac{\\sin x}{x^p}\\right| \\leq \\frac{1}{x^p}$ 因此绝对收敛。 $0 < p \\leq 1$ 时根据Dirichlet判别法可知收敛，下证不绝对收敛，根据 $|\\sin x| \\geq \\sin^2 x$ ，得到", "bbox": [ 89, 205, 905, 244 ], "page_idx": 75 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\frac {\\sin x}{x ^ {p}} \\right| \\geq \\frac {\\sin^ {2} x}{x ^ {p}} = \\frac {1}{2} \\left(\\frac {1}{x ^ {p}} - \\frac {\\cos 2 x}{x ^ {p}}\\right)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 361, 242, 633, 274 ], "page_idx": 75 }, { "type": "text", "text": "而 $\\int_{1}^{+\\infty}\\frac{1}{x^p}\\mathrm{d}x$ 不收敛，故 $\\int_1^{+\\infty}\\left|\\frac{\\sin x}{x^p}\\right|$ 在 $0 < p\\leq 1$ 时不收敛。 $p\\leq 0$ 时，取 $u_{1} = 2k\\pi ,u_{2} = 2k\\pi +\\frac{\\pi}{2}$ ，则", "bbox": [ 90, 281, 875, 315 ], "page_idx": 75 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\int_ {u _ {1}} ^ {u _ {2}} \\frac {\\sin x}{x ^ {p}} \\mathrm{d} x \\right| \\geq \\int_ {u _ {1}} ^ {u _ {2}} \\sin x \\mathrm{d} x = 1\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 374, 317, 621, 350 ], "page_idx": 75 }, { "type": "text", "text": "显然发散。", "bbox": [ 92, 353, 171, 367 ], "page_idx": 75 }, { "type": "text", "text": "(2) 分两段，这里考虑 $\\int_0^1 \\frac{\\sin x}{x^p} \\mathrm{d}x$ ，当 $x \\to 0$ 时 $\\frac{\\sin x}{x^p} \\sim \\frac{1}{x^{p-1}}$ ，因此 $p < 2$ 时收敛且绝对收敛， $p \\geq 2$ 时发散。结合 (1) 得到 $1 < p < 2$ 时绝对收敛， $0 < p \\leq 1$ 时条件收敛，其余发散", "bbox": [ 90, 360, 905, 411 ], "page_idx": 75 }, { "type": "text", "text": "(3) $\\frac{\\cos x}{x^{p}}\\sim\\frac{1}{x^{p}}$ ，结合(1)得到0 1$ 时绝对收敛， $0 < 2 - p \\leq 1$ 条件收敛。", "bbox": [ 87, 432, 905, 525 ], "page_idx": 75 }, { "type": "text", "text": "(5) $q = 0$ 时显然无法保证 $0, +\\infty$ 同时收敛，原因在于0要求 $p < 1$ ， $\\infty$ 要求 $p > 1$ 。 $q > 0$ 时，令 $t = x^q$ ，得到", "bbox": [ 87, 524, 905, 558 ], "page_idx": 75 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {0} ^ {+ \\infty} x ^ {p} \\sin x ^ {q} \\mathrm{d} x = \\frac {1}{q} \\int_ {0} ^ {+ \\infty} \\frac {\\sin t}{t ^ {1 - \\frac {p + 1}{q}}} \\mathrm{d} t\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 357, 555, 638, 589 ], "page_idx": 75 }, { "type": "text", "text": "转换为前面的问题。", "bbox": [ 90, 596, 236, 609 ], "page_idx": 75 }, { "type": "text", "text": "笔记 $\\int_0^{+\\infty}\\frac{\\sin x}{x^p}\\mathrm{d}x,\\int_0^{+\\infty}\\frac{\\cos x}{x^p}\\mathrm{d}x$ 的收敛情况要当作结论背下来。", "bbox": [ 55, 607, 571, 640 ], "page_idx": 75 }, { "type": "text", "text": "练习 7.7 三角有理式敛散性判别 判断如下几道三角函数有理式的敛散性 (难度较高):", "bbox": [ 58, 653, 707, 669 ], "page_idx": 75 }, { "type": "text", "text": "(1) 判断 $\\int_0^{+\\infty} \\frac{\\sin x}{2x + 3\\sin x} \\mathrm{d}x$ 的敛散性", "bbox": [ 121, 669, 413, 697 ], "page_idx": 75 }, { "type": "text", "text": "(2) 判断 $\\int_{a}^{+\\infty} \\frac{\\sin x}{x^p + \\sin x} \\, \\mathrm{d}x$ 的敛散性", "bbox": [ 122, 699, 401, 728 ], "page_idx": 75 }, { "type": "text", "text": "(3) 证明 $\\int_{0}^{+\\infty} \\frac{\\mathrm{d}x}{1 + x^2 \\sin x^2} \\mathrm{d}x$ 发散", "bbox": [ 122, 728, 386, 760 ], "page_idx": 75 }, { "type": "text", "text": "解(1)该积分没有瑕点，只需要考虑 $\\infty$ ，其敛散性等价于 $\\int_2^\\infty \\frac{\\sin x}{2x + 3\\sin x}\\mathrm{d}x$ 。这里必须拆项(不能直接放缩原因在于分母阶数不够)", "bbox": [ 87, 757, 905, 801 ], "page_idx": 75 }, { "type": "equation", "text": "$$\n{\\frac {\\sin x}{2 x + 3 \\sin x}} = {\\frac {2 x \\sin x}{2 x (2 x + 3 \\sin x)}} = {\\frac {(2 x + 3 \\sin x) \\sin x - 3 \\sin^ {2} x}{2 x (2 x + 3 \\sin x)}} = {\\frac {\\sin x}{2 x}} - {\\frac {3 \\sin^ {2} x}{2 x (2 x + 3 \\sin x)}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 168, 804, 826, 837 ], "page_idx": 75 }, { "type": "text", "text": "考虑前者，显然 $\\frac{1}{2x}$ 单调递减趋于0，而", "bbox": [ 90, 839, 389, 866 ], "page_idx": 75 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\int_ {2} ^ {u} \\sin \\mathrm{d} x \\right| = | \\cos 2 - \\cos u | \\leq 2\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 376, 866, 620, 901 ], "page_idx": 75 }, { "type": "header", "text": "7.1 反常积分理论", "bbox": [ 771, 55, 905, 68 ], "page_idx": 75 }, { "type": "page_number", "text": "68", "bbox": [ 489, 954, 507, 965 ], "page_idx": 75 }, { "type": "text", "text": "根据 Dirichlet 判别法知前者收敛。后者先进行放缩", "bbox": [ 90, 85, 467, 99 ], "page_idx": 76 }, { "type": "equation", "text": "$$\n0 \\leq \\frac {3 \\sin^ {2} x}{2 x (2 x + 3 \\sin x)} \\leq \\frac {3}{2 x (2 x - 3)}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 366, 102, 626, 134 ], "page_idx": 76 }, { "type": "text", "text": "在无穷处等价于 $\\frac{1}{x^2}$ ，根据比较原则得到收敛。综上收敛", "bbox": [ 90, 135, 505, 164 ], "page_idx": 76 }, { "type": "text", "text": "7.1.4 函数在无穷远处的性质", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 181, 354, 198 ], "page_idx": 76 }, { "type": "text", "text": "一、若极限存在，则必为0", "text_level": 2, "bbox": [ 90, 210, 295, 225 ], "page_idx": 76 }, { "type": "text", "text": "练习7.8 $f(x)$ 在 $[a, u]$ 可积， $\\int_{a}^{+\\infty} f(x) \\mathrm{d}x$ 收敛，若 $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = A$ ，则 $A = 0$ 。证明 若 $A \\neq 0$ ，不妨设 $A > 0$ ，则 $\\exists M \\geq a, \\forall x \\geq M, f(x) \\geq \\frac{A}{2}$ ，而 $\\int_{a}^{+\\infty} \\frac{A}{2} \\mathrm{d}x$ 发散，根据比较判别法可知 $\\int_{a}^{+\\infty} f(x) \\mathrm{d}x$ 发散", "bbox": [ 58, 239, 905, 332 ], "page_idx": 76 }, { "type": "text", "text": "练习7.9 $f(x)$ 在 $[a, +\\infty)$ 上连续可微，且 $\\int_{a}^{+\\infty} f(x) \\mathrm{d}x, \\int_{a}^{+\\infty} f'(x) \\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = 0$ 证明由于 $\\int_{a}^{+\\infty} f'(x) \\mathrm{d}x$ 收敛，因此 $\\lim_{u \\to +\\infty} \\int_{a}^{u} f'(x) \\mathrm{d}x = \\lim_{u \\to +\\infty} f(u) - f(a)$ 存在，根据极限存在可知极限为0(前一题结论)。", "bbox": [ 58, 336, 905, 413 ], "page_idx": 76 }, { "type": "text", "text": "练习7.10 $f(x)$ 在 $[a, +\\infty)$ 上连续， $\\int_{a}^{+\\infty} f(x) \\mathrm{d}x$ 收敛，则存在递增趋于 $+\\infty$ 的数列 $x_{n}$ ，使得 $\\lim_{n \\to \\infty} f(x_{n}) = 0$ 。证明根据Cauchy收敛准则，取 $\\epsilon_{1} = 1, \\exists A_{1}', A_{1}'' = A_{1}' + 1$ ，使得 $\\left| \\int_{A_1'}^{A_1''} f(x) \\mathrm{d}x \\right| < \\epsilon_{1} = 1$ 。同理对 $\\epsilon_{2} = \\frac{1}{2}, \\exists A_{2}' \\geq A_{1}', A_{2}'' = A_{2}' + 1$ ，使得 $\\left| \\int_{A_2'}^{A_2''} f(x) \\mathrm{d}x \\right| < \\epsilon_{2} = \\frac{1}{2}$ 。以此类推，根据积分第一中值定理 $\\exists x_{i} \\in [A_{i}', A_{i}'']$ 使得 $|f(x_{n})| = \\left| \\int_{A_{n}'}^{A_{n}''} f(x) \\mathrm{d}x \\right|$ ，显然 $x_{n}$ 单增， $|f(x_{n})| < \\frac{1}{n} \\to 0$ 。", "bbox": [ 58, 424, 905, 562 ], "page_idx": 76 }, { "type": "text", "text": "二、极限不一定存在：光满足非负、连续、可导等并不能说明极限存在，甚至不一定有界", "text_level": 2, "bbox": [ 87, 571, 749, 587 ], "page_idx": 76 }, { "type": "text", "text": "练习7.11举例说明 $f(x)$ 在任意有限区间 $[a, u]$ 非负可积， $\\int_{a}^{+\\infty} f(x) \\mathrm{d}x$ 收敛，则 $f(x)$ 不一定有界。解 $f(x) = \\begin{cases} x, & x \\text{为整数} \\\\ 0, & x \\text{不为整数} \\end{cases}$ ，如果要求恒正则取 $g(x) = f(x) + e^{-x}$", "bbox": [ 58, 599, 816, 676 ], "page_idx": 76 }, { "type": "text", "text": "练习7.12举例说明 $f(x)$ 为 $[a, +\\infty)$ 上连续函数， $\\int_{a}^{+\\infty}f(x)\\mathrm{d}x$ 收敛，不一定有 $\\lim_{x\\to +\\infty}f(x) = 0$ 解例如 $\\int_1^{+\\infty}\\sin x^2\\mathrm{d}x$ ，令 $t = x^{2}$ 以及Dirichlet判别法可知收敛，但是极限不为0。", "bbox": [ 58, 678, 789, 739 ], "page_idx": 76 }, { "type": "text", "text": "练习7.13举例说明 $[a, +\\infty)$ 恒正的连续可微函数， $\\int_{a}^{+\\infty}f(x)\\mathrm{d}x$ 收敛，则 $f(x)$ 不一定有界解 $\\int_1^{+\\infty}\\frac{x}{1 + x^6\\sin^2x}\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 58, 741, 759, 807 ], "page_idx": 76 }, { "type": "text", "text": "三、获得极限存在：虽然非负、连续、可导不能推出 $\\lim_{x\\to +\\infty}f(x) = 0$ ，但一致连续和单调可以推出该性质。", "text_level": 2, "bbox": [ 87, 818, 870, 837 ], "page_idx": 76 }, { "type": "text", "text": "练习7.14经典老题：一致连续 $f(x)$ 在 $[a, +\\infty)$ 上一致连续， $\\int_{a}^{+\\infty}f(x)\\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\\lim_{x\\to +\\infty}f(x) = 0$ 证明 反设 $\\lim_{x\\to +\\infty}f(x)\\neq 0$ ，则 $\\exists \\epsilon_0$ 以及趋于无穷的 $x_{n}$ 使得 $|f(x_n)|\\geq \\epsilon_0$ ，对上述 $\\epsilon_0$ ，根据一致连续 $\\exists \\delta ,\\forall x^{\\prime},x^{\\prime \\prime}\\in$ $[a, + \\infty)$ 只要 $|x^{\\prime} - x^{\\prime \\prime}|\\leq \\delta$ ，就有 $|f(x^{\\prime}) - f(x^{\\prime \\prime})| < \\frac{\\epsilon_0}{2}$ 。对每个 $x_{n}$ ，当 $x\\in [x_n,x_n + \\delta ]$ 时， $|f(x) - f(x_n)| < \\frac{\\epsilon_0}{2}$ 从而 $f(x)$ 在 $[x_n,x_n + \\delta ]$ 不变号，且", "bbox": [ 58, 846, 828, 879 ], "page_idx": 76 }, { "type": "header", "text": "7.1 反常积分理论", "bbox": [ 771, 55, 905, 68 ], "page_idx": 76 }, { "type": "page_number", "text": "69", "bbox": [ 489, 953, 507, 965 ], "page_idx": 76 }, { "type": "text", "text": "", "bbox": [ 87, 83, 907, 143 ], "page_idx": 77 }, { "type": "equation", "text": "$$\n| f (x) | \\geq | f (x _ {n}) | - | f (x) - f (x _ {n}) | > \\frac {\\epsilon_ {0}}{2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 352, 146, 642, 170 ], "page_idx": 77 }, { "type": "text", "text": "对 $\\forall M > a, \\exists N, x_N > M$ 满足 $|\\int_{x_N}^{x_N + \\delta} f(x) \\mathrm{d}x| = \\int_{x_N}^{x_N + \\delta} |f(x)| \\mathrm{d}x \\geq \\int_{x_N}^{x_N + \\delta} \\frac{\\epsilon_0}{2} \\mathrm{d}x = \\frac{\\epsilon_0 \\delta}{2}$ 不趋于 0，根据 Cauchy 收敛准则逆否命题可知 $\\int_{a}^{+\\infty} f(x) \\mathrm{d}x$ 发散，矛盾。", "bbox": [ 89, 170, 905, 239 ], "page_idx": 77 }, { "type": "text", "text": "练习7.15单调 $f(x)$ 在 $[a, +\\infty)$ 单调，且 $\\int_{a}^{+\\infty} f(x) \\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\\lim_{x \\to +\\infty} f(x) = 0$ ，且 $\\lim_{x \\to +\\infty} x f(x) = 0$ 。笔记反之不一定，即使有 $\\lim_{x \\to +\\infty} x f(x) = 0$ ，也不一定有 $\\int_{a}^{+\\infty} f(x) \\mathrm{d}x$ 收敛，例如 $f(x) = \\frac{1}{x \\ln x}$", "bbox": [ 55, 242, 845, 306 ], "page_idx": 77 }, { "type": "text", "text": "7.2 反常积分的计算", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 341, 314, 361 ], "page_idx": 77 }, { "type": "text", "text": "7.2.1 两个常用的基础反常积分", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 380, 374, 397 ], "page_idx": 77 }, { "type": "text", "text": "练习7.16计算 $\\int_0^{+\\infty}e^{-ax}\\cos bx\\mathrm{d}x,\\int_0^{+\\infty}e^{-ax}\\sin bx\\mathrm{d}x$ ，其中 $a > 0$ 解直接写不定积分即可(具体计算见配对积分法一节)， $I_{1} = \\frac{e^{-ax}}{a^{2} + b^{2}} (a\\cos bx + b\\sin bx)\\bigg|_{0}^{+\\infty} = \\frac{a}{a^2 + b^2}$ ，同理得到 $I_{2} = \\frac{b}{a^{2} + b^{2}}$", "bbox": [ 58, 406, 905, 499 ], "page_idx": 77 }, { "type": "text", "text": "练习7.17对数配对积分(1)计算 $I_{n} = \\int_{0}^{1}(\\ln x)^{n}\\mathrm{d}x$ (2)计算 $I(m,n) = \\int_0^1 x^m (\\ln x)^n\\mathrm{d}x$ 解(1)做一次分部积分得到 $I_{n} = x(\\ln x)^{n}\\Big|_{0}^{1} - \\int_{0}^{1}n(\\ln x)^{n - 1}\\mathrm{d}x = -nI_{n - 1}$ ，而 $I_{1} = \\int_{0}^{1}\\ln x\\mathrm{d}x = x\\ln x\\Big|_{0}^{1} - x\\Big|_{0}^{1} = -1$ ，综上得到 $I_{n} = (-1)^{n}n!$ (2) $I(m,n) = -\\frac{n}{m + 1} I(m,n - 1)$ ，结合 $I(m,0) = \\frac{1}{m + 1}$ 可得 $I(m,n) = \\frac{(-1)^{n}n!}{(m + 1)^{n + 1}}$", "bbox": [ 58, 505, 905, 615 ], "page_idx": 77 }, { "type": "text", "text": "7.2.2 富如兰尼积分", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 633, 273, 650 ], "page_idx": 77 }, { "type": "text", "text": "定理 7.8 (两侧极限存在则无穷积分收敛)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 665, 421, 680 ], "page_idx": 77 }, { "type": "text", "text": "重点： $f(x)$ 在任意有限区间可积， $\\lim_{x\\to +\\infty}f(x) = A,\\lim_{x\\to -\\infty}f(x) = B$ ，给定 $a\\in \\mathbb{R}$ ，则下面积分收敛，且值为 $a(A - B)$", "bbox": [ 112, 684, 882, 720 ], "page_idx": 77 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {- \\infty} ^ {+ \\infty} [ f (a + x) - f (x) ] \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 401, 719, 593, 753 ], "page_idx": 77 }, { "type": "text", "text": "证明 根据定义， $\\int_{-\\infty}^{+\\infty}f(x)\\mathrm{d}x = \\lim_{M\\to +\\infty}\\lim_{m\\to -\\infty}\\int_{m}^{M}[f(a + x) - f(x)]\\mathrm{d}x$ ，对有限区域积分做如下变换：", "bbox": [ 90, 763, 845, 797 ], "page_idx": 77 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int_ {m} ^ {M} [ f (a + x) - f (x) ] \\mathrm{d} x = \\int_ {m + a} ^ {M + a} f (x) \\mathrm{d} x - \\int_ {m} ^ {M} f (x) \\mathrm{d} x = \\int_ {M} ^ {M + a} f (x) \\mathrm{d} x - \\int_ {m} ^ {m + a} f (x) \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 152, 800, 843, 835 ], "page_idx": 77 }, { "type": "text", "text": "代入 $A, B$ ，得到 $I = \\int_{M}^{M + a}[f(x) - A]\\mathrm{d}x - \\int_{m}^{m + a}[f(x) - B]\\mathrm{d}x + a(A - B)$ ，根据极限 $\\lim_{M\\to +\\infty}[f(x) - A]\\mathrm{d}x = 0$ ，同理 $\\lim_{N\\to +\\infty}[f(x) - B]\\mathrm{d}x = 0$ ，因此取极限得到收敛，且值为 $a(A - B)$", "bbox": [ 90, 837, 905, 890 ], "page_idx": 77 }, { "type": "header", "text": "7.2 反常积分的计算", "bbox": [ 754, 54, 905, 68 ], "page_idx": 77 }, { "type": "page_number", "text": "70", "bbox": [ 489, 953, 509, 965 ], "page_idx": 77 }, { "type": "text", "text": "定理 7.9 (富如兰尼积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 86, 304, 102 ], "page_idx": 78 }, { "type": "text", "text": "$f(x)$ 为 $[0, +\\infty)$ 连续函数， $a, b > 0$ ，则", "bbox": [ 115, 105, 411, 121 ], "page_idx": 78 }, { "type": "text", "text": "1. 若 $\\lim_{x\\to +\\infty}f(x)$ 存在，则", "bbox": [ 136, 124, 334, 146 ], "page_idx": 78 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {0} ^ {+ \\infty} \\frac {f (a x) - f (b x)}{x} \\mathrm{d} x = [ f (0) - f (+ \\infty) ] \\ln \\frac {b}{a}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 347, 149, 690, 181 ], "page_idx": 78 }, { "type": "text", "text": "2. 若 $\\exists A > 0$ ，使得 $\\int_{A}^{+\\infty} \\frac{f(x)}{x} \\mathrm{d}x$ 收敛，则", "bbox": [ 134, 184, 462, 216 ], "page_idx": 78 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {0} ^ {+ \\infty} \\frac {f (a x) - f (b x)}{x} \\mathrm{d} x = f (0) \\ln {\\frac {b}{a}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 389, 219, 650, 252 ], "page_idx": 78 }, { "type": "text", "text": "证明 下面对 $I = \\int_{m}^{M}\\frac{f(ax) - f(bx)}{x}\\mathrm{d}x$ 进行化简：", "bbox": [ 90, 263, 460, 297 ], "page_idx": 78 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int_ {m} ^ {M} \\frac {f (a x)}{x} \\mathrm{d} x - \\int_ {m} ^ {M} \\frac {f (b x)}{x} \\mathrm{d} x = \\int_ {a m} ^ {a M} \\frac {f (x)}{x} \\mathrm{d} x - \\int_ {b m} ^ {b M} \\frac {f (x)}{x} \\mathrm{d} x = \\int_ {a m} ^ {b m} \\frac {f (x)}{x} \\mathrm{d} x - \\int_ {a M} ^ {b M} \\frac {f (x)}{x} \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 136, 298, 858, 332 ], "page_idx": 78 }, { "type": "text", "text": "(1) 根据积分第一中值定理得到", "bbox": [ 122, 335, 354, 349 ], "page_idx": 78 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} \\int_ {a m} ^ {b m} \\frac {f (x)}{x} \\mathrm{d} x = f (\\xi) \\int_ {a \\eta} ^ {b m} \\frac {1}{x} \\mathrm{d} x = f (\\xi) \\ln \\frac {b}{a} \\\\ \\int_ {a M} ^ {b M} \\frac {f (x)}{x} \\mathrm{d} x = f (\\eta) \\int_ {a M} ^ {b M} \\frac {1}{x} \\mathrm{d} x = f (\\eta) \\ln \\frac {b}{a} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 324, 353, 655, 414 ], "page_idx": 78 }, { "type": "text", "text": "当 $m \\to 0^{+}, M \\to +\\infty$ 时可代入极限，因此结果为 $[f(0) - f(+\\infty)] \\ln \\frac{b}{a}$", "bbox": [ 92, 419, 615, 445 ], "page_idx": 78 }, { "type": "text", "text": "(2) 由于 $\\int_{A}^{+\\infty} f(x) \\mathrm{d}x$ 收敛，因此第二项 $\\lim_{M \\to +\\infty} \\frac{f(x)}{x} \\mathrm{d}x = 0$ ，同时第一项用积分中值定理取极限得到 $f(0) \\ln \\frac{b}{a}$", "bbox": [ 89, 443, 905, 502 ], "page_idx": 78 }, { "type": "text", "text": "练习 7.18 富如兰尼积分的应用 计算以下反常积分", "bbox": [ 60, 517, 460, 531 ], "page_idx": 78 }, { "type": "text", "text": "(1) $\\int_{0}^{+\\infty}\\frac{\\arctan ax - \\arctan bx}{x}\\mathrm{d}x$ (2) $\\int_0^{+\\infty}\\frac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x}\\mathrm{d}x$ (3) $\\int_0^{+\\infty}\\frac{\\cos ax - \\cos bx}{x}\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 122, 529, 744, 561 ], "page_idx": 78 }, { "type": "text", "text": "解 (1) $\\arctan 0 = 0, \\arctan (+\\infty) = \\frac{\\pi}{2}$ ，因此积分为 $-\\frac{\\pi}{2} \\ln \\frac{b}{a}$", "bbox": [ 90, 560, 522, 588 ], "page_idx": 78 }, { "type": "text", "text": "(2) $e^{0}=1,e^{-\\infty}=0$ ，因此积分为 $\\ln\\frac{b}{a}$", "bbox": [ 122, 586, 401, 613 ], "page_idx": 78 }, { "type": "text", "text": "(3) $\\cos 0 = 1, \\int_{A}^{+\\infty} \\frac{\\cos x}{x} \\mathrm{d}x$ 收敛，因此积分为 $\\ln \\frac{b}{a}$", "bbox": [ 122, 612, 495, 642 ], "page_idx": 78 }, { "type": "text", "text": "7.2.3 Dirichlet 积分", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 675, 273, 690 ], "page_idx": 78 }, { "type": "text", "text": "引理7.1", "text_level": 2, "bbox": [ 124, 706, 189, 721 ], "page_idx": 78 }, { "type": "text", "text": "设 $p > 0$ ，则含参积分 $\\int_0^{+\\infty}e^{-px}\\frac{\\sin bx - \\sin ax}{x}\\mathrm{d}x = \\arctan \\frac{b}{p} -\\arctan \\frac{a}{p}$", "bbox": [ 115, 725, 655, 758 ], "page_idx": 78 }, { "type": "text", "text": "证明 首先 $\\frac{\\sin bx - \\sin ax}{x} = \\int_{a}^{b} \\cos xy \\, dy$ ，因此", "bbox": [ 89, 771, 443, 803 ], "page_idx": 78 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int_ {0} ^ {+ \\infty} \\mathrm{d} x \\int_ {a} ^ {b} e ^ {- p x} \\cos x y \\mathrm{d} y\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 384, 806, 613, 839 ], "page_idx": 78 }, { "type": "text", "text": "由于 $|e^{-px}\\cos xy|\\leq e^{-px}$ ，显然 $\\int_0^{+\\infty}e^{-px}\\mathrm{d}x$ 绝对收敛，因此 $\\int_0^{+\\infty}e^{-px}\\cos xy\\mathrm{d}x,y\\in [a,b]$ 一致收敛，交换积", "bbox": [ 92, 840, 905, 875 ], "page_idx": 78 }, { "type": "header", "text": "7.2 反常积分的计算", "bbox": [ 754, 54, 905, 68 ], "page_idx": 78 }, { "type": "page_number", "text": "71", "bbox": [ 489, 953, 507, 965 ], "page_idx": 78 }, { "type": "text", "text": "分顺序得到", "bbox": [ 90, 85, 179, 99 ], "page_idx": 79 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int_ {a} ^ {b} \\mathrm{d} y \\int_ {0} ^ {+ \\infty} e ^ {- p x} \\cos x y \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 384, 101, 613, 135 ], "page_idx": 79 }, { "type": "text", "text": "根据表格法得到:", "bbox": [ 90, 137, 220, 151 ], "page_idx": 79 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {0} ^ {+ \\infty} e ^ {- p x} \\cos x y \\mathrm{d} x = - \\frac {1}{p} e ^ {- p x} \\cos x y \\bigg | _ {0} ^ {+ \\infty} + \\frac {y}{p ^ {2}} e ^ {- p x} \\sin x y \\bigg | _ {0} ^ {+ \\infty} - \\int_ {0} ^ {+ \\infty} \\frac {y ^ {2}}{p ^ {2}} e ^ {- p x} \\cos x y \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 178, 153, 818, 187 ], "page_idx": 79 }, { "type": "text", "text": "因此得到 $\\frac{y^2 + p^2}{p^2}\\int_0^{+\\infty}\\cos xy\\mathrm{d}y = \\frac{1}{p}$", "bbox": [ 90, 191, 368, 224 ], "page_idx": 79 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int_ {a} ^ {b} {\\frac {p}{p ^ {2} + y ^ {2}}} \\mathrm{d} y = \\arctan {\\frac {b}{p}} - \\arctan {\\frac {a}{p}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 344, 225, 650, 260 ], "page_idx": 79 }, { "type": "text", "text": "定理 7.10 (Dirichlet 积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 274, 312, 288 ], "page_idx": 79 }, { "type": "text", "text": "积分 $\\int_0^{+\\infty}\\frac{\\sin x}{x}\\mathrm{d}x = \\frac{\\pi}{2}$ ，进一步地， $\\int_0^{+\\infty}\\frac{\\sin px}{x}\\mathrm{d}x = \\frac{\\pi}{2}\\mathrm{sgn}(p)$", "bbox": [ 114, 294, 584, 326 ], "page_idx": 79 }, { "type": "text", "text": "证明 令引理中 $a = 0$ ，将 $p$ 看成参数， $G(p) = \\int_{0}^{+\\infty} e^{-px} \\frac{\\sin bx}{x} \\mathrm{d}x = \\arctan \\frac{b}{p}$ ，由于 $\\int_{0}^{+\\infty} \\frac{\\sin bx}{x} \\mathrm{d}x$ 条件收敛， $e^{-px}$ 在固定 $x$ 时关于 $p$ 单调，且一致有界，根据 Abel 判别法可知 $G(p)$ 在 [0,1] 上一致收敛，从而", "bbox": [ 89, 337, 907, 382 ], "page_idx": 79 }, { "type": "equation", "text": "$$\nG (0) = \\lim _ {p \\to 0 ^ {+}} G (p) = \\lim _ {p \\to 0 ^ {+}} \\arctan {\\frac {b}{p}} = \\frac {\\pi}{2} \\mathrm{sgn} (b)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 327, 387, 668, 416 ], "page_idx": 79 }, { "type": "text", "text": "特别地， $b = 1$ 得到 $\\int_0^{+\\infty}\\frac{\\sin x}{x}\\mathrm{d}x = \\frac{\\pi}{2}$", "bbox": [ 90, 420, 379, 451 ], "page_idx": 79 }, { "type": "text", "text": "练习7.19Dirichlet积分的应用 计算以下反常积分：(1)重点： $\\int_0^{+\\infty}\\frac{\\sin x^2}{x}\\mathrm{d}x$ (2)重点： $\\int_0^{+\\infty}\\frac{\\sin^2x}{x^2}\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 58, 455, 838, 488 ], "page_idx": 79 }, { "type": "equation", "text": "$$\n(3) \\int_ {0} ^ {+ \\infty} \\frac {\\sin^ {4} x}{x ^ {2}} \\mathrm{d} x (4) \\int_ {0} ^ {+ \\infty} \\frac {\\sin^ {4} x}{x ^ {4}} \\mathrm{d} x (5) \\int_ {0} ^ {+ \\infty} \\frac {x - \\sin x}{x ^ {3}} \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 122, 486, 542, 518 ], "page_idx": 79 }, { "type": "text", "text": "解(1)做 $t = x^2$ ，得到 $\\frac{1}{2}\\int_0^{+\\infty}\\frac{\\sin t}{t}\\mathrm{d}t = \\frac{\\pi}{4}$", "bbox": [ 89, 519, 406, 546 ], "page_idx": 79 }, { "type": "text", "text": "(2) $\\int_{0}^{+\\infty}\\frac{\\sin^{2}x}{x^{2}}\\mathrm{d}x=-\\int_{0}^{+\\infty}\\sin^{2}x\\mathrm{d}\\left(\\frac{1}{x}\\right)$ ，用分部积分得到", "bbox": [ 122, 546, 564, 580 ], "page_idx": 79 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = - \\frac {\\sin^ {2} x}{x} \\bigg | _ {0} ^ {+ \\infty} + \\int_ {0} ^ {+ \\infty} \\frac {\\sin 2 x}{2 x} \\mathrm{d} 2 x = \\frac {\\pi}{2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 347, 583, 648, 615 ], "page_idx": 79 }, { "type": "text", "text": "(3) 先分部积分得到", "bbox": [ 122, 619, 270, 633 ], "page_idx": 79 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {0} ^ {+ \\infty} \\frac {\\sin^ {4} x}{x ^ {2}} \\mathrm{d} x = - \\int_ {0} ^ {+ \\infty} \\sin^ {4} x \\mathrm{d} \\left(\\frac {1}{x}\\right) = \\int_ {0} ^ {+ \\infty} \\frac {4 \\sin^ {3} x \\cos x}{x} \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 265, 636, 731, 669 ], "page_idx": 79 }, { "type": "text", "text": "根据 $4\\sin^3 x\\cos x = \\sin 2x(1 - \\cos 2x) = \\sin 2x - \\frac{1}{2}\\sin 4x$ 得到", "bbox": [ 90, 674, 549, 699 ], "page_idx": 79 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int_ {0} ^ {+ \\infty} \\frac {\\sin 2 x}{2 x} \\mathrm{d} (2 x) - \\frac {1}{2} \\int_ {0} ^ {+ \\infty} \\frac {\\sin 4 x}{4 x} \\mathrm{d} (4 x) = \\frac {\\pi}{4}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 312, 702, 682, 734 ], "page_idx": 79 }, { "type": "header", "text": "7.2 反常积分的计算", "bbox": [ 754, 54, 905, 68 ], "page_idx": 79 }, { "type": "page_number", "text": "72", "bbox": [ 489, 953, 507, 965 ], "page_idx": 79 }, { "type": "text", "text": "第8章 数项级数", "text_level": 2, "bbox": [ 396, 87, 618, 111 ], "page_idx": 80 }, { "type": "text", "text": "8.1 数项级数基本理论", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 145, 337, 164 ], "page_idx": 80 }, { "type": "text", "text": "定义 8.1 (数项级数收敛)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 186, 302, 200 ], "page_idx": 80 }, { "type": "text", "text": "给定数项级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n$ ，定义 $S_n = \\sum_{k=1}^{n} u_n$ 为部分和函数，若 $\\lim_{n \\to \\infty} S_n = S$ 收敛，则称 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n$ 收敛，否则称数项级数发散。", "bbox": [ 114, 205, 882, 258 ], "page_idx": 80 }, { "type": "text", "text": "定理 8.1 (数项级数收敛的各种条件)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 281, 388, 296 ], "page_idx": 80 }, { "type": "text", "text": "给定数项级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n$ ，其收敛的条件：", "bbox": [ 114, 300, 398, 338 ], "page_idx": 80 }, { "type": "text", "text": "\\- 必要条件 (一定能推出): $\\lim_{n\\to \\infty}u_n = 0$", "bbox": [ 139, 337, 433, 354 ], "page_idx": 80 }, { "type": "text", "text": "\\- 充要条件 (Cauchy 准则): $\\forall \\epsilon, \\exists N, \\forall m, m + p > N$ 有 $|u_{m+1} + \\cdots + u_{m+p}| < \\epsilon$", "bbox": [ 139, 355, 721, 372 ], "page_idx": 80 }, { "type": "text", "text": "笔记 一般证明发散要么不满足必要条件，要么用 Cauchy 准则逆否命题", "text_level": 2, "bbox": [ 87, 390, 611, 406 ], "page_idx": 80 }, { "type": "text", "text": "练习 8.1Cauchy 收敛准则 (1) 证明 $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n}$ 发散 (2) 用 Cauchy 收敛准则证明 $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n^{2}}$ 收敛\n\n证明 (1) $\\exists\\epsilon_{0}=0,\\forall N,m=N+1,m+p=2N$ ，则 $\\frac{1}{m+1}+\\frac{1}{m+2}+\\cdots+\\frac{1}{2m}\\geq\\frac{1}{2}=\\epsilon_{0}$ ，根据 Cauchy 逆否命题可证 (也可以用积分判别法证明)\n\n(2) 用 $\\frac{1}{n^{2}}<\\frac{1}{n(n-1)}$ ，直接求和或者用 Cauchy 收敛准则都行", "bbox": [ 58, 418, 905, 521 ], "page_idx": 80 }, { "type": "text", "text": "定理 8.2 (子列问题)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 542, 270, 557 ], "page_idx": 80 }, { "type": "text", "text": "对于数项级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n$ ，若 $\\lim_{n \\to \\infty} u_n = 0$ ， $S_n = \\sum_{k=1}^{n} u_k$ 有一个子列 $S_{np}$ ( $p$ 为固定整数) 收敛，则 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n$ 收敛", "bbox": [ 112, 558, 899, 604 ], "page_idx": 80 }, { "type": "text", "text": "练习 8.2 交错子列 证明 $1 + \\frac{1}{2} + (\\frac{1}{3} - 1) + \\frac{1}{4} + \\frac{1}{5} + (\\frac{1}{6} - \\frac{1}{2}) + \\cdots = \\ln 3$", "bbox": [ 60, 631, 621, 659 ], "page_idx": 80 }, { "type": "text", "text": "证明 $S_{3n}=\\sum_{k=1}^{3n}u_{k}=(1+\\frac{1}{2}+\\cdots+\\frac{1}{3n})-(1+\\frac{1}{2}+\\cdots+\\frac{1}{n})$ ，配合 Euler 常数可知 $S_{3n}=\\ln3n+\\gamma-\\ln n-\\gamma=\\ln3$", "bbox": [ 65, 653, 902, 699 ], "page_idx": 80 }, { "type": "text", "text": "定理 8.3 (去除有限项)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 711, 285, 726 ], "page_idx": 80 }, { "type": "text", "text": "去掉、增加、改变级数的有限项并不改变数项级数的收敛性。", "bbox": [ 117, 731, 564, 746 ], "page_idx": 80 }, { "type": "text", "text": "8.2 正项级数", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 87, 240, 107 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "8.2.1 比较原则", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 126, 233, 143 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "定理 8.4 (比较原则)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 160, 270, 174 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "$\\sum_{n = 1}^{\\infty}u_n,\\sum_{n = 1}^{\\infty}v_n$ 是两个正项级数，", "bbox": [ 112, 179, 347, 218 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "\\- 非极限形式：若 $\\exists N > 0$ 使得 $\\forall n > N$ 满足 $u_{n} \\leq v_{n}$ ，则根据 $\\sum_{n=1}^{\\infty} v_{n}$ 收敛推出 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_{n}$ 收敛；根据 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_{n}$ 发散，则 $\\sum_{n=1}^{\\infty} v_{n}$ 也发散", "bbox": [ 137, 214, 882, 288 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "\\- 极限形式： $\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{u_n}{v_n} = \\lambda$ 。当 $0 < \\lambda < \\infty$ ，同敛散。 $\\lambda = 0$ 则 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}v_n$ 敛推 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}u_n$ 敛。 $\\lambda = \\infty$ 时 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}v_n$ 发散推 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}v_n$ 发散", "bbox": [ 139, 286, 887, 365 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "笔记 比较原则极限形式的 $0 < \\lambda < \\infty$ 情况即可以使用等价无穷小。但在一些特殊情况下也需要用 $\\lambda = 0, \\lambda = \\infty$ 的形式。", "bbox": [ 87, 379, 905, 413 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "例题8.1常用比较对象 $\\sum_{n = 0}^{\\infty}\\frac{1}{n^p}$ 在 $p > 1$ 时收敛，在 $p\\leq 1$ 时发散证明用积分判别法", "bbox": [ 87, 426, 569, 478 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "练习8.3使用等价无穷小 判断敛散性：(1) $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{n^2 + 1}}$ (2) $\\sum_{n=1}^{\\infty} 2^n \\sin \\frac{\\pi}{3^n}$", "bbox": [ 58, 491, 611, 530 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "(3) 重点: $\\sum_{n=1}^{\\infty} (\\sqrt[n]{2} - 1)$ (4) 重点: $\\sum_{n=1}^{\\infty} (a^{\\frac{1}{n}} + a^{-\\frac{1}{n}} - 2)(a > 1)$", "bbox": [ 121, 527, 566, 565 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "解 (1) $\\frac{1}{\\sqrt{n^2 + 1}} \\sim \\frac{1}{n}$ ，发散", "bbox": [ 90, 562, 287, 593 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "(2)和等比级数比，等价于 $(\\frac{2}{3})^n\\pi$ ，收敛", "bbox": [ 122, 592, 421, 618 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "(3) 根据 $2^{\\frac{1}{n}} - 1 \\sim \\frac{1}{n} \\ln 2$ ，发散 (注意这里用的是 $a^x \\sim x \\ln a - 1$ )", "bbox": [ 122, 618, 600, 643 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "(4) 根据 $a^{\\frac{1}{n}} + a^{-\\frac{1}{n}} - 2 = (a^{\\frac{1}{2n}} - a^{-\\frac{1}{2n}})^2 = a^{-\\frac{1}{n}}(a^{\\frac{1}{n}} - 1)^2 \\sim \\frac{\\ln^2 a}{n^2}$ 收敛", "bbox": [ 122, 642, 640, 673 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "练习8.4含对数与指数(1)重点： $\\sum_{n = 1}^{\\infty}\\frac{1}{3^{\\ln n}}$ (2)重点： $\\sum_{n = 2}^{\\infty}\\frac{1}{(\\ln n)^{\\ln n}}$ (3) $\\sum_{n = 3}^{\\infty}\\frac{1}{(\\ln\\ln n)^{\\ln n}}$ (4)特殊： $\\sum_{n = 2}^{\\infty}\\frac{1}{(\\ln n)^n}$", "bbox": [ 58, 678, 867, 718 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "(5) 重点: $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^{2n \\sin \\frac{1}{n}}}$ (6) 重点: $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{\\ln(n+1)}{e^n}$ (7) $\\sum_{n=1}^{\\infty} (e^{\\frac{1}{n^2}} - \\cos \\frac{\\pi}{n})$", "bbox": [ 117, 715, 618, 753 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "解 对数需要用到恒等式 $a^{\\ln b} = b^{\\ln a}$ (两侧取对数即可证明)", "bbox": [ 90, 752, 515, 766 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "(1) $\\frac{1}{3^{\\ln n}} = \\frac{1}{n^{\\ln 3}}$ 收敛", "bbox": [ 122, 766, 278, 791 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "(2) $\\frac{1}{(\\ln n)^{\\ln n}}=\\frac{1}{n^{\\ln(\\ln n)}}<\\frac{1}{n^{2}}$ 收敛", "bbox": [ 122, 790, 376, 820 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "(3) $\\frac{1}{(\\ln \\ln n)^{\\ln n}} = \\frac{1}{n^{\\ln \\ln \\ln n}} < \\frac{1}{n^2}$ ，收敛", "bbox": [ 122, 819, 413, 847 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "(4) $\\frac{1}{(\\ln n)^n} < \\frac{1}{2^n}$ ，收敛", "bbox": [ 124, 846, 297, 875 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "(5) $\\frac{1}{n^{2n\\sin\\frac{1}{n}}} < \\frac{1}{n^{\\frac{3}{2}}}$ ，因此收敛。", "bbox": [ 122, 875, 351, 903 ], "page_idx": 81 }, { "type": "header", "text": "8.2 正项级数", "bbox": [ 805, 55, 905, 68 ], "page_idx": 81 }, { "type": "page_number", "text": "74", "bbox": [ 489, 953, 509, 964 ], "page_idx": 81 }, { "type": "text", "text": "(6) $\\lim_{n\\to \\infty}n^2\\frac{\\ln(n + 1)}{e^n}\\rightarrow 0$", "bbox": [ 122, 82, 310, 111 ], "page_idx": 82 }, { "type": "text", "text": "(7)Taylor 展开: $e^{\\frac{1}{n^2}} - \\cos \\frac{\\pi}{n} = 1 + \\frac{1}{n^2} - 1 + \\frac{\\pi^2}{2n^2} + o\\left(\\frac{1}{n^2}\\right) = \\left(1 + \\frac{\\pi^2}{2}\\right)\\frac{1}{n^2}$ 收敛笔记要灵活使用比较判别法。有时用等价无穷小，有时直接放缩，有时乘上 $n^2$ (一般在分母极大)，有时Taylor展开", "bbox": [ 87, 108, 907, 175 ], "page_idx": 82 }, { "type": "text", "text": "练习 8.5 等价无穷小的进一步应用 $(1)a_{n}>0$ ，证明 $(1+a_{1})(1+a_{2})\\cdots(1+a_{n})$ 与 $\\sum_{n=1}^{\\infty}a_{n}$ 敛散性相同 $(2)a_{n}=(1-\\frac{p\\ln n}{n})^{n}$ ，讨论 $\\sum_{n=1}^{\\infty}b_{n}$ 的敛散性", "bbox": [ 58, 190, 833, 260 ], "page_idx": 82 }, { "type": "text", "text": "(3) $f(x)$ 在 $[-1, 1]$ 二阶连续可微，且 $\\lim_{x \\to 0} \\frac{f(x)}{x} = 0$ ，证明 $\\sum_{n=1}^{\\infty} f\\left(\\frac{1}{n}\\right)$ 绝对收敛证明 (1) 取对数即 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\ln(1 + a_n)$ ， $\\lim_{n \\to \\infty} a_n = 0$ 时， $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{\\ln(1 + a_n)}{a_n} = 1$ ，故同敛散。若 $\\lim_{n \\to \\infty} a_n \\neq 0$ 时， $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n$ 发散，显然 $\\lim_{n \\to \\infty} \\ln(1 + a_n) \\neq 0$ ，故也发散。", "bbox": [ 90, 260, 905, 351 ], "page_idx": 82 }, { "type": "text", "text": "(2) $a_{n}=e^{n\\ln(1-\\frac{p\\ln n}{n})}=e^{n[-\\frac{p\\ln n}{n}+o(\\frac{1}{n})]}=e^{-p\\ln n}\\sim\\frac{1}{p^{p}}$ ，当p>1时收敛， $p\\leq1$ 时发散。", "bbox": [ 122, 351, 771, 376 ], "page_idx": 82 }, { "type": "text", "text": "(3) 根据 $\\lim_{x\\to0}\\frac{f(x)}{x}=0$ 得到 $f'(0)=0$ ，根据 Lagrange 余项得到 $f(\\frac{1}{n})=f'(\\xi)\\frac{1}{n^{2}}$ ，因此收敛", "bbox": [ 122, 376, 791, 406 ], "page_idx": 82 }, { "type": "text", "text": "定理 8.5 (比式比较判别法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 425, 319, 439 ], "page_idx": 82 }, { "type": "text", "text": "$\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n, \\sum_{n=1}^{\\infty} v_n$ 为正项级数， $\\exists N, \\forall n \\geq N$ 有 $\\frac{u_{n+1}}{u_n} \\leq \\frac{v_{n+1}}{v_n}$ ，则 $\\sum_{n=1}^{\\infty} v_n$ 收敛可推出 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n$ 收敛， $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n$ 发散可推出 $\\sum_{n=1}^{\\infty} v_n$ 发散", "bbox": [ 112, 442, 899, 523 ], "page_idx": 82 }, { "type": "text", "text": "证明 根据 $\\frac{u_{n}}{u_{N}} = \\frac{u_{N+1}}{u_{N}} \\frac{u_{N+2}}{u_{N+1}} \\cdots \\frac{u_{n}}{u_{n-1}} \\leq \\frac{v_{N+1}}{v_{N}} \\frac{v_{N+2}}{v_{N+1}} \\cdots \\frac{v_{n}}{v_{n+1}} = \\frac{v_{n}}{v_{N}}$ ，由此推出 $u_{n} \\leq \\frac{u_{N}}{v_{N}} v_{n}$ 只相差一个常数，因此根据一般的比较判别法可得到结论。", "bbox": [ 89, 533, 905, 575 ], "page_idx": 82 }, { "type": "text", "text": "练习8.6比式比较判别法基本应用 $a_{n} > 0,0 < \\alpha \\leq 1,\\beta >1$ ，证明：(1)若 $\\frac{a_{n + 1}}{a_n}\\geq (1 - \\frac{1}{n})^\\alpha$ ，则 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}a_n$ 发散(2)若 $\\frac{a_{n + 1}}{a_n}\\leq (1 - \\frac{1}{n})^\\beta$ ，则 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}a_n$ 收敛", "bbox": [ 60, 590, 905, 659 ], "page_idx": 82 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 根据 $\\frac{a_{n+1}}{a_n} \\geq \\left(\\frac{n-1}{n}\\right)^\\alpha = \\frac{\\frac{1}{n^\\alpha}}{\\frac{1}{(n-1)^\\alpha}}$ ，因此根据结论发散 (2) 同理", "bbox": [ 89, 659, 613, 697 ], "page_idx": 82 }, { "type": "text", "text": "8.2.2 比式判别法与根式判别法", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 715, 374, 733 ], "page_idx": 82 }, { "type": "text", "text": "前面比较判别法常用的比较对象是 $\\frac{1}{n^p}$ ，而根式判别法与比式判别法的比较对象是等比级数。", "bbox": [ 122, 741, 800, 772 ], "page_idx": 82 }, { "type": "text", "text": "定理 8.6 (比式判别法与根式判别法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 781, 388, 795 ], "page_idx": 82 }, { "type": "text", "text": "$\\sum_{n = 1}^{\\infty}u_n$ 是正项级数，则", "bbox": [ 114, 801, 289, 838 ], "page_idx": 82 }, { "type": "text", "text": "\\- 比式判别法：若 $\\varlimsup_{n\\to \\infty}\\frac{u_{n + 1}}{u_n} = q < 1$ ，则 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}u_n$ 收敛，若 $\\varliminf_{n\\to \\infty}\\frac{u_{n + 1}}{u_n} >1$ 则发散。", "bbox": [ 139, 837, 752, 875 ], "page_idx": 82 }, { "type": "header", "text": "8.2 正项级数", "bbox": [ 806, 55, 905, 68 ], "page_idx": 82 }, { "type": "page_number", "text": "75", "bbox": [ 489, 953, 507, 965 ], "page_idx": 82 }, { "type": "text", "text": "\\- 根式判别法：若 $\\varlimsup_{n\\to \\infty}\\sqrt[n]{u_n} = l < 1$ 则 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}u_n$ 收敛， $\\varlimsup_{n\\to \\infty}\\sqrt[n]{u_n} >1$ 则发散。(双上极限)", "bbox": [ 139, 93, 796, 133 ], "page_idx": 83 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 若 $\\varlimsup_{n\\to \\infty}\\frac{u_{n + 1}}{u_n} = q < 1$ ，则对 $\\forall r\\in (q,1)$ ， $\\exists N,\\forall n > N$ 有 $\\frac{u_{n + 1}}{u_n} < r = \\frac{r^{n + 1}}{r^n}$ ，而 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}r^n$ 收敛，根据比式比较判别法可知。另一侧同理。", "bbox": [ 89, 146, 905, 197 ], "page_idx": 83 }, { "type": "text", "text": "(2.1) 若 $\\varlimsup_{n\\to \\infty}\\sqrt[n]{u_n} = l < 1$ ，则 $\\forall r\\in (l,1)$ ， $\\exists N,\\forall n > N$ 有 $\\sqrt[n]{u_n} < r$ ，即 $u_{n} < r^{n}$ ，由于 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}r^n$ 收敛，因此 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}u_n$ 收敛。", "bbox": [ 87, 199, 905, 267 ], "page_idx": 83 }, { "type": "text", "text": "(2.2) 另一侧若 $\\varlimsup_{n\\to \\infty}\\sqrt[n]{u_n} = l > 1$ ，则 $\\forall r\\in (1,l)$ ，存在子列 $\\sqrt[n]{u_{n_k}}\\geq r$ ， $u_{n_k}\\geq r^{n_k}\\to \\infty$ ，因此 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}u_n$ 发散。", "bbox": [ 89, 268, 905, 315 ], "page_idx": 83 }, { "type": "text", "text": "笔记理论上根式判别法证明发散只需要证上极限, 比比式条件更弱, 因此更好用。而且由于 $\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{u_{n+1}}{u_n}\\leq\\lim_{n\\to\\infty}\\sqrt[n]{u_n}\\leq\\overline{\\lim}_{n\\to\\infty}\\sqrt[n]{u_n}\\leq\\overline{\\lim}_{n\\to\\infty}\\frac{u_{n+1}}{u_n}$ 可知能用比式的一定能用根式, 一定要记住 $\\sqrt[n]{n!}\\sim\\frac{n}{e}$", "bbox": [ 87, 317, 929, 368 ], "page_idx": 83 }, { "type": "text", "text": "练习8.7使用根式判别法用根式判别法法证明(1) $\\sum_{n = 1}^{\\infty}\\frac{n^2}{(2 + \\frac{1}{n})^n}$ (2) $\\sum_{n = 1}^{\\infty}\\frac{n!}{n^n}$ (3) $\\sum_{n = 1}^{\\infty}\\frac{n!3^n}{n^n}$", "bbox": [ 58, 374, 715, 411 ], "page_idx": 83 }, { "type": "text", "text": "(4) 重点: $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(n!)^{2}}{(2n)!}$ (5) 重点: $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(2n-1)!!}{n!}$ (6) 讨论 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{x^{n} n!}{n^{n}}$ 的收敛性, $x \\geq 0$", "bbox": [ 121, 409, 712, 447 ], "page_idx": 83 }, { "type": "text", "text": "解(1)极限为 $\\frac{1}{2}$ , 收敛", "bbox": [ 90, 445, 258, 472 ], "page_idx": 83 }, { "type": "text", "text": "(2) 极限为 $\\frac{n / e}{n} = \\frac{1}{e}$ , 收敛", "bbox": [ 122, 470, 322, 499 ], "page_idx": 83 }, { "type": "text", "text": "(3) 极限为 $\\frac{3}{e} > 1$ ，发散", "bbox": [ 122, 497, 302, 524 ], "page_idx": 83 }, { "type": "text", "text": "(4) 极限为 $\\sqrt[n]{\\frac{(n!)^2}{(2n)!}} = \\frac{\\left(\\frac{n}{e}\\right)^2}{\\sqrt[2n]{\\left(\\frac{2n}{e}\\right)^2}} \\sim \\frac{1}{4}$", "bbox": [ 122, 523, 394, 563 ], "page_idx": 83 }, { "type": "text", "text": "(5) $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(2n-1)!!}{n!}=\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(2n)!}{n!(2n)!!}=\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(2n)!}{n!2^{n}n!}$ ，因此根据根式判别法等价于2>1。", "bbox": [ 122, 564, 729, 602 ], "page_idx": 83 }, { "type": "text", "text": "(7) $\\lim_{n\\to \\infty}\\sqrt[n]{\\frac{x^n n!}{n^n}} = \\frac{x}{e}, x\\in (0,e)$ 收敛， $x\\in (e, + \\infty)$ 发散。当 $x = e$ 则 $\\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \\frac{e}{(1 + \\frac{1}{n})^n} >1$ ，极限不趋于0。", "bbox": [ 87, 605, 905, 646 ], "page_idx": 83 }, { "type": "text", "text": "练习8.8仅能用根式判别法(1)证明 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{2^{n+(-1)^n}}$ 收敛", "bbox": [ 58, 661, 497, 697 ], "page_idx": 83 }, { "type": "text", "text": "(2) 讨论 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{x^n}{1 + x^{2n}}$ 的敛散性", "bbox": [ 122, 697, 349, 734 ], "page_idx": 83 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) $\\lim_{n\\to \\infty}\\sqrt[n]{\\frac{1}{2^{n + (-1)^n}}} = \\frac{1}{2} < 1$ 因此收敛", "bbox": [ 89, 734, 418, 764 ], "page_idx": 83 }, { "type": "text", "text": "(2) 分母 $\\lim_{n\\to \\infty}\\sqrt[n]{1 + x^{2n}} = \\max \\{1,x^2\\}$ ，因此", "bbox": [ 122, 766, 455, 787 ], "page_idx": 83 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {n \\to \\infty} \\sqrt [ n ]{u _ {n}} = \\frac {x}{\\max \\{1 , x ^ {2} \\}} = \\left\\{ \\begin{array}{l l} < 1, & x \\neq 1 \\\\ = 1, & x = 1 \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 339, 791, 653, 835 ], "page_idx": 83 }, { "type": "text", "text": "因此 $x \\neq 1$ 时收敛， $x = 1$ 时发散。", "bbox": [ 90, 840, 347, 854 ], "page_idx": 83 }, { "type": "text", "text": "练习 8.9 根式判别法上下极限 (1) 判断 $b + c + b^{2} + c^{2} + \\cdots + b^{n} + c^{n} + \\cdots$ 的敛散性，这里 0 < b < c < 1 解 (1) $\\sqrt[n]{u_{n}}$ 在偶数项为 $\\sqrt{c}$ ，奇数项为 $\\sqrt{b}$ ，因此上极限为 $\\sqrt{c}$ ，故收敛", "bbox": [ 58, 876, 863, 910 ], "page_idx": 83 }, { "type": "header", "text": "8.2 正项级数", "bbox": [ 805, 55, 905, 68 ], "page_idx": 83 }, { "type": "page_number", "text": "76", "bbox": [ 489, 954, 509, 965 ], "page_idx": 83 }, { "type": "text", "text": "8.2.3 积分判别法和拉贝判别法", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 85, 374, 102 ], "page_idx": 84 }, { "type": "text", "text": "定理 8.7 (积分判别法与拉贝判别法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 118, 389, 134 ], "page_idx": 84 }, { "type": "text", "text": "$\\sum_{n = 1}^{\\infty}u_n$ 收敛最本质的充要条件为部分和函数 $S_{n}$ 有界，其推论为", "bbox": [ 114, 137, 584, 175 ], "page_idx": 84 }, { "type": "text", "text": "\\- 拉贝判别法(常用于 $\\frac{a_{n+1}}{a_n} \\to 1$ ): $\\lim_{n \\to \\infty} n(1 - \\frac{u_{n+1}}{u_n}) = r > 1$ , 则 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n$ 收敛。若 $r < 1$ 则发散, $r = 1$ 需要具体判定\n- 积分判别法: $f$ 是 $[1, +\\infty)$ 上非负减函数, 则 $\\sum_{n=1}^{\\infty} f(n)$ 与 $\\int_1^{+\\infty} f(x) \\mathrm{d}x$ 同时收敛与发散", "bbox": [ 139, 175, 890, 263 ], "page_idx": 84 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 拉贝判别法:", "bbox": [ 90, 279, 253, 294 ], "page_idx": 84 }, { "type": "text", "text": "收敛情况：根据条件， $\\exists N, \\forall n > N$ 使得 $n\\left(1 - \\frac{u_{n+1}}{u_n}\\right) > r$ 得到 $\\frac{u_{n+1}}{u_n} < 1 - \\frac{r}{n}$ ，根据伯努利不等式：", "bbox": [ 122, 292, 868, 323 ], "page_idx": 84 }, { "type": "equation", "text": "$$\n(1 + x) ^ {r} \\geq 1 + r x, x > - 1, r > 1 \\Rightarrow \\left(1 - \\frac {1}{n}\\right) ^ {r} \\geq 1 - \\frac {r}{n}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 294, 326, 702, 357 ], "page_idx": 84 }, { "type": "text", "text": "因此 $\\frac{u_{n + 1}}{u_n}\\leq \\left(1 - \\frac{1}{n}\\right)^r = \\left(\\frac{n - 1}{n}\\right)^r = \\frac{\\frac{1}{n^r}}{\\frac{1}{(n - 1)^r}}$ ，显然 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}\\frac{1}{n^r}$ 收敛，因此 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}u_n$ 收敛", "bbox": [ 90, 360, 721, 398 ], "page_idx": 84 }, { "type": "text", "text": "发散情况： $\\frac{u_{n + 1}}{u_n}\\geq 1 - \\frac{1}{n} = \\frac{n - 1}{n} = \\frac{\\frac{1}{n}}{\\frac{1}{n - 1}}$ ，而 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}\\frac{1}{n}$ 发散，因此发散。", "bbox": [ 122, 398, 648, 434 ], "page_idx": 84 }, { "type": "text", "text": "笔记 拉贝判别法更多地用于比式和根式判别法都失效的情况下。", "text_level": 2, "bbox": [ 55, 436, 559, 453 ], "page_idx": 84 }, { "type": "text", "text": "练习 8.10 拉贝判别法 判断敛散性 (1) $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{n^{n}}{e^{n}n!}$", "bbox": [ 58, 468, 428, 502 ], "page_idx": 84 }, { "type": "text", "text": "解 (1) 显然根式判别法失效。因此设 $u_{n} = \\frac{n^{n}}{e^{n}n!}$ ，使用拉贝判别法以及 $(1 + \\frac{1}{n})^{n} = e - \\frac{e}{2n}$ (用 $(1 + x)^{\\frac{1}{x}}$ 在 0 处 Taylor 展开) 得到", "bbox": [ 87, 500, 904, 543 ], "page_idx": 84 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {n \\to \\infty} n \\left(1 - \\frac {u _ {n + 1}}{u _ {n}}\\right) = \\lim _ {n \\to \\infty} n \\left[ 1 - \\frac {(1 + \\frac {1}{n}) ^ {n}}{e} \\right] = \\lim _ {n \\to \\infty} n \\left[ \\frac {1}{2 n} + o (\\frac {1}{n}) \\right] = \\frac {1}{2} < 1\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 211, 546, 784, 580 ], "page_idx": 84 }, { "type": "text", "text": "根据拉贝判别法可知发散。", "bbox": [ 90, 583, 289, 596 ], "page_idx": 84 }, { "type": "text", "text": "8.2.4 放缩证明敛散性", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 619, 292, 634 ], "page_idx": 84 }, { "type": "text", "text": "练习8.11两个简单放缩 $(1)a_{n}\\geq 0$ ，讨论 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}a_n$ 与 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}\\sqrt{a_na_{n + 1}}$ 收敛性的关系", "bbox": [ 58, 645, 668, 682 ], "page_idx": 84 }, { "type": "text", "text": "(2) 设 $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n^2, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_n^2$ 收敛，证明 $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n b_n, \\sum_{n=1}^{\\infty} (a_n + b_n)^2$ 均收敛", "bbox": [ 122, 680, 589, 720 ], "page_idx": 84 }, { "type": "text", "text": "证明 $(1)\\sqrt{a_n + b_n} \\leq \\frac{1}{2}(a_n + b_n)$ ，根据比较定理可知", "bbox": [ 90, 719, 482, 745 ], "page_idx": 84 }, { "type": "text", "text": "(2) 根据 Cauchy 不等式， $\\sum_{n=1}^{N}a_{n}b_{n}\\leq\\left(\\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{2}\\right)\\left(\\sum_{n=1}^{N}b_{n}^{2}\\right)$ ，因此收敛。 $\\sum_{n=1}^{N}(a_{n}+b_{n})^{2}=\\sum_{n=1}^{N}a_{n}^{2}+2a_{n}b_{n}+b_{n}^{2}$ 即可", "bbox": [ 90, 741, 905, 793 ], "page_idx": 84 }, { "type": "header", "text": "8.3 任意项级数", "bbox": [ 788, 55, 905, 68 ], "page_idx": 84 }, { "type": "page_number", "text": "77", "bbox": [ 489, 953, 507, 965 ], "page_idx": 84 }, { "type": "image", "img_path": "images/6a2f4b6cc6f1a88a4b7ff3a2c0646790a46f3c0d06e9f32f3b45405572f20b4a.jpg", "image_caption": [], "image_footnote": [], "content": "", "bbox": [ 58, 751, 78, 770 ], "page_idx": 85 }, { "type": "text", "text": "8.3 任意项级数", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 87, 265, 107 ], "page_idx": 85 }, { "type": "text", "text": "8.3.1 交错项级数", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 127, 253, 143 ], "page_idx": 85 }, { "type": "text", "text": "定理 8.8 (Leibniz 判别法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 160, 312, 174 ], "page_idx": 85 }, { "type": "text", "text": "若 $a_{n}$ 单减趋于0，那么交替项级数 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}(-1)^{n - 1}a_{n}$ 收敛", "bbox": [ 112, 179, 524, 218 ], "page_idx": 85 }, { "type": "text", "text": "证明 设 $a_{n}$ 单减趋于 0, $S_{n} = \\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} a_{k}$ , 下面考虑奇偶部分和:", "bbox": [ 87, 229, 594, 266 ], "page_idx": 85 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} S _ {2 n} = (a _ {1} - a _ {2}) + (a _ {3} - a _ {4}) + \\dots + (a _ {2 n - 1} - a _ {2 n}) \\\\ S _ {2 n + 1} = (a _ {1}) - (a _ {2} - a _ {3}) - (a _ {4} - a _ {5}) - \\dots - (a _ {2 n} - a _ {2 n + 1}) \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 265, 273, 712, 316 ], "page_idx": 85 }, { "type": "text", "text": "显然 $S_{2n}$ 单增， $S_{2n+1}$ 单减， $a_{1}-a_{2}\\leq S_{2n}\\leq S_{2n}+a_{2n+1}=S_{2n+1}\\leq a_{1}$ ，因此 $S_{2n}, S_{2n+1}$ 均有界，根据单调有界定理可知收敛，而奇偶子列均收敛说明 $S_{n}$ 收敛。", "bbox": [ 90, 321, 902, 354 ], "page_idx": 85 }, { "type": "text", "text": "练习 8.12 讨论下面级数的条件收敛与绝对收敛性:", "bbox": [ 58, 376, 458, 388 ], "page_idx": 85 }, { "type": "text", "text": "(1) 重点: $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^{p+\\frac{1}{n}}}$ (2) $\\sum_{n=2}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n^p \\ln^q n}$ (3) $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^n \\sin \\frac{x}{n}$", "bbox": [ 122, 390, 522, 425 ], "page_idx": 85 }, { "type": "text", "text": "(4) $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n} \\frac{\\arctan n}{n^{x}}$ (5) 重点: $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\sin(n\\pi + \\frac{1}{n^{p}})$ (6) 重点: $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\sin(\\pi \\sqrt{n^{2} + p^{2}})$", "bbox": [ 122, 425, 704, 460 ], "page_idx": 85 }, { "type": "text", "text": "解 (1) $\\frac{1}{n^{p + \\frac{1}{n}}} \\sim \\frac{1}{n^p}$ 因此 $p > 1$ 时绝对收敛。条件收敛性只需要看是否单调，考虑 $1 \\geq p > 0$ ， $f(x) = x^{p + \\frac{1}{x}}$ ， $f'(x) = px^{p - 1}x^{\\frac{1}{x}} + x^p x^{\\frac{1}{x}}\\frac{1 - \\ln x}{x^2} = x^{p - 1}x^{\\frac{1}{x}}(p + \\frac{1 - \\ln x}{x}) > 0$ （ $x$ 足够大时），因此整体单减趋于 0。 $p \\leq 0$ 时 $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{(-1)^n}{n^{p + \\frac{1}{n}}} \\neq 0$ ，因此发散。", "bbox": [ 89, 460, 905, 539 ], "page_idx": 85 }, { "type": "text", "text": "(2) 加绝对值后可以用积分判别法，在 $p > 1$ 时绝对收敛， $p = 1, q > 1$ 绝对收敛。 $p > 0$ ，构造 $g(x) = x^p \\ln^q x$ ，得到 $g'(x) = x^{p-1} \\ln^{q-1} x (p \\ln x + q) > 0$ （ $x$ 足够大），从而 $p = 1, q \\leq 1$ 时， $0 < p < 1$ 条件收敛 $p = 0$ 时 $q > 0$ 条件收敛， $q \\leq 0$ 发散。 $p < 0$ 发散。", "bbox": [ 89, 539, 905, 590 ], "page_idx": 85 }, { "type": "text", "text": "(3) $x = 0$ 则绝对收敛。 $x \\neq 0$ 时 $|(-1)^n \\sin \\frac{x}{n} | \\sim \\frac{|x|}{n}$ 发散。而 $\\sin \\frac{x}{n}$ 在 $n$ 足够大时单调，因此条件收敛", "bbox": [ 122, 590, 868, 619 ], "page_idx": 85 }, { "type": "text", "text": "(4) 加绝对值时等价于 $\\frac{1}{n^x}$ ，因此 $x > 1$ 时绝对收敛。不加绝对值时， $x < 0$ 一定发散， $x > 0$ 时，取 $g(y) = \\frac{\\arctan y}{y^x}$ ，求导发现小于 0，因此收敛", "bbox": [ 90, 618, 905, 669 ], "page_idx": 85 }, { "type": "text", "text": "(5) 等于 $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n} \\sin \\frac{1}{n^{p}}$ , $p > 1$ 绝对收敛, $0 < p \\leq 1$ 条件收敛, $p \\leq 0$ 发散。", "bbox": [ 121, 668, 692, 708 ], "page_idx": 85 }, { "type": "text", "text": "(6) 等于 $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^n \\sin (\\pi \\sqrt{n^2 + p^2} - n\\pi) = \\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^n \\sin \\frac{p^2\\pi}{\\sqrt{n^2 + p^2} + n}$ ，因此 $p = 0$ 时绝对收敛， $p \\neq 0$ 条件收敛。", "bbox": [ 90, 703, 902, 752 ], "page_idx": 85 }, { "type": "text", "text": "笔记 单调性常常使用求导辅助。", "bbox": [ 85, 757, 324, 771 ], "page_idx": 85 }, { "type": "header", "text": "8.3 任意项级数", "bbox": [ 788, 55, 905, 68 ], "page_idx": 85 }, { "type": "page_number", "text": "78", "bbox": [ 489, 953, 507, 965 ], "page_idx": 85 }, { "type": "text", "text": "8.3.2 Dirichlet 与 Abel 判别法", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 85, 363, 102 ], "page_idx": 86 }, { "type": "text", "text": "定理 8.9 (Dirichlet 判别法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 118, 321, 133 ], "page_idx": 86 }, { "type": "text", "text": "$a_{k}, b_{k}$ 为两个数列，且满足(1) $\\sum_{i=1}^{k} a_{i}$ 有界(2) $b_{k}$ 单调趋于0，则 $\\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k} b_{k}$ 收敛", "bbox": [ 114, 139, 677, 179 ], "page_idx": 86 }, { "type": "text", "text": "定理 8.10 (Abel 判别法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 203, 299, 218 ], "page_idx": 86 }, { "type": "text", "text": "$a_{k}, b_{k}$ 满足 (1) $\\sum_{i=1}^{\\infty} a_{i}$ 收敛 (2) $b_{k}$ 单调有界，则 $\\sum_{k=1}^{\\infty} a_{k} b_{k}$ 收敛", "bbox": [ 112, 222, 546, 263 ], "page_idx": 86 }, { "type": "text", "text": "笔记 Leibniz 判别法本质只是 Dirichlet 和 Abel 判别法的一个特例", "text_level": 2, "bbox": [ 87, 281, 564, 296 ], "page_idx": 86 }, { "type": "text", "text": "练习8.13常用三角结论(1)重点： $a_{n}$ 单减趋于0， $x\\neq 2k\\pi$ ，证明： $\\sum_{n = 1}^{\\infty}a_n\\cos nx,\\sum_{n = 1}^{\\infty}a_n\\sin nx$ 收敛", "bbox": [ 60, 294, 825, 332 ], "page_idx": 86 }, { "type": "text", "text": "(2) 重点： $x \\neq k\\pi$ ，讨论 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{\\cos nx}{n^{p}}$ ， $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{\\sin nx}{n^{p}}$ 的条件收敛和绝对收敛性", "bbox": [ 122, 329, 658, 366 ], "page_idx": 86 }, { "type": "text", "text": "(3) 重点：讨论 $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^n \\frac{\\sin n}{n}$ 与 $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^n \\frac{\\sin^2 n}{n}$ 的条件收敛与绝对收敛性证明 (1) 根据 $|\\sum_{k=1}^{n}\\cos kx| = |\\frac{\\sin(n + \\frac{1}{2})x - \\sin\\frac{x}{2}}{2\\sin\\frac{x}{2}}| \\leq \\frac{1}{|\\sin\\frac{x}{2}|}$ ，同理 $|\\sum_{k=1}^{\\infty}\\sin kx| = |\\frac{\\cos\\frac{x}{2} - \\cos(n + \\frac{1}{2})x}{2\\sin\\frac{x}{2}}| \\leq \\frac{1}{|\\sin\\frac{x}{2}|}$ ，根据 Dirichlet 判别法可知。", "bbox": [ 124, 366, 675, 401 ], "page_idx": 86 }, { "type": "text", "text": "", "bbox": [ 90, 400, 905, 466 ], "page_idx": 86 }, { "type": "text", "text": "(2) $p > 1$ 时 $\\left|\\frac{\\cos nx}{n^p}\\right| \\leq \\frac{1}{n^p}$ ，因此绝对收敛。 $p > 0$ 时根据Dirichlet可知条件收敛， $p \\leq 0$ 时 $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{\\cos nx}{n^p} \\neq 0$ 发散。", "bbox": [ 90, 468, 905, 507 ], "page_idx": 86 }, { "type": "text", "text": "下面证明 $0 < p \\leq 1$ 时不绝对收敛：", "bbox": [ 124, 508, 381, 524 ], "page_idx": 86 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\frac {\\cos n x}{n ^ {p}} \\right| \\geq \\left| \\frac {\\cos^ {2} n x}{n ^ {p}} \\right| \\geq \\left| \\frac {1 - \\sin^ {2} x}{n ^ {p}} \\right|\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 366, 527, 628, 558 ], "page_idx": 86 }, { "type": "text", "text": "而 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^p}$ 发散，因此发散。", "bbox": [ 90, 562, 295, 599 ], "page_idx": 86 }, { "type": "text", "text": "(3) 这种双交错要把 $(-1)^n$ 吸收进三角。 $\\sin(x + n\\pi) = (-1)^n \\sin x, \\cos(n + n\\pi) = (-1)^n \\cos x$ ，因此 $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^n \\frac{\\sin n}{n} = \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{\\sin(1 + \\pi)n}{n}$ 条件收敛 (根据 (1) 结论)。第二个转换为 $\\frac{1}{2} \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^n}{n} - \\frac{1}{2} \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{\\cos(2 + \\pi)n}{n}$ 条件收敛。绝对值发散的原因是 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{\\sin^2 n}{n} = \\frac{1}{2} \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n} - \\frac{1}{2} \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{\\cos 2n}{n}$", "bbox": [ 87, 602, 942, 708 ], "page_idx": 86 }, { "type": "text", "text": "练习8.14具体例子讨论 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}\\frac{\\cos 3n}{n} (1 + \\frac{1}{n})^n$ 的收敛性", "bbox": [ 60, 709, 492, 745 ], "page_idx": 86 }, { "type": "text", "text": "解 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{\\cos 3n}{n}$ 根据前面结论收敛， $(1 + \\frac{1}{n})^n \\to e$ 单调有界，因此由 Abel 可知收敛", "bbox": [ 87, 745, 692, 781 ], "page_idx": 86 }, { "type": "text", "text": "8.4 数项级数理论", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 804, 289, 822 ], "page_idx": 86 }, { "type": "text", "text": "8.4.1 级数的加括号", "bbox": [ 92, 843, 273, 860 ], "page_idx": 86 }, { "type": "text", "text": "级数的加括号本质是数列收敛及其子列收敛的关系", "bbox": [ 122, 871, 497, 887 ], "page_idx": 86 }, { "type": "header", "text": "8.4 数项级数理论", "bbox": [ 771, 55, 905, 68 ], "page_idx": 86 }, { "type": "page_number", "text": "79", "bbox": [ 489, 953, 507, 965 ], "page_idx": 86 }, { "type": "text", "text": "定理 8.11 (加括号收敛)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 86, 295, 101 ], "page_idx": 87 }, { "type": "text", "text": "$\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n$ 收敛，则 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n$ 中任意加括号得到级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} v_n$ 也收敛，且 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n = \\sum_{n=1}^{\\infty} v_n$ (即加括号既不改变收敛性，又不改变和)", "bbox": [ 112, 105, 882, 156 ], "page_idx": 87 }, { "type": "text", "text": "证明 显然 $S_{n} = \\sum_{k = 1}^{n}u_{k}$ 收敛，从而 $S_{k}^{\\prime} = \\sum_{k = 1}^{m}v_{k}$ 是 $S_{n}$ 子列，从而收敛且极限相同。", "bbox": [ 90, 168, 697, 206 ], "page_idx": 87 }, { "type": "text", "text": "笔记 若级数发散，则加括号得到的新级数可能收敛，例如 $\\sum_{n=1}^{\\infty} (-1)^n$ 。若级数加括号以后发散，则原级数一定收敛。", "bbox": [ 87, 206, 905, 254 ], "page_idx": 87 }, { "type": "text", "text": "定理 8.12 (加括号收敛反推级数收敛)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 263, 396, 278 ], "page_idx": 87 }, { "type": "text", "text": "若 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}u_n$ 加括号后 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}v_{n}$ 收敛，", "bbox": [ 117, 282, 352, 322 ], "page_idx": 87 }, { "type": "text", "text": "若 $\\lim_{n\\to \\infty}u_n = 0$ 且每个括号里项个数小于固定值 $L$ ，则 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}u_n$ 收敛", "bbox": [ 139, 319, 648, 357 ], "page_idx": 87 }, { "type": "text", "text": "\\- 若每个括号里符号相同，则 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n$ 收敛", "bbox": [ 139, 355, 452, 393 ], "page_idx": 87 }, { "type": "text", "text": "8.4.2 级数的重排", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 431, 253, 448 ], "page_idx": 87 }, { "type": "text", "text": "定义 8.2 (重排)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 463, 236, 478 ], "page_idx": 87 }, { "type": "text", "text": "考虑级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n$ , $f$ 是 $[n] \\to [n]$ 的映射, 则称", "bbox": [ 115, 486, 460, 521 ], "page_idx": 87 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} v _ {n} = \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} u _ {f (n)}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 428, 524, 566, 563 ], "page_idx": 87 }, { "type": "text", "text": "为 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n$ 的一个重排", "bbox": [ 115, 564, 277, 602 ], "page_idx": 87 }, { "type": "text", "text": "定理 8.13 (正项级数的重排)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 627, 329, 642 ], "page_idx": 87 }, { "type": "text", "text": "正项级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n$ 收敛，则其任意重排 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_{f(n)}$ 也收敛，且", "bbox": [ 114, 646, 552, 684 ], "page_idx": 87 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} u _ {n} = \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} u _ {f (n)}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 426, 687, 566, 725 ], "page_idx": 87 }, { "type": "text", "text": "证明 记 $S_{n}=\\sum_{k=1}^{n}u_{k},S_{n}^{\\prime}=\\sum_{k=1}^{n}u_{f(k)}$ ，记 $M=\\max\\{f(1),\\cdots,f(n)\\}$ ，则显然 $S_{n}^{\\prime}\\leq S_{M}$ ，根据 $\\lim_{n\\to\\infty}S_{n}$ 存在可知 $\\lim_{n\\to\\infty}S_{n}^{\\prime}$ 存在，且", "bbox": [ 90, 738, 905, 793 ], "page_idx": 87 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {n \\to \\infty} S _ {n} ^ {\\prime} \\leq \\lim _ {n \\to \\infty} S _ {n} ^ {\\prime}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 426, 791, 569, 813 ], "page_idx": 87 }, { "type": "text", "text": "反之也可以将 $S_{n}$ 看作 $S_{n}^{\\prime}$ 的重排，因此也满足 $\\lim_{n\\to \\infty}S_n\\leq \\lim_{n\\to \\infty}S_n'$", "bbox": [ 124, 819, 610, 840 ], "page_idx": 87 }, { "type": "header", "text": "8.4 数项级数理论", "bbox": [ 771, 55, 905, 68 ], "page_idx": 87 }, { "type": "page_number", "text": "80", "bbox": [ 489, 954, 509, 965 ], "page_idx": 87 }, { "type": "text", "text": "定理 8.14 (一般项级数的重排)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 86, 346, 102 ], "page_idx": 88 }, { "type": "text", "text": "$f$ 是重排映射，若 $\\exists M\\in \\mathbb{Z}^{+}$ 使得 $|f(n) - n|\\leq M$ ，则 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}u_n$ 收敛当且仅当 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}u_{f(n)}$ 收敛，且", "bbox": [ 114, 105, 811, 145 ], "page_idx": 88 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} u _ {n} = \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} u _ {f (n)}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 426, 146, 566, 185 ], "page_idx": 88 }, { "type": "text", "text": "定理 8.15 (绝对收敛级数的重排)", "text_level": 2, "bbox": [ 124, 209, 361, 224 ], "page_idx": 88 }, { "type": "text", "text": "设 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}u_n$ 绝对收敛，则其任意重排 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}u_{f(n)}$ 绝对收敛，且", "bbox": [ 115, 229, 552, 267 ], "page_idx": 88 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} u _ {n} = \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} u _ {f (n)}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 426, 269, 566, 307 ], "page_idx": 88 }, { "type": "text", "text": "证明 正负部分开即可", "bbox": [ 92, 326, 253, 341 ], "page_idx": 88 }, { "type": "text", "text": "定理 8.16 (Riemann 定理：条件收敛级数的重排)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 351, 482, 367 ], "page_idx": 88 }, { "type": "text", "text": "设数项级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n$ 条件收敛，则对 $\\forall S \\in \\mathbb{R} \\cup \\{\\pm \\infty\\}$ ，存在重排 $\\sum_{n=1}^{\\infty} v_n$ 收敛到 $S$", "bbox": [ 114, 372, 704, 411 ], "page_idx": 88 }, { "type": "text", "text": "8.4.3 正部与负部", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 448, 253, 464 ], "page_idx": 88 }, { "type": "text", "text": "对于任意数列 $u_{n}$ ，考虑非负数列 $p_n = \\frac{|u_n| + u_n}{2}, q_n = \\frac{|u_n| - u_n}{2}$ ，分别为 $u_{n}$ 的正部与负部，下面研究它们之间的关系。", "bbox": [ 90, 474, 905, 516 ], "page_idx": 88 }, { "type": "text", "text": "定理 8.17 (正负部)", "text_level": 2, "bbox": [ 124, 525, 260, 539 ], "page_idx": 88 }, { "type": "text", "text": "若 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n$ 绝对收敛，则 $\\sum_{n=1}^{\\infty} p_n, \\sum_{n=1}^{\\infty} q_n$ 均收敛。若 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n$ 条件收敛，则 $\\sum_{k=1}^{n} p_k, \\sum_{k=1}^{n} q_k$ 发散到正无穷，且 $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{\\sum_{k=1}^{n} p_k}{\\sum_{k=1}^{n} q_k} = 1$", "bbox": [ 110, 542, 887, 648 ], "page_idx": 88 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) $0 \\leq p_{n}, q_{n} \\leq |u_{n}|$ ，因此根据比较原则可发现 $\\sum_{n=1}^{\\infty} p_{n}, q_{n}$ 都收敛，且极限可拆开", "bbox": [ 90, 656, 726, 690 ], "page_idx": 88 }, { "type": "text", "text": "(2) $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n$ 条件收敛，则 $\\sum_{n=1}^{\\infty} (p_n - q_n)$ 收敛，但 $\\sum_{n=1}^{\\infty} (p_n + q_n) = +\\infty$ ，假设 $\\sum_{n=1}^{\\infty} p_n$ 收敛，则 $\\sum_{n=1}^{\\infty} q_n$ 收敛，这与 $\\sum_{n=1}^{\\infty} (p_n + q_n)$ 发散矛盾。", "bbox": [ 90, 689, 904, 765 ], "page_idx": 88 }, { "type": "text", "text": "练习8.15 $a_{n}$ 单减， $a_{n} \\geq 0$ ， $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_{n}$ 发散，证明 $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{a_{2} + a_{4} + \\cdots + a_{2n}}{a_{1} + a_{3} + \\cdots + a_{2n-1}} = 1$", "bbox": [ 60, 764, 670, 797 ], "page_idx": 88 }, { "type": "text", "text": "证明 极限小于等于 1 显然。而 $\\frac{a_{2}+\\cdots+a_{2n}}{a_{1}+\\cdots+a_{2n-1}}\\geq\\frac{a_{3}+a_{5}+\\cdots+a_{2n-1}}{a_{1}+a_{3}+\\cdots+a_{2n-1}}=1-\\frac{a_{1}}{a_{1}+\\cdots+a_{2n-1}}$ ，根据单减以及发散可知 $2(a_{1}+a_{3}+\\cdots+a_{2n-1})\\geq a_{1}+a_{2}+\\cdots+a_{2n}\\rightarrow\\infty$ ，因此大于等于 1。", "bbox": [ 80, 797, 907, 843 ], "page_idx": 88 }, { "type": "header", "text": "8.4 数项级数理论", "bbox": [ 771, 55, 905, 68 ], "page_idx": 88 }, { "type": "page_number", "text": "81", "bbox": [ 489, 954, 507, 965 ], "page_idx": 88 }, { "type": "text", "text": "8.4.4 级数的乘积", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 85, 253, 102 ], "page_idx": 89 }, { "type": "text", "text": "8.4.5 级数的相互控制", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 115, 292, 131 ], "page_idx": 89 }, { "type": "text", "text": "定理 8.18 (级数相互控制)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 148, 312, 162 ], "page_idx": 89 }, { "type": "text", "text": "设 $a_{n}\\leq c_{n}\\leq b_{n}$ 则", "bbox": [ 115, 168, 257, 183 ], "page_idx": 89 }, { "type": "text", "text": "\\- 数列 $a_{n}, b_{n}$ 收敛不能得出 $c_{n}$ 收敛", "bbox": [ 139, 186, 405, 200 ], "page_idx": 89 }, { "type": "text", "text": "\\- 级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n, \\sum_{n=1}^{\\infty} b_n$ 收敛可得出 $\\sum_{n=1}^{\\infty} c_n$ 收敛", "bbox": [ 139, 200, 473, 237 ], "page_idx": 89 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 例如: $a_{n} = -2 - \\frac{1}{n}, b_{n} = 2 + \\frac{1}{n}, c_{n} = (-1)^{n}$", "bbox": [ 89, 250, 487, 278 ], "page_idx": 89 }, { "type": "text", "text": "(2) 此时 $0 \\leq c_{n} - a_{n} \\leq b_{n} - a_{n}$ , 显然 $\\sum_{n=1}^{\\infty} b_{n} - a_{n}$ 收敛, 根据比较原则得到 $\\sum_{n=1}^{\\infty} c_{n} - a_{n}$ 收敛, 因此得到 $\\sum_{n=1}^{\\infty} c_{n}$ 收敛。", "bbox": [ 89, 275, 905, 349 ], "page_idx": 89 }, { "type": "text", "text": "推论 8.1 (控制是相互的)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 360, 302, 375 ], "page_idx": 89 }, { "type": "text", "text": "若 $a_{n} \\leq b_{n} \\leq a_{n + 1}$ ，则显然推出 $b_{n - 1} \\leq a_{n} \\leq b_{n}$ ，因此 $\\sum_{n = 1}^{\\infty} a_{n}, \\sum_{n = 1}^{\\infty} b_{n}$ 同敛散。", "bbox": [ 112, 379, 687, 418 ], "page_idx": 89 }, { "type": "text", "text": "练习8.16相互控制练习(1)重点： $a_{n}$ 每一项都非零， $\\lim_{n\\to \\infty}a_n = a\\neq 0$ ，证明 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}|a_{n + 1} - a_n|,\\sum_{n = 1}^{\\infty}\\left|\\frac{1}{a_{n + 1}} -\\frac{1}{a_n}\\right|$ 敛散性相同", "bbox": [ 58, 448, 902, 497 ], "page_idx": 89 }, { "type": "text", "text": "(2) $a_{n}$ 是单调减的正数列，证明 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}a_n$ 与 $\\sum_{m = 1}^{\\infty}2^{m}a_{2^{m}}$ 同敛散", "bbox": [ 122, 495, 566, 533 ], "page_idx": 89 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 根据极限保号性， $\\exists N, \\forall n > N$ 有 $\\frac{1}{2} a \\leq a_n \\leq \\frac{3}{2} a$ ，而 $\\left|\\frac{1}{a_{n+1}} - \\frac{1}{a_n}\\right| = \\left|\\frac{a_n - a_{n+1}}{a_na_{n+1}}\\right|$ 因此", "bbox": [ 89, 531, 793, 563 ], "page_idx": 89 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\frac {4}{9 a ^ {2}} | a _ {n + 1} - a _ {n} | \\leq \\frac {| a _ {n + 1} - a _ {n} |}{| a _ {n} a _ {n + 1} |} \\leq \\frac {4}{a ^ {2}} | a _ {n + 1} - a _ {n} |\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 322, 565, 673, 596 ], "page_idx": 89 }, { "type": "text", "text": "从而相互控制，同敛散", "bbox": [ 90, 600, 263, 614 ], "page_idx": 89 }, { "type": "text", "text": "(2) 根据 $a_{n}$ 单调减可得", "bbox": [ 122, 618, 295, 633 ], "page_idx": 89 }, { "type": "equation", "text": "$$\n2 ^ {k - 1} a _ {2 ^ {k}} \\leq a _ {2 ^ {k - 1} + 1} + a _ {2 ^ {k - 1} + 2} + \\dots + a _ {2 ^ {k}} \\leq 2 ^ {k - 1} a _ {2 ^ {k - 1}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 299, 640, 694, 657 ], "page_idx": 89 }, { "type": "text", "text": "对 $k$ 求和得到", "bbox": [ 90, 664, 198, 678 ], "page_idx": 89 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\frac {1}{2} \\sum_ {k = 1} ^ {n} 2 ^ {k} a _ {2 ^ {k}} \\leq a _ {1} + a _ {2} + \\dots + a _ {2 ^ {n}} \\leq a _ {1} + \\sum_ {k = 0} ^ {n - 1} 2 ^ {k} a _ {2 ^ {k}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 309, 677, 685, 715 ], "page_idx": 89 }, { "type": "text", "text": "这说明两者部分和等价，因此同敛散。", "bbox": [ 90, 724, 371, 738 ], "page_idx": 89 }, { "type": "text", "text": "练习 8.17 比较原则对于一般项级数不成立的反例 (1) $a_{n}, b_{n}$ 满足 $\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{a_{n}}{b_{n}}=l>0$ ，此时显然 $\\sum_{n=1}^{\\infty}|a_{n}|,\\sum_{n=1}^{\\infty}|b_{n}|$ 敛散性相同，但举例说明 $\\sum_{n=1}^{\\infty}a_{n},\\sum_{n=1}^{\\infty}b_{n}$ 敛散性可以不同。", "bbox": [ 60, 755, 904, 825 ], "page_idx": 89 }, { "type": "text", "text": "(2) $\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{a_n}{b_n} = 0$ ，根据 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}b_n$ 绝对收敛可推出 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}a_n$ 绝对收敛，举例 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}b_n$ 收敛推不出 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}a_n$ 收敛", "bbox": [ 122, 822, 855, 863 ], "page_idx": 89 }, { "type": "text", "text": "(3)举例说明 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}a_n$ 收敛， $\\sum_{n = 1}^{\\infty}a_n^2$ 不一定收敛", "bbox": [ 122, 860, 460, 898 ], "page_idx": 89 }, { "type": "header", "text": "8.4 数项级数理论", "bbox": [ 771, 55, 905, 68 ], "page_idx": 89 }, { "type": "page_number", "text": "82", "bbox": [ 489, 953, 507, 965 ], "page_idx": 89 }, { "type": "text", "text": "解 (1) 例如 $a_{n} = \\frac{(-1)^{n}}{\\sqrt{n}}, b_{n} = \\frac{(-1)^{n}}{\\sqrt{n}} + \\frac{1}{n}$ , 显然 $\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{a_n}{b_n} = 1$ , 但 $a_{n}$ 收敛, $b_{n}$ 发散", "bbox": [ 90, 80, 702, 112 ], "page_idx": 90 }, { "type": "text", "text": "(2) 比如 $a_{n} = \\frac{1}{n}, b_{n} = \\frac{(-1)^{n}}{\\sqrt{n}}$", "bbox": [ 122, 112, 337, 141 ], "page_idx": 90 }, { "type": "text", "text": "(3) 例如 $a_{n} = \\frac{(-1)^{n}}{\\sqrt{n}}$", "bbox": [ 124, 141, 277, 171 ], "page_idx": 90 }, { "type": "header", "text": "8.4 数项级数理论", "bbox": [ 771, 55, 905, 68 ], "page_idx": 90 }, { "type": "page_number", "text": "83", "bbox": [ 489, 954, 507, 964 ], "page_idx": 90 }, { "type": "text", "text": "第9章 函数列与函数项级数", "text_level": 1, "bbox": [ 324, 87, 690, 111 ], "page_idx": 91 }, { "type": "text", "text": "9.1 函数列的一致收敛", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 145, 337, 165 ], "page_idx": 91 }, { "type": "text", "text": "9.1.1 一致收敛的概念", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 185, 292, 200 ], "page_idx": 91 }, { "type": "text", "text": "定义 9.1 (一致收敛)", "text_level": 2, "bbox": [ 119, 216, 270, 231 ], "page_idx": 91 }, { "type": "text", "text": "$f_{n}$ 是 $I$ 上的函数列，若对 $\\forall \\epsilon, \\exists N, \\forall x, \\forall n > N$ 有 $|f_{n}(x) - f(x)| < \\epsilon$ ，则称 $f_{n}$ 一致收敛至 $f$", "bbox": [ 112, 235, 902, 261 ], "page_idx": 91 }, { "type": "text", "text": "笔记一致收敛与点态收敛的区别：一致收敛的 N 不受 x 影响，因此当 n > N 时，所有 x 都会在 $f(x) \\pm \\epsilon$ 带中。", "bbox": [ 87, 272, 905, 288 ], "page_idx": 91 }, { "type": "text", "text": "练习9.1定义说明不一致收敛 $(1)\\frac{x}{n}$ 在 $(0,a]$ 一致收敛到0，但在 $(0, + \\infty)$ 不一致收敛(2)说明 $x^{n}$ 在 $(0,1)$ 上收敛但不一致收敛证明 $(1)\\exists \\epsilon_0 = \\frac{1}{2},\\forall N,\\exists n_0 = N + 1,\\exists x_0 = n_0$ 使得 $|\\frac{x_0}{n_0} -0| = 1 > \\epsilon_0$ ，因此不一致收敛", "bbox": [ 58, 307, 905, 369 ], "page_idx": 91 }, { "type": "text", "text": "(2) 点态收敛显然。不一致收敛的原因在 1 处，因此考虑 $x_{n} = 1 - \\frac{1}{n}$ ，则 $\\lim_{n\\to \\infty}|x_n^n -0| = \\lim_{n\\to \\infty}(1 - \\frac{1}{n})^n = e^{-1}\\neq 0$ 笔记 $\\frac{x}{n}, x^n$ 是极度重要的不一致收敛反例，在很多反例里都会用到它", "bbox": [ 58, 367, 905, 434 ], "page_idx": 91 }, { "type": "text", "text": "定理 9.1 (Cauchy 收敛准则)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 453, 329, 468 ], "page_idx": 91 }, { "type": "text", "text": "$f_{n}$ 是 $I$ 上的函数列， $f_{n}$ 在 $I$ 上一致收敛于 $f$ 的充要条件为 $\\forall \\epsilon, \\exists N, \\forall n, m > N$ 满足 $\\sup_{x \\in I} |f_{m}(x) - f_{n}(x)| < \\epsilon$", "bbox": [ 102, 470, 900, 507 ], "page_idx": 91 }, { "type": "text", "text": "笔记 Cauchy 判别法一般用于证明其他判别法，本身对于证明具体一致收敛用处较少 (因为具体函数列的极限一般容易算出)", "bbox": [ 60, 516, 905, 551 ], "page_idx": 91 }, { "type": "text", "text": "定义 9.2 (内闭一致收敛)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 561, 304, 576 ], "page_idx": 91 }, { "type": "text", "text": "若函数列 $f_{n}(x)$ 在区间 $D$ 任意一个闭区间都一致收敛，则称 $f_{n}(x)$ 在 $D$ 上内闭一致收敛。", "bbox": [ 110, 580, 900, 606 ], "page_idx": 91 }, { "type": "text", "text": "笔记 内闭一致收敛的意义在于大部分不一致收敛都是在区间端点出现了问题，因此内闭一致收敛反应了区间整体的性质，不受个别端点影响。", "bbox": [ 87, 617, 904, 651 ], "page_idx": 91 }, { "type": "text", "text": "9.1.2 一致收敛的基本判别法", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 673, 352, 689 ], "page_idx": 91 }, { "type": "text", "text": "定理 9.2 (Weiestrass 判别法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 705, 334, 720 ], "page_idx": 91 }, { "type": "text", "text": "若存在 $\\lim_{n\\to \\infty}a_n = 0$ 的正项数列 $a_{n}$ ，使得 $I$ 上有 $|f(x) - f_n(x)|\\leq a_n$ ，则 $f_{n}(x)$ 一致收敛到 $f(x)$", "bbox": [ 112, 722, 900, 756 ], "page_idx": 91 }, { "type": "text", "text": "证明 根本原因是 $a_{n}$ 收敛的 N 与 x 无关，用 Cauchy 收敛准则易证。", "bbox": [ 90, 766, 591, 781 ], "page_idx": 91 }, { "type": "text", "text": "练习9.2M判别法的使用(1)重点：证明 $\\sqrt{x^2 + \\frac{1}{n^2}}$ 在任意区间 $I$ 上一致收敛", "bbox": [ 58, 794, 660, 827 ], "page_idx": 91 }, { "type": "text", "text": "(2) 重点： $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上的连续函数， $f_{0}(x) = f(x)$ ， $f_{n+1}(x) = \\int_{a}^{x} f_{n}(t) \\, dt$ ，证明 $f_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 一致收敛\n\n证明 (1) $\\left|\\sqrt{x^{2} + \\frac{1}{n^{2}}} - |x|\\right| = \\frac{\\frac{1}{n^{2}}}{\\sqrt{x^{2} + \\frac{1}{n^{2}}} + |x|} \\leq \\frac{1}{n} \\to 0$", "bbox": [ 87, 828, 900, 898 ], "page_idx": 91 }, { "type": "text", "text": "(2) 由于连续，因此 $|f(x)| \\leq M$ ，因此 $|f_1(x)| \\leq \\int_0^x |f_1(t)|\\mathrm{d}t \\leq M(x - a)$ (暂时不要进一步放缩)，同理得到 $|f_2(x)| \\leq \\int_a^x M(t - a)\\mathrm{d}t = \\frac{(x - a)^2}{2!} M$ ，因此 $|f_n(x)| \\leq \\frac{(x - a)^n}{n!} M \\leq \\frac{(b - a)^n}{n!} M \\to 0$ (最后再放缩)", "bbox": [ 90, 82, 905, 143 ], "page_idx": 92 }, { "type": "text", "text": "定理 9.3 (确界判别法)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 161, 287, 175 ], "page_idx": 92 }, { "type": "text", "text": "$f_{n}$ 为 $I$ 上函数列，则", "bbox": [ 114, 181, 277, 195 ], "page_idx": 92 }, { "type": "text", "text": "\\- $f_{n}(x)$ 一致收敛到 $f(x)$ 的充要条件为 $\\lim_{n\\to \\infty}\\sup_{x\\in I}|f_n(x) - f(x)| = 0$ 。", "bbox": [ 139, 198, 642, 218 ], "page_idx": 92 }, { "type": "text", "text": "\\- $f_{n}(x)$ 不一致收敛于 $f(x)$ 的充要条件是存在 $x_{n}$ ，使得 $f_{n}(x_{n}) - f(x_{n})$ 不收敛到0(极度重要)", "bbox": [ 139, 222, 831, 237 ], "page_idx": 92 }, { "type": "text", "text": "证明 左推右：对 $\\forall \\epsilon, \\exists N, \\forall x, \\forall n > N$ 有 $|f_n(x) - f(x)| < \\epsilon$ ，根据上确界定义可知 $\\sup_{\\epsilon \\in I} |f_n(x) - f(x)| \\leq \\epsilon$", "bbox": [ 89, 256, 853, 275 ], "page_idx": 92 }, { "type": "text", "text": "右推左： $\\forall \\epsilon, \\exists N, \\forall n > N$ 有 $\\sup_{x \\in I} |f_n(x) - f(x)| < \\epsilon$ ，而对 $\\forall x \\in I$ 有 $|f_n(x) - f(x)| \\leq \\sup_{x \\in I} |f_n(x) - f(x)|$ ，因此 $\\forall x, |f_n(x) - f(x)| < \\epsilon$ ，即一致收敛。", "bbox": [ 90, 279, 902, 318 ], "page_idx": 92 }, { "type": "text", "text": "笔记 一般一致收敛用 Weiestrass 判别法判定，不一致收敛用确界判别法第二条判定", "bbox": [ 87, 321, 697, 335 ], "page_idx": 92 }, { "type": "text", "text": "9.1.3 一致收敛判别练习", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 357, 312, 374 ], "page_idx": 92 }, { "type": "text", "text": "练习 9.3 三角相关 求下列函数列的收敛区间、极限函数与一致收敛区间：", "bbox": [ 58, 386, 626, 400 ], "page_idx": 92 }, { "type": "equation", "text": "$$\n(1) f _ {n} (x) = \\frac {\\sin x}{n} (2) f _ {n} (x) = \\sin \\frac {x}{n} (3) f _ {n} (x) = \\frac {x}{n} \\sin \\frac {x}{n} (4) f _ {n} (x) = n \\sin \\frac {x}{n}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 122, 401, 648, 426 ], "page_idx": 92 }, { "type": "text", "text": "解(1)根据 $|f_n(x)|\\leq \\frac{1}{n}\\to 0$ ，显然", "bbox": [ 89, 426, 347, 450 ], "page_idx": 92 }, { "type": "text", "text": "(2) 先求极限函数， $\\forall x \\in (-\\infty, +\\infty)$ ， $\\lim_{n \\to \\infty} f_n(x) = 0$ ，因此点态收敛到 0。取 $x_n = n$ ，则 $\\sin \\frac{x_n}{n} = \\sin 1$ 不趋于 0，因此在 $(- \\infty, +\\infty)$ 不一致收敛。但是任意 $[a, b] \\subseteq (-\\infty, +\\infty)$ ，显然 $|x| \\leq M$ ， $|\\sin \\frac{x}{n}| \\leq |\\frac{x}{n}| \\leq \\frac{M}{n} \\to 0$ ，因此内闭一致收敛", "bbox": [ 87, 450, 905, 510 ], "page_idx": 92 }, { "type": "text", "text": "(3) 点态收敛到 $f(x) = 0$ ，取 $x_{n} = n$ ，则 $\\lim_{n\\to \\infty}f_n(x_n) = \\sin 1\\neq 0$ 。取 $[a,b]\\subseteq (-\\infty , + \\infty)$ ，则 $|f_n(x) - 0|\\leq |\\frac{x}{n} |\\rightarrow 0$ 因此内闭一致收敛。", "bbox": [ 90, 514, 905, 558 ], "page_idx": 92 }, { "type": "text", "text": "(4) 极限函数为 1，考虑 $x_{n} = n$ ，则 $\\lim_{n\\to \\infty}|f_n(x_n) - x_n| = |n\\sin 1 - n| \\neq 0$ ，因此在 $(- \\infty, + \\infty)$ 不一致收敛。取 $[a,b] \\subseteq (-\\infty, + \\infty)$ ，则 $|f_n(x) - x| \\leq |n(\\sin \\frac{x}{n} - \\frac{x}{n})| \\leq n(\\frac{x}{n})^2 \\leq \\frac{M^2}{n} \\to 0$ ，中间的不等式使用了 Taylor 展开，因此内闭一致收敛。", "bbox": [ 90, 556, 907, 617 ], "page_idx": 92 }, { "type": "text", "text": "练习 9.4 分式相关 判断在 $[0, +\\infty)$ 的一致收敛性", "bbox": [ 58, 638, 450, 652 ], "page_idx": 92 }, { "type": "equation", "text": "$$\n(1) f _ {n} (x) = \\frac {x}{1 + n ^ {2} x ^ {2}} (2) f _ {n} (x) = \\frac {x}{1 + n x} (3) f _ {n} (x) = \\frac {1}{1 + n x} (4) f _ {n} (x) = \\frac {n x}{1 + n ^ {2} x ^ {2}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 122, 652, 709, 680 ], "page_idx": 92 }, { "type": "text", "text": "解 $(1)f_{n}(x)\\leq \\frac{x}{2nx} = \\frac{1}{2n} (x\\neq 0)\\to 0$ ，而 $x = 0$ 时 $f_{n}(0) = 0$ ，因此一致收敛", "bbox": [ 87, 680, 653, 705 ], "page_idx": 92 }, { "type": "text", "text": "(2) $x = 0$ 显然， $x \\neq 0$ 时 $f_{n}(x) \\leq \\frac{1}{n} \\to 0$ ，一致收敛", "bbox": [ 121, 703, 502, 731 ], "page_idx": 92 }, { "type": "text", "text": "(3) 先考虑极限函数 $x = 0$ 时, 极限函数为 $1, x \\neq 0$ 时, 极限函数为 0。考虑 $(0, +\\infty)$ , 取 $x_{n} = \\frac{1}{n}, f_{n}(x) - f(x) = \\frac{1}{2} \\neq 0$ , 因此不一致收敛。在 $[a, +\\infty)$ 有 $f_{n}(x) - 0 = \\frac{1}{1 + nx} \\leq \\frac{1}{1 + na} \\to 0$ 一致。", "bbox": [ 87, 730, 904, 780 ], "page_idx": 92 }, { "type": "text", "text": "(4) 极限函数为 0。取 $x_{n} = \\frac{1}{n}$ ，显然 $f_{n}(x) - 0 = \\frac{1}{2}$ 不趋于 0，因此不一致收敛。在 $[a, +\\infty)$ 时 $f_{n}(x) \\leq \\frac{nx}{n^{2}x^{2}} \\leq \\frac{1}{nx} \\leq \\frac{1}{na} \\to 0$", "bbox": [ 90, 782, 905, 833 ], "page_idx": 92 }, { "type": "text", "text": "练习 9.5 导数与积分一致收敛 (1) $f(x)$ 在 R 上有连续导函数， $a_{n}$ 为单调趋于 $+\\infty$ 的正数列，证明 $f_{n}(x) = a_{n}\\left[f\\left(x + \\frac{1}{a_{n}}\\right) - f(x)\\right]$ 在任意有限闭区间 $[a, b]$ 上一致收敛到 $f'(x)$", "bbox": [ 58, 846, 905, 892 ], "page_idx": 92 }, { "type": "page_number", "text": "85", "bbox": [ 489, 954, 507, 965 ], "page_idx": 92 }, { "type": "header", "text": "9.1 函数列的一致收敛", "bbox": [ 737, 55, 905, 68 ], "page_idx": 92 }, { "type": "text", "text": "(2) 特例：证明 $f_{n}(x) = n\\left(\\sqrt{x + \\frac{1}{n}} - \\sqrt{x}\\right)$ 在任意有限闭区间 $[a, b]$ 上一致收敛到 $\\frac{1}{2\\sqrt{x}}$", "bbox": [ 121, 82, 766, 118 ], "page_idx": 93 }, { "type": "text", "text": "(3) $f(x)$ 为 $\\mathbb{R}$ 上连续函数，记 $f_{n}(x) = \\frac{1}{n}\\sum_{k = 1}^{n}f\\left(x + \\frac{k}{n}\\right)$ ，证明 $f_{n}(x)$ 在任意有限区间 $[a,b]$ 上一致收敛于 $F(x) = \\int_0^1 f(x + t)\\mathrm{d}t$", "bbox": [ 90, 120, 905, 187 ], "page_idx": 93 }, { "type": "text", "text": "(4) 特例：证明 $f_{n}(x) = \\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{n} \\cos \\left( x + \\frac{k}{n} \\right)$ 在任意有限区域 $[a, b]$ 上一致收敛到 $\\sin (x + 1) - \\sin x$ 证明 (1) 给定 $n$ ，根据 Lagrange 中值定理， $f_{n}(x) = f'(x + \\xi_{n})$ ，这里 $\\xi_{n} < \\frac{1}{a_{n}}$ 。由于 $f'(x)$ 在 $[a, b + 1]$ 连续，因此一致连续， $\\forall \\epsilon, \\exists \\delta \\in (0, 1)$ 当 $|x_{1} - x_{2}| < \\delta$ ， $|f'(x_{1}) - f'(x_{2})| < \\epsilon$ ，而 $\\exists N, \\forall n > N, \\xi_{n} < \\frac{1}{a_{n}} < \\delta$ ，此时", "bbox": [ 90, 186, 905, 275 ], "page_idx": 93 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| f _ {n} (x) - f ^ {\\prime} (x) \\right| = \\left| f ^ {\\prime} \\left(x _ {n} + \\xi_ {n}\\right) - f ^ {\\prime} (x) \\right| < \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 339, 279, 657, 296 ], "page_idx": 93 }, { "type": "text", "text": "因此一致收敛", "bbox": [ 90, 303, 196, 317 ], "page_idx": 93 }, { "type": "text", "text": "(2) 即 (1) 的特例", "bbox": [ 122, 321, 248, 335 ], "page_idx": 93 }, { "type": "text", "text": "(3) $F(x)=\\sum_{k=1}^{n}\\int_{\\frac{k-1}{n}}^{\\frac{k}{n}}f(x+t)\\mathrm{d}t$ ，因此", "bbox": [ 122, 334, 396, 373 ], "page_idx": 93 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| f _ {n} (x) - F (x) \\right| = \\left| \\sum_ {k = 1} ^ {n} \\int_ {\\frac {k - 1}{n}} ^ {\\frac {k}{n}} f \\left(x + \\frac {k}{n}\\right) - \\sum_ {k = 1} ^ {n} \\int_ {\\frac {k - 1}{n}} ^ {\\frac {k}{n}} f (x + t) \\mathrm{d} t \\right| \\leq \\sum_ {k = 1} ^ {n} \\int_ {\\frac {k - 1}{n}} ^ {\\frac {k}{n}} \\left| f \\left(x + \\frac {k}{n}\\right) - f (x + t) \\right| \\mathrm{d} t\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 132, 375, 863, 414 ], "page_idx": 93 }, { "type": "text", "text": "显然 $f(x)$ 在 $[a, b + 1]$ 一致连续， $\\forall \\epsilon, \\exists \\delta, |x_1 - x_2| < \\delta$ 时 $|f(x') - f(x'')| < \\epsilon$ 。而 $\\exists N, \\forall n > N, \\frac{1}{n} < \\delta$ ，对于 $\\forall x \\in [a, b], t \\in \\left[\\frac{k - 1}{n}, \\frac{k}{n}\\right]$ ，有", "bbox": [ 89, 420, 905, 473 ], "page_idx": 93 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\left(x + \\frac {k}{n}\\right) - (x + t) \\right| = \\left| \\frac {k}{n} - t \\right| \\leq \\frac {1}{n} < \\delta\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 349, 470, 648, 502 ], "page_idx": 93 }, { "type": "text", "text": "综上得到", "bbox": [ 90, 511, 163, 526 ], "page_idx": 93 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\forall x \\in [ a, b ], | f _ {n} (x) - F (x) | < \\sum_ {k = 1} ^ {n} \\int_ {\\frac {k - 1}{n}} ^ {\\frac {k}{n}} \\epsilon \\mathrm{d} t = \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 329, 523, 665, 562 ], "page_idx": 93 }, { "type": "text", "text": "9.1.4 四则运算、复合极限的一致收敛性", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 590, 453, 607 ], "page_idx": 93 }, { "type": "text", "text": "定义 9.3 (一致有界)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 621, 270, 637 ], "page_idx": 93 }, { "type": "text", "text": "$\\exists M, \\forall n, \\forall x \\in I$ 有 $|f_n(x)| \\leq M$", "bbox": [ 114, 643, 344, 659 ], "page_idx": 93 }, { "type": "text", "text": "引理 9.1 (极限的有界性)", "text_level": 2, "bbox": [ 124, 683, 304, 697 ], "page_idx": 93 }, { "type": "text", "text": "设 $f_{n}(x)$ 在区间 $I$ 上点态收敛到 $f(x)$ ，则", "bbox": [ 115, 703, 423, 718 ], "page_idx": 93 }, { "type": "text", "text": "\\- 若一致收敛，且每个 $f_{n}(x)$ 有界，则 $f(x)$ 有界， $f_{n}(x)$ 一致有界", "bbox": [ 139, 722, 631, 737 ], "page_idx": 93 }, { "type": "text", "text": "若一致收敛，且 $f(x)$ 有界，则 $f_{n}(x)$ 除去至多有限项外一致有界", "bbox": [ 139, 740, 635, 755 ], "page_idx": 93 }, { "type": "text", "text": "若 $f_{n}(x)$ 一致有界，则 $f(x)$ 有界", "bbox": [ 139, 758, 401, 774 ], "page_idx": 93 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 设 $|f_n(x)| \\leq M_n$ 。根据一致收敛，取 $\\epsilon = 1, \\exists N, \\forall n > N, \\forall x \\in I$ 有 $|f_n(x) - f(x)| \\leq 1$ 。因此得到 $|f(x)| \\leq M_N + 1 := M$ 。而 $n \\geq N$ 时， $\\forall x \\in I$ 有 $|f_n(x)| \\leq |f(x)| + 1 = M + 1$ ，前面有限项取最大即可，因此一致有界", "bbox": [ 89, 794, 905, 845 ], "page_idx": 93 }, { "type": "text", "text": "(2) 包含于 (1) 的推导过程中", "bbox": [ 122, 850, 331, 864 ], "page_idx": 93 }, { "type": "text", "text": "(3) 若 $\\exists M, \\forall n, |f_n(x)| \\leq M$ ，根据 $\\lim_{n \\to \\infty} f_n(x) = f(x)$ ，则 $\\forall x \\in I, \\exists \\epsilon_0 = 1, \\exists N, n \\geq N$ 有 $|f(x) - f_n(x)| \\leq 1$ ，因此 $|f(x)| \\leq |f_n(x)| + 1 \\leq M + 1$ ，因此有界。", "bbox": [ 90, 868, 905, 903 ], "page_idx": 93 }, { "type": "header", "text": "9.1 函数列的一致收敛", "bbox": [ 737, 55, 905, 68 ], "page_idx": 93 }, { "type": "page_number", "text": "86", "bbox": [ 489, 954, 509, 965 ], "page_idx": 93 }, { "type": "text", "text": "定理 9.4 (四则运算)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 108, 270, 123 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "$f_{n}, g_{n}$ 在 $I$ 上分别一致收敛到 $f(x), g(x)$ ，则", "bbox": [ 115, 128, 443, 143 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "\\- 数乘： $kf_{n}(x)$ 一致收敛到 $kf(x)$", "bbox": [ 139, 147, 396, 161 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "\\- 加法： $f_{n}(x) + g_{n}(x)$ 一致收敛到 $f(x) + g(x)$", "bbox": [ 139, 165, 489, 180 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "\\- 乘法：若每个 $f_{n}(x), g_{n}(x)$ 均有界，则 $f_{n}(x)g_{n}(x)$ 一致收敛到 $f(x)g(x)$", "bbox": [ 139, 183, 682, 199 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "\\- 乘法推论：若 $f_{n}(x), g_{n}(x)$ 为连续函数列且 $I$ 为闭区间，则 $f_{n}(x)g_{n}(x)$ 一致收敛到 $f(x)g(x)$", "bbox": [ 139, 202, 835, 217 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "\\- 除法：若 $\\exists M$ 使得 $|f(x)| \\geq M$ ，则 $\\exists N, n > N$ 时 $f_n(x)$ 在 $I$ 上无零点，且 $\\frac{1}{f_n(x)}$ 一致收敛到 $\\frac{1}{f(x)}$", "bbox": [ 139, 217, 900, 249 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "证明 (1,2) 显然", "text_level": 2, "bbox": [ 90, 265, 208, 279 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "(3) 用 $|f_n(x)g_n(x) - f(x)g(x)| \\leq |f_n(x)||g_n(x) - g(x)| + |g(x)||f_n(x) - f(x)|$ (4) 取 $\\epsilon = \\frac{M}{2}, \\exists N, \\forall n > N, \\forall x$ 有 $|f_n(x) - f(x)| \\leq \\frac{M}{2}$ ，因此 $|f_n(x)| \\geq |f(x)| - \\frac{M}{2} \\geq \\frac{M}{2}$ ，因此无零点。第二个结论用 $|\\frac{1}{f_n(x)} - \\frac{1}{f(x)}| = |\\frac{f_n(x) - f(x)}{f_n(x)f(x)}| \\leq \\frac{|f_n(x) - f(x)|}{M \\cdot \\frac{M}{2}} < \\epsilon$", "bbox": [ 89, 282, 904, 356 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "练习 9.6 反例 (1) 举例说明 $f_{n}(x), g_{n}(x)$ 分别一致收敛到 $f(x), g(x)$ ，但 $f_{n}(x)g_{n}(x)$ 不一致收敛到 $f(x)g(x)$ 解 (1) 根据定理函数列要无界，取 $f_{n}(x)=\\frac{1}{n}, g_{n}(x)=\\frac{1}{x}$ ，显然 $f_{n}(x)$ 一致收敛到 0， $g_{n}(x)$ 一致收敛到 $\\frac{1}{x}$ ，但 $f_{n}(x)g_{n}(x)=\\frac{1}{nx}$ 不一致收敛到 0，因为取 $x_{n}=\\frac{1}{n}$ 即可。", "bbox": [ 58, 366, 905, 435 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "定理 9.5 (复合)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 454, 238, 468 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "$f_{n}(x)$ 在 $I$ 上一致收敛到 $f(x)$ ，且每个 $f_{n}(x)$ 均有界， $g(x)$ 为 $\\mathbb{R}$ 上连续函数，则 $g(f_{n}(x))$ 一致收敛到 $g(f(x))$", "bbox": [ 110, 472, 890, 510 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "证明 根据一致收敛以及个个有界得到 $f_{n}(x)$ 一致有界，不妨设对 $\\forall n, \\forall x \\in I$ 有", "bbox": [ 90, 527, 670, 542 ], "page_idx": 94 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| f _ {n} (x) \\right| \\leq M\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 450, 551, 546, 565 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "由于 $g(x)$ 在 $[-M, M]$ 上一致连续， $\\forall \\epsilon, \\exists \\delta, |x_1 - x_2| < \\delta$ 时， $|g(x_1) - g(x_2)| < \\epsilon$ ，对上述 $\\delta$ ，由于 $f_n(x)$ 一致收敛， $\\exists N, \\forall n > N$ 有", "bbox": [ 90, 573, 905, 607 ], "page_idx": 94 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| f _ {n} (x) - f (x) \\right| < \\delta , \\forall x \\in I\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 401, 611, 596, 626 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "从而 $n > N$ 时， $\\forall x\\in I$ 满足 $|g(f_n(x)) - g(f(x))| < \\epsilon$", "bbox": [ 90, 638, 484, 653 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "9.2 函数列极限的性质", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 680, 337, 699 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "9.2.1 极限函数的连续性", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 719, 312, 736 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "定理 9.6 (极限顺序交换)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 752, 304, 766 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "$f_{n}(x)$ 在 $(a,x_0)\\cup (x_0,b)$ 上一致收敛于 $f(x)$ ，且 $\\forall n$ ，极限 $\\lim_{x\\to x_0}f_n(x) = a_n$ 存在，则", "bbox": [ 114, 772, 737, 790 ], "page_idx": 94 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {n \\to \\infty} \\lim _ {x \\to x _ {0}} f _ {n} (x) = \\lim _ {x \\to x _ {0}} \\lim _ {n \\to \\infty} f _ {n} (x)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 368, 795, 628, 816 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "证明 由于 $f_{n}(x)$ 一致收敛到 $f(x)$ ，则对 $\\forall \\epsilon, \\exists N, \\forall m, n > N, \\forall x \\in (a, b)$ 有 $|f_{n}(x) - f_{m}(x)| < \\epsilon$ ，让 $x \\to x_{0}$ ，则 $|a_{n} - a_{m}| < \\epsilon$ ，因此 $a_{n}$ 收敛，设 $\\lim_{n \\to \\infty} a_{n} = A$ 。下证右侧 $\\lim_{x \\to x_{0}} f(x) = A$ ，根据", "bbox": [ 89, 835, 905, 873 ], "page_idx": 94 }, { "type": "equation", "text": "$$\n| f (x) - A | \\leq | f (x) - f _ {n} (x) | + | f _ {n} (x) - a _ {n} | + | a _ {n} - A | < 3 \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 280, 879, 714, 894 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "第一个要求 N 足够大，第二个要求 $\\delta$ 足够小，第三个要求 N 足够大。", "bbox": [ 90, 902, 603, 916 ], "page_idx": 94 }, { "type": "header", "text": "9.2 函数列极限的性质", "bbox": [ 737, 55, 905, 68 ], "page_idx": 94 }, { "type": "page_number", "text": "87", "bbox": [ 489, 953, 507, 964 ], "page_idx": 94 }, { "type": "text", "text": "推论 9.1 (局部连续性)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 86, 287, 102 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "若 $f_{n}(x)$ 在 $x_0$ 邻域 $U(x_0,\\delta)$ 内一致收敛， $f_{n}(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则极限函数 $f(x)$ 也在 $x_0$ 处连续", "bbox": [ 114, 105, 816, 123 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "证明 根据 $\\lim_{x\\to x_0}f(x) = \\lim_{x\\to x_0}\\lim_{n\\to \\infty}f_n(x) = \\lim_{n\\to \\infty}\\lim_{x\\to x_0}f_n(x) = \\lim_{n\\to \\infty}f_n(x_0) = f(x_0)$", "bbox": [ 90, 141, 692, 164 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "推论 9.2 (整体连续性)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 175, 287, 190 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "若连续函数列在 $I$ 上内闭一致收敛于 $f$ ，则 $f$ 在 $I$ 上连续", "bbox": [ 115, 195, 539, 209 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "证明 原因在于单点的连续性仅与小邻域有关(甚至可以只有半边)，因此内闭的一致收敛即可推出极限函数的连续", "bbox": [ 89, 230, 905, 262 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "例题 9.1 例如 $x^{n}$ 在 $(0,1)$ 内闭一致收敛，因此极限函数 0 在 $(0,1)$ 连续。", "bbox": [ 90, 267, 621, 282 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "定理 9.7 (一致连续性)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 309, 287, 323 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "若 $f_{n}(x)$ 在 $I$ 中一致收敛，每一项都一致连续，则极限函数 $f(x)$ 在 $I$ 上也一致连续", "bbox": [ 115, 328, 729, 344 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "证明 思路： $|f(x_{1})-f(x_{2})|\\leq|f(x_{1})-f_{n}(x_{1})|+|f_{n}(x_{1})-f_{n}(x_{2})|+|f_{n}(x_{2})-f(x_{2})|<3\\epsilon$ ，中间一项用 $f_{n}(x)$ 的一致连续性，左右两项用一致收敛性。", "bbox": [ 89, 363, 905, 397 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "练习9.7函数列连续性练习 $(1)f_{n}(x)$ 在 $[a,b]$ 一致收敛到 $f(x)$ ，数列 $x_{n} \\in [a,b]$ ， $\\lim_{n \\to \\infty} x_{n} = x_{0}$ ，若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，证明 $\\lim_{n \\to \\infty} f_{n}(x_{n}) = f(x_{0})$", "bbox": [ 58, 418, 905, 454 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "(2) $f_{n}(x)$ 在 $[a,b]$ 收敛到连续 $f(x)$ ，证明 $f_{n}(x)$ 在 $[a,b]$ 一致收敛到 $f(x)$ 的充要条件为任意满足 $\\lim_{n\\to \\infty}x_n = x_0$ 的数列，都有 $\\lim_{n\\to \\infty}f_n(x_n) = f(x_0)$", "bbox": [ 90, 456, 905, 492 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 注意与定理的区别，这里有双重 $n$ 。思路为 $|f_n(x_n) - f(x_0)| \\leq |f_n(x_n) - f(x_n)| + |f(x_n) - f(x_0)|$ ，前者用一致收敛，后者用连续性。", "bbox": [ 89, 493, 902, 526 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "根据一致收敛性， $\\forall \\epsilon, \\exists N_1, \\forall n > N_1, \\forall x \\in [a, b]$ 有 $|f_n(x) - f(x)| < \\epsilon$ ，根据 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续以及 $\\lim_{n \\to \\infty} x_n = x_0$ 可知 $\\exists N_2, \\forall n > N_2, |f(x_n) - f(x)| < \\epsilon$ ，取 $N = \\max\\{N_1, N_2\\}$ ， $\\forall n > N$ 有", "bbox": [ 92, 530, 905, 565 ], "page_idx": 95 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| f _ {n} \\left(x _ {n}\\right) - f \\left(x _ {0}\\right) \\right| \\leq \\left| f _ {n} \\left(x _ {n}\\right) - f \\left(x _ {n}\\right) \\right| + \\left| f \\left(x _ {n}\\right) - f \\left(x _ {0}\\right) \\right| < 2 \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 278, 571, 717, 588 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "(2) 左推右：思路： $|f_{n}(x_{n}) - f(x_{0})| \\leq |f_{n}(x_{n}) - f(x_{n})| + |f(x_{n}) - f(x_{0})|$ ，注意不要写成 $|f_{n}(x_{n}) - f_{n}(x_{0})| + |f_{n}(x_{0}) - f(x_{0})|$ ！原因在于 $f_{n}(x)$ 不一定连续。", "bbox": [ 89, 595, 902, 629 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "右推左：反设不一致收敛，则 $\\exists \\epsilon_0, \\forall N, \\exists n > N, \\exists x_n \\in [a, b]$ 满足 $|f_n(x_n) - f(x_n)| \\geq \\epsilon_0$ ，由于 $x_n$ 有界，因此存在收敛子列，不妨就设 $x_n \\to x_0 \\in [a, b]$ ，则 $\\lim_{n \\to \\infty} |f_n(x_n) - f(x_n)| = \\lim_{n \\to \\infty} |f_n(x_n) - f(x_0)| \\geq \\epsilon_0$ ，与所给条件矛盾。", "bbox": [ 89, 632, 905, 683 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "笔记 反设法下不一致收敛常用的讨论即存在 $x_{n}$ ，使得 $\\left|f_n(x_n) - f(x_n)\\right| \\geq \\epsilon_0$", "bbox": [ 87, 687, 653, 703 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "9.2.2 极限函数的可积性", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 724, 312, 740 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "定理 9.8 (可积性)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 757, 253, 772 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "$f_{n}(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛到 $f(x)$ ， $f_{n}(x)$ 均在 $[a,b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积，且", "bbox": [ 114, 776, 744, 793 ], "page_idx": 95 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {n \\rightarrow \\infty} \\int_ {a} ^ {b} f _ {n} (x) \\mathrm{d} x = \\int_ {a} ^ {b} f (x) \\mathrm{d} x = \\int_ {a} ^ {b} \\lim _ {n \\rightarrow \\infty} f _ {n} (x) \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 310, 795, 685, 829 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 先说明可积: $\\forall \\epsilon, \\exists N$ 使得 $\\forall x, |f(x) - f_N(x)| < \\frac{\\epsilon}{b - a}$ , 做划分 $T$ , 取 $x_1, x_2$ 于同一区间, 考虑振幅:", "bbox": [ 90, 845, 887, 869 ], "page_idx": 95 }, { "type": "equation", "text": "$$\n| f (x _ {1}) - f (x _ {2}) | \\leq | f (x _ {1}) - f _ {N} (x _ {1}) | + | f _ {N} (x _ {1}) - f _ {N} (x _ {2}) | + | f _ {N} (x _ {2}) - f (x _ {2}) | \\leq \\frac {\\epsilon}{b - a} + \\omega_ {i} ^ {f _ {N}} + \\frac {\\epsilon}{b - a}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 132, 872, 860, 898 ], "page_idx": 95 }, { "type": "page_number", "text": "88", "bbox": [ 489, 953, 507, 965 ], "page_idx": 95 }, { "type": "header", "text": "9.2 函数列极限的性质", "bbox": [ 737, 55, 904, 68 ], "page_idx": 95 }, { "type": "text", "text": "得到 $f(x)$ 的振幅 $\\omega_{i}^{f}\\leq \\frac{2\\epsilon}{b - a} +\\omega_{i}^{f_{N}}$ ，因此", "bbox": [ 90, 80, 408, 111 ], "page_idx": 96 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sum_ {T} \\omega_ {i} ^ {f} \\Delta x _ {i} \\leq \\sum_ {T} \\frac {2 \\epsilon}{b - a} \\Delta x _ {i} + \\sum_ {T} \\omega_ {i} ^ {f _ {N}} \\Delta x _ {i} < 3 \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 324, 114, 672, 146 ], "page_idx": 96 }, { "type": "text", "text": "(2) 求积分值：考虑 $|\\int_{a}^{b} f_{n}(x) \\mathrm{d}x - \\int_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d}x| \\leq \\int_{a}^{b} |f_{n}(x) - f(x)| \\mathrm{d}x < \\int_{a}^{b} \\frac{\\epsilon}{b - a} \\mathrm{d}x = \\epsilon$", "bbox": [ 122, 149, 778, 184 ], "page_idx": 96 }, { "type": "text", "text": "笔记 该定理在 ZJU2020 中出现过。", "bbox": [ 87, 186, 344, 200 ], "page_idx": 96 }, { "type": "text", "text": "练习9.8不可积反例举例连续函数列 $f_{n}(x)$ 在 $[a,b]$ 收敛到连续函数 $f(x)$ ，但无 $\\lim_{n\\to \\infty}\\int_a^b f_n(x)\\mathrm{d}x = \\int_a^b f(x)\\mathrm{d}x$ 解 $f_{n}(x) = nx^{n}(1 - x^{n}),x\\in [0,1]$ ，极限函数为 $f(x) = 0$ ，此时 $\\int_0^1 f(x)\\mathrm{d}x = 0$ ，但是 $\\int_0^1 f_n(x)\\mathrm{d}x = \\frac{n}{n + 1} -$ $\\frac{n}{2n + 1} = \\frac{1}{2}$ 。", "bbox": [ 58, 216, 902, 306 ], "page_idx": 96 }, { "type": "text", "text": "练习9.9可积性的应用 $f_{n}(x)$ 每项都在 $[a,b]$ 连续可微， $g(x)$ 为 $[a,b]$ 连续函数，若存在 $M > 0$ ，使得 $\\forall n \\in \\mathbb{N}^{+}$ ， $x', x'' \\in [a,b]$ 有 $|f_{n}(x') - f_{n}(x'')| \\leq \\frac{M}{n} |x' - x''|$ ，证明： $\\lim_{n \\to \\infty} \\int_{a}^{b} f_{n}'(x) g(x) \\, \\mathrm{d}x = 0$ 证明根据条件得到 $|\\frac{f_n(x) - f_n(y)}{x - y}| \\leq \\frac{M}{n}$ ，令 $y \\to x$ 得到 $|f_n'(x)| \\leq \\frac{M}{n} \\to 0$ 。由于 $g(x)$ 有界，因此 $f_{n}'(x) g(x)$ 一致收敛到0，根据一致收敛性质可将极限和积分互换位置，从而结论成立。", "bbox": [ 58, 318, 907, 409 ], "page_idx": 96 }, { "type": "text", "text": "推论 9.3 (可积性推广)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 435, 287, 449 ], "page_idx": 96 }, { "type": "text", "text": "$f_{n}(x)$ 在 $[a,b]$ 一致收敛到 $f(x)$ ，且 $f_{n}(x)$ 均可积，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积，且对任意可积 $g(x)$ 和 $x_0 \\in [a,b]$ ， $\\int_{x_0}^{x} f_n(t) g(t) \\mathrm{d}t$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛到 $\\int_{x_0}^{x} f(t) g(t) \\mathrm{d}t$", "bbox": [ 112, 453, 894, 502 ], "page_idx": 96 }, { "type": "text", "text": "证明 考虑 $\\left|\\int_{x_{0}}^{x}f_{n}(t)g(t)\\mathrm{d}t-\\int_{x_{0}}^{x}f(t)g(t)\\mathrm{d}t\\right|\\leq\\left|\\int_{x_{0}}^{x}|f_{n}(t)-f(t)||g(t)|\\mathrm{d}t\\right|\\leq M\\int_{a}^{b}|f_{n}(x)-f(x)|\\mathrm{d}x<\\epsilon$ 笔记 上述推论常用的特例： $\\int_{x_{0}}^{x}f_{n}(t)\\mathrm{d}t$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛到 $\\int_{x_{0}}^{x}f(t)\\mathrm{d}t$", "bbox": [ 60, 512, 845, 577 ], "page_idx": 96 }, { "type": "text", "text": "9.2.3 极限函数的可微性", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 595, 312, 613 ], "page_idx": 96 }, { "type": "text", "text": "定理 9.9 (可微性)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 627, 253, 643 ], "page_idx": 96 }, { "type": "text", "text": "$f_{n}(x)$ 的每项在 $[a,b]$ 有连续导函数， $f_{n}^{\\prime}(x)$ 在 $[a,b]$ 一致收敛到 $g(x)$ ，若 $\\exists x_0\\in [a,b]$ 使得 $f_{n}(x_{0})$ 收敛，则 $f_{n}(x)$ 在 $[a,b]$ 一致收敛于一个连续可微函数 $f(x)$ ，且 $f^{\\prime}(x) = g(x)$ ，即", "bbox": [ 112, 646, 880, 683 ], "page_idx": 96 }, { "type": "equation", "text": "$$\n(\\lim _ {n \\to \\infty} f _ {n} (x)) ^ {\\prime} = \\lim _ {n \\to \\infty} f _ {n} ^ {\\prime} (x)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 396, 689, 600, 711 ], "page_idx": 96 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 极限函数存在：根据 Newton-Leibniz 公式可知 $f_{n}(x) = f_{n}(x_{0}) + \\int_{x_{0}}^{x} f_{n}'(t) \\mathrm{d}t$ ，根据条件 $f_{n}(x_{0})$ 收敛且与 $x$ 无关。根据前面可积性推论可知 $\\int_{x_{0}}^{x} f_{n}'(t) \\mathrm{d}t$ 一致收敛到 $\\int_{x_{0}}^{x} g(t) \\mathrm{d}t$ ，根据一致收敛的四则运算可知 $f_{n}(x)$ 本身也一致收敛至 $f(x) = \\lim_{n \\to \\infty} f_{n}(x_{0}) + \\int_{x_{0}}^{x} g(t) \\mathrm{d}t$", "bbox": [ 89, 725, 905, 813 ], "page_idx": 96 }, { "type": "text", "text": "(2) 导数：由于 $f_n'(x)$ 在 $[a, b]$ 连续， $g(x)$ 连续，从而 $f(x)$ 可导且 $f'(x) = g(x)$ 。", "bbox": [ 97, 813, 705, 829 ], "page_idx": 96 }, { "type": "text", "text": "笔记 定理中 $f_{n}(x)$ 存在 $x_{0}$ 这个收敛点的条件必不可少，这为使用 Leibniz 公式奠定了基础。在实际使用中，往往可以直接看出 $f_{n}(x), f_{n}^{\\prime}(x)$ 都一致收敛，则可直接得出 $(\\lim_{n\\to\\infty}f_{n}(x))^{\\prime}=\\lim_{n\\to\\infty}f_{n}^{\\prime}(x)$ 的结论，不用管 $x_{0}$ 。", "bbox": [ 87, 829, 905, 871 ], "page_idx": 96 }, { "type": "text", "text": "练习 9.10 具体计算 (1) 已知 $u_{n}(x)=\\frac{\\cos nx}{n\\sqrt{n}}$ ，判定其在 $(0,2\\pi)$ 上是否逐项可导，若可导则求出 $S'(x)$", "bbox": [ 58, 881, 831, 912 ], "page_idx": 96 }, { "type": "header", "text": "9.2 函数列极限的性质", "bbox": [ 737, 54, 904, 68 ], "page_idx": 96 }, { "type": "page_number", "text": "89", "bbox": [ 489, 953, 507, 964 ], "page_idx": 96 }, { "type": "text", "text": "解(1)考虑 $u_{n}^{\\prime}(x) = -\\frac{\\sin nx}{\\sqrt{n}}$ ，根据Dirichlet判别法可知一致收敛，因此逐项可导， $S^{\\prime}(x) = -\\sum_{n = 1}^{\\infty}\\frac{\\sin nx}{\\sqrt{n}}$", "bbox": [ 89, 83, 855, 118 ], "page_idx": 97 }, { "type": "text", "text": "9.2.4 连续 + 单调：推出一致收敛", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 139, 394, 155 ], "page_idx": 97 }, { "type": "text", "text": "定理 9.10 (关于 x 单调)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 171, 297, 186 ], "page_idx": 97 }, { "type": "text", "text": "函数列 $f_{n}(x)$ 在 $[a,b]$ 收敛到连续函数 $f(x)$ ，且每个 $f_{n}(x)$ 在 $[a,b]$ 上关于 $x$ 单调增，则 $f_{n}(x)$ 一致收敛到 $f(x)$", "bbox": [ 112, 191, 889, 229 ], "page_idx": 97 }, { "type": "text", "text": "证明", "bbox": [ 90, 246, 131, 260 ], "page_idx": 97 }, { "type": "text", "text": "定理 9.11 (Dini 定理：关于 n 单调)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 287, 381, 303 ], "page_idx": 97 }, { "type": "text", "text": "连续函数列 $f_{n}(x)$ 在 $[a,b]$ 收敛于连续函数 $f(x)$ ，若固定 $x$ ，每个 $f_{n}(x)$ 关于 $n$ 单调，则 $f_{n}(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛到 $f(x)$", "bbox": [ 112, 307, 899, 346 ], "page_idx": 97 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 先证明在小区间成立：固定 $x_0 \\in [a, b]$ ， $f_n(x_0) - f(x_0)$ 单调趋于 0， $\\forall \\epsilon, \\exists N$ 有 $|f_N(x_0) - f(x_0)| < \\epsilon$ 。固定 $N$ ，由于 $f_N(x) - f(x)$ 连续，因此根据保号性 $\\exists \\delta, \\forall x \\in U(x_0, \\delta)$ 有 $|f_N(x) - f(x)| < \\epsilon$ 。重新根据单调性得到 $\\forall n > N, \\forall x \\in U(x_0, \\delta)$ 有", "bbox": [ 87, 362, 905, 414 ], "page_idx": 97 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| f _ {n} (x) - f (x) \\right| \\leq \\left| f _ {N} (x) - f (x) \\right| < \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 364, 418, 633, 434 ], "page_idx": 97 }, { "type": "text", "text": "(2) 再证明在整个区间成立：显然区间集 $\\{U(x_{0},\\delta):x_{0}\\in[a,b]\\}$ 是 $[a,b]$ 的开覆盖，根据有限覆盖定理得到存在有限个点 $x_{1},\\cdots,x_{k}$ 的邻域覆盖 $[a,b]$ ，每个对应着 $N_{i},\\delta_{i}$ 使得", "bbox": [ 90, 445, 905, 480 ], "page_idx": 97 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\forall n > N _ {i}, \\forall x \\in U (x _ {i}, \\delta_ {i}), | f _ {n} (x) - f (x) | < \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 339, 487, 655, 502 ], "page_idx": 97 }, { "type": "text", "text": "因此取 $N = \\max\\{N_{1}, \\cdots, N_{k}\\}$ ， $\\forall n > N$ 时，对 $\\forall x \\in [a, b]$ ，总能找到 $x_{i}$ 使得 $x \\in U(x_{i}, \\delta_{i})$ ，且 $|f_{n}(x) - f(x)| < \\epsilon$ 笔记 ZJU2020 默写了 Dini 定理的证明", "bbox": [ 87, 508, 902, 543 ], "page_idx": 97 }, { "type": "text", "text": "9.3 函数项级数的一致收敛性", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 570, 408, 589 ], "page_idx": 97 }, { "type": "text", "text": "9.3.1 一致收敛的基本性质与判别", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 609, 393, 626 ], "page_idx": 97 }, { "type": "text", "text": "定理 9.12 (一致收敛性质)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 642, 312, 657 ], "page_idx": 97 }, { "type": "text", "text": "$\\sum_{n=1}^{\\infty}u_{n}(x)$ 在 D 上一致收敛，则 $u_{n}(x)$ 在 D 上一致收敛到 0。", "bbox": [ 112, 664, 559, 700 ], "page_idx": 97 }, { "type": "text", "text": "练习9.11收敛但不一致收敛的级数说明 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}\\frac{n}{1 + n^3x}$ 在(0,1)收敛但不一致收敛", "bbox": [ 58, 730, 685, 766 ], "page_idx": 97 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 收敛: 根据 $\\frac{n}{1 + n^3 x} \\sim \\frac{1}{n^2 x}$ , 若 $x$ 固定, 则作为数项级数收敛, 因此函数项级数收敛", "bbox": [ 87, 766, 781, 794 ], "page_idx": 97 }, { "type": "text", "text": "(2) 不一致收敛: $x_{n} = \\frac{1}{n^{3}}$ , 则 $\\frac{n}{1 + n^{3}x_{n}} = \\frac{n}{2}$ 不趋于 0, 因此不一致收敛", "bbox": [ 122, 794, 660, 820 ], "page_idx": 97 }, { "type": "text", "text": "定理 9.13 (一致收敛充要条件)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 840, 344, 854 ], "page_idx": 97 }, { "type": "text", "text": "$\\sum_{n = 1}^{\\infty}u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛到 $S(x)$ 的充要条件为：", "bbox": [ 114, 860, 484, 898 ], "page_idx": 97 }, { "type": "header", "text": "9.3 函数项级数的一致收敛性", "bbox": [ 687, 55, 904, 68 ], "page_idx": 97 }, { "type": "page_number", "text": "90", "bbox": [ 487, 953, 509, 965 ], "page_idx": 97 }, { "type": "text", "text": "\\- Cauchy 收敛准则： $\\forall \\epsilon, \\exists N, \\forall n > m > N, \\forall x \\in D$ 有 $|\\sum_{k=m+1}^{n} u_k(x)| < \\epsilon$", "bbox": [ 139, 95, 665, 133 ], "page_idx": 98 }, { "type": "text", "text": "\\- 确界： $\\lim_{n\\to \\infty}\\sup_{x\\in D}|\\sum_{k = n + 1}^{\\infty}u_k(x)| = 0$", "bbox": [ 139, 131, 411, 171 ], "page_idx": 98 }, { "type": "text", "text": "练习9.12 $I$ 上函数列 $u_{n}(x)$ 满足 $u_{i}(x)u_{j}(x) = 0, i \\neq j, \\forall x \\in I$ ，若存在正数列 $a_{n}$ 满足 $|u_{n}(x)| \\leq a_{n}$ ， $\\lim_{n \\to \\infty} a_{n} = 0$ ，证明： $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_{n}(x)$ 在 $I$ 一致收敛", "bbox": [ 60, 209, 905, 266 ], "page_idx": 98 }, { "type": "text", "text": "证明 根据条件 $\\forall x \\in I, u_{1}(x), \\cdots, u_{n}(x), \\cdots$ 中至多只有一个非零，因此根据确界条件 $\\sup_{x \\in I} |\\sum_{k=n+1}^{\\infty} u_{k}(x)| \\leq \\sup_{n} \\{a_{n+1}, a_{n+2}, \\cdots\\} \\to 0$ 。", "bbox": [ 87, 267, 905, 325 ], "page_idx": 98 }, { "type": "text", "text": "定理 9.14 (M 判别法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 343, 282, 357 ], "page_idx": 98 }, { "type": "text", "text": "$\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n(x)$ 为 $D$ 上的函数项级数，若存在收敛的数项级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} M_n$ 满足 $\\forall x \\in D, |u_n(x)| \\leq M_n$ ，则得到 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛", "bbox": [ 112, 361, 895, 441 ], "page_idx": 98 }, { "type": "text", "text": "练习9.13 讨论一致收敛性：(1) $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\arctan \\frac{2x}{x^2 + n^3}$ 在 $(- \\infty, + \\infty)$ (2) $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{x^{2n}}{1 + x^{2n+1}}$ 在 $x \\geq 0$", "bbox": [ 58, 468, 754, 502 ], "page_idx": 98 }, { "type": "text", "text": "解 (1) $|\\arctan \\frac{2x}{x^2 + n^3} |\\leq |\\frac{2x}{x^2 + n^3} |\\leq \\frac{|2x|}{2|x|n^{3/2}} = \\frac{1}{n^{3/2}}$ ，因此一致收敛", "bbox": [ 89, 502, 606, 533 ], "page_idx": 98 }, { "type": "text", "text": "(2) $x \\geq 1$ 时， $\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{x^{2n}}{1 + x^{2n+1}} = \\frac{1}{x}$ ，发散。 $0 \\leq 1 < 1$ 时根据 $\\frac{x^{2n}}{1 + x^{2n+1}} \\leq x^{2n}$ 点态收敛，但是感觉出 1 处会导致一致收敛出问题，因此取 $x_n = 1 - \\frac{1}{n}$ ， $\\frac{x_n^{2n}}{1 + x_n^{2n+1}} \\to \\frac{e^{-2}}{1 + e^{-2}} \\neq 0$ ，因此不一致收敛。", "bbox": [ 90, 535, 904, 593 ], "page_idx": 98 }, { "type": "text", "text": "练习9.14积分格式 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续函数， $f_0(x) = f(x)$ ， $f_{n + 1}(x) = \\int_a^x f_n(t)\\mathrm{d}t$ ，证明 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 一致收敛。证明同前面， $|f_n(x)|\\leq \\frac{(b - a)^n}{n!} M$ ，根据根式或者比式判别法易知。", "bbox": [ 58, 600, 905, 675 ], "page_idx": 98 }, { "type": "text", "text": "9.3.2 Dirichlet 与 Abel 判别法", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 692, 363, 708 ], "page_idx": 98 }, { "type": "text", "text": "定理 9.15 (Dirichlet 与 Abel 判别法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 725, 388, 739 ], "page_idx": 98 }, { "type": "text", "text": "对于 $I$ 上的函数项级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n(x) v_n(x)$ ，若满足下面任意一条，则一致收敛\n- Dirichlet: (1) $\\sum_{k=1}^{n} u_k(x)$ 在 $I$ 上一致有界 (2) $v_n(x)$ 固定 $x \\in I$ 关于 $n$ 单调，且在 $I$ 上一致收敛到 0\n- Abel: (1) $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n(x)$ 一致收敛 (2) $v_n(x)$ 固定 $x \\in I$ 关于 $n$ 单调，且在 $I$ 上一致有界", "bbox": [ 115, 741, 873, 859 ], "page_idx": 98 }, { "type": "text", "text": "笔记 单调都是关于 $n$ ，一致都是关于 $x$", "bbox": [ 87, 873, 381, 888 ], "page_idx": 98 }, { "type": "header", "text": "9.3 函数项级数的一致收敛性", "bbox": [ 687, 55, 904, 68 ], "page_idx": 98 }, { "type": "page_number", "text": "91", "bbox": [ 487, 953, 507, 964 ], "page_idx": 98 }, { "type": "text", "text": "练习9.15经典一致收敛题(1) $a_{n}$ 单调收敛于0，证明： $\\sum_{n = 1}^{\\infty}a_n\\cos nx$ 在 $[\\alpha ,2\\pi -\\alpha ]$ 上一致收敛证明(1)首先判断一致有界性：", "bbox": [ 60, 83, 781, 133 ], "page_idx": 99 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\sum_ {k = 1} ^ {n} \\cos k x \\right| = \\left| \\frac {\\sin \\left(n + \\frac {1}{2}\\right) x}{2 \\sin \\frac {x}{2}} - \\frac {1}{2} \\right| \\leq \\frac {1}{2 \\left| \\sin \\frac {x}{2} \\right|} + \\frac {1}{2} \\leq \\frac {1}{2 \\sin \\frac {\\alpha}{2}} + 1\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 263, 135, 734, 174 ], "page_idx": 99 }, { "type": "text", "text": "因此 $\\sum \\cos nx$ 一致有界，而 $a_{n}$ 固定 $x$ 时单调趋于0，因此根据Dirichlet判别法可知一致收敛。", "bbox": [ 90, 179, 793, 198 ], "page_idx": 99 }, { "type": "text", "text": "9.4 函数项级数极限函数的性质", "text_level": 2, "bbox": [ 92, 222, 433, 242 ], "page_idx": 99 }, { "type": "text", "text": "定理 9.16 (端点法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 263, 260, 279 ], "page_idx": 99 }, { "type": "text", "text": "$\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n(x)$ 在 $(a, b)$ 一致收敛，且每个 $u_n(x)$ 在 $[a, b)$ 连续，则 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n(x)$ 在 $[a, b)$ 一致收敛，特别的， $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n(a)$ 收敛", "bbox": [ 112, 281, 885, 332 ], "page_idx": 99 }, { "type": "image", "img_path": "images/c161fa1ac200508a16f4bc9d4e777e4dbc7aa39cf920488e81a4031f73dfdf45.jpg", "image_caption": [], "image_footnote": [], "content": "", "bbox": [ 58, 346, 78, 365 ], "page_idx": 99 }, { "type": "text", "text": "笔记 开区间一致收敛的函数列往往能延拓到闭区间，因此题目中开区间的函数列往往是不一致收敛的 (除非无定义)。", "bbox": [ 90, 351, 905, 385 ], "page_idx": 99 }, { "type": "text", "text": "定理 9.17 (逐项单向极限)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 395, 312, 410 ], "page_idx": 99 }, { "type": "text", "text": "$\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n(x)$ 在 $(a, b)$ 一致收敛， $\\lim_{x \\to a^+} u_n(x) = a_n, \\sum_{n=1}^{\\infty} a_n$ 收敛，则", "bbox": [ 112, 416, 586, 453 ], "page_idx": 99 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {x \\to a ^ {+}} \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} u _ {n} (x) = \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} \\lim _ {x \\to a ^ {+}} u _ {n} (x) = \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} a _ {n}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 339, 456, 655, 495 ], "page_idx": 99 }, { "type": "text", "text": "定理 9.18 (连续性)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 519, 260, 533 ], "page_idx": 99 }, { "type": "text", "text": "$\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n(x)$ 在 $U(x_0, \\delta)$ 内一致收敛到 $S(x)$ ，且每个 $u_n(x)$ 均在 $x_0$ 处连续，则 $S(x)$ 也在 $x_0$ 处连续，即", "bbox": [ 114, 539, 860, 577 ], "page_idx": 99 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} (\\lim _ {x \\to x _ {0}} u _ {n} (x)) = \\lim _ {x \\to x _ {0}} \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} u _ {n} (x)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 369, 577, 623, 618 ], "page_idx": 99 }, { "type": "text", "text": "定理 9.19 (逐项积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 640, 278, 656 ], "page_idx": 99 }, { "type": "text", "text": "若 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n(x)$ 在 $[a, b]$ 一致收敛到 $S(x)$ ，且每个 $u_n(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $S(x)$ 也在 $[a, b]$ 可积，且", "bbox": [ 115, 664, 818, 700 ], "page_idx": 99 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} \\int_ {a} ^ {b} u _ {n} (x) \\mathrm{d} x = \\int_ {a} ^ {b} \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} u _ {n} (x) \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 368, 701, 628, 739 ], "page_idx": 99 }, { "type": "text", "text": "定理 9.20 (逐项可微)", "text_level": 2, "bbox": [ 124, 764, 278, 778 ], "page_idx": 99 }, { "type": "text", "text": "$\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n(x)$ 的每个 $u_n(x)$ 在 $[a, b]$ 有连续偏导数， $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n'(x)$ 在 $[a, b]$ 一致收敛到 $g(x)$ ，若存在 $x_0 \\in [a, b]$ 使得 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n(x_0)$ 收敛，则 $\\sum_{n=1}^{\\infty} u_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛，和函数 $S(x)$ 可导， $S'(x) = g(x)$ ，即", "bbox": [ 112, 784, 882, 859 ], "page_idx": 99 }, { "type": "equation", "text": "$$\n(\\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} u _ {n} (x)) ^ {\\prime} = \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} u _ {n} ^ {\\prime}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 416, 860, 579, 898 ], "page_idx": 99 }, { "type": "page_number", "text": "92", "bbox": [ 487, 953, 507, 964 ], "page_idx": 99 }, { "type": "header", "text": "9.4 函数项级数极限函数的性质", "bbox": [ 670, 55, 904, 68 ], "page_idx": 99 }, { "type": "text", "text": "第 10 章 幂级数", "text_level": 2, "bbox": [ 403, 87, 611, 111 ], "page_idx": 100 }, { "type": "text", "text": "10.1 幂级数概念及其收敛区间", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 145, 421, 164 ], "page_idx": 100 }, { "type": "table", "img_path": "images/af8e5fa60607714eeceb6dc12551446113d24a755c9b9830a30904d5de5ed540.jpg", "table_caption": [], "table_footnote": [], "table_body": "
定义10.1(幂级数)
$\\sum_{n=0}^{\\infty}a_n(x-x_0)^n$ 称为幂级数,但一般只研究 $\\sum_{n=0}^{\\infty}a_nx^n$
", "bbox": [ 110, 190, 905, 250 ], "page_idx": 100 }, { "type": "text", "text": "10.1.1 收敛区间与收敛半径", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 282, 342, 299 ], "page_idx": 100 }, { "type": "text", "text": "定理 10.1 (Abel 定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 315, 282, 329 ], "page_idx": 100 }, { "type": "text", "text": "若幂级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n x^n$ 在 $x_0 \\neq 0$ 收敛，则对 $\\forall x, |x| < |x_0|$ ， $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n x^n$ 绝对收敛；若 $x_0$ 处发散，则 $\\forall x, |x| > |x_0|$ 均发散。", "bbox": [ 112, 332, 885, 388 ], "page_idx": 100 }, { "type": "text", "text": "证明 若 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_n x_0^n$ 收敛，则 $|a_n x^n| = |a_n x_0^n| \\cdot |\\frac{x}{x_0}|^n \\leq M r^n$ ，这里 $r = |\\frac{x}{x_0}| \\in [0,1)$ 。另一侧同理", "bbox": [ 90, 398, 794, 435 ], "page_idx": 100 }, { "type": "text", "text": "定义 10.2 (收敛半径)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 444, 278, 458 ], "page_idx": 100 }, { "type": "text", "text": "根据Abel定理可知 $\\exists R\\in \\mathbb{R}$ ，使得 $|x| < R$ 时幂级数绝对收敛(若 $R = 0$ 则仅在 $x = 0$ 处收敛)，对一切 $|x| > R$ 均发散，称 $R$ 为幂级数收敛半径， $(-R,R)$ 为收敛区间。", "bbox": [ 114, 464, 880, 499 ], "page_idx": 100 }, { "type": "text", "text": "定理 10.2 (收敛半径的计算)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 524, 329, 539 ], "page_idx": 100 }, { "type": "text", "text": "幂级数收敛半径 $R$ (可以为 $0, \\infty$ ) 的计算有以下几种方式：", "bbox": [ 115, 544, 532, 558 ], "page_idx": 100 }, { "type": "text", "text": "\\- 根式 (柯西-阿达马): $\\lim_{n\\to \\infty}\\sqrt[n]{|a_n|} = \\frac{1}{R}$ (可以为 $0,\\infty$ )", "bbox": [ 139, 558, 539, 582 ], "page_idx": 100 }, { "type": "text", "text": "\\- 比式 (一般用得少): 若 $\\lim_{n\\to \\infty}\\frac{|a_{n + 1}|}{|a_n|} = \\frac{1}{R}$ , 也能推出 $\\lim_{n\\to \\infty}\\sqrt[n]{a_n} = \\frac{1}{R}$", "bbox": [ 139, 582, 657, 613 ], "page_idx": 100 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 根式：只需要考虑 $\\sum_{n=0}^{\\infty}|a_n x^n|$ ，用数项级数的根式判别法为 $\\varlimsup_{n \\to \\infty} \\sqrt[n]{|a_n x^n|} = \\varliminf_{n \\to \\infty} \\sqrt[n]{|a_n|} \\cdot |x|$ ，因此若记 $\\varlimsup_{n \\to \\infty} \\sqrt[n]{|a_n|} = \\rho$ ，则 $|x| < \\frac{1}{\\rho}$ 则收敛， $\\frac{1}{\\rho}$ 为收敛半径。", "bbox": [ 89, 625, 902, 690 ], "page_idx": 100 }, { "type": "text", "text": "练习10.1计算收敛半径 计算收敛半径与收敛域(1) $\\sum_{n = 1}^{\\infty}\\frac{x^n}{n^2}$ (2) $\\sum_{n = 1}^{\\infty}\\frac{x^n}{n}$ (3) $\\sum_{n = 1}^{\\infty}\\frac{(2n - 1)!!}{(2n)!!} x^n$", "bbox": [ 60, 695, 734, 734 ], "page_idx": 100 }, { "type": "text", "text": "解 (1) $\\lim_{n\\to \\infty}\\sqrt[n]{\\frac{1}{n^2}} = 1$ ，收敛半径1，收敛域[-1,1]", "bbox": [ 89, 731, 462, 764 ], "page_idx": 100 }, { "type": "text", "text": "(2) $\\lim_{n\\to \\infty}\\sqrt[n]{\\frac{1}{n}} = 1$ ，收敛半径1，收敛域[-1,1)", "bbox": [ 122, 765, 467, 793 ], "page_idx": 100 }, { "type": "text", "text": "(3) $a_{n}=\\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$ ，用Wallis+根式或者比式 $\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{2n+1}{2n+2}=1$ 得到收敛半径为1。而 $\\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\\sim\\frac{1}{\\sqrt{n\\pi}}$ ，因此发散。 $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}(-1)^{n}$ 根据Leibniz可知收敛。故收敛域为 $[-1,1)$", "bbox": [ 92, 790, 915, 857 ], "page_idx": 100 }, { "type": "text", "text": "笔记 上述题目也说明在逐项求导后，端点处收敛域可能发生变换", "bbox": [ 87, 862, 569, 877 ], "page_idx": 100 }, { "type": "text", "text": "练习 10.2 常规格式幂级数 (1) 求收敛域: $\\sum_{n=1}^{\\infty}(1+\\frac{1}{2}+\\cdots+\\frac{1}{n})x^{n}\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{x^{n}}{1+\\frac{1}{2}+\\cdots+\\frac{1}{n}}$", "bbox": [ 60, 82, 719, 118 ], "page_idx": 101 }, { "type": "text", "text": "(2) $0 < a < b$ ，求 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{x^n}{a^n + b^n}, \\sum_{n=1}^{\\infty} (a^n + b^n)x^n$ 收敛域", "bbox": [ 122, 118, 517, 155 ], "page_idx": 101 }, { "type": "text", "text": "(3) $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{x^{2n}}{n-3^{2n}}, \\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{x^{n^2}}{2^n}$ 收敛域", "bbox": [ 122, 154, 356, 193 ], "page_idx": 101 }, { "type": "text", "text": "(4) $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{3^{n}+(-2)^{n}}{n}(x+1)^{n}$", "bbox": [ 122, 192, 324, 225 ], "page_idx": 101 }, { "type": "text", "text": "解 (1) 要么根据 Euler 常数得到 $\\sqrt[n]{1+\\frac{1}{2}+\\cdots+\\frac{1}{n}}\\sim\\sqrt[n]{\\ln n}=1$ ，要么用 $1\\leq1+\\frac{1}{2}+\\cdots+\\frac{1}{n}\\leq n$ 得到收敛半径为 R=1，显然收敛域为 $(-1,1)$ 第二个同理得到收敛域为 $[-1,1]$", "bbox": [ 89, 225, 905, 269 ], "page_idx": 101 }, { "type": "text", "text": "(2) 第一个 $\\lim_{n\\to \\infty}\\sqrt[n]{\\frac{1}{a^n + b^n}} = \\frac{1}{b}$ ，收敛半径为 $b$ ， $x = \\pm b$ 都震荡发散。第二个 $\\lim_{n\\to \\infty}\\sqrt[n]{a^n + b^n} = b$ ，收敛半径 $b$ ， $x = \\pm b$ 震荡发散", "bbox": [ 89, 273, 905, 313 ], "page_idx": 101 }, { "type": "text", "text": "(3) 由于不是 $x^n$ 因此开 $2n$ 次根号， $\\lim_{n \\to \\infty} \\sqrt[2n]{|\\frac{1}{n - 3^{2n}}|} = \\frac{1}{3}$ ，半径为 $3$ ， $x = \\pm 3$ 时通项不趋于 0，因此发散。 $\\lim_{n \\to \\infty} \\sqrt[n^2]{\\frac{1}{2^n}} = 1$ ，而 $x = \\pm 1$ 均收敛", "bbox": [ 90, 315, 907, 374 ], "page_idx": 101 }, { "type": "text", "text": "(4) 将 $x + 1$ 视为 $y$ 即可， $\\lim_{n \\to \\infty} \\sqrt[n]{\\frac{3^n + (-2)^n}{n}} = 3$ ，收敛半径为 $\\frac{1}{3}$ ， $y = \\frac{1}{3}$ 时为 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\left(\\frac{1}{n} + \\frac{1}{n} \\left(-\\frac{2}{3}\\right)^n\\right)$ 前者发散，后者收敛，因此整体发散。 $y = -\\frac{1}{3}$ 时为 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\left(\\frac{(-1)^n}{n} + \\frac{1}{n} \\left(\\frac{2}{3}\\right)^n\\right)$ 收敛，因此收敛域为 $[- \\frac{1}{3} - 1, \\frac{1}{3} - 1)$ 即 $x \\in [-\\frac{4}{3}, -\\frac{2}{3})$", "bbox": [ 87, 373, 905, 473 ], "page_idx": 101 }, { "type": "text", "text": "练习10.3非常规格式幂级数(1) $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(x^{2}+x+1)^{n}}{3n}$ 的收敛域(2) $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{2^{n}}\\left(\\frac{x-1}{2x+1}\\right)^{n^{2}}$ (3) $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1^{n}+2^{n}+\\cdots+2022^{n}}{n^{2022}}\\left(\\frac{1-x}{1+x}\\right)^{n}$ 解(1)设 $y=x^{2}+x+1$ ，考虑 $\\lim_{n\\to\\infty}\\sqrt[n]{\\frac{1}{3n}}=1$ ，R=1，而y=1发散，y=-1收敛，计算 $x^{2}+x+1\\in[-1,1)$ ，即 $x^{2}+x\\in[-2,0)$ ，注意最终得到 $x\\in(-1,0)$ 两侧都是开的！", "bbox": [ 60, 479, 976, 565 ], "page_idx": 101 }, { "type": "text", "text": "(2) 考虑 $y = \\frac{x - 1}{2x + 1}$ ，计算得到 $y$ 的收敛域为 $[-1, 1]$ ，计算 $-1 \\leq \\frac{x - 1}{2x + 1} \\leq 1$ ，直接讨论分母容易出错，因此这里看成两个不等式。 $\\frac{x - 1}{2x + 1} + 1 = \\frac{3x}{2x + 1} \\geq 0$ 以及 $\\frac{x - 1}{2x + 1} - 1 = \\frac{-x - 2}{2x + 1} \\leq 0$ ，第一个要求 $x \\geq 0$ 或者 $x < -\\frac{1}{2}$ ，第二个要求 $x \\leq -2$ 或者 $x \\geq -\\frac{1}{2}$ ，求交得到 $x \\in (-\\infty, -2] \\cup [0, +\\infty)$ (3) $y = \\frac{1 - x}{1 + x}$ 得到收敛半径为 $\\frac{1}{2022}$ 且端点收敛，考虑 $-\\frac{1}{2022} \\leq \\frac{1 - x}{1 + x} \\leq \\frac{1}{2022}$ ，分为两部分，得到 $\\frac{2023 - 2021x}{1 + x} \\geq 0$ 以及 $\\frac{2021 - 2023x}{1 + x} \\leq 0$ ，前者解出 $-1 < x \\leq \\frac{2023}{2021}$ ，后者解出 $x < -1$ 或者 $x \\geq \\frac{2021}{2023}$ ，得出结果为 $x \\in [\\frac{2021}{2023}, \\frac{2023}{2021}]$", "bbox": [ 87, 564, 907, 721 ], "page_idx": 101 }, { "type": "text", "text": "10.1.2 幂级数的一致收敛性", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 739, 342, 756 ], "page_idx": 101 }, { "type": "text", "text": "下面考虑幂级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty} a_n x^n$ 的一致收敛性，假设其收敛半径为 $R$ ，收敛域在端点处需要讨论，下面开始分析。", "bbox": [ 124, 765, 905, 804 ], "page_idx": 101 }, { "type": "text", "text": "定理 10.3 (Abel 第二定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 815, 315, 829 ], "page_idx": 101 }, { "type": "text", "text": "若幂级数收敛半径为 $R$ ， $\\sum_{n = 1}^{\\infty}a_nx^n$ 在 $\\langle -R,R\\rangle$ 内闭一致收敛(端点未确定)", "bbox": [ 115, 835, 658, 875 ], "page_idx": 101 }, { "type": "header", "text": "10.1 幂级数概念及其收敛区间", "bbox": [ 680, 55, 905, 68 ], "page_idx": 101 }, { "type": "page_number", "text": "94", "bbox": [ 489, 954, 509, 964 ], "page_idx": 101 }, { "type": "text", "text": "证明 设 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_n x_0^n$ 收敛，(1) 若 $x_0 > 0$ ，则 $\\forall x \\in [0, x_0]$ 有 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_n x^n = \\sum_{n=0}^{\\infty} a_n x_0^n \\left(\\frac{x}{x_0}\\right)^n$ ，根据 Abel 判别法可证。(2) 若 $x_0 < 0$ ，则 $\\forall x \\in [x_0, 0]$ 有 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_n x^n = \\sum_{n=0}^{\\infty} a_n x_0^n \\left(\\frac{x}{x_0}\\right)^n$ ，根据 Abel 可证。进而任选闭区间都一致收敛。", "bbox": [ 89, 80, 905, 156 ], "page_idx": 102 }, { "type": "text", "text": "定理 10.4 (连续性)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 166, 260, 180 ], "page_idx": 102 }, { "type": "text", "text": "幂级数的和函数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_n x^n$ 在收敛域 $\\langle -R, R \\rangle$ 是连续的。", "bbox": [ 115, 187, 519, 224 ], "page_idx": 102 }, { "type": "text", "text": "定理 10.5 (区间不变性)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 249, 295, 263 ], "page_idx": 102 }, { "type": "text", "text": "幂级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 $R$ ，则其逐项求导和逐项积分后得到的幂级数的收敛半径仍为 $R$ ，不过端点处的一致收敛情况可能改变！", "bbox": [ 114, 269, 884, 319 ], "page_idx": 102 }, { "type": "text", "text": "证明 考虑 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_n x^n$ 的逐项求导与逐项积分, 得到 $\\sum_{n=1}^{\\infty} na_n$ 和 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{a_n}{n+1} x^{n+1}$ , 根据 $\\varlimsup_{n \\to \\infty} \\sqrt[n]{|a_n|} = \\varliminf_{n \\to \\infty} \\sqrt[n-1]{|na_n|} = \\varlimsup_{n \\to \\infty} \\sqrt[n-1]{|\\frac{a_n}{n+1}|}$ 可知收敛半径相同", "bbox": [ 89, 329, 912, 397 ], "page_idx": 102 }, { "type": "text", "text": "笔记 端点处一致收敛性不保证，例如 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{x^n}{n}$ 收敛域为 $[-1, 1)$ ，而 $\\sum_{n=1}^{\\infty} x^{n-1}$ 收敛域为 $(-1, 1)$", "bbox": [ 87, 395, 773, 436 ], "page_idx": 102 }, { "type": "text", "text": "定理 10.6 (求导与求积)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 445, 295, 458 ], "page_idx": 102 }, { "type": "text", "text": "设 $(-R, R)$ 上 $f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} a_n x^n$ ，则对 $\\forall x \\in (-R, R)$ 有：", "bbox": [ 115, 464, 527, 502 ], "page_idx": 102 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf ^ {\\prime} (x) = \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} n a _ {n} x ^ {n - 1}, \\int_ {0} ^ {x} f (t) \\mathrm{d} t = \\sum_ {n = 0} ^ {\\infty} \\frac {a _ {n}}{n + 1} x ^ {n + 1}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 312, 504, 678, 542 ], "page_idx": 102 }, { "type": "text", "text": "笔记 幂级数的逐项求导和逐项积分要注意其只能保证在收敛区间成立，但不保证在收敛域上成立！", "bbox": [ 87, 562, 811, 577 ], "page_idx": 102 }, { "type": "text", "text": "10.1.3 缺项幂级数的收敛区域", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 600, 364, 615 ], "page_idx": 102 }, { "type": "text", "text": "练习10.4缺项幂级数的收敛范围(1)求 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}n^{n^2}x^{n^3}$ 的收敛范围", "bbox": [ 58, 627, 554, 664 ], "page_idx": 102 }, { "type": "text", "text": "解令 $a_{k} = \\left\\{ \\begin{array}{ll}n^{n^{2}}, & k = n^{3}\\\\ 0, & k\\neq n^{3} \\end{array} \\right.$ ，则 $\\sum_{n = 1}^{\\infty}n^{n^2}x^{n^3} = \\sum_{k = 1}^{\\infty}a_kx^k$ ，此时", "bbox": [ 87, 665, 541, 707 ], "page_idx": 102 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\frac {1}{R} = \\varlimsup_ {k \\to \\infty} \\sqrt [ k ]{| a _ {k} |} = \\lim _ {n \\to \\infty} \\sqrt [ n ^ {3} ]{n ^ {n ^ {2}}} = \\lim _ {n \\to \\infty} (n ^ {n ^ {2}}) ^ {\\frac {1}{n ^ {3}}} = 1\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 307, 712, 687, 741 ], "page_idx": 102 }, { "type": "text", "text": "10.2 幂级数展开式求和", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 762, 347, 781 ], "page_idx": 102 }, { "type": "text", "text": "定理 10.7 (必备幂级数展开)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 802, 329, 816 ], "page_idx": 102 }, { "type": "text", "text": "以下的幂级数展开会经常使用，基本上是分母较为简单的 Taylor 展开式", "bbox": [ 115, 822, 640, 837 ], "page_idx": 102 }, { "type": "text", "text": "1. $\\frac{1}{1 - x} = \\sum_{n=0}^{\\infty} x^n$", "bbox": [ 136, 837, 275, 873 ], "page_idx": 102 }, { "type": "header", "text": "10.2 幂级数展开式求和", "bbox": [ 732, 55, 905, 68 ], "page_idx": 102 }, { "type": "page_number", "text": "95", "bbox": [ 489, 954, 507, 964 ], "page_idx": 102 }, { "type": "text", "text": "2. $e^x = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{x^n}{n!}$", "bbox": [ 136, 96, 252, 133 ], "page_idx": 103 }, { "type": "text", "text": "3. $\\ln (1 + x) = \\sum_{n = 1}^{\\infty}(-1)^{n - 1}\\frac{x^n}{n}$", "bbox": [ 136, 133, 357, 167 ], "page_idx": 103 }, { "type": "text", "text": "4. $\\arctan x = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$", "bbox": [ 134, 168, 359, 205 ], "page_idx": 103 }, { "type": "image", "img_path": "images/f2fe059e28c6b6c8debade1d0b18e4ac23151c56b894b7eeec42bd44c39050ed.jpg", "image_caption": [], "image_footnote": [], "content": "", "bbox": [ 58, 219, 78, 237 ], "page_idx": 103 }, { "type": "text", "text": "笔记 具体用哪个主要看 $(-1)$ 的指数次和分母的关系。", "bbox": [ 87, 225, 485, 240 ], "page_idx": 103 }, { "type": "text", "text": "10.2.1 等比级数", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 262, 243, 278 ], "page_idx": 103 }, { "type": "text", "text": "定理 10.8 (等比级数)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 294, 278, 309 ], "page_idx": 103 }, { "type": "text", "text": "根据 $f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} x^n = \\frac{1}{1 - x}$ 可以推出：", "bbox": [ 115, 315, 403, 351 ], "page_idx": 103 }, { "type": "text", "text": "1. $\\sum_{n=1}^{\\infty} nx^{n} = \\frac{x}{(1 - x)^{2}}$ ，方法为对 $\\sum_{n=0}^{\\infty} x^{n}$ 求导，再同乘 $x$", "bbox": [ 136, 350, 559, 388 ], "page_idx": 103 }, { "type": "text", "text": "2. $\\sum_{n=1}^{\\infty} n^{2} x^{n} = \\frac{x(1 + x)}{(1 - x)^{3}}$ ，方法为对 $\\sum_{n=1}^{\\infty} nx^{n}$ 求导，再乘 $x$", "bbox": [ 134, 387, 561, 424 ], "page_idx": 103 }, { "type": "text", "text": "练习10.5等比级数 (1) $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^2 + 3n}{2^n}$ (2) $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{x^n}{n(n+1)}$", "bbox": [ 60, 436, 467, 473 ], "page_idx": 103 }, { "type": "text", "text": "解(1)这里展示正推, 进行公式推导:", "bbox": [ 89, 470, 366, 486 ], "page_idx": 103 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} f _ {1} (x) = \\sum_ {n = 0} ^ {\\infty} x ^ {n} = \\frac {1}{1 - x} \\Rightarrow f _ {1} ^ {\\prime} (x) = \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} n x ^ {n - 1} = \\frac {1}{(1 - x) ^ {2}} \\\\ f _ {2} (x) = \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} n x ^ {n} = \\frac {x}{(1 - x) ^ {2}} \\Rightarrow f _ {2} ^ {\\prime} (x) = \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} n ^ {2} x ^ {n - 1} = \\frac {1 + x}{(1 - x) ^ {3}} \\\\ f _ {3} (x) = \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} n ^ {2} x ^ {n} = \\frac {x (1 + x)}{(1 - x) ^ {3}} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 252, 489, 726, 595 ], "page_idx": 103 }, { "type": "text", "text": "因此 $I = f_{3}\\left(\\frac{1}{2}\\right) + 3f_{2}\\left(\\frac{1}{2}\\right) = 6 + 6 = 12$", "bbox": [ 92, 598, 376, 621 ], "page_idx": 103 }, { "type": "text", "text": "(2) 这里展示反推:", "bbox": [ 122, 623, 260, 637 ], "page_idx": 103 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} f _ {1} (x) = \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} \\frac {x ^ {n}}{n (n + 1)} \\\\ f _ {2} (x) = \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} \\frac {x ^ {n + 1}}{n (n + 1)} \\Rightarrow f _ {2} ^ {\\prime} (x) = \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} \\frac {x ^ {n}}{n} \\Rightarrow f _ {2} ^ {\\prime \\prime} (x) = \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} x ^ {n - 1} = \\sum_ {n = 0} ^ {\\infty} x ^ {n} = \\frac {1}{1 - x} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 189, 642, 786, 714 ], "page_idx": 103 }, { "type": "text", "text": "因此推出 $f_{2}^{\\prime}(x) = -\\ln (1 - x),f_{2}(x) = (1 - x)\\ln (1 - x) + x$ ，因此 $f_{1}(x) = \\frac{1 - x}{x}\\ln (1 - x) + 1$", "bbox": [ 90, 717, 781, 744 ], "page_idx": 103 }, { "type": "text", "text": "10.2.2 $\\arctan x$ 级数", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 762, 277, 777 ], "page_idx": 103 }, { "type": "text", "text": "练习 10.6arctan x (1) 重点：求 $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^{n-1}}{n(2n+1)}$", "bbox": [ 58, 788, 425, 826 ], "page_idx": 103 }, { "type": "header", "text": "10.2 幂级数展开式求和", "bbox": [ 732, 55, 905, 68 ], "page_idx": 103 }, { "type": "page_number", "text": "96", "bbox": [ 489, 954, 509, 965 ], "page_idx": 103 }, { "type": "text", "text": "解(1)相差较大，选择裂项： $\\sum_{n = 1}^{\\infty}\\frac{(-1)^{n - 1}}{n(2n + 1)} = 2\\sum_{n = 1}^{\\infty}\\left(\\frac{(-1)^{n - 1}}{2n} -\\frac{(-1)^{n - 1}}{2n + 1}\\right)$ ，两者均收敛，且", "bbox": [ 89, 80, 781, 120 ], "page_idx": 104 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} \\ln (1 + x) = \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} \\frac {(- 1) ^ {n - 1} x ^ {n}}{n} \\\\ \\arctan x = \\sum_ {n = 0} ^ {\\infty} \\frac {(- 1) ^ {n} x ^ {2 n + 1}}{2 n + 1} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 379, 123, 598, 193 ], "page_idx": 104 }, { "type": "text", "text": "因此结果为 $\\ln 2 + \\frac{\\pi}{2} - 2$", "bbox": [ 90, 196, 273, 223 ], "page_idx": 104 }, { "type": "text", "text": "10.2.3 $e^x$ 级数", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 241, 225, 256 ], "page_idx": 104 }, { "type": "text", "text": "练习 $10.7e^{x}$ (1) 计算 $\\lim_{n\\to\\infty}\\left[1+\\frac{1}{2!}+\\frac{1}{4!}+\\cdots+\\frac{1}{(2n)!}\\right]$", "bbox": [ 60, 267, 485, 298 ], "page_idx": 104 }, { "type": "text", "text": "解 (1) 由于 $e^x = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{x^n}{n!}$ ，因此 $e^{-x} = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{(-1)^n x^n}{n!}$ ，故", "bbox": [ 89, 299, 497, 335 ], "page_idx": 104 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\frac {e ^ {x} + e ^ {- x}}{2} = \\sum_ {n = 0} ^ {\\infty} \\frac {x ^ {2 n}}{(2 n) !}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 416, 338, 578, 375 ], "page_idx": 104 }, { "type": "text", "text": "取 $x = 1$ ，得到 $\\sum_{n=0}^{\\infty}\\frac{1}{(2n)!} = \\frac{e + e^{-1}}{2}$", "bbox": [ 90, 378, 359, 414 ], "page_idx": 104 }, { "type": "text", "text": "10.3 幂级数求和式展开", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 439, 347, 457 ], "page_idx": 104 }, { "type": "text", "text": "10.3.1 基本理论与直接展开", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 476, 342, 494 ], "page_idx": 104 }, { "type": "text", "text": "定理 10.9 (幂级数展开)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 510, 295, 524 ], "page_idx": 104 }, { "type": "text", "text": "若 $f(x)$ 在 $(x_0 - R, x_0 + R)$ 上存在任意阶导数，且 $\\exists M, N > 0$ ，当 $n > N$ 时， $\\forall x \\in (x_0 - R, x_0 + R)$ ，均有 $|f^{(n)}(x_0)| \\leq M$ ，则", "bbox": [ 112, 529, 880, 564 ], "page_idx": 104 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x) = \\sum_ {n = 0} ^ {\\infty} \\frac {f ^ {(n)} (x _ {0})}{n !} (x - x _ {0}) ^ {n}, \\forall x \\in (x _ {0} - R, x _ {0} + R)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 300, 567, 692, 604 ], "page_idx": 104 }, { "type": "text", "text": "练习10.8幂级数直接展开(1) $\\frac{ax + b}{cx + d}$ 型： $f(x) = \\frac{x - 3}{x + 1}$ 在 $x = 1$ 处的幂级数展开", "bbox": [ 58, 634, 684, 665 ], "page_idx": 104 }, { "type": "text", "text": "(2) $f(x)=\\frac{1}{x(x+1)}$ 在 x=1 处幂级数展开", "bbox": [ 122, 663, 438, 695 ], "page_idx": 104 }, { "type": "text", "text": "(3) $f(x)=\\frac{1}{1-3x+2x^{2}}$ 在 x=0 处展开", "bbox": [ 122, 694, 421, 721 ], "page_idx": 104 }, { "type": "text", "text": "(4) $f(x) = \\frac{x}{1 + x - 2x^2}$ 在 $x = 0$ 处展开", "bbox": [ 122, 719, 413, 741 ], "page_idx": 104 }, { "type": "text", "text": "解(1)首先 $f(x)=1-\\frac{4}{1+x}$ ，设t=x-1，则 $f(x)=g(t)=1-\\frac{4}{2+t}$ ，因此 $f(x)=1-2\\cdot\\frac{1}{1+\\frac{t}{2}}=1-2\\sum_{n=0}^{\\infty}\\left(\\frac{-t}{2}\\right)^{n}$ ，\n因此得到", "bbox": [ 90, 741, 905, 789 ], "page_idx": 104 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x) = 1 - \\sum_ {n = 0} ^ {\\infty} \\left(\\frac {- t}{2}\\right) ^ {n}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 410, 787, 584, 825 ], "page_idx": 104 }, { "type": "text", "text": "(2) 设 $t = x - 1$ ，可以得到 $f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} (-1)^n \\left(1 - \\frac{1}{2^{n+1}}\\right)(x - 1)^n$", "bbox": [ 122, 832, 611, 870 ], "page_idx": 104 }, { "type": "header", "text": "10.3 幂级数求和式展开", "bbox": [ 732, 55, 905, 68 ], "page_idx": 104 }, { "type": "page_number", "text": "97", "bbox": [ 487, 953, 507, 964 ], "page_idx": 104 }, { "type": "text", "text": "10.3.2 求导与求积", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 85, 263, 102 ], "page_idx": 105 }, { "type": "text", "text": "练习10.9几个经典的积分与求导法(1)计算 $f(x) = \\frac{1}{(1 + x)^2}$ 在 $x = 0$ 处的幂级数展开", "bbox": [ 58, 111, 726, 141 ], "page_idx": 105 }, { "type": "text", "text": "(2) 计算 $f(x) = \\arcsin x$ 在 $x = 0$ 处的幂级数展开", "bbox": [ 122, 141, 490, 156 ], "page_idx": 105 }, { "type": "text", "text": "(3) 计算 $f(x) = \\int_{0}^{x} \\frac{\\sin t}{t} t$ 在 $x = 0$ 处的幂级数展开", "bbox": [ 122, 155, 500, 184 ], "page_idx": 105 }, { "type": "text", "text": "解(1)积分得到 $\\int_0^x f(t)\\mathrm{d}t = -\\frac{1}{1 + t}\\bigg|_0^x = 1 - \\frac{1}{1 + x} = 1 - \\sum_{n = 0}^{\\infty}(-x)^n$ ，因此 $f(x) = \\left(\\int_0^x f(t)\\mathrm{d}t\\right)' = \\sum_{n = 1}^{\\infty}(-1)^{n + 1}nx^{n - 1}$", "bbox": [ 89, 181, 919, 219 ], "page_idx": 105 }, { "type": "equation", "text": "$$\n(2) f ^ {\\prime} (x) = \\frac {1}{\\sqrt {1 - x ^ {2}}}, \\text { 而 }\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 122, 219, 307, 249 ], "page_idx": 105 }, { "type": "equation", "text": "$$\n(1 - x ^ {2}) ^ {- \\frac {1}{2}} = 1 + \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} \\frac {(- \\frac {1}{2}) (- \\frac {3}{2}) \\cdots (- \\frac {1}{2} - n + 1)}{n !} (- x ^ {2}) ^ {n} = 1 + \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} \\frac {(2 n - 1) ! !}{(2 n) ! !} x ^ {2 n}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 200, 250, 794, 288 ], "page_idx": 105 }, { "type": "text", "text": "因此 $f(x) = f(0) + \\int_0^x f'(t)\\mathrm{d}t = x + \\sum_{n = 1}^{\\infty}\\frac{(2n - 1)!!}{(2n + 1)(2n)!!} x^{2n + 1}$", "bbox": [ 90, 293, 546, 329 ], "page_idx": 105 }, { "type": "text", "text": "练习 10.10arctan 经典题目 求幂级数展开:", "bbox": [ 58, 338, 405, 353 ], "page_idx": 105 }, { "type": "text", "text": "(1) $f(x)=\\arctan x$", "bbox": [ 122, 357, 265, 373 ], "page_idx": 105 }, { "type": "text", "text": "(2) 重点 (ZJU2021): $g(x) = \\arctan \\frac{1 - kx}{1 + kx}$", "bbox": [ 122, 370, 435, 398 ], "page_idx": 105 }, { "type": "text", "text": "(3) 重点: $h(x) = \\arctan \\frac{2x}{1 - x^2}$ , 求导结果很简单", "bbox": [ 122, 397, 492, 425 ], "page_idx": 105 }, { "type": "text", "text": "解 (1) $f'(x)=\\frac{1}{1+x^{2}}=\\sum_{n=0}^{\\infty}(-x^{2})^{n}$ ，因此", "bbox": [ 90, 426, 396, 460 ], "page_idx": 105 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x) = f (0) + \\sum_ {n = 0} ^ {\\infty} \\int_ {0} ^ {x} (- 1) ^ {n} t ^ {2 n} \\mathrm{d} t = \\sum_ {n = 0} ^ {\\infty} (- 1) ^ {n} \\frac {x ^ {2 n + 1}}{2 n + 1}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 302, 464, 692, 501 ], "page_idx": 105 }, { "type": "text", "text": "(2) $\\arctan \\frac{1 - kx}{1 + kx} = \\arctan 1 - \\arctan kx$ ，因此", "bbox": [ 122, 502, 468, 533 ], "page_idx": 105 }, { "type": "equation", "text": "$$\ng (x) = \\frac {\\pi}{4} - \\sum_ {n = 0} ^ {\\infty} \\frac {(- 1) ^ {n} k ^ {2 n + 1}}{2 n + 1} x ^ {2 n + 1}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 369, 536, 625, 573 ], "page_idx": 105 }, { "type": "text", "text": "(3) $h'(x)=\\frac{2}{1+x^{2}}$ (别怕求导！)，因此 $h'(x)=2\\sum_{n=0}^{\\infty}(-x^{2})^{n}$ ，积分得到", "bbox": [ 122, 576, 638, 613 ], "page_idx": 105 }, { "type": "equation", "text": "$$\nh (x) = 2 \\sum_ {n = 0} ^ {\\infty} \\frac {(- 1) ^ {n}}{2 n + 1} x ^ {2 n + 1}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 400, 615, 593, 653 ], "page_idx": 105 }, { "type": "header", "text": "10.3 幂级数求和式展开", "bbox": [ 732, 55, 905, 68 ], "page_idx": 105 }, { "type": "page_number", "text": "98", "bbox": [ 487, 953, 507, 965 ], "page_idx": 105 }, { "type": "text", "text": "第 11 章 傅里叶级数", "text_level": 2, "bbox": [ 374, 87, 640, 111 ], "page_idx": 106 }, { "type": "text", "text": "11.1 以 $2\\pi$ 为周期的傅里叶级数", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 145, 436, 165 ], "page_idx": 106 }, { "type": "text", "text": "定义 11.1 (2π 周期傅里叶展开)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 185, 352, 200 ], "page_idx": 106 }, { "type": "text", "text": "对于 $2\\pi$ 周期函数 $f(x)$ ，定义其傅里叶展开为 $f(x) \\sim \\frac{a_0}{2} + \\sum_{n=1}^{\\infty} (a_n \\cos nx + b_n \\sin nx)$ ，其中", "bbox": [ 114, 206, 789, 243 ], "page_idx": 106 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int a _ {n} = \\frac {1}{\\pi} \\int_ {- \\pi} ^ {\\pi} f (x) \\cos n x \\mathrm{d} x \\quad n = 0, 1, 2, \\dots\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 337, 246, 658, 278 ], "page_idx": 106 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{b _ {n} = \\frac {1}{\\pi} \\int_ {- \\pi} ^ {\\pi} f (x) \\sin n x \\mathrm{d} x \\quad n = 1, 2, \\dots \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 339, 277, 645, 307 ], "page_idx": 106 }, { "type": "image", "img_path": "images/94b85b028233997a3678393537cecdea4088e96528b29e922edcbe8d2e7f4793.jpg", "image_caption": [], "image_footnote": [], "content": "", "bbox": [ 58, 319, 78, 340 ], "page_idx": 106 }, { "type": "text", "text": "笔记 计算时一定要注意第一项是 $\\frac{a_0}{2}$ !", "bbox": [ 60, 322, 369, 348 ], "page_idx": 106 }, { "type": "text", "text": "定理 11.1 (收敛定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 357, 278, 373 ], "page_idx": 106 }, { "type": "text", "text": "若以 $2\\pi$ 为周期的函数 $f$ 在 $[- \\pi, \\pi]$ 上按段光滑，则对 $\\forall x \\in [-\\pi, \\pi]$ ，傅里叶级数收敛于 $f$ 在 $x$ 左右极限的算术平均值。", "bbox": [ 114, 376, 882, 412 ], "page_idx": 106 }, { "type": "text", "text": "推论 11.1 (连续特殊情况)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 435, 312, 450 ], "page_idx": 106 }, { "type": "text", "text": "若 $f$ 是以 $2\\pi$ 为周期的连续函数，且在 $[- \\pi, \\pi]$ 上按段光滑，则 $f$ 的傅里叶级数在 $(- \\infty, +\\infty)$ 上收敛于 $f$", "bbox": [ 114, 453, 902, 476 ], "page_idx": 106 }, { "type": "text", "text": "练习11.1几个经典展开(1)求 $f(x) = x^{2}$ 在 $(- \\pi, \\pi)$ 上的傅里叶级数，并求 $\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{1}{n^{2}}$", "bbox": [ 58, 502, 695, 538 ], "page_idx": 106 }, { "type": "text", "text": "解(1)计算得到 $a_0 = \\frac{2}{3}\\pi^2$ ， $a_{n} = \\frac{1}{\\pi}\\int_{-\\pi}^{\\pi}x^{2}\\cos nx\\mathrm{d}x = (-1)^{n}\\frac{4}{n^{2}}$ ，因此得到", "bbox": [ 87, 536, 642, 568 ], "page_idx": 106 }, { "type": "equation", "text": "$$\nx ^ {2} = \\frac {1}{3} \\pi^ {2} + \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} (- 1) ^ {n} \\frac {4}{n ^ {2}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 403, 571, 591, 608 ], "page_idx": 106 }, { "type": "text", "text": "令 $x = \\pi$ 得到", "bbox": [ 90, 611, 196, 626 ], "page_idx": 106 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\pi^ {2} = \\frac {1}{3} \\pi^ {2} + \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} \\frac {4}{n ^ {2}} \\Rightarrow \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} \\frac {1}{n ^ {2}} = \\frac {\\pi^ {2}}{6}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 363, 623, 631, 661 ], "page_idx": 106 }, { "type": "image", "img_path": "images/d54523c5e53334e427bb9e9822136c9ad2e44ba8407c1ddcc6e3a92d9c8e6f2d.jpg", "image_caption": [], "image_footnote": [], "content": "", "bbox": [ 57, 668, 80, 688 ], "page_idx": 106 }, { "type": "text", "text": "笔记 注意 $\\cos n\\pi = (-1)^n$ 。", "bbox": [ 87, 673, 289, 689 ], "page_idx": 106 }, { "type": "text", "text": "11.2 以 $2l$ 为周期的傅里叶级数", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 734, 428, 753 ], "page_idx": 106 }, { "type": "text", "text": "定义 11.2 (2l 周期的傅里叶级数)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 775, 364, 790 ], "page_idx": 106 }, { "type": "text", "text": "$f(x)$ 以 $2l$ 为周期，则其傅里叶级数为 $f(x) \\sim \\frac{a_0}{2} + \\sum_{n=1}^{\\infty} (a_n \\cos \\frac{n\\pi x}{l} + b_n \\sin \\frac{n\\pi x}{l})$ ，其中", "bbox": [ 114, 795, 761, 831 ], "page_idx": 106 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int a _ {n} = \\frac {1}{l} \\int_ {- l} ^ {l} f (x) \\cos \\frac {n \\pi x}{l} \\mathrm{d} x, \\quad n = 0, 1, 2, \\dots\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 331, 835, 665, 869 ], "page_idx": 106 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{b _ {n} = \\frac {1}{l} \\int_ {- l} ^ {l} f (x) \\sin {\\frac {n \\pi x}{l}} \\mathrm{d} x, n = 1, 2, \\dots \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 332, 869, 650, 900 ], "page_idx": 106 }, { "type": "text", "text": "11.3 Parseval 等式", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 87, 297, 107 ], "page_idx": 107 }, { "type": "text", "text": "定理 11.2 (Parseval 等式)", "bbox": [ 122, 129, 310, 143 ], "page_idx": 107 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\frac {1}{\\pi} \\int_ {- \\pi} ^ {\\pi} [ f (x) ] ^ {2} \\mathrm{d} x = \\frac {a _ {0} ^ {2}}{2} + \\sum_ {n = 1} ^ {\\infty} (a _ {n} ^ {2} + b _ {n} ^ {2})\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 115, 149, 391, 185 ], "page_idx": 107 }, { "type": "text", "text": "练习11.2计算数项级数(1)对 $f(x) = x^{2}$ 展开，并证明 $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n^4} = \\frac{\\pi^4}{90}$", "bbox": [ 60, 200, 593, 236 ], "page_idx": 107 }, { "type": "header", "text": "11.3 Parseval 等式", "bbox": [ 771, 55, 905, 68 ], "page_idx": 107 }, { "type": "page_number", "text": "100", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 107 }, { "type": "image", "img_path": "images/cc6eab2313c8b054f7a9294640558a696f8d7f28aec6df75223441dd840f7835.jpg", "image_caption": [], "image_footnote": [], "content": "", "bbox": [ 58, 291, 78, 310 ], "page_idx": 108 }, { "type": "image", "img_path": "images/ef8b8195cbadf4e004099909588a2b27bf2e5ea56b2eedc28d61fe25a11d8d12.jpg", "image_caption": [], "image_footnote": [], "content": "", "bbox": [ 58, 682, 78, 701 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "第 12 章 多元极限与连续", "text_level": 2, "bbox": [ 344, 87, 668, 111 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "12.1 累次极限与重极限", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 145, 349, 165 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "12.1.1 基本概念", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 184, 243, 200 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "定义 12.1 (重极限)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 217, 262, 231 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "$a \\in \\mathbb{R}^n$ , $f: \\mathbb{R}^n \\to \\mathbb{R}$ 在 $a$ 的去心邻域中有定义, 若 $\\exists A, \\forall \\epsilon, \\exists \\delta$ 当 $\\mathbf{x} \\in \\mathbb{R}^n$ 满足 $|\\mathbf{x} - a| < \\delta$ 时, 有 $|f(\\mathbf{x}) - A| < \\epsilon$ , 则称 $\\lim_{\\mathbf{x} \\to a} f(\\mathbf{x}) = A$", "bbox": [ 112, 235, 882, 274 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "笔记 计算重极限的方法:", "bbox": [ 58, 293, 275, 310 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "\\- 放缩 + 迫敛：例如 $\\left|(x + y)\\sin \\frac{1}{x}\\sin \\frac{1}{y}\\right| \\leq |x + y| = 0$", "bbox": [ 114, 307, 522, 336 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "\\- 极坐标变换：例如 $\\left|\\frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}\\right| = \\left|\\frac{r^3\\cos^3\\theta + r^3\\sin^3\\theta}{r^2}\\right| = r|\\cos^3\\theta +\\sin^3\\theta |\\leq 2r\\to 0$", "bbox": [ 115, 336, 737, 370 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "笔记 证明重极限不存在的常用方法:", "bbox": [ 87, 372, 359, 388 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "\\- 两个累次极限存在但不相等", "bbox": [ 115, 391, 339, 406 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "\\- 找特殊的趋近方式，如 $y = kx$ ，使得获得的重极限不同", "bbox": [ 115, 410, 544, 425 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "练习12.1重极限的计算(1)已知 $f(x,y)$ 如下，计算 $\\lim_{(x,y)\\to (0,0)}f(x,y)$", "bbox": [ 58, 447, 600, 469 ], "page_idx": 108 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x, y) = \\left\\{ \\begin{array}{l l} x y \\frac {x ^ {2} - y ^ {2}}{x ^ {2} + y ^ {2}}, & (x, y) \\neq 0 \\\\ 0, & (x, y) = 0 \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 366, 474, 630, 525 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "解 (1) 设 $x = r\\cos \\theta, y = r\\sin \\theta$ ，则", "bbox": [ 89, 530, 352, 545 ], "page_idx": 108 }, { "type": "equation", "text": "$$\n| f (x, y) | = \\left| \\frac {r ^ {2} \\sin \\theta \\cos \\theta (r ^ {2} \\cos^ {2} \\theta - r ^ {2} \\sin^ {2} \\theta)}{r ^ {2}} \\right| = \\frac {1}{4} r ^ {2} | \\sin 4 \\theta | \\leq \\frac {1}{4} r ^ {2} \\rightarrow 0\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 233, 548, 761, 580 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "因此极限为0", "bbox": [ 92, 583, 194, 598 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "定义 12.2 (累次极限)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 624, 278, 639 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "设 $f(x,y)$ 在 $x_0,y_0$ 的某去心邻域中有定义，则称 $\\lim_{y\\to y_0}\\lim_{x\\to x_0}f(x,y),\\lim_{x\\to x_0}\\lim_{y\\to y_0}f(x,y)$ 称为累次极限。", "bbox": [ 114, 644, 848, 669 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "笔记 重极限是多个分量同时趋近于 $\\mathbf{x}_0$ ，而累次极限相当于依次取极限的极限。", "bbox": [ 87, 686, 665, 702 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "定理 12.1 (重极限与累次极限的关系)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 712, 396, 727 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "若重极限 $\\lim_{(x,y)\\to (x_0,y_0)}f(x,y) = A$ 存在，且累次极限存在(累次极限可能不存在)，则累次极限的值为 $A$", "bbox": [ 114, 732, 870, 760 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "证明 $\\forall \\epsilon, \\exists \\delta, |\\mathbf{x} - \\mathbf{x}_0| < \\delta$ 时， $|f(x, y) - A| < \\epsilon$ ，两侧取极限 $x \\to x_0$ ，得到 $|\\lim_{x \\to x_0} f(x, y) - A| < \\epsilon$ ，当 $|y - y_0| < \\delta$ 时显然结论成立。", "bbox": [ 90, 776, 905, 812 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "定理 12.2 (重极限的任意性)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 821, 329, 835 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "设 $(x,y)$ 沿着任意路径趋于 $(x_0,y_0)$ 时， $f(x,y)\\to A$ ，则", "bbox": [ 115, 841, 534, 857 ], "page_idx": 108 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {(x, y) \\to (x _ {0}, y _ {0})} f (x, y) = A\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 410, 865, 586, 888 ], "page_idx": 108 }, { "type": "text", "text": "证明 反设 $\\lim_{(x,y)\\to(x_{0},y_{0})}f(x,y)\\neq A$ ，则 $\\exists\\epsilon_{0}$ 和 $\\{x_{n}\\}$ 使得 $\\lim_{n\\to\\infty}x_{n}=(x_{0},y_{0})$ ，但 $|f(x_{n})-A|\\geq\\epsilon_{0}$ ，将 $x_{1},x_{2},\\cdots,x_{n},\\cdots$ 连接成折线，折线趋近于 $(x_{0},y_{0})$ ，但 $f(x,y)$ 不趋于 A，这与已知矛盾。", "bbox": [ 87, 84, 921, 123 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "练习 12.2 常用反例 讨论 $(0,0)$ 处的重极限与累次极限", "bbox": [ 58, 143, 490, 158 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "(1) 重点: $f(x, y) = \\frac{xy}{x^2 + y^2}$", "bbox": [ 121, 160, 332, 185 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "(2) $f(x,y)=\\frac{x-y}{x+y}$", "bbox": [ 122, 185, 267, 212 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "(3) $f(x,y)=x\\sin\\frac{1}{y}$", "bbox": [ 122, 212, 268, 236 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "(4) $f(x,y)=x\\sin\\frac{1}{y}+y\\sin\\frac{1}{x}$", "bbox": [ 122, 234, 339, 266 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "(5) 重点: $f(x, y) = \\begin{cases} 1, & 0 < y < x^2, -\\infty < x < +\\infty \\\\ 0, & \\text{其他} \\end{cases}$", "bbox": [ 121, 267, 521, 310 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "解(1)累次都是0。重极限若选择 $y = kx$ ，则得到 $f(x, y) = \\frac{kx^2}{(k^2 + 1)x^2} = \\frac{k}{k^2 + 1}$ ，重极限不存在。", "bbox": [ 87, 309, 811, 341 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "(2) 累次为 $\\pm 1$ 。重极限考虑 $y = kx$ ，则 $f(x, y) = \\frac{x - kx}{x + kx} = \\frac{1 - k}{1 + k}$ ，不存在", "bbox": [ 121, 341, 678, 369 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "(3) 先 $x$ 后 $y$ 极限为 0，先 $y$ 后 $x$ 不存在。重极限 $x \\sin \\frac{1}{y} < |x| \\to 0$ ，因此重极限为 0", "bbox": [ 121, 370, 747, 388 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "(4) 累次极限不存在。而 $|f(x, y)| \\leq |x| + |y| \\to 0$ ，重极限为 0。", "bbox": [ 121, 394, 584, 409 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "(5) 画出图像，发现沿着直线逼近都是 0，沿着抛物线 $y = kx^{2} (0 < k < 1)$ 时趋于 1，因此极限不存在。", "bbox": [ 121, 412, 870, 426 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "练习 12.3 反例应用 上述反例可作为以下问题的解答:", "bbox": [ 58, 449, 484, 463 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "1. 累次极限存在但不相等: $\\frac{x - y}{x + y}$", "bbox": [ 110, 464, 366, 489 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "2. 累次极限存在且相等，但重极限不存在： $\\frac{xy}{x^2 + y^2}$", "bbox": [ 107, 489, 499, 513 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "3. 累次极限不存在，但重极限存在： $x \\sin \\frac{1}{y} + y \\sin \\frac{1}{x}$", "bbox": [ 109, 513, 507, 542 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "4. 重极限与双累次极限都不存在: $\\frac{1}{x} + \\frac{1}{y}$", "bbox": [ 109, 539, 421, 570 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "12.1.2 重极限的计算", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 602, 284, 619 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "练习 12.4 多元分式 讨论 (0,0) 处的重极限: (1) $f(x,y)=\\frac{xy}{x+y}$ (2) $f(x,y)=\\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$ (3) $f(x,y)=\\frac{x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$ (4) $f(x,y)=\\frac{x^{6}y^{8}}{(x^{2}+y^{4})^{5}}$ (5) $f(x,y)=\\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}y^{2}+(x-y)^{2}}$ (6) $f(x,y)=\\frac{x^{2}y^{2}}{x^{3}+y^{3}}$", "bbox": [ 58, 640, 902, 703 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "解 (1) 不齐次, 一方面将分子次数升高, $y = x$ 得到极限为 0 。另一方面常数消去公因式, 将分母变简单, 例如 $y = x^{2} - x$ 化简为 $x - 1 \\rightarrow -1$ , 因此重极限不存在", "bbox": [ 87, 701, 905, 734 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "(2) 齐次， $y = kx$ ，不存在", "bbox": [ 122, 738, 322, 753 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "(3) 齐次， $y = kx$ ，不存在", "bbox": [ 122, 757, 322, 771 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "(4) 尝试将分母变齐次， $x = ky^{2}$ ，得到 $\\frac{k^{6}y^{20}}{(k^{2} + 1)^{5}y^{20}}$ ，不存在", "bbox": [ 121, 769, 578, 799 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "(5) 尝试化简 $x = y$ 得到 1，其他想不到办法，尝试取零， $x = 0$ 得到极限为 0。不存在", "bbox": [ 121, 800, 757, 814 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "(6) 分子次数高： $y = x$ 显然极限为 0。另一方面化简分母，设 $y^{3} = x^{4} - x^{3}$ ，得到 $\\frac{x^2(x^4x^3)^{\\frac{2}{3}}}{x^4}$ ，极限不是 0。", "bbox": [ 121, 814, 907, 843 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "练习 12.5 指数形式 (1) $\\lim_{(x,y)\\to(0^{+},0^{+})}x^{y}$", "bbox": [ 58, 859, 371, 881 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "解(1)用累次极限看出一个0, 一个1, 显然重极限不存在", "bbox": [ 87, 881, 517, 896 ], "page_idx": 109 }, { "type": "header", "text": "12.2 多元函数连续性", "bbox": [ 747, 55, 904, 68 ], "page_idx": 109 }, { "type": "page_number", "text": "102", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 109 }, { "type": "text", "text": "12.2 多元函数连续性", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 87, 324, 107 ], "page_idx": 110 }, { "type": "text", "text": "12.2.1 多元函数连续性", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 127, 304, 143 ], "page_idx": 110 }, { "type": "text", "text": "定义 12.3 (多元函数连续)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 159, 312, 174 ], "page_idx": 110 }, { "type": "text", "text": "若 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处满足 $\\lim_{(x,y)\\to (x_0,y_0)}f(x,y) = f(x_0,y_0)$ ，则称 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续。", "bbox": [ 100, 175, 798, 212 ], "page_idx": 110 }, { "type": "text", "text": "例题 12.1 关于 x, y 连续，不多元连续 举例说明 $f(x, y)$ 关于 x, y 均连续，但不多元连续。", "bbox": [ 89, 223, 744, 240 ], "page_idx": 110 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x, y) = \\left\\{ \\begin{array}{l l} \\frac {x y}{x ^ {2} + y ^ {2}}, & (x, y) \\neq (0, 0) \\\\ 0, & (x, y) = (0, 0) \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 361, 255, 633, 306 ], "page_idx": 110 }, { "type": "text", "text": "$f(x,y)$ 关于 $x,y$ 均连续，但是 $\\lim_{(x,y)\\to (0,0)}f(x,y)$ 不存在。", "bbox": [ 89, 313, 505, 338 ], "page_idx": 110 }, { "type": "text", "text": "练习 12.6 加强条件 若 $f(x,y)$ 在 D 中关于 x,y 连续，且增加任意条件可证明 $f(x,y)$ 连续：", "bbox": [ 58, 351, 754, 367 ], "page_idx": 110 }, { "type": "text", "text": "1. 一致连续条件： $y$ 的连续是关于 $x$ 一致的", "bbox": [ 110, 370, 438, 384 ], "page_idx": 110 }, { "type": "text", "text": "2. Lip 条件： $f(x,y)$ 关于 x 满足 Lip 条件，则 $f(x,y)$ 连续", "bbox": [ 109, 388, 544, 403 ], "page_idx": 110 }, { "type": "text", "text": "3. 单调条件：关于 $x$ 或 $y$ 单调", "bbox": [ 110, 407, 342, 420 ], "page_idx": 110 }, { "type": "text", "text": "证明 (1)(2) 用 $|f(x,y) - f(x_0,y_0)| \\leq |f(x,y) - f(x,y_0)| + |f(x,y_0) - f(x_0,y_0)| < 2\\epsilon$ 即可，注意第一个绝对值放缩要求 $y$ 的连续关于 $x$ 一致！", "bbox": [ 89, 424, 904, 458 ], "page_idx": 110 }, { "type": "text", "text": "(3) 设关于 $y$ 单调增。考虑一点 $(x_0, y_0)$ ，用 $(x, y)$ 逼近，设 $y_0 - \\delta_1 < y < y_0 + \\delta_1$ ，首先根据 $y$ 的单调性可知 $f(x, y) \\leq f(x, y_0 + \\delta_1)$ 根据 $y$ 的连续性可知 $f(x, y_0 + \\delta_1) \\leq f(x, y_0) + \\epsilon$ 。进一步地根据 $x$ 的连续性可知", "bbox": [ 89, 462, 905, 497 ], "page_idx": 110 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x, y) \\leq f (x, y _ {0}) + \\epsilon \\leq f (x _ {0}, y _ {0}) + 2 \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 357, 505, 640, 520 ], "page_idx": 110 }, { "type": "text", "text": "同理可证得 $f(x,y)\\geq f(x_0,y_0) - 2\\epsilon$ ，综上可证 $\\left|f(x,y) - f(x_0,y_0)\\right|\\leq 2\\epsilon$ 。", "bbox": [ 90, 527, 630, 543 ], "page_idx": 110 }, { "type": "text", "text": "12.2.2 多元函数的一致连续性", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 564, 363, 580 ], "page_idx": 110 }, { "type": "text", "text": "引理 12.1 (多元三角不等式)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 596, 329, 612 ], "page_idx": 110 }, { "type": "text", "text": "对 $\\forall \\mathbf{x},\\mathbf{y}\\in \\mathbb{R}^n$ ，有 $||\\mathbf{x} - |\\mathbf{y}||\\leq |\\mathbf{x} - \\mathbf{y}|$", "bbox": [ 112, 615, 902, 640 ], "page_idx": 110 }, { "type": "text", "text": "证明 $|\\mathbf{x}| = |(\\mathbf{x} - \\mathbf{y}) + \\mathbf{y}| \\leq |\\mathbf{x} - \\mathbf{y}| + |\\mathbf{y}|$ ，因此移项得到 $|\\mathbf{x}| - |\\mathbf{y}| \\leq |\\mathbf{x} - \\mathbf{y}|$ 。同理可得 $|\\mathbf{y}| - |\\mathbf{x}| \\leq |\\mathbf{x} - \\mathbf{y}|$", "bbox": [ 90, 652, 862, 669 ], "page_idx": 110 }, { "type": "text", "text": "练习 12.7 多元一致连续 (1) $f(\\mathbf{x}) = |\\mathbf{x}|$ ，证明 $f(\\mathbf{x})$ 在 $\\mathbb{R}^n$ 上一致连续 (2) $f(x, y) = \\sin(xy)$ 在 $\\mathbb{R}^2$ 的一致连续性 (3) $f(x, y) = \\frac{1}{1 - xy}$ 在 $(0, 1) \\times (0, 1)$ 的一致连续性\n\n证明 (1) $\\forall \\epsilon, \\forall \\mathbf{x}, \\mathbf{y} \\in \\mathbb{R}^n$ ，若 $|\\mathbf{x} - \\mathbf{y}| < \\epsilon$ ，则根据三角不等式可知 $|f(\\mathbf{x}) - f(\\mathbf{y})| = ||\\mathbf{x}| - |\\mathbf{y}|| \\leq |\\mathbf{x} - \\mathbf{y}| < \\epsilon$ ，因此取 $\\delta = \\epsilon$ 即可。\n\n(2) 选 $a_n = (\\sqrt{2n\\pi}, \\sqrt{2n\\pi}), b_n = (\\sqrt{2n\\pi + \\frac{\\pi}{2}}, \\sqrt{2n\\pi + \\frac{\\pi}{2}})$ ，得到 $|b_n - a_n| \\to 0$ ，但 $|f(b_n) - f(a_n)| \\neq 0$ ，因此不一致连续。", "bbox": [ 60, 688, 905, 801 ], "page_idx": 110 }, { "type": "text", "text": "(3) 由于是在 $(1,1)$ 处出问题，可以考虑 $a_{n} = (1 - \\frac{1}{n}, 1 - \\frac{1}{n}), b_{n} = (1 - \\frac{1}{n + 1}, 1 - \\frac{1}{n + 1})$ ，显然 $|a_{n} - b_{n}| \\to 0$ ， $|f(a_{n}) - f(b_{n})| = \\left|\\frac{n^{2} - 3n^{2} + o(n^{2})}{4n^{2} - 1}\\right| \\to \\frac{1}{2}$ ，因此不一致连续。", "bbox": [ 89, 803, 907, 860 ], "page_idx": 110 }, { "type": "header", "text": "12.2 多元函数连续性", "bbox": [ 747, 54, 904, 68 ], "page_idx": 110 }, { "type": "page_number", "text": "103", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 110 }, { "type": "text", "text": "定理 12.3 (多元 Lip 连续与一致连续)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 87, 394, 101 ], "page_idx": 111 }, { "type": "text", "text": "$f(x,y)$ 是二元函数，若对 $\\forall (x_1,y),(x_2,y),(x,y_1),(x,y_2)\\in \\mathbb{R}^2$ 有", "bbox": [ 114, 108, 589, 123 ], "page_idx": 111 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| f \\left(x _ {1}, y\\right) - f \\left(x _ {2}, y\\right) \\right| \\leq L \\left| x _ {1} - x _ {2} \\right|, \\quad \\left| f \\left(x, y _ {1}\\right) - f \\left(x, y _ {2}\\right) \\right| \\leq L \\left| y _ {1} - y _ {2} \\right|\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 243, 131, 752, 147 ], "page_idx": 111 }, { "type": "text", "text": "则 $f(x,y)$ 在 $\\mathbb{R}^2$ 上一致连续", "bbox": [ 115, 153, 324, 168 ], "page_idx": 111 }, { "type": "text", "text": "证明 考虑 $\\left|f(x',y')-f(x'',y'')\\right|\\leq\\left|f(x',y')-f(x',y'')\\right|+\\left|f(x',y'')-f(x'',y'')\\right|$ ，用 Lip 条件放缩即可。", "bbox": [ 89, 189, 853, 205 ], "page_idx": 111 }, { "type": "header", "text": "12.2 多元函数连续性", "bbox": [ 749, 55, 904, 68 ], "page_idx": 111 }, { "type": "page_number", "text": "104", "bbox": [ 485, 954, 512, 964 ], "page_idx": 111 }, { "type": "text", "text": "第 13 章 多元微分学", "text_level": 1, "bbox": [ 374, 87, 640, 111 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "13.1 多变量导数与微分", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 145, 349, 165 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "13.1.1 全微分与偏导数", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 184, 302, 200 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "定义 13.1 (偏导数)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 217, 263, 231 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "$f$ 在 $\\mathbf{x}_0\\in D$ 的偏导数定义为 $\\frac{\\partial f}{\\partial x_i} := \\lim_{t\\to 0}\\frac{f(\\mathbf{x}_0 + t\\mathbf{e}_i) - f(\\mathbf{x}_0)}{t}$", "bbox": [ 112, 235, 563, 267 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "笔记 计算偏导 $f_{x}(x_{0},y_{0})$ 时，预先将 $y=y_{0}$ 代入，得到 $f(x,y_{0})$ ，再对 x 求导更加方便。", "bbox": [ 55, 284, 737, 303 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "定义 13.2 (可微)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 313, 247, 328 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "若 $z = f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 邻域 $U(P_0)$ 中有定义，且对于 $U(P_0)$ 中任意点 $(x,y)$ ， $\\exists A, B$ 使得", "bbox": [ 112, 332, 803, 349 ], "page_idx": 112 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x, y) - f \\left(x _ {0}, y _ {0}\\right) = A \\left(x - x _ {0}\\right) + B \\left(y - y _ {0}\\right) + o \\left(\\sqrt {\\left(x - x _ {0}\\right) ^ {2} + \\left(y - y _ {0}\\right) ^ {2}}\\right)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 228, 356, 766, 372 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "则称 $f(x,y)$ 在 $P_0$ 可微。可知这里 $A = \\frac{\\partial f}{\\partial x}, B = \\frac{\\partial f}{\\partial y}$ ，因此记 $\\mathrm{d}f(x_0,y_0) = \\frac{\\partial f}{\\partial x}(x_0,y_0)\\mathrm{d}x + \\frac{\\partial f}{\\partial y}(x_0,y_0)\\mathrm{d}y$", "bbox": [ 112, 373, 887, 407 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "笔记可微定义中的范数可以更改，例如 $\\Delta z = A\\Delta x + B\\Delta y + \\alpha \\Delta x + \\beta \\Delta y$ ，在 $(\\Delta x,\\Delta y)\\to (0,0)$ 时 $\\alpha ,\\beta \\rightarrow 0$ 该条件也等价于可微。", "bbox": [ 87, 423, 905, 458 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "推论 13.1 (偏导与可微)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 467, 295, 483 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "若 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 可微，则 $f_x(x_0, y_0), f_y(x_0, y_0)$ 一定存在", "bbox": [ 115, 487, 522, 504 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "笔记 判断是否可微分两步：", "text_level": 2, "bbox": [ 89, 523, 292, 538 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "1. 看看 $f_{x}, f_{y}$ 是否都存在，不存在则不可微", "bbox": [ 110, 542, 438, 556 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "2. 计算 $\\frac{f(x + \\Delta x, y + \\Delta y) - f(x, y) - f_x \\Delta x - f_y \\Delta y}{\\sqrt{(\\Delta x)^2 + (\\Delta y)^2}}$ 是否极限为 0，是则可微", "bbox": [ 107, 556, 689, 590 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "练习13.1计算全微分(1)求 $u = xe^{yz} + e^{-z} + y$ 在原点处的全微分", "bbox": [ 58, 600, 581, 615 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "解(1)原点处 $u_{x} = 1, u_{y} = 1, u_{z} = -1$ ，因此原点处 $\\mathrm{d}u = \\mathrm{d}x + \\mathrm{d}y - \\mathrm{d}z$", "bbox": [ 87, 618, 611, 634 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "练习13.2判断可微性 判断 $f(x,y) = \\left\\{ \\begin{array}{ll}\\frac{xy}{\\sqrt{x^2 + y^2}}, & (x,y)\\neq (0,0)\\\\ 0, & (x,y) = (0,0) \\end{array} \\right.$ 在原点的可微性", "bbox": [ 58, 648, 700, 699 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "解 首先计算偏导，计算 x 偏导时将 y 固定为 0(而不是固定为一个很小的值！)", "bbox": [ 87, 701, 663, 715 ], "page_idx": 112 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf _ {x} (0, 0) = \\frac {f (\\Delta x , 0) - f (0 , 0)}{\\Delta x} = 0\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 373, 718, 623, 747 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "同理可知 $f_{y}(0,0) = 0$ ，再考虑极限", "bbox": [ 90, 747, 351, 763 ], "page_idx": 112 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {\\rho \\rightarrow 0} \\frac {f (\\Delta x , \\Delta y) - f (0 , 0) - 0 \\Delta x - 0 \\Delta y}{\\sqrt {\\Delta x ^ {2} + \\Delta y ^ {2}}} = \\lim _ {\\rho \\rightarrow 0} \\frac {\\Delta x \\Delta y}{\\Delta x ^ {2} + \\Delta y ^ {2}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 282, 766, 710, 799 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "极限不存在，因此不可微。", "bbox": [ 90, 803, 289, 818 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "13.1.2 可微性的证明", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 840, 284, 857 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "练习13.3判断可微性(1)讨论 $f(x,y) = \\left\\{ \\begin{array}{ll}y\\ln (x^2 +y^2), & (x,y)\\neq (0,0)\\\\ 0, & (x,y) = (0,0) \\end{array} \\right.$ 在原点的可微性", "bbox": [ 58, 866, 742, 914 ], "page_idx": 112 }, { "type": "text", "text": "(2) $\\alpha > 0$ ，讨论 $f(x, y) = |xy|^{\\alpha}$ 在原点的可微性", "bbox": [ 122, 85, 475, 99 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "(3) $\\alpha > 0$ ，讨论 $f(x, y) = \\begin{cases} \\frac{|x|^{\\alpha}y}{x^2 + y^2}, & (x, y) \\neq (0, 0) \\\\ 0, & (x, y) = (0, 0) \\end{cases}$ 在原点处的可微性", "bbox": [ 122, 99, 650, 148 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "解(1)先看看偏导数， $f_{x}(0,0)=\\lim_{x\\to0}\\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\\frac{0}{x}=0,\\quad f_{y}(0,0)=\\lim_{y\\to0}\\frac{y\\ln(y^{2})-0}{y}=-\\infty$ ，因此不可微", "bbox": [ 90, 149, 905, 181 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "(2) 先看看偏导数 $f_{x}(0,0) = \\lim_{x\\to 0}\\frac{0}{x} = 0,\\quad f_{y}(0,0) = \\lim_{y\\to 0}\\frac{0}{y} = 0$ ，考虑：", "bbox": [ 121, 180, 633, 206 ], "page_idx": 113 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\frac {f (x , y) - f (0 , 0) - f _ {x} (0 , 0) x - f _ {y} (0 , 0) y}{\\sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} = \\frac {| x y | ^ {\\alpha}}{\\sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 304, 209, 692, 243 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "考察上述分式是否趋于0，用极坐标变换即可得出若 $\\alpha >\\frac{1}{2}$ ，则可微，若 $0 < \\alpha \\leq \\frac{1}{2}$ ，则不可微", "bbox": [ 90, 244, 791, 273 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "(3) $f_{x}(0,0) = f_{y}(0,0) = 0$ ，而 $\\frac{f(x,y)}{\\sqrt{x^2 + y^2}} = \\frac{|x|^{\\alpha}y}{(x^2 + y^2)^{\\frac{3}{2}}}$ ，使用极坐标变换得到 $r^{\\alpha -2}|\\cos \\theta |^{\\alpha}\\sin \\theta$ 。因此 $\\alpha >2$ 时可微， $0 < \\alpha \\leq 2$ 时不可微（例如取 $\\theta = \\frac{\\pi}{4})$ 。", "bbox": [ 90, 271, 907, 328 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "13.1.3 梯度与方向导数", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 346, 302, 363 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "定义 13.3 (梯度)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 378, 245, 393 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "对于 $f: R^{n} \\rightarrow R$ ，定义梯度 $\\nabla f := [\\frac{\\partial f}{\\partial x_{1}}, \\frac{\\partial f}{\\partial x_{2}}, \\cdots, \\frac{\\partial f}{\\partial x_{n}}]^{T}$", "bbox": [ 114, 395, 542, 428 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "定义 13.4 (方向导数)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 451, 278, 467 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "开集 $D \\subset \\mathbb{R}^n, f: D \\to \\mathbb{R}$ , $\\mathbf{u} \\in \\mathbb{R}^n$ 为单位向量, $\\mathbf{x}_0 \\in D$ , 定义 $\\frac{\\partial f}{\\partial \\mathbf{u}} := \\lim_{t \\to 0} \\frac{f(\\mathbf{x}_0 + t\\mathbf{u}) - f(\\mathbf{x}_0)}{t}$", "bbox": [ 112, 470, 801, 502 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "笔记 要计算方向导数，则可取方向为 $(\\cos\\alpha,\\cos\\beta)$ ，且 $\\cos^{2}\\alpha+\\cos^{2}\\beta=1$ 。原因在于 $\\frac{(x-x_{0},y-y_{0})}{|(x-x_{0},y-y_{0})|}=\\frac{1}{r}(x-x_{0},y-y_{0})=(\\cos\\alpha,\\cos\\beta)$", "bbox": [ 87, 516, 904, 571 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "练习 13.4 常用反例 (1) 证明 $f(x,y)=\\sqrt[3]{x^{2}+y^{2}}$ 在原点连续，但不存在任意方向导数和偏导数", "bbox": [ 58, 585, 786, 600 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 考虑方向 $l = (\\cos \\alpha, \\cos \\beta)$ ，则 $f_{l}(0,0) = \\lim_{r\\to 0^{+}}\\frac{f(r\\cos\\alpha,r\\cos\\beta) - f(0,0)}{r} = \\lim_{r\\to 0^{+}}\\frac{1}{r^{1/3}} = \\infty$", "bbox": [ 85, 601, 831, 630 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "定理 13.1 (可微函数方向导数的梯度表达)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 648, 428, 663 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "若 $f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 可微，则 $f(x,y)$ 在 $P_0$ 沿任一方向 $l$ 的方向导数存在，且", "bbox": [ 115, 668, 707, 684 ], "page_idx": 113 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf _ {l} (P _ {0}) = f _ {x} (P _ {0}) \\cos \\alpha + f _ {y} (P _ {0}) \\cos \\beta = \\nabla f \\cdot \\mathbf {n}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 329, 692, 665, 707 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "这里 $\\mathbf{n} = (\\cos \\alpha, \\cos \\beta)$ 是 $l$ 方向的单位向量", "bbox": [ 114, 715, 435, 728 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "证明 考虑方向导数 $f_{l}(P_{0}) = \\lim_{r\\to 0^{+}}\\frac{f(x_0 + r\\cos\\alpha, y_0 + r\\cos\\beta) - f(x_0, y_0)}{r}$ ，可化简为：", "bbox": [ 90, 743, 726, 772 ], "page_idx": 113 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {r \\rightarrow 0 ^ {+}} \\frac {f _ {x} (x _ {0} , y _ {0}) r \\cos \\alpha + f _ {y} (x _ {0} , y _ {0}) r \\cos \\beta + o (r)}{r} = f _ {x} (x _ {0}, y _ {0}) \\cos \\alpha + f _ {y} (x _ {0}, y _ {0}) \\cos \\beta\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 191, 775, 803, 804 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "笔记设 $\\theta$ 是 $\\nabla f$ 与 $l$ 的夹角，则 $f_{l}(\\mathbf{x}_{0}) = |\\nabla f||\\mathbf{n}|\\cos \\theta = |\\nabla f|\\cos \\theta$ 。可知梯度方向是增长最快的方向。", "bbox": [ 87, 812, 840, 828 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "练习 13.5 梯度与方向导数计算 (1) 计算 u = xyz 在 $A(5,1,2)$ 朝向 $B(9,4,14)$ 的方向导数", "bbox": [ 58, 850, 742, 865 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "(2) $u(x,y,z)=xy^{2}z^{3}$ ，求 $u(x,y,z)$ 在 $(1,1,1)$ 处函数值增长最快的方向解(1)可微函数具体计算方向导数时一般用 $\\nabla f\\cdot \\mathbf{n}$ 计算。 $\\overrightarrow{AB} = (4,3,12)$ ，因此 $\\mathbf{n} = \\frac{1}{13} (4,3,12)$ ， $A$ 处梯度为(2,10,5)，因此 $\\nabla f\\cdot \\mathbf{n} = \\frac{1}{13} (8 + 30 + 60) = \\frac{98}{13}$", "bbox": [ 122, 869, 647, 884 ], "page_idx": 113 }, { "type": "header", "text": "13.1 多变量导数与微分", "bbox": [ 731, 54, 904, 68 ], "page_idx": 113 }, { "type": "page_number", "text": "106", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 113 }, { "type": "text", "text": "", "bbox": [ 89, 85, 905, 131 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "(2) 即梯度方向， $u_{x}=y^{2}z^{3},u_{y}=2xyz^{3},u_{z}=3xy^{2}z^{2}$ ，因此梯度为 $(1,2,3)$", "bbox": [ 122, 131, 673, 147 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "练习13.6方向导数的应用已知 $f(x,y)$ 可微，若 $l_{1},l_{2}$ 是 $\\mathbb{R}^2$ 上一组线性无关的向量，若 $f_{l_1}(x,y) = f_{l_2}(x,y)\\equiv 0$ ，证明 $f(x,y)$ 为常值函数。", "bbox": [ 60, 168, 905, 203 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "证明 不妨设 $n_{l_1} = (\\cos \\alpha, \\sin \\alpha), n_{l_2} = (\\cos \\beta, \\sin \\beta)$ ，此时根据条件", "bbox": [ 87, 205, 586, 221 ], "page_idx": 114 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} f _ {l _ {1}} = f _ {x} \\cos \\alpha + f _ {y} \\sin \\alpha \\equiv 0 \\\\ f _ {l _ {2}} = f _ {x} \\cos \\beta + f _ {y} \\sin \\beta \\equiv 0 \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 378, 225, 601, 269 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "根据线性无关条件可解出 $f_{x} \\equiv f_{y} \\equiv 0$ ，因此为常值函数。", "bbox": [ 90, 274, 512, 288 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "13.1.4 可微、偏导、方向导数、连续关系总结", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 311, 504, 328 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "定理 13.2 (可微的性质)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 344, 295, 357 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "若 $f$ 在 $\\mathbf{x}_0$ 可微，则", "bbox": [ 115, 363, 265, 378 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "\\- $f$ 在 $\\mathbf{x}_0$ 处连续", "bbox": [ 139, 382, 270, 397 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "\\- $f$ 在 $\\mathbf{x}_0$ 处存在偏导数和任意方向导数", "bbox": [ 139, 400, 436, 414 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 根据定义显然 $||\\mathbf{h}|| \\to 0$ 时， $f(\\mathbf{x} + \\mathbf{h}) - f(\\mathbf{x}) \\to 0$ ，因此连续", "bbox": [ 89, 436, 603, 450 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "定理 13.3 (可微充分条件)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 462, 312, 476 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "若 $f(x,y)$ 偏导数 $f_{x},f_{y}$ 在 $(x_0,y_0)$ 连续，则 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微", "bbox": [ 112, 482, 608, 498 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "证明 首先写为 $\\Delta z = [f(x_0 + \\Delta x, y_0 + \\Delta y) - f(x_0, y_0 + \\Delta y)] + [f(x_0, y_0 + \\Delta y) - f(x_0, y_0)]$ ，根据Lagrange中值定理得到", "bbox": [ 90, 517, 905, 551 ], "page_idx": 114 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\Delta z = f _ {x} (x _ {0} + \\theta_ {1} \\Delta x, y _ {0} + \\Delta y) \\Delta x + f _ {y} (x _ {0}, y _ {0} + \\theta_ {2} \\Delta y) \\Delta y\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 289, 556, 707, 571 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "根据偏导连续， $\\exists \\alpha, \\beta$ 在 $(\\Delta x, \\Delta y) \\to (0, 0)$ 时 $\\alpha, \\beta \\to 0$ ，满足", "bbox": [ 90, 583, 544, 598 ], "page_idx": 114 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} f _ {x} (x _ {0} + \\theta_ {1} \\Delta x, y _ {0} + \\Delta y) = f _ {x} (x _ {0}, y _ {0}) + \\alpha \\\\ f _ {y} (x _ {0}, y _ {0} + \\Delta y) = f _ {y} (x _ {0}, y _ {0}) + \\beta \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 332, 602, 648, 645 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "得到 $\\Delta z = f_{x}(x_{0}, y_{0})\\Delta x + f_{y}(x_{0}, y_{0})\\Delta y + \\alpha\\Delta x + \\beta\\Delta y$ ，即可微。", "bbox": [ 90, 651, 568, 667 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "笔记 若 $f_{x}, f_{y}$ 连续，则一般称 $f(x, y)$ 连续可微。", "bbox": [ 90, 671, 448, 686 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "定理 13.4 (偏导与方向导的性质)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 697, 361, 712 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "偏导与方向导数相关性质：", "bbox": [ 115, 717, 312, 731 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "\\- 若 $f$ 偏导数在 $(x_0, y_0)$ 邻域有界，则 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 连续", "bbox": [ 139, 736, 557, 751 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "\\- $f$ 的偏导数存在或任意方向导数存在并不能推出连续或可微", "bbox": [ 139, 753, 594, 769 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 首先 $f(x, y) - f(x_0, y_0) = f(x, y) - f(x_0, y) + f(x_0, y) - f(x_0, y_0)$ ，根据 Lagrange 中值定理得到", "bbox": [ 90, 789, 862, 804 ], "page_idx": 114 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x, y) - f \\left(x _ {0}, y\\right) = f _ {x} (\\xi , y) \\left(x - x _ {0}\\right), \\quad f \\left(x _ {0}, y\\right) - f \\left(x _ {0}, y _ {0}\\right) = f _ {y} \\left(x _ {0}, \\eta\\right) \\left(y - y _ {0}\\right)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 208, 813, 784, 828 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "根据偏导有界条件，因此 $|f(x,y) - f(x_0,y_0)|\\to 0$ ，因此连续。", "bbox": [ 90, 835, 552, 851 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "(2) 均见下面的重要反例", "bbox": [ 122, 854, 305, 869 ], "page_idx": 114 }, { "type": "header", "text": "13.1 多变量导数与微分", "bbox": [ 731, 55, 902, 68 ], "page_idx": 114 }, { "type": "page_number", "text": "107", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 114 }, { "type": "text", "text": "练习 13.7 方向导数、偏导数存在，但不可微，不连续例子证明下面的 $f(x,y)$ 在原点不连续，但是 $f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0)=0$ ，任何方向 l 满足 $f_{l}(0,0)=0$ ，", "bbox": [ 58, 84, 905, 118 ], "page_idx": 115 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x, y) = \\left\\{ \\begin{array}{l l} 1, & 0 < y < x ^ {2}, - \\infty < x < \\infty \\\\ 0, & \\text {其他} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 339, 123, 653, 167 ], "page_idx": 115 }, { "type": "text", "text": "证明 不连续的原因是可以选择 0 趋近，也可以选择 1 趋近。但方向导数都为 0 的原因是 $y = x^2$ 在原点处切线是水平的，无论原点处切线取什么，都会经过 0 区域。", "bbox": [ 87, 172, 905, 206 ], "page_idx": 115 }, { "type": "text", "text": "13.1.5 复合求导：链式法则", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 247, 342, 263 ], "page_idx": 115 }, { "type": "text", "text": "定理 13.5 (链式法则)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 279, 278, 294 ], "page_idx": 115 }, { "type": "text", "text": "若 $x = \\varphi(x, t), y = \\psi(s, t)$ 在 $(s, t) \\in D$ 可微， $z = f(x, y)$ 在 $(x, y) = (\\varphi(s, t), \\varphi(s, t))$ 可微，则复合函数 $z = f(\\varphi(s, t), \\psi(s, t))$ 在 $(s, t)$ 可微，且", "bbox": [ 112, 298, 880, 332 ], "page_idx": 115 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} \\frac {\\partial z}{\\partial s} \\bigg | _ {(s, t)} = \\frac {\\partial z}{\\partial x} \\bigg | _ {(x, y)} \\frac {\\partial x}{\\partial s} \\bigg | _ {(s, t)} + \\frac {\\partial z}{\\partial y} \\bigg | _ {(x, y)} \\frac {\\partial y}{\\partial s} \\bigg | _ {(s, t)} \\\\ \\frac {\\partial z}{\\partial t} \\bigg | _ {(s, t)} = \\frac {\\partial z}{\\partial x} \\bigg | _ {(x, y)} \\frac {\\partial x}{\\partial t} \\bigg | _ {(s, t)} + \\frac {\\partial z}{\\partial y} \\bigg | _ {(x, y)} \\frac {\\partial y}{\\partial t} \\bigg | _ {(s, t)} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 317, 335, 662, 401 ], "page_idx": 115 }, { "type": "text", "text": "练习 13.8 链式法则练习 (1) 设 $z = uv + \\sin t$ ，其中 $u = e^{t}, v = \\cos t$ ，计算 $\\frac{dz}{dt}$", "bbox": [ 58, 432, 665, 461 ], "page_idx": 115 }, { "type": "text", "text": "(2) 计算 $x^{x}$ 的导数", "bbox": [ 122, 458, 265, 472 ], "page_idx": 115 }, { "type": "text", "text": "解(1)展开后如下:", "bbox": [ 89, 476, 231, 489 ], "page_idx": 115 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{r l} & {\\frac {\\mathrm{d} z}{\\mathrm{d} t} = \\frac {\\partial z}{\\partial u} \\frac {\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d} t} + \\frac {\\partial z}{\\partial v} \\frac {\\mathrm{d} v}{\\mathrm{d} t} + \\frac {\\partial z}{\\partial t}} \\\\ & {\\qquad = v e ^ {t} + u (- \\sin t) + \\cos t = e ^ {t} (\\cos t - \\sin t) + \\cos t} \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 299, 492, 697, 541 ], "page_idx": 115 }, { "type": "text", "text": "(2) 可以两边取对数隐函数求导。或者令 $y = u^v$ ，则 $\\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}x} = u^v \\ln u + v(u^{v-1}) = x^x (1 + \\ln x)$", "bbox": [ 122, 548, 789, 574 ], "page_idx": 115 }, { "type": "text", "text": "练习13.9高阶偏导(1)设 $z = f\\left(x,\\frac{x}{y}\\right)$ ，求 $\\frac{\\partial^2z}{\\partial x^2},\\frac{\\partial^2z}{\\partial x\\partial y}$", "bbox": [ 58, 581, 509, 612 ], "page_idx": 115 }, { "type": "text", "text": "解 把每个位置当作一层参数即可，注意偏导的参数仍保持一致", "bbox": [ 89, 612, 552, 626 ], "page_idx": 115 }, { "type": "text", "text": "(1) $\\frac{\\partial z}{\\partial x} = f_{1}(x, \\frac{x}{y}) + f_{2}(x, \\frac{x}{y})\\frac{1}{y}$ ，因此", "bbox": [ 122, 626, 398, 653 ], "page_idx": 115 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\frac {\\partial^ {2} z}{\\partial x ^ {2}} = f _ {1 1} + f _ {1 2} \\frac {1}{y} + \\left[ f _ {2 1} + f _ {2 2} \\frac {1}{y} \\right] \\frac {1}{y} = f _ {1 1} + \\frac {2}{y} f _ {1 2} + \\frac {1}{y ^ {2}} f _ {2 2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 282, 656, 714, 689 ], "page_idx": 115 }, { "type": "text", "text": "13.1.6 混合偏导", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 707, 243, 724 ], "page_idx": 115 }, { "type": "text", "text": "定理 13.6 (混合偏导定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 740, 312, 753 ], "page_idx": 115 }, { "type": "text", "text": "若 $f_{xy}(x,y), f_{yx}(x,y)$ 均在 $x_0, y_0$ 邻域连续，则", "bbox": [ 115, 760, 462, 775 ], "page_idx": 115 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf _ {x y} (x _ {0}, y _ {0}) = f _ {y x} (x _ {0}, y _ {0})\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 406, 784, 589, 799 ], "page_idx": 115 }, { "type": "text", "text": "证明 定义 $F(\\Delta x, \\Delta y) = f(x_0 + \\Delta x, y_0 + \\Delta y) - f(x_0 + \\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0 + \\Delta y) + f(x_0, y_0)$ ，则", "bbox": [ 90, 819, 801, 834 ], "page_idx": 115 }, { "type": "equation", "text": "$$\nF (\\Delta x, \\Delta y) = \\left\\{ \\begin{array}{l} [ f _ {x} (x _ {0} + \\theta_ {1} \\Delta x, y _ {0} + \\Delta y) - f _ {x} (x _ {0} + \\theta_ {1} \\Delta x, y _ {0}) ] \\Delta x \\\\ [ f _ {y} (x _ {0} + \\Delta x, y _ {0} + \\theta_ {2} \\Delta y) - f _ {y} (x _ {0}, y _ {0} + \\theta_ {2} \\Delta y) ] \\Delta y \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 248, 840, 729, 884 ], "page_idx": 115 }, { "type": "header", "text": "13.1 多变量导数与微分", "bbox": [ 731, 55, 904, 68 ], "page_idx": 115 }, { "type": "page_number", "text": "108", "bbox": [ 485, 954, 512, 965 ], "page_idx": 115 }, { "type": "text", "text": "再根据 Lagrange 中值定理:", "bbox": [ 90, 85, 292, 99 ], "page_idx": 116 }, { "type": "equation", "text": "$$\nF (\\Delta x, \\Delta y) = \\left\\{ \\begin{array}{l} f _ {x y} (x _ {0} + \\theta_ {1} \\Delta x, y _ {0} + \\theta_ {3} \\Delta y) \\Delta x \\Delta y \\\\ f _ {y x} (x _ {0} + \\theta_ {4} \\Delta x, y _ {0} + \\theta_ {2} \\Delta y) \\Delta x \\Delta y \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 304, 104, 673, 148 ], "page_idx": 116 }, { "type": "text", "text": "因此 $\\frac{F(\\Delta x, \\Delta y)}{\\Delta x \\Delta y} = f_{xy}(x_0 + \\theta_1 \\Delta x, y_0 + \\theta_3 \\Delta y) = f_{yx}(x_0 + \\theta_4 \\Delta x, y_0 + \\theta_2 \\Delta y)$ ，令 $\\Delta x, \\Delta y \\to 0$ 即可得到结果。", "bbox": [ 90, 152, 890, 184 ], "page_idx": 116 }, { "type": "text", "text": "练习 13.10 混合偏导不相同的例子 对于下面的函数， $f_{xy}(0,0) \\neq f_{yx}(0,0)$ :", "bbox": [ 58, 197, 633, 212 ], "page_idx": 116 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x, y) = \\left\\{ \\begin{array}{l l} x y \\frac {x ^ {2} - y ^ {2}}{x ^ {2} + y ^ {2}} & (x, y) \\neq (0, 0) \\\\ 0, & (x, y) = (0, 0) \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 354, 215, 638, 267 ], "page_idx": 116 }, { "type": "text", "text": "解 直接计算可以得到 $f_{xy}(0,0) = -1, f_{yx}(0,0) = 1$", "bbox": [ 87, 272, 460, 288 ], "page_idx": 116 }, { "type": "text", "text": "练习13.11混合偏导相关练习(1)设 $f_{x}, f_{y}, f_{yx}$ 在 $(x_0, y_0)$ 邻域存在， $f_{yx}$ 在 $(x_0, y_0)$ 连续，证明 $f_{xy}(x_0, y_0)$ 也存在，且 $f_{xy}(x_0, y_0) = f_{yx}(x_0, y_0)$ (2)设 $f_{x}, f_{y}$ 在 $(x_0, y_0)$ 某邻域存在且在 $(x_0, y_0)$ 可微，证明： $f_{xy}(x_0, y_0) = f_{yx}(x_0, y_0)$", "bbox": [ 58, 307, 905, 360 ], "page_idx": 116 }, { "type": "text", "text": "13.2 多元中值定理与泰勒展开", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 388, 421, 407 ], "page_idx": 116 }, { "type": "text", "text": "13.2.1 多元中值定理", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 426, 282, 443 ], "page_idx": 116 }, { "type": "text", "text": "定义 13.5 (凸区域)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 458, 260, 474 ], "page_idx": 116 }, { "type": "text", "text": "区域 $D \\subset \\mathbb{R}^2$ ，若 $\\forall P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2) \\in D$ 和 $\\forall \\lambda \\in [0, 1]$ 满足", "bbox": [ 115, 480, 581, 495 ], "page_idx": 116 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left(x _ {1} + \\lambda \\left(x _ {2} - x _ {1}\\right), y _ {1} + \\lambda \\left(y _ {2} - y _ {1}\\right)\\right) \\in D\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 354, 504, 642, 518 ], "page_idx": 116 }, { "type": "text", "text": "即任意两点的连线都含于 D，则称 D 为凸区域。", "bbox": [ 115, 527, 470, 541 ], "page_idx": 116 }, { "type": "image", "img_path": "images/2512492e270f8e5160ea87da7c79597fffe8f0ac2bd4813aa99fd215e988f5ce.jpg", "image_caption": [ "凸区域" ], "image_footnote": [], "content": "", "bbox": [ 324, 592, 453, 663 ], "page_idx": 116 }, { "type": "image", "img_path": "images/5ee26be4f33a285c0c1af4e019ea2e8a584421a961c78fd1c940bb689030f299.jpg", "image_caption": [ "非凸区域", "图 13.1: 凸区域" ], "image_footnote": [], "content": "", "bbox": [ 484, 574, 655, 661 ], "page_idx": 116 }, { "type": "text", "text": "定理 13.7 (多元中值定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 734, 312, 749 ], "page_idx": 116 }, { "type": "text", "text": "二元函数 $f(x,y)$ 在凸开域 $D\\subset \\mathbb{R}^2$ 连续，在 $D$ 内点均可微，则对 $\\forall P(a,b),Q(a + h,b + k)\\in D,\\exists \\theta \\in (0,1)$ 满足", "bbox": [ 114, 753, 880, 787 ], "page_idx": 116 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (a + h, b + k) - f (a, b) = f _ {x} (a + \\theta h, b + \\theta k) h + f _ {y} (a + \\theta h, b + \\theta k) k\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 248, 791, 749, 807 ], "page_idx": 116 }, { "type": "text", "text": "证明 令 $\\Phi(t) = f(a + th, b + tk)$ ，根据 Lagrange 中值定理得到 $\\exists \\theta \\in (0,1)$ 使得 $\\Phi(1) - \\Phi(0) = \\Phi'( \\theta)$ ，而", "bbox": [ 90, 828, 855, 843 ], "page_idx": 116 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\Phi^ {\\prime} (\\theta) = f _ {x} (a + \\theta h, b + \\theta k) h + f _ {y} (a + \\theta h, b + \\theta k) k\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 315, 851, 682, 866 ], "page_idx": 116 }, { "type": "text", "text": "由于 $D$ 是凸区域，因此 $(a + \\theta h, b + \\theta k) \\in D$ ，从而结论成立。", "bbox": [ 92, 873, 547, 889 ], "page_idx": 116 }, { "type": "header", "text": "13.2 多元中值定理与泰勒展开", "bbox": [ 680, 55, 905, 68 ], "page_idx": 116 }, { "type": "page_number", "text": "109", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 116 }, { "type": "text", "text": "13.2.2 多元 Taylor 展开", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 85, 309, 103 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "定理 13.8 (多元 Taylor 展开)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 118, 334, 134 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "多元泰勒 $f(x + \\Delta x, y + \\Delta y)$ 展开的公式如下：", "bbox": [ 115, 139, 457, 154 ], "page_idx": 117 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x, y) + \\sum_ {l = 1} ^ {n} \\frac {1}{l !} \\left(\\binom {l} {0} \\frac {\\partial^ {l} f}{\\partial y ^ {l}} (x, y) \\Delta y ^ {l} + \\binom {l} {1} \\frac {\\partial^ {l} f}{\\partial x \\partial y ^ {l - 1}} (x, y) \\Delta x \\Delta y ^ {l - 1} + \\dots + \\binom {l} {l} \\frac {\\partial^ {l} f}{\\partial x ^ {l}} (x, y) \\Delta x ^ {l}\\right) + R (\\Delta x, \\Delta y)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 114, 156, 882, 196 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "证明 设 $\\Phi(t)=f(x_{0}+th,y_{0}+tk)$ ，用一元 Taylor 公式证明。", "bbox": [ 90, 215, 541, 231 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "13.3 隐函数定理", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 256, 277, 277 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "13.3.1 隐函数存在定理与可微定理", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 297, 403, 313 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "隐函数研究的问题是给定一个二维曲线表达式 $F(x,y)=0$ ，希望研究 $y=y(x)$ 的存在性，并计算 $y'(x)$ ，而计算 $y'(x)$ 其实不需要得到 $y(x)$ 的具体表达式，因此隐函数求导大幅度简化了求导过程，因此作为多元微分学的一部分。", "bbox": [ 89, 325, 905, 376 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "定义 13.6 (隐函数)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 386, 262, 401 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "$E \\subset \\mathbb{R}^2$ ， $F: E \\to \\mathbb{R}$ ，对于方程 $F(x, y) = 0$ ，若存在集合 $I, J \\subset \\mathbb{R}$ 使得 $\\forall x \\in I$ 存在唯一 $y \\in \\mathbb{R}$ ，满足 $F(x, y) = 0$ ，则称 $F(x, y) = 0$ 定义了隐函数。", "bbox": [ 114, 406, 880, 442 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "定理 13.9 (隐函数存在唯一性定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 464, 379, 481 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "若 $F(x,y)$ 满足", "text_level": 2, "bbox": [ 115, 486, 231, 500 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "1. $F$ 在 $P_0(x_0, y_0)$ 为内点的某一区域 $D$ 存在 $x, y$ 连续偏导", "bbox": [ 134, 504, 566, 519 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "2. $F(x_0,y_0) = 0$ ，且 $F_{y}(x_{0},y_{0})\\neq 0$ 则：", "bbox": [ 115, 523, 401, 555 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "1. $F(x,y) = 0$ 唯一定义了 $\\forall x\\in U(x_0,\\delta)$ 上的连续函数 $y = f(x)$", "bbox": [ 136, 558, 608, 575 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "2. $f(x)$ 在 $U(x_0,\\delta)$ 上连续可微，且 $f^{\\prime}(x) = -\\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}$ (这里 $F_{x}$ 求导时把 $y$ 当作常数而非函数！）", "bbox": [ 134, 575, 847, 605 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "3. 特别地，对于 $F(x_{1},\\cdots,x_{n},y)=0,\\quad y=f(x_{1},\\cdots,x_{n})$ ，得到 $f_{x_{i}}(x_{1},\\cdots,x_{n})=-\\frac{F_{x_{i}}}{F_{y}}$", "bbox": [ 134, 604, 791, 634 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "证明 (2) $F(x,y)=0$ 两侧对 x 求导得到 $F_{x}(x,y)+F_{y}(x,y)y'=0$ ，因此 $y'=-\\frac{F_{x}(x,y)}{F_{y}(x,y)}$", "bbox": [ 90, 648, 729, 677 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "笔记 如果只希望得到 $f(x)$ 连续，则条件可减弱为 $F(x, y)$ 在 $P_0(x_0, y_0)$ 某邻域连续， $F(x_0, y_0) = 0$ ，固定 $x$ 时 $F(x, y)$ 关于 $y$ 严格单调。", "bbox": [ 90, 681, 904, 715 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "笔记 若要求高阶导，则可以对 $y' = -\\frac{F_{x}}{F_{y}}$ 两边求导，再将 $y'(x)$ 表达式带进去，或者实际计算时可以 $F(x, y) = 0$ 直接两边求两次导。", "bbox": [ 87, 715, 905, 757 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "练习13.12隐函数求导 $(1)y = y(x)$ 由 $\\ln \\sqrt{x^2 + y^2} = \\arctan \\frac{y}{x}$ 确定，求 $\\frac{\\mathrm{dy}}{\\mathrm{dx}}$", "bbox": [ 58, 772, 645, 801 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "(2) $z = z(x,y)$ 由 $F(x - y,y - z) = 0$ 所确定的隐函数，求 $z_{x},z_{y},z_{xy}$", "bbox": [ 122, 797, 623, 814 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "(3) $F(x,y,z)=0$ 可以确定 $z=z(x,y),y=y(z,x),x=x(y,z)$ ，证明： $\\frac{\\partial x}{\\partial y}\\cdot\\frac{\\partial y}{\\partial z}\\cdot\\frac{\\partial z}{\\partial x}=-1$", "bbox": [ 122, 813, 778, 841 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "解(1)可以用隐函数求导公式，此时 $F$ 对 $x, y$ 求导时，将它们视为彼此无关的：", "bbox": [ 89, 841, 673, 854 ], "page_idx": 117 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} F _ {x} = \\frac {x}{x ^ {2} + y ^ {2}} - \\frac {- \\frac {y}{x ^ {2}}}{1 + \\left(\\frac {y}{x}\\right) ^ {2}} = \\frac {x + y}{x ^ {2} + y ^ {2}} \\\\ F _ {y} = \\frac {y - x}{x ^ {2} + y ^ {2}} \\end{array} \\right. \\Rightarrow \\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x} = \\frac {x + y}{x - y}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 287, 858, 709, 920 ], "page_idx": 117 }, { "type": "header", "text": "13.3 隐函数定理", "bbox": [ 781, 55, 905, 68 ], "page_idx": 117 }, { "type": "page_number", "text": "110", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 117 }, { "type": "text", "text": "或者直接两侧求导，此时视 $y = y(x)$ 与 x 有关：", "bbox": [ 90, 85, 443, 99 ], "page_idx": 118 }, { "type": "equation", "text": "$$\n{\\frac {x}{x ^ {2} + y ^ {2}}} + {\\frac {y}{x ^ {2} + y ^ {2}}} \\cdot y ^ {\\prime} + {\\frac {y}{x ^ {2} + y ^ {2}}} + {\\frac {x}{x ^ {2} + y ^ {2}}} \\cdot y ^ {\\prime} = 0\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 307, 103, 690, 131 ], "page_idx": 118 }, { "type": "text", "text": "(2) 比较难用隐函数求导公式，只能两边求导。视 $z = z(x, y)$ ， $x, y$ 彼此无关，则两侧分别对 $x, y$ 求导得到：", "bbox": [ 122, 134, 907, 149 ], "page_idx": 118 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} F _ {1} + F _ {2} (- z _ {x}) = 0 \\Rightarrow z _ {x} = \\frac {F _ {1}}{F _ {2}} \\\\ - F _ {1} + F _ {2} (1 - z _ {y}) = 0 \\Rightarrow z _ {y} = 1 - \\frac {F _ {1}}{F _ {2}} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 342, 152, 636, 206 ], "page_idx": 118 }, { "type": "text", "text": "要求 $z_{xy}$ ，可以对 $F_{1}(x - y, y - z) - z_{x} F_{2}(x - y, y - z) = 0$ 两侧对 $y$ 求导，得到", "bbox": [ 90, 209, 682, 225 ], "page_idx": 118 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left(- F _ {1 1} + F _ {1 2} \\left(1 - z _ {y}\\right)\\right) - \\left(F _ {2 1} (- 1) + F _ {2 2} \\left(1 - z _ {y}\\right)\\right) z _ {x} - F _ {2} z _ {x y} = 0 \\Rightarrow z _ {x y} = \\frac {2 F _ {1} F _ {2} F _ {1 2} - F _ {1 1} F _ {2} ^ {2} - F _ {2 2} F _ {1} ^ {2}}{F _ {2} ^ {3}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 122, 227, 868, 259 ], "page_idx": 118 }, { "type": "text", "text": "(3) 注意这里的符号含义，不能简简单单乘起来变成 1。例如 $\\frac{\\partial x}{\\partial y}$ 的含义为 $\\frac{\\partial x(y, z)}{y}$ ，因此根据隐函数定理即", "bbox": [ 122, 262, 905, 294 ], "page_idx": 118 }, { "type": "equation", "text": "$$\n- \\frac {F _ {y}}{F _ {x}} \\cdot - \\frac {F _ {z}}{F _ {y}} \\cdot - \\frac {F _ {x}}{F _ {z}} = - 1\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 418, 294, 589, 326 ], "page_idx": 118 }, { "type": "text", "text": "13.3.2 隐函数组存在定理与微分定理", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 346, 425, 363 ], "page_idx": 118 }, { "type": "text", "text": "定理 13.10 (隐函数组定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 379, 319, 393 ], "page_idx": 118 }, { "type": "text", "text": "若 $F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)$ 满足：", "bbox": [ 115, 399, 364, 413 ], "page_idx": 118 }, { "type": "text", "text": "\\- 在 $P_0(x_0, y_0, u_0, v_0)$ 邻域中对所有变量有连续偏导", "bbox": [ 139, 417, 524, 431 ], "page_idx": 118 }, { "type": "equation", "text": "$$\nF (P _ {0}) = G (P _ {0}) = 0, J = \\left. \\frac {\\partial (F , G)}{\\partial (u , v)} \\right| _ {P _ {0}} \\neq 0\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 139, 431, 467, 463 ], "page_idx": 118 }, { "type": "text", "text": "则方程组", "bbox": [ 115, 462, 188, 475 ], "page_idx": 118 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} F (x, y, u, v) = 0 \\\\ G (x, y, u, v) = 0 \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 423, 475, 559, 519 ], "page_idx": 118 }, { "type": "text", "text": "在 $P_0$ 邻域中唯一确定了两个二元连续隐函数 $u = f(x,y), v = g(x,y)$ ，设 $J = \\frac{\\partial(F,G)}{\\partial(u,v)}$ ，则", "bbox": [ 112, 529, 781, 558 ], "page_idx": 118 }, { "type": "equation", "text": "$$\nu _ {x} = - \\frac {1}{J} \\frac {\\partial (F , G)}{\\partial (x , v)}, u _ {y} = - \\frac {1}{J} \\frac {\\partial (F , G)}{\\partial (y , v)}, v _ {x} = - \\frac {1}{J} \\frac {\\partial (F , G)}{\\partial (u , x)}, v _ {y} = - \\frac {1}{J} \\frac {\\partial (F , G)}{\\partial (u , y)}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 231, 561, 763, 593 ], "page_idx": 118 }, { "type": "text", "text": "记忆口诀为求什么就换什么，例如求 $u_{x}$ 就把 $\\frac{\\partial(F,G)}{\\partial(u,v)}$ 中的 $u$ 换成 $x$ ，得到 $\\frac{\\partial(F,G)}{\\partial(x,v)}$", "bbox": [ 114, 595, 727, 629 ], "page_idx": 118 }, { "type": "text", "text": "证明 求导结论使用了 Cramer 法则", "bbox": [ 89, 646, 349, 661 ], "page_idx": 118 }, { "type": "text", "text": "笔记 一般而言有几个方程就有几个因变量，其余的为自变量。", "bbox": [ 55, 664, 542, 680 ], "page_idx": 118 }, { "type": "text", "text": "练习 13.13 容易分不清的题 (1) 错过：已知 $x = \\varphi(t), y = \\phi(x)$ ， $\\varphi'(t) = e^{t} + 1, \\frac{\\mathrm{d}^{3}y}{\\mathrm{d}x^{3}} = e^{t} + 2t$ ，求 $\\frac{d^{4}y}{dx^{4}}$ 解 (1) 直接求：", "bbox": [ 58, 677, 838, 719 ], "page_idx": 118 }, { "type": "equation", "text": "$$\n{\\frac {\\mathrm{d} ^ {4} y}{\\mathrm{d} x ^ {4}}} = {\\frac {\\left({\\frac {\\mathrm{d} ^ {3} y}{\\mathrm{d} x ^ {3}}}\\right) / \\mathrm{d} t}{\\mathrm{d} x / \\mathrm{d} t}} = {\\frac {e ^ {t} + 2}{e ^ {t} + 1}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 396, 718, 601, 757 ], "page_idx": 118 }, { "type": "text", "text": "练习 13.14 隐函数组求导 (1) 证明", "bbox": [ 58, 780, 342, 795 ], "page_idx": 118 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} x ^ {2} + y ^ {2} + u ^ {2} - v ^ {2} = 2 \\\\ x + y + u + v = 0 \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 400, 793, 579, 839 ], "page_idx": 118 }, { "type": "text", "text": "在 $P_0(1,1, - 1, - 1)$ 的某邻域中能确定隐函数组 $u = u(x,y),v = v(x,y)$ ，并求 $\\frac{\\partial u}{\\partial x},\\frac{\\partial v}{\\partial y}$", "bbox": [ 87, 847, 712, 877 ], "page_idx": 118 }, { "type": "page_number", "text": "111", "bbox": [ 485, 954, 510, 965 ], "page_idx": 118 }, { "type": "header", "text": "13.3 隐函数定理", "bbox": [ 781, 55, 905, 68 ], "page_idx": 118 }, { "type": "text", "text": "(2) 设 $u = u(x, y), v = v(x, y)$ 由方程组", "bbox": [ 122, 85, 411, 99 ], "page_idx": 119 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} u = f (u x, v + y) \\\\ v = g (u - x, v ^ {2} y) \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 416, 104, 561, 149 ], "page_idx": 119 }, { "type": "text", "text": "给出的隐函数，求 $u_{x}, v_{x}$", "bbox": [ 89, 153, 275, 168 ], "page_idx": 119 }, { "type": "text", "text": "(3) 已知如下方程组，求 $z_{x}$ :", "bbox": [ 122, 172, 329, 186 ], "page_idx": 119 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} x = u + v \\\\ y = u ^ {2} + v ^ {2} \\\\ z = u ^ {3} + v ^ {3} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 438, 185, 542, 252 ], "page_idx": 119 }, { "type": "text", "text": "(4) 令 $u = f(x - ut, y - ut, z - ut), g(x, y, z) = 0$ ，求 $u_x, u_y$", "bbox": [ 119, 262, 561, 278 ], "page_idx": 119 }, { "type": "text", "text": "解(1) $F=x^{2}+y^{2}+u^{2}-v^{2}-2,G=x+y+u+v$ ，则显然F,G对每个分量都有连续偏导数， $F(P_{0})=G(P_{0})=0$ ，方便起见，直接求出所有偏导：", "bbox": [ 90, 279, 905, 312 ], "page_idx": 119 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left[ \\begin{array}{c c c c} F _ {x} & F _ {y} & F _ {u} & F _ {v} \\\\ G _ {x} & G _ {y} & G _ {u} & G _ {v} \\end{array} \\right] = \\left[ \\begin{array}{c c c c} 2 x & 2 y & 2 u & - 2 v \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\end{array} \\right] \\Rightarrow \\frac {\\partial (F , G)}{\\partial (u , v)} = \\left| \\begin{array}{c c} 2 u & - 2 v \\\\ 1 & 1 \\end{array} \\right| = 2 v + 2 u\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 176, 315, 823, 355 ], "page_idx": 119 }, { "type": "text", "text": "因此 $J(P_0) \\neq 0$ ，隐函数组存在，根据隐函数组求导：", "bbox": [ 90, 359, 482, 373 ], "page_idx": 119 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\frac {\\partial u}{\\partial x} = - \\frac {1}{J} \\frac {\\partial (F , G)}{\\partial (x , v)} = - \\frac {1}{2 u + 2 v} \\cdot (2 x + 2 v) = - \\frac {x + v}{u + v}, \\frac {\\partial v}{\\partial y} = - \\frac {y - u}{u + v}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 248, 376, 747, 407 ], "page_idx": 119 }, { "type": "text", "text": "(2) 直接两侧求导，得到", "bbox": [ 122, 411, 304, 425 ], "page_idx": 119 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} u _ {x} = f _ {1} \\cdot (u _ {x} x + u) + f _ {2} v _ {x} \\Rightarrow (1 - x f _ {1}) u _ {x} - f _ {2} v _ {x} = u f _ {1} \\\\ v _ {x} = g _ {1} \\cdot (u _ {x} - 1) + g _ {2} 2 v v _ {x} y \\Rightarrow g _ {1} u _ {x} + (2 v y g _ {2} - 1) v _ {x} = g _ {1} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 268, 430, 710, 474 ], "page_idx": 119 }, { "type": "text", "text": "解线性方程组得到", "bbox": [ 90, 478, 230, 492 ], "page_idx": 119 }, { "type": "equation", "text": "$$\nu _ {x} = \\frac {(2 v y g _ {2} - 1) u f _ {1} + f _ {2} g _ {1}}{(1 - x f _ {1}) (2 v y g _ {2} - 1) + f _ {2} g _ {1}}, v _ {x} = \\frac {(1 - x f _ {1}) g _ {1} - u f _ {1} g _ {1}}{(1 - x f _ {1}) (2 v y g _ {2} - 1) + f _ {2} g _ {1}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 243, 494, 749, 525 ], "page_idx": 119 }, { "type": "text", "text": "(3) 令 $x, y$ 为自变量， $u, v, z$ 为因变量，则", "bbox": [ 122, 527, 433, 542 ], "page_idx": 119 }, { "type": "equation", "text": "$$\nz _ {x} = - \\frac {\\frac {\\partial (F , G , H)}{\\partial (x , u , v)}}{\\frac {\\partial (F , G , H)}{\\partial (z , u , v)}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 436, 545, 557, 588 ], "page_idx": 119 }, { "type": "text", "text": "13.4 多元无条件极值问题", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 609, 373, 630 ], "page_idx": 119 }, { "type": "text", "text": "定义 13.7 (极值与极值点)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 651, 312, 665 ], "page_idx": 119 }, { "type": "text", "text": "开集 $D \\subset \\mathbb{R}^n$ ，函数 $f: D \\to \\mathbb{R}$ ， $x_0 \\in D$ ，若存在球 $B_r(x_0) \\subset D$ 使得 $\\forall x \\in B_r(x_0)$ 有 $f(x) \\geq f(x_0)$ ，则称 $x_0$ 为 $f$ 的一个极小值点。", "bbox": [ 112, 671, 880, 706 ], "page_idx": 119 }, { "type": "text", "text": "定义 13.8 (驻点、稳定点)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 728, 312, 745 ], "page_idx": 119 }, { "type": "text", "text": "若 $P_0(x_0,y_0)$ 满足 $f_{x}(x_{0},y_{0}) = f_{y}(x_{0},y_{0}) = 0$ ，则称其为 $f(x,y)$ 的驻点/稳定点。", "bbox": [ 114, 749, 702, 766 ], "page_idx": 119 }, { "type": "header", "text": "13.4 多元无条件极值问题", "bbox": [ 714, 55, 905, 68 ], "page_idx": 119 }, { "type": "page_number", "text": "112", "bbox": [ 485, 954, 512, 965 ], "page_idx": 119 }, { "type": "text", "text": "定义 13.9 (Hesse 矩阵)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 86, 290, 101 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "$f:\\mathbb{R}^n\\to \\mathbb{R}$ ，则其Hesse矩阵为：", "bbox": [ 115, 107, 359, 121 ], "page_idx": 120 }, { "type": "equation", "text": "$$\nH = \\left[ \\begin{array}{c c c c} \\frac {\\partial^ {2} f}{\\partial x _ {1} ^ {2}} & \\frac {\\partial^ {2} f}{\\partial x _ {1} \\partial x _ {2}} & \\dots & \\frac {\\partial^ {2} f}{\\partial x _ {1} \\partial x _ {n}} \\\\ \\frac {\\partial^ {2} f}{\\partial x _ {2} \\partial x _ {1}} & \\frac {\\partial^ {2} f}{\\partial x _ {2} ^ {2}} & \\dots & \\frac {\\partial^ {2} f}{\\partial x _ {2} \\partial x _ {n}} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ \\frac {\\partial^ {2} f}{\\partial x _ {n} \\partial x _ {1}} & \\frac {\\partial^ {2} f}{\\partial x _ {n} \\partial x _ {2}} & \\dots & \\frac {\\partial^ {2} f}{\\partial x _ {n} ^ {2}} \\end{array} \\right]\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 334, 123, 658, 237 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "定义 13.10 (正定、负定、不定)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 262, 354, 277 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "矩阵 $A$ 是对称矩阵，考虑 $Q(x) = \\mathbf{x}^T A\\mathbf{x}$ ，分为以下三种情况：", "bbox": [ 115, 282, 573, 297 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "\\- 正(负)定: 对 $\\forall \\mathbf{x}, Q(\\mathbf{x}) \\geq (\\leq)0$", "bbox": [ 139, 302, 391, 316 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "\\- 不定： $\\exists \\mathbf{p}, \\mathbf{q} \\in \\mathbb{R}^n$ ， $Q(\\mathbf{p}) \\leq 0 \\leq Q(\\mathbf{p})$", "bbox": [ 139, 319, 436, 335 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "定理 13.11 (正定的判别法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 360, 319, 374 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "$A$ 为对称矩阵，则 $A$ 严格正定当且仅当其各阶顺序主子式均大于0", "bbox": [ 114, 380, 606, 395 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "13.4.1 无条件极值", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 432, 263, 450 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "定理 13.12 (极值点必要条件)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 464, 336, 480 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "若 $f(x,y)$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 存在偏导数，且在 $P_0$ 取到极值，则 $f_{x}(x_{0},y_{0}) = f_{y}(x_{0},y_{0}) = 0$", "bbox": [ 114, 485, 751, 501 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "证明 用反证法即可。", "bbox": [ 90, 521, 245, 536 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "定理 13.13 (极值点充分条件)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 546, 336, 561 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "$f:\\mathbb{R}^2\\to \\mathbb{R},(x_0,y_0)$ 为其驻点，且 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 某一邻域中有二阶连续导数，", "bbox": [ 114, 565, 682, 582 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "\\- 若Hesse矩阵 $H$ 是严格正(负)定矩阵，则 $\\mathbf{x}_0$ 是 $f$ 的严格极小(大)值点", "bbox": [ 139, 586, 685, 600 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "\\- 若Hesse矩阵 $H$ 可逆但为不定方阵，则 $\\mathbf{x}_0$ 不是 $f$ 的极值点", "bbox": [ 139, 604, 598, 618 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "\\- 若 Hesse 矩阵 $H$ 不可逆，则不能判别", "bbox": [ 139, 623, 436, 637 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "证明 根据 Taylor 公式:", "bbox": [ 90, 657, 263, 671 ], "page_idx": 120 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x, y) = f (x _ {0}, y _ {0}) + \\frac {1}{2} \\left( \\begin{array}{c c} \\Delta x & \\Delta y \\end{array} \\right) \\left( \\begin{array}{c c} f _ {x x} (P _ {0}) & f _ {x y} (P _ {0}) \\\\ f _ {x y} (P _ {0}) & f _ {y y} (P _ {0}) \\end{array} \\right) \\binom{\\Delta x}{\\Delta y} + o ((\\Delta x) ^ {2} + (\\Delta y) ^ {2})\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 163, 675, 831, 713 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "因此如果黑塞矩阵为正定，则 $f(x,y) > f(x_0,y_0)$ ，若负定则 $f(x,y) < f(x_0,y_0)$ ，若不定则不取极值，若黑塞矩阵行列式为0，则不能判别", "bbox": [ 90, 718, 905, 751 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "推论 13.2 (二元极值判别法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 760, 329, 776 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "$(x_0, y_0)$ 是 $f: \\mathbb{R}^2 \\to \\mathbb{R}$ 的驻点， $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 某个邻域中有连续二阶偏导，记", "bbox": [ 115, 781, 680, 796 ], "page_idx": 120 }, { "type": "equation", "text": "$$\na = \\frac {\\partial^ {2} f}{\\partial x ^ {2}} (x _ {0}, y _ {0}), b = \\frac {\\partial^ {2} f}{\\partial x \\partial y} (x _ {0}, y _ {0}), c = \\frac {\\partial^ {2} f}{\\partial y ^ {2}} (x _ {0}, y _ {0})\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 310, 799, 685, 831 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "\\- $ac - b^{2} > 0$ 且 $a > 0$ : 极小值", "bbox": [ 141, 834, 376, 848 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "\\- $ac - b^{2} > 0$ 且 $a < 0$ : 极大值", "bbox": [ 141, 852, 376, 866 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "\\- $ac - b^{2} < 0$ ：无极值", "bbox": [ 141, 871, 312, 885 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "\\- $ac - b^{2} = 0$ ：不确定", "bbox": [ 141, 890, 310, 904 ], "page_idx": 120 }, { "type": "header", "text": "13.4 多元无条件极值问题", "bbox": [ 715, 55, 905, 68 ], "page_idx": 120 }, { "type": "page_number", "text": "113", "bbox": [ 485, 954, 512, 965 ], "page_idx": 120 }, { "type": "text", "text": "证明 极小值即顺序主子式大于0；极大值需要负定，而负定等价于所有元素取负号后为正定，因此注意 $ac - b^{2} > 0$ 。 $ac - b^{2} < 0$ 等价于不负定也不正定，而 $ac - b^{2} = 0$ 等价于不可逆。", "bbox": [ 87, 84, 905, 118 ], "page_idx": 121 }, { "type": "text", "text": "练习13.15无穷极大、无极小证明 $f(x,y) = (1 + e^{y})\\cos x - ye^{y}$ 有无穷个极大值点，但无极小值点。证明(1)先计算驻点： $f_{x} = -(1 + e^{y})\\sin x = 0,f_{y} = e^{y}\\cos x - e^{y} - ye^{y} = 0$ ，需要 $\\sin x = 0,y = \\cos x - 1$ ，即 $x = n\\pi ,y = (-1)^{n} - 1$", "bbox": [ 60, 140, 905, 192 ], "page_idx": 121 }, { "type": "text", "text": "(2) 判断极值类型: $f_{xx} = -(1 + e^{y})\\cos x, f_{xy} = -e^{y}\\sin x, f_{yy} = e^{y}(\\cos x - 2 - y)$ , 考虑 $n = 2m$ 时, $P_{m}(2m\\pi,0)$ , $f_{xx}(P_{m}) = -2, f_{xy} = 0, f_{yy} = -1, f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^{2} = 2 > 0$ , 因此为极大值点。考虑 $n = 2m + 1, P_{m}((2m + 1)\\pi, -2), f_{xx}(P_{m}) = 1 + e^{-2} > 0, f_{xy} = 0, f_{yy} = -e^{-2}, f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^{2} = -e^{-2}(1 + e^{-2}) < 0$ 不取极值。", "bbox": [ 87, 195, 905, 249 ], "page_idx": 121 }, { "type": "text", "text": "当无法直接使用 Hesse 矩阵进行判断时，可以先求出驻点，再使用配方等方法判断驻点是否最小，下面的题目便有用到", "bbox": [ 90, 269, 905, 303 ], "page_idx": 121 }, { "type": "text", "text": "练习13.16计算极值点与极值(1)求 $f(x,y) = \\frac{1}{2} x^2 +xy + \\frac{1}{2} y^2 -2x - 2y + 5$ 的全部极值点与极值", "bbox": [ 58, 317, 811, 344 ], "page_idx": 121 }, { "type": "text", "text": "(2) 求 $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - xz - yz - 3x + y + 4z + 7$ 的极值点与极值解 (1) 先算驻点: $f_x = f_y = x + y - 2$ , 因此 $x + y = 2$ 的点为驻点。再判断极值性: $f_{xx} = 1, f_{xy} = 1, f_{yy} = 1$ , 因此 $f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 0$ , 无法判断用 Hesse 矩阵判断。而 $f(x, y) = \\frac{1}{2}(x + y)^2 - 2(x + y) + 5 = \\frac{1}{2}[(x + y) - 2]^2 + 3$ , 因此 $x + y = 2$ 时不仅是极值点, 而且是最值点。", "bbox": [ 85, 342, 905, 414 ], "page_idx": 121 }, { "type": "text", "text": "(2) 先算驻点: $f_x = 2x - z - 3, f_y = 2y - z + 1, f_z = 2z - x - y + 4$ , 解线性方程组得到 $x = 0, y = -2, z = -3$ 。先尝试用 Hesse 矩阵: $f_{xx} = 2, f_{xy} = 0, f_{xz} = -1, f_{yy} = 2, f_{yz} = -1, f_{zz} = 2$ , 即", "bbox": [ 90, 419, 905, 453 ], "page_idx": 121 }, { "type": "equation", "text": "$$\nH = \\left[ \\begin{array}{r r r} 2 & 0 & - 1 \\\\ 0 & 2 & - 1 \\\\ - 1 & - 1 & 2 \\end{array} \\right]\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 406, 456, 584, 516 ], "page_idx": 121 }, { "type": "text", "text": "顺序主子式都大于0，因此为极小值点。", "bbox": [ 90, 519, 384, 533 ], "page_idx": 121 }, { "type": "text", "text": "13.4.2 最值问题：极值点 + 边界", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 556, 384, 571 ], "page_idx": 121 }, { "type": "text", "text": "要求某区域内函数的最值，只需要考虑区域内部的极值点以及边界即可。", "bbox": [ 122, 583, 655, 598 ], "page_idx": 121 }, { "type": "text", "text": "13.4.3 多元极值理论证明", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 621, 324, 637 ], "page_idx": 121 }, { "type": "text", "text": "练习 13.17 $f(x,y)$ 在 D 上连续且有连续偏导，若 $f_{x} + f_{y} = f, \\quad f\\bigg|_{\\partial D} = 0$ ，证明 $f(x,y)$ 在 D 上恒等于 0\n\n证明 反证：若 $f(x,y)$ 不恒为 0，则 $\\exists(x_{0},y_{0}) \\in D^{o}$ 满足 $f(x_{0},y_{0}) \\neq 0$ ，不妨设 $f(x_{0},y_{0}) > 0$ ，设 f 在 $(x_{0},y_{0})$ 处取正最大值，由于在区域内部，最大值一定是极值点，即 $f_{x}(x_{0},y_{0}) = f_{x}(x_{0},y_{0}) = 0$ ，则与 $f(x_{0},y_{0}) > 0$ 矛盾。", "bbox": [ 58, 651, 905, 713 ], "page_idx": 121 }, { "type": "text", "text": "练习13.18构造辅助函数设 $f(x,y)$ 在单位圆盘 $D:\\{x^{2} + y^{2}\\leq 1\\}$ 内具有连续一阶偏导，且对 $\\forall (x,y)\\in D$ ，有 $|f(x,y)|\\leq 1$ ，证明： $\\exists (x_0,y_0)\\in D^o$ 使得 $f_{x}^{2}(x_{0},y_{0}) + f_{y}^{2}(x_{0},y_{0}) < 16$ 证明构造 $g(x,y) = f(x,y) + 2(x^{2} + y^{2})$ ， $g(0,0) = f(0,0)\\leq 1$ ，而在边界上 $g(x,y) = f(x,y) + 2\\geq 1$ ，因此要么 $g(x,y)$ 在 $D$ 上恒等于1，要么在 $D^o$ 某点取极小值，总 $\\exists (x_0,y_0)$ 使得 $g_{x}(x_{0},y_{0}) = g_{y}(x_{0},y_{0}) = 0$ ，即 $f_{x}(x_{0},y_{0}) = -4x_{0},f_{y}(x_{0},y_{0}) = -4y_{0}$ ，进而 $f_{x}^{2}(x_{0},y_{0}) + f_{y}^{2}(x_{0},y_{0})\\leq 16(x_{0}^{2} + y_{0}^{2})\\leq 16$", "bbox": [ 58, 733, 905, 825 ], "page_idx": 121 }, { "type": "header", "text": "13.5 条件极值", "bbox": [ 798, 55, 905, 68 ], "page_idx": 121 }, { "type": "page_number", "text": "114", "bbox": [ 485, 954, 512, 965 ], "page_idx": 121 }, { "type": "text", "text": "13.5 条件极值", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 87, 253, 107 ], "page_idx": 122 }, { "type": "text", "text": "13.5.1 Lagrange 乘数法", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 127, 310, 143 ], "page_idx": 122 }, { "type": "text", "text": "下面考虑目标函数为 $y = f(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n})$ ，条件组 $\\varphi_{k}(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}) = 0, k = 1, 2, \\cdots, m (m < n)$", "bbox": [ 124, 155, 850, 171 ], "page_idx": 122 }, { "type": "text", "text": "定义 13.11 (Lagrange 函数)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 181, 327, 197 ], "page_idx": 122 }, { "type": "text", "text": "针对上述目标函数与条件组，定义 Lagrange 函数", "bbox": [ 115, 203, 478, 217 ], "page_idx": 122 }, { "type": "equation", "text": "$$\nL (x _ {1}, x _ {2}, \\dots , x _ {n}, \\lambda_ {1}, \\lambda_ {2}, \\dots , \\lambda_ {m}) = f (x _ {1}, x _ {2}, \\dots , x _ {n}) + \\sum_ {k = 1} ^ {m} \\lambda_ {k} \\varphi_ {k} (x _ {1}, x _ {2}, \\dots , x _ {n})\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 205, 219, 791, 258 ], "page_idx": 122 }, { "type": "text", "text": "定理 13.14 (Lagrange 乘数法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 282, 342, 298 ], "page_idx": 122 }, { "type": "text", "text": "若 $f, \\varphi_{i}$ 在 D 上有一阶连续偏导， $P_{0}(x_{1}^{(0)}, \\cdots, x_{n}^{(0)})$ 是 f 极值点，Jacobi 矩阵 $\\left(\\frac{\\partial \\varphi_{k}}{\\partial x_{i}}(P_{0})\\right)_{m \\times n}$ 秩为 m，则存在 $\\lambda_{1}^{(0)}, \\lambda_{2}^{(1)}, \\cdots, \\lambda_{m}^{(0)}$ ，使得 $(x_{1}^{(0)}, x_{2}^{(0)}, \\cdots, x_{n}^{(0)}, \\lambda_{1}^{(0)}, \\cdots, \\lambda_{m}^{(0)})$ 是 Lagrange 函数的稳定点：", "bbox": [ 112, 303, 882, 355 ], "page_idx": 122 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} L _ {x _ {1}} = L _ {x _ {2}} = \\dots = L _ {x _ {n}} = 0 \\\\ L _ {\\lambda_ {1}} = L _ {\\lambda_ {2}} = \\dots = L _ {\\lambda_ {m}} = 0 \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 378, 357, 601, 403 ], "page_idx": 122 }, { "type": "text", "text": "练习 13.19Lagrange 乘数法的直接使用 (1) 讨论 $f(x,y,z)=xyz$ 在条件 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 和 $x+y+z=0$ 条件下的最值。", "bbox": [ 58, 441, 905, 474 ], "page_idx": 122 }, { "type": "text", "text": "练习 13.20Lagrange 乘数法证明不等式 (1) 用 Lagrange 乘数法证明 $\\sqrt[n]{x_1 x_2 \\cdots x_n} \\leq \\frac{x_1 + \\cdots + x_n}{n}$", "bbox": [ 58, 474, 801, 499 ], "page_idx": 122 }, { "type": "text", "text": "(2)x,y>0，证明 $\\frac{x^{n}+y^{n}}{2}\\geq\\left(\\frac{x+y}{2}\\right)^{n}$", "bbox": [ 122, 497, 418, 527 ], "page_idx": 122 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 设 $x_{1} + \\cdots + x_{n} = a$ ，目标即求 $f = x_{1} \\cdots x_{n}$ 在 $x_{1} + \\cdots + x_{n} = a$ 条件下的最值。则构造 $L = x_{1}x_{2} \\cdots x_{n} + \\lambda(x_{1} + \\cdots + x_{n} - a)$ ，解方程组：", "bbox": [ 87, 527, 905, 562 ], "page_idx": 122 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} L _ {x _ {1}} = \\frac {x _ {1} \\cdots x _ {n}}{x _ {1}} + \\lambda = 0 \\\\ \\vdots \\\\ L _ {x _ {n}} = \\frac {x _ {1} \\cdots x _ {n}}{x _ {n}} + \\lambda = 0 \\\\ L _ {\\lambda} = x _ {1} + x _ {2} + \\dots + x _ {n} - a = 0 \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 361, 565, 618, 662 ], "page_idx": 122 }, { "type": "text", "text": "解得 $x_{1}=x_{2}=\\cdots=x_{n}=\\frac{a}{n}$ 。f 在区域边界上取到最小值，在极值点取到最大值，因此", "bbox": [ 90, 668, 742, 693 ], "page_idx": 122 }, { "type": "equation", "text": "$$\nx _ {1} \\dots x _ {n} \\leq \\left(\\frac {a}{n}\\right) ^ {n} = \\left(\\frac {x _ {1} + \\cdots + x _ {n}}{n}\\right) ^ {n}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 352, 695, 643, 726 ], "page_idx": 122 }, { "type": "text", "text": "练习 13.21Lagrange 乘数法的应用 (1) 抛物面 $x^{2} + y^{2} = z$ 被平面 $x + y + z = 1$ 截成一个椭圆，求椭圆到原点的最近和最远距离", "bbox": [ 58, 744, 905, 777 ], "page_idx": 122 }, { "type": "text", "text": "解(1)目标函数 $f(x,y,z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ，条件为 $x^{2} + y^{2} - z = 0$ 与 $x + y + z - 1 = 0$ 。根据Lagrange乘数法，令", "bbox": [ 89, 781, 905, 797 ], "page_idx": 122 }, { "type": "equation", "text": "$$\nL (x, y, z, \\lambda , \\mu) = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + \\lambda (x ^ {2} + y ^ {2} - z) + \\mu (x + y + z - 1)\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 253, 804, 741, 821 ], "page_idx": 122 }, { "type": "header", "text": "13.5 条件极值", "bbox": [ 798, 54, 905, 68 ], "page_idx": 122 }, { "type": "page_number", "text": "115", "bbox": [ 485, 954, 512, 965 ], "page_idx": 122 }, { "type": "text", "text": "对 $L$ 求一阶偏导数，且令它们都为零，则有", "bbox": [ 90, 85, 416, 99 ], "page_idx": 123 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} L _ {x} = 2 x + 2 x \\lambda + \\mu = 0 \\\\ L _ {y} = 2 y + 2 y \\lambda + \\mu = 0 \\\\ L _ {z} = 2 z - \\lambda + \\mu = 0 \\\\ L _ {\\lambda} = x ^ {2} + y ^ {2} - z = 0 \\\\ L _ {\\mu} = x + y + z - 1 = 0 \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 396, 105, 584, 212 ], "page_idx": 123 }, { "type": "text", "text": "首先前两个方程有对称性，因此相减得到 $2(x - y) + 2(x - y)\\lambda = (x - y)(1 + \\lambda) = 0$ ，要求 $x = y$ 或者 $\\lambda = -1$ 。若 $\\lambda = -1$ ，代入第一个式子得到 $\\mu = 0$ ，代入第三个式子得到 $z = -\\frac{1}{2}$ ，而第四个式子要求 $x^{2} + y^{2} = z$ ，因此无解。若 $x = y$ ，则 $z = 2x^{2}, z = -2x + 1$ ，解出 $x = y = \\frac{-1 \\pm \\sqrt{3}}{2}, z = 2 \\mp \\sqrt{3}$ ，而", "bbox": [ 90, 218, 907, 286 ], "page_idx": 123 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf \\left(\\frac {- 1 \\pm \\sqrt {3}}{2}, \\frac {- 1 \\pm \\sqrt {3}}{2}, 2 \\mp \\sqrt {3}\\right) = 9 \\mp 5 \\sqrt {3}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 332, 291, 665, 326 ], "page_idx": 123 }, { "type": "text", "text": "最大值为 $9 + 5\\sqrt{3}$ ，最小值为 $9 - 5\\sqrt{3}$", "bbox": [ 90, 332, 376, 347 ], "page_idx": 123 }, { "type": "header", "text": "13.5 条件极值", "bbox": [ 800, 55, 905, 68 ], "page_idx": 123 }, { "type": "page_number", "text": "116", "bbox": [ 485, 954, 512, 965 ], "page_idx": 123 }, { "type": "text", "text": "第 14 章 含参积分", "text_level": 2, "bbox": [ 388, 87, 626, 111 ], "page_idx": 124 }, { "type": "text", "text": "14.1 含参正常积分", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 145, 302, 165 ], "page_idx": 124 }, { "type": "text", "text": "14.1.1 含参正常积分基本概念与定理", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 184, 425, 202 ], "page_idx": 124 }, { "type": "text", "text": "定义 14.1 (含参正常积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 119, 216, 312, 231 ], "page_idx": 124 }, { "type": "text", "text": "$f(x,t)$ 是定义于 $G = \\{\\alpha (t)\\leq x\\leq \\beta (t),a\\leq t\\leq b\\}$ 区域的二元函数，当对 $x$ 积分时，该积分为 $t$ 的函数：", "bbox": [ 114, 236, 878, 253 ], "page_idx": 124 }, { "type": "equation", "text": "$$\nF (t) = \\int_ {\\alpha (t)} ^ {\\beta (t)} f (x, t) \\mathrm{d} x, t \\in [ a, b ]\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 379, 255, 616, 291 ], "page_idx": 124 }, { "type": "text", "text": "定理 14.1 (规则区域含参正常积分性质)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 315, 413, 331 ], "page_idx": 124 }, { "type": "text", "text": "若 $f(x,t)$ 在 $[a,b]\\times [c,d]$ 连续，则", "bbox": [ 114, 335, 371, 351 ], "page_idx": 124 }, { "type": "text", "text": "\\- 连续性：含参积分连续，即对 $\\forall t_0 \\in [c, d]$ 有 $\\lim_{t \\to t_0} \\int_a^b f(x, t) \\mathrm{d}x = \\int_a^b f(x, t_0) \\mathrm{d}x$", "bbox": [ 137, 349, 732, 382 ], "page_idx": 124 }, { "type": "text", "text": "\\- 积分交换： $\\int_{c}^{d}\\mathrm{d}t\\int_{a}^{b}f(x,t)\\mathrm{d}x = \\int_{a}^{b}\\mathrm{d}x\\int_{c}^{d}f(x,t)\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 139, 380, 547, 413 ], "page_idx": 124 }, { "type": "text", "text": "\\- 可导：若 $f_{t}(x,t)$ 在 $[a,b]\\times [c,d]$ 也连续，则 $\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d}t}\\left(\\int_{a}^{b}f(x,t)\\mathrm{d}x\\right) = \\int_{a}^{b}f_{t}(x,t)\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 137, 412, 746, 450 ], "page_idx": 124 }, { "type": "text", "text": "定理 14.2 (不规则区域的连续与可微性)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 474, 413, 489 ], "page_idx": 124 }, { "type": "text", "text": "若 $f(x,t)$ 在 $[\\alpha (t),\\beta (t)]\\times [c,d]$ 连续， $\\alpha (t),\\beta (t)$ 在 $[c,d]$ 上连续，则", "bbox": [ 115, 494, 610, 511 ], "page_idx": 124 }, { "type": "text", "text": "\\- 连续性： $\\varphi (t) = \\int_{\\alpha (t)}^{\\beta (t)}f(x,t)\\mathrm{d}x$ 在 $[c,d]$ 上连续，即", "bbox": [ 137, 508, 537, 544 ], "page_idx": 124 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\forall t _ {0} \\in [ c, d ], \\lim _ {t \\rightarrow t _ {0}} \\varphi (t) = \\int_ {\\alpha (t _ {0})} ^ {\\beta (t _ {0})} f (x, t _ {0}) \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 366, 546, 670, 581 ], "page_idx": 124 }, { "type": "text", "text": "\\- 可微性：若 $f_{t}(x,t)$ 在 $[a,b]\\times [c,d]$ 上连续， $\\alpha (t),\\beta (t)$ 在 $[c,d]$ 上可导，则(将被积分变量用上下限代替)", "bbox": [ 139, 583, 882, 618 ], "page_idx": 124 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\varphi^ {\\prime} (t) = f (\\beta (t), t) \\beta^ {\\prime} (t) - f (\\alpha (t), t) \\alpha^ {\\prime} (t) + \\int_ {\\alpha (t)} ^ {\\beta (t)} f _ {t} (x, t) \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 307, 615, 729, 651 ], "page_idx": 124 }, { "type": "text", "text": "练习 14.1 含参积分求导 (1) 重点: 已知 $f(x) \\in C[a, b]$ , $F(y) = \\int_{a}^{b} f(x) |y - x| \\mathrm{d}x, y \\in [a, b]$ , 计算 $F''(y)$", "bbox": [ 58, 682, 853, 713 ], "page_idx": 124 }, { "type": "text", "text": "解(1)首先得改写为不规则区域积分： $F(y)=\\int_{a}^{y}f(x)(y-x)\\mathrm{d}x+\\int_{y}^{b}f(x)(x-y)\\mathrm{d}x$ ，因此", "bbox": [ 87, 713, 764, 747 ], "page_idx": 124 }, { "type": "equation", "text": "$$\nF ^ {\\prime} (y) = f (y) (y - y) \\cdot 1 + \\int_ {a} ^ {y} f (x) \\mathrm{d} x - f (y) (y - y) - \\int_ {y} ^ {b} f (x) \\mathrm{d} x = \\int_ {a} ^ {y} f (x) \\mathrm{d} x - \\int_ {y} ^ {b} f (x) \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 159, 749, 835, 785 ], "page_idx": 124 }, { "type": "text", "text": "进而得到 $F''(y) = f(y) + f(y) = 2f(y)$", "bbox": [ 90, 787, 379, 803 ], "page_idx": 124 }, { "type": "text", "text": "练习14.2含参积分求导的应用(1)计算极限 $\\lim_{x\\to 0}\\frac{\\int_0^{x^2}\\sqrt{1 + t^2}\\mathrm{d}t}{e^x\\sin x - \\sin x}$ 解(1)方法一：使用含参积分求导，分母等价于 $(1 + x)x - x = x^2$ ，使用洛必达法则得到(注意分子是含参积分求导):", "bbox": [ 58, 818, 905, 884 ], "page_idx": 124 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\lim _ {x \\to 0} \\frac {2 x \\sqrt {1 + x ^ {4}}}{2 x} = \\lim _ {x \\to 0} \\sqrt {1 + x ^ {4}} = 1\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 364, 883, 631, 913 ], "page_idx": 124 }, { "type": "text", "text": "方法二：Taylor展开 $+$ 直接积分：分母等价于 $x^{2}$ ，分子用 $\\sqrt{1 + t^2} = 1 + \\frac{t^2}{2} + o(t^2)$ 得到：", "bbox": [ 124, 82, 783, 111 ], "page_idx": 125 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\lim _ {x \\to 0} \\frac {\\int_ {0} ^ {x ^ {2}} 1 + \\frac {t ^ {2}}{2} + o (t ^ {2}) \\mathrm{d} t}{x ^ {2}} = \\lim _ {x \\to 0} \\frac {x ^ {2} + \\frac {x ^ {6}}{6} + o (x ^ {6})}{x ^ {2}} = 1\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 287, 114, 707, 149 ], "page_idx": 125 }, { "type": "text", "text": "14.1.2 常用含参正常积分的计算", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 167, 384, 185 ], "page_idx": 125 }, { "type": "text", "text": "引理14.1", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 200, 196, 214 ], "page_idx": 125 }, { "type": "text", "text": "$|a| < 1$ 时， $\\int \\frac{\\mathrm{d}x}{1 + a\\cos x} = \\frac{2}{\\sqrt{1 - a^2}}\\arctan \\left(\\sqrt{\\frac{1 - a}{1 + a}}\\tan \\frac{x}{2}\\right) + C,$ 特别地， $\\int_0^\\pi \\frac{\\mathrm{d}x}{1 + a\\cos x} = \\frac{\\pi}{\\sqrt{1 - x^2}}$", "bbox": [ 110, 217, 882, 256 ], "page_idx": 125 }, { "type": "text", "text": "证明 使用万能公式，在前面三角函数不定积分中涉及过。", "bbox": [ 87, 275, 515, 291 ], "page_idx": 125 }, { "type": "text", "text": "练习14.3积分：涉及 $\\frac{x^b - x^a}{\\ln x}$ 型(1)计算 $\\int_0^1\\frac{x^b - x^a}{\\ln x}\\mathrm{d}x,0 < a < b$", "bbox": [ 58, 306, 586, 338 ], "page_idx": 125 }, { "type": "text", "text": "(2) 计算 $\\int_0^1 \\sin \\left(\\ln \\frac{1}{x}\\right) \\frac{x^b - x^a}{\\ln x} \\, \\mathrm{d}x$", "bbox": [ 122, 337, 379, 369 ], "page_idx": 125 }, { "type": "text", "text": "(3) 计算 $F(a) = \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\ln \\frac{1 + a \\cos x}{1 - a \\cos x} \\cdot \\frac{1}{\\cos x} \\, \\mathrm{d}x$ ，这里 $a \\in (-1, 1)$", "bbox": [ 122, 370, 579, 399 ], "page_idx": 125 }, { "type": "text", "text": "解 (1) 由于 $\\int_{a}^{b} x^{y} \\mathrm{d}y = \\frac{x^{y}}{\\ln x}\\bigg|_{a}^{b} = \\frac{x^{b} - x^{a}}{\\ln x}$ ，因此根据交换积分顺序得到", "bbox": [ 87, 400, 605, 432 ], "page_idx": 125 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {0} ^ {1} \\frac {x ^ {b} - x ^ {a}}{\\ln x} \\mathrm{d} t = \\int_ {0} ^ {1} \\mathrm{d} x \\int_ {a} ^ {b} x ^ {y} \\mathrm{d} y = \\int_ {a} ^ {b} \\mathrm{d} y \\int_ {0} ^ {1} x ^ {y} \\mathrm{d} x = \\ln \\frac {1 + b}{1 + a}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 270, 436, 724, 470 ], "page_idx": 125 }, { "type": "text", "text": "(2) 由于 $\\int_{a}^{b} x^{y} \\mathrm{d}y = \\frac{x^{b} - x^{a}}{\\ln x}$ ，而 $x = 0$ 为瑕点，考虑 $\\lim_{x \\to 0} \\sin \\left(\\ln \\frac{1}{x}\\right) x^{y} = 0$ ，因此可视为连续。从而", "bbox": [ 122, 472, 863, 505 ], "page_idx": 125 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {0} ^ {1} \\sin \\left(\\ln {\\frac {1}{x}}\\right) \\frac {x ^ {b} - x ^ {a}}{\\ln x} \\mathrm{d} x = \\int_ {a} ^ {b} \\mathrm{d} y \\int_ {0} ^ {1} \\sin \\left(\\ln {\\frac {1}{x}}\\right) x ^ {y} \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 294, 508, 702, 541 ], "page_idx": 125 }, { "type": "text", "text": "令 $u = \\ln \\frac{1}{x}$ 即可转化为 $\\int_{a}^{b}\\mathrm{d}y\\int_{0}^{+\\infty}\\sin ue^{-(y + 1)u}\\mathrm{d}u$ ，结果为 $\\arctan (b + 1) - \\arctan (a + 1)$", "bbox": [ 90, 544, 761, 577 ], "page_idx": 125 }, { "type": "text", "text": "(3) 注意到", "bbox": [ 124, 575, 203, 589 ], "page_idx": 125 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\ln \\frac {1 + a \\cos x}{1 - a \\cos x} \\cdot \\frac {1}{\\cos x} \\mathrm{d} x = \\frac {\\ln (1 + a \\cos x) - \\ln (1 - a \\cos x)}{\\cos x} = \\int_ {- a} ^ {a} \\frac {\\mathrm{d} y}{1 + y \\cos x}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 218, 590, 774, 621 ], "page_idx": 125 }, { "type": "text", "text": "而 $\\frac{y}{1 + y\\cos x}$ 连续，因此", "bbox": [ 90, 627, 285, 653 ], "page_idx": 125 }, { "type": "equation", "text": "$$\nF (a) = \\int_ {- a} ^ {a} \\mathrm{d} y \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2}} \\frac {1}{1 + y \\cos x} \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 374, 656, 621, 689 ], "page_idx": 125 }, { "type": "text", "text": "最终积分结果为 $\\pi \\arcsin a$", "bbox": [ 90, 693, 287, 707 ], "page_idx": 125 }, { "type": "header", "text": "14.2 含参反常积分与一致收敛", "bbox": [ 680, 55, 905, 68 ], "page_idx": 125 }, { "type": "page_number", "text": "118", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 125 }, { "type": "text", "text": "14.2 含参反常积分与一致收敛", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 87, 423, 107 ], "page_idx": 126 }, { "type": "text", "text": "14.2.1 基本概念", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 127, 243, 143 ], "page_idx": 126 }, { "type": "text", "text": "定义 14.2 (含参反常积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 159, 312, 175 ], "page_idx": 126 }, { "type": "text", "text": "$f(x,t)$ 在 $[c, +\\infty) \\times I$ 上有定义，对 $\\forall t \\in I$ ，反常积分 $\\int_{c}^{+\\infty} f(x,t) \\mathrm{d}x$ 收敛，则记 $\\Phi(t) = \\int_{c}^{+\\infty} f(x,t) \\mathrm{d}x$ 称其为含参反常积分。", "bbox": [ 112, 177, 894, 228 ], "page_idx": 126 }, { "type": "text", "text": "定义 14.3 (含参反常积分一致收敛)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 248, 379, 263 ], "page_idx": 126 }, { "type": "text", "text": "若对 $\\forall \\epsilon, \\exists N > c, \\forall M > N, \\forall t \\in I$ 有 $|\\int_{M}^{+\\infty} f(x,t) \\mathrm{d}x| < \\epsilon$ ，则称 $\\int_{c}^{+\\infty} f(x,t) \\mathrm{d}x$ 一致收敛于 $\\Phi(t)$", "bbox": [ 114, 267, 821, 305 ], "page_idx": 126 }, { "type": "text", "text": "定理 14.3 (一致收敛基本充要条件)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 326, 379, 341 ], "page_idx": 126 }, { "type": "text", "text": "含参反常积分一致收敛有以下两个基本充要条件：", "bbox": [ 114, 346, 480, 360 ], "page_idx": 126 }, { "type": "text", "text": "\\- Cauchy 收敛准则： $\\forall \\epsilon, \\exists M > c, \\forall A_1, A_2 > M, \\forall t \\in I$ 满足 $|\\int_{A_1}^{A_2} f(x, t) \\mathrm{d}x| < \\epsilon$", "bbox": [ 137, 360, 722, 392 ], "page_idx": 126 }, { "type": "text", "text": "\\- 上确界判别法： $\\lim_{A\\to +\\infty}\\sup_{t\\in I}|\\int_{A}^{+\\infty}f(x,t)\\mathrm{d}x| = 0$ 。", "bbox": [ 139, 391, 519, 424 ], "page_idx": 126 }, { "type": "text", "text": "笔记 证明不一致收敛一般用上确界判别法，具体见下面的例子", "text_level": 2, "bbox": [ 87, 443, 552, 458 ], "page_idx": 126 }, { "type": "text", "text": "练习 14.4 重要例子：确界判别 证明 $\\int_{0}^{+\\infty}\\frac{\\sin xy}{y}dy$ 在 $[\\delta,+\\infty)$ 上一致收敛，但在 $(0,+\\infty)$ 上不一致收敛\n\n证明 (1) 一致收敛：做变量替换 u=xy 得到 $\\int_{A}^{+\\infty}\\frac{\\sin xy}{y}dy=\\int_{Ax}^{+\\infty}\\frac{\\sin u}{u}du$ ，根据反常积分 Dirichlet 判别法可知 $\\int_{0}^{+\\infty}\\frac{\\sin u}{u}du$ 收敛，因此 $\\forall\\epsilon,\\exists M,\\forall A'>M$ 时，有", "bbox": [ 58, 473, 905, 564 ], "page_idx": 126 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\int_ {A ^ {\\prime}} ^ {+ \\infty} \\frac {\\sin u}{u} \\mathrm{d} u \\right| < \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 425, 567, 571, 600 ], "page_idx": 126 }, { "type": "text", "text": "对题中的 $\\delta$ ，取 $A > \\frac{M}{\\delta}$ ，当 $x \\geq \\delta$ 时有", "bbox": [ 90, 600, 386, 630 ], "page_idx": 126 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\int_ {A} ^ {+ \\infty} \\frac {\\sin x y}{y} \\mathrm{d} y \\right| < \\epsilon\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 420, 627, 576, 661 ], "page_idx": 126 }, { "type": "text", "text": "因此根据确界判别法可知一致收敛。", "bbox": [ 90, 668, 356, 682 ], "page_idx": 126 }, { "type": "text", "text": "(2) 不一致收敛：因为", "bbox": [ 122, 686, 287, 701 ], "page_idx": 126 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sup _ {x \\in (0, + \\infty)} \\left| \\int_ {A} ^ {+ \\infty} \\frac {\\sin x y}{y} \\mathrm{d} y \\right| = \\sup _ {x \\in (0, + \\infty)} \\left| \\int_ {A x} ^ {+ \\infty} \\frac {\\sin u}{u} \\mathrm{d} u \\right| \\geq \\left| \\int_ {0} ^ {+ \\infty} \\frac {\\sin u}{u} \\mathrm{d} u \\right| = \\frac {\\pi}{2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 218, 703, 776, 738 ], "page_idx": 126 }, { "type": "text", "text": "当 $A \\to +\\infty$ 时，极限不趋于0，因此根据上确界准则可知不一致收敛。", "bbox": [ 90, 741, 613, 756 ], "page_idx": 126 }, { "type": "text", "text": "笔记 本题在 $[\\delta, +\\infty)$ 上也可以用 Dirichlet 判别法，在 $(0, +\\infty)$ 无法用的原因在于 $\\int_0^N \\sin xy \\, \\mathrm{d}y = \\left. \\frac{\\cos xy}{x} \\right|_0^N$ 对 $x \\in [0, +\\infty)$ 不一致有界。", "bbox": [ 65, 753, 905, 803 ], "page_idx": 126 }, { "type": "text", "text": "练习14.5不一致收敛例子(1)讨论 $\\varphi (x) = \\int_0^{+\\infty}xe^{-xy}\\mathrm{d}y$ 在 $(0, + \\infty)$ 上的一致收敛性解 $(1)\\varphi (x) = \\int_0^{+\\infty}e^{-xy}d(xy) = e^{-xy}|_{+\\infty}^0 = 1$ ，但是其不一致收敛，原因是 $\\sup_{x\\in (0, + \\infty)}|\\int_M^{+\\infty}xe^{-xy}\\mathrm{d}y| = \\sup_{x\\in (0, + \\infty)}e^{-Mx} = 1$ 不趋于0。(如果 $x\\in (a, + \\infty),a > 0$ 则一致收敛)", "bbox": [ 58, 814, 951, 894 ], "page_idx": 126 }, { "type": "header", "text": "14.2 含参反常积分与一致收敛", "bbox": [ 680, 55, 905, 68 ], "page_idx": 126 }, { "type": "page_number", "text": "119", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 126 }, { "type": "text", "text": "定理 14.4 (M 判别法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 86, 282, 102 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "若 $g(x)$ 满足 $|f(x,t)| \\leq g(x), x \\in [c, +\\infty), t \\in I$ ，且 $\\int_{c}^{+\\infty} g(x) \\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\\int_{c}^{+\\infty} f(x,t) \\mathrm{d}x$ 在 $I$ 上一致收敛。", "bbox": [ 112, 104, 890, 151 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "定理 14.5 (比较判别法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 173, 295, 187 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "$f(x,t)$ 在 $[c, +\\infty) \\times I$ 上连续， $|f(x,t)| \\leq F(x,t)$ ，若 $\\int_{c}^{+\\infty} F(x,t) \\mathrm{d}x$ 在 $I$ 上一致收敛，则 $\\int_{c}^{+\\infty} f(x,t) \\mathrm{d}x$ 在 $I$ 上绝对一致收敛", "bbox": [ 110, 191, 892, 240 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "证明 根据 Cauchy 收敛准则可知 $\\forall\\epsilon,\\exists M,\\forall A_{1},A_{2}>M,\\forall t,|\\int_{A_{1}}^{A_{2}}F(x,t)\\mathrm{d}x|<\\epsilon$ ，因此推出 $\\int_{A_{1}}^{A_{2}}|f(x,t)|\\mathrm{d}x<\\epsilon$ 。", "bbox": [ 87, 249, 900, 285 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "练习14.6M判别法(1)证明 $\\int_0^{+\\infty}\\frac{\\cos xy}{1 + x^2}\\mathrm{d}x$ 在 $(- \\infty , + \\infty)$ 上一致收敛", "bbox": [ 58, 288, 610, 319 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "(2) 证明 $\\int_{0}^{+\\infty} e^{-x^2 y} \\, \\mathrm{d}y$ 在 $x \\in [a, b]$ 一致收敛", "bbox": [ 121, 318, 453, 350 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 对任意 $y$ 有 $\\left|\\frac{\\cos xy}{1 + x^2}\\right| \\leq \\frac{1}{1 + x^2}$ ，而 $\\int_0^{+\\infty} \\frac{\\mathrm{d}x}{1 + x^2}$ 收敛，因此由 $M$ 判别法可知一致收敛。", "bbox": [ 87, 348, 805, 380 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "(2) 由于 $e^{-x^2y} \\leq e^{-a^2y}$ , 且根据比较原则 $\\int_0^{+\\infty} e^{-a^2y} \\mathrm{d}y$ 收敛", "bbox": [ 121, 382, 573, 412 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "笔记 即使含参反常积分是常数，也不代表其一致收敛。", "bbox": [ 87, 414, 492, 430 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "14.2.2 Dirichlet 与 Abel 判别法", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 451, 373, 469 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "定理 14.6 (Dirichlet 与 Abel 判别法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 485, 388, 499 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "对于 $\\int_{c}^{+\\infty}f(x,t)g(x,t)\\mathrm{d}x$ ，满足下面的条件则一致收敛- Dirichlet 判别法: (1) $\\forall N > c, \\int_{c}^{N} f(x, t) \\mathrm{d}x$ 关于 $t$ 一致有界 (2) 固定 $t \\in I$ , $g(x, t)$ 关于 $x$ 单调, 且 $x \\to \\infty$ 时关于 $t$ 一致收敛 (即与 $t$ 的选取无关) 到 0", "bbox": [ 114, 505, 529, 537 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "", "bbox": [ 139, 536, 880, 580 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "\\- Abel 判别法: (1) $\\int_{c}^{+\\infty} f(x,t) \\mathrm{d}x$ 在 $I$ 上一致收敛 (2) 固定 $t \\in I$ , $g(x,t)$ 关于 $x$ 单调, $g(x,t)$ 关于 $t \\in I$ 一致有界", "bbox": [ 139, 583, 889, 626 ], "page_idx": 127 }, { "type": "image", "img_path": "images/3f126d83b6ea9697d9f0e348d015e579832e02fcc703d48ac76fdd9deaed2701.jpg", "image_caption": [], "image_footnote": [], "content": "", "bbox": [ 58, 637, 78, 656 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "笔记 注意这里单调都是关于 x 的，一致都是关于 t 的。", "bbox": [ 87, 642, 490, 657 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "练习14.7Dirichlet判别法(1)证明 $\\int_1^{+\\infty}\\frac{\\sin x}{1 + xe^y}\\mathrm{d}x$ 在 $[0, + \\infty)$ 一致收敛", "bbox": [ 58, 670, 623, 703 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "(2) 证明 $\\int_{1}^{+\\infty} \\frac{y \\sin xy}{1 + y^2} \\, \\mathrm{d}y$ 在 $(0, +\\infty)$ 上内闭一致收敛", "bbox": [ 122, 703, 517, 733 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) $\\left|\\int_{1}^{N}\\sin x\\mathrm{d}x\\right|$ 关于 $y$ 一致有界。 $\\frac{1}{1 + xe^y}$ ，一旦固定 $y$ ，肯定关于 $x$ 单调。由于 $0 < \\frac{1}{1 + xe^y} \\leq \\frac{1}{1 + x} \\to 0$ ，因此一致收敛到0。由Dirichlet判别法可知。", "bbox": [ 89, 733, 905, 783 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "(2) 对于 $[a, b] \\subset (0, +\\infty)$ ，对 $\\forall x \\in [a, b]$ ，有", "bbox": [ 122, 787, 448, 802 ], "page_idx": 127 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\int_ {1} ^ {N} \\sin x y \\mathrm{d} y \\right| = \\left| - \\frac {\\cos x y}{x} \\right| _ {1} ^ {N} \\leq \\frac {2}{a}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 371, 804, 623, 843 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "而 $\\left|\\frac{y}{1 + y^2}\\right| \\leq \\frac{1}{2}$ 一致有界，且", "bbox": [ 90, 846, 317, 878 ], "page_idx": 127 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left(\\frac {y}{1 + y ^ {2}}\\right) ^ {\\prime} = \\frac {1 - y ^ {2}}{(1 + y ^ {2}) ^ {2}} \\leq 0\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 394, 875, 603, 910 ], "page_idx": 127 }, { "type": "header", "text": "14.2 含参反常积分与一致收敛", "bbox": [ 680, 55, 905, 68 ], "page_idx": 127 }, { "type": "page_number", "text": "120", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 127 }, { "type": "text", "text": "因此 $\\frac{y}{1 + y^2}$ 单调减， $y \\to +\\infty$ 时， $\\frac{y}{1 + y^2} \\to 0$ ，根据Dirichlet判别法可知", "bbox": [ 90, 80, 642, 110 ], "page_idx": 128 }, { "type": "text", "text": "练习14.8Abel判别法(1)证明 $\\int_0^{+\\infty}e^{-xy}\\frac{\\sin x}{x}\\mathrm{d}x$ 在 $[0, + \\infty)$ 上一致收敛", "bbox": [ 60, 114, 625, 146 ], "page_idx": 128 }, { "type": "text", "text": "(2) $\\varphi(y) = \\int_{0}^{+\\infty}\\frac{\\sin x^2}{1 + xy}\\mathrm{d}x$ 在 $y\\in [0, + \\infty)$ 一致收敛", "bbox": [ 122, 143, 500, 175 ], "page_idx": 128 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) $\\int_{0}^{+\\infty}\\frac{\\sin x}{x}dx$ 关于 y 一致收敛。 $e^{-xy}$ 关于 x 单调，且 $0 0$ ，则含参积分 $\\int_0^{+\\infty}e^{-px}\\frac{\\sin bx - \\sin ax}{x}\\mathrm{d}x = \\arctan \\frac{b}{p} -\\arctan \\frac{a}{p}$", "bbox": [ 114, 760, 655, 793 ], "page_idx": 128 }, { "type": "text", "text": "证明 首先 $\\frac{\\sin bx - \\sin ax}{x} = \\int_{a}^{b}\\cos xy\\mathrm{d}y$ ，因此", "bbox": [ 90, 804, 443, 838 ], "page_idx": 128 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int_ {0} ^ {+ \\infty} \\mathrm{d} x \\int_ {a} ^ {b} e ^ {- p x} \\cos x y \\mathrm{d} y\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 384, 840, 613, 873 ], "page_idx": 128 }, { "type": "text", "text": "由于 $|e^{-px}\\cos xy|\\leq e^{-px}$ ，显然 $\\int_0^{+\\infty}e^{-px}\\mathrm{d}x$ 绝对收敛，因此 $\\int_0^{+\\infty}e^{-px}\\cos xy\\mathrm{d}x,y\\in [a,b]$ 一致收敛，交换积", "bbox": [ 90, 875, 905, 910 ], "page_idx": 128 }, { "type": "page_number", "text": "121", "bbox": [ 485, 953, 510, 965 ], "page_idx": 128 }, { "type": "header", "text": "14.3 含参反常积分的性质", "bbox": [ 714, 55, 904, 68 ], "page_idx": 128 }, { "type": "text", "text": "分顺序得到", "bbox": [ 90, 85, 179, 99 ], "page_idx": 129 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int_ {a} ^ {b} \\mathrm{d} y \\int_ {0} ^ {+ \\infty} e ^ {- p x} \\cos x y \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 384, 101, 613, 135 ], "page_idx": 129 }, { "type": "text", "text": "根据表格法得到:", "bbox": [ 90, 137, 220, 151 ], "page_idx": 129 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {0} ^ {+ \\infty} e ^ {- p x} \\cos x y \\mathrm{d} x = - \\frac {1}{p} e ^ {- p x} \\cos x y \\bigg | _ {0} ^ {+ \\infty} + \\frac {y}{p ^ {2}} e ^ {- p x} \\sin x y \\bigg | _ {0} ^ {+ \\infty} - \\int_ {0} ^ {+ \\infty} \\frac {y ^ {2}}{p ^ {2}} e ^ {- p x} \\cos x y \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 176, 154, 818, 187 ], "page_idx": 129 }, { "type": "text", "text": "因此得到 $\\frac{y^2 + p^2}{p^2}\\int_0^{+\\infty}\\cos xy\\mathrm{d}y = \\frac{1}{p}$", "bbox": [ 90, 191, 368, 223 ], "page_idx": 129 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int_ {a} ^ {b} \\frac {p}{p ^ {2} + y ^ {2}} \\mathrm{d} y = \\arctan {\\frac {b}{p}} - \\arctan {\\frac {a}{p}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 344, 225, 650, 259 ], "page_idx": 129 }, { "type": "text", "text": "定理 14.11 (Dirichlet 积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 274, 321, 288 ], "page_idx": 129 }, { "type": "text", "text": "积分 $\\int_0^{+\\infty}\\frac{\\sin x}{x}\\mathrm{d}x = \\frac{\\pi}{2}$ ，进一步地， $\\int_0^{+\\infty}\\frac{\\sin ax}{x}\\mathrm{d}x = \\frac{\\pi}{2}\\mathrm{sgn}(a)$", "bbox": [ 114, 294, 584, 326 ], "page_idx": 129 }, { "type": "text", "text": "定理 14.12 (正态积分公式)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 350, 319, 365 ], "page_idx": 129 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {0} ^ {+ \\infty} e ^ {- x ^ {2}} \\mathrm{d} x = \\frac {\\sqrt {\\pi}}{2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 115, 370, 265, 403 ], "page_idx": 129 }, { "type": "text", "text": "练习14.9相关练习(1) $\\int_0^{+\\infty}\\frac{e^{-a^2x^2} - e^{-b^2x^2}}{x^e}\\mathrm{d}x$", "bbox": [ 58, 432, 443, 468 ], "page_idx": 129 }, { "type": "text", "text": "14.3.3 含参反常积分与函数项级数的关系", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 486, 463, 502 ], "page_idx": 129 }, { "type": "text", "text": "定理 14.13 (一致收敛级数表示法 (ZJU 考研考过))", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 519, 489, 533 ], "page_idx": 129 }, { "type": "text", "text": "$\\int_{c}^{+\\infty}f(x,y)\\mathrm{d}y$ 在 $I$ 上一致收敛的充要条件为对任一趋于无穷的递增数列 $A_{n}$ (其中 $A_{1} = c$ ), $\\sum_{n=1}^{\\infty}\\int_{A_n}^{A_{n+1}}f(x,y)\\mathrm{d}y$ 作为函数项级数 $\\sum_{n=1}^{\\infty}u_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛", "bbox": [ 110, 536, 894, 609 ], "page_idx": 129 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 左推右：由于一致收敛，因此 $\\forall\\epsilon,\\exists M>c$ 使得 $A^{\\prime\\prime}>A^{\\prime}>M$ 时， $\\forall x$ 有 $\\left|\\int_{A^{\\prime}}^{A^{\\prime\\prime}}f(x,y)\\mathrm{d}y\\right|<\\epsilon$ ，由于 $A_{n}$ 趋于无穷， $\\exists N,\\forall m>n>N$ 有 $A_{m}>A_{n}>M$ ，对 $\\forall x\\in I$ 有 $|u_{n}(x)+\\cdots+u_{m}(x)|=|\\int_{A_{n}}^{A_{m+1}}f(x,y)\\mathrm{d}y|<\\epsilon$ ，即右侧级数一致收敛", "bbox": [ 87, 623, 905, 697 ], "page_idx": 129 }, { "type": "text", "text": "(2) 右推左：反设含参积分不一致收敛， $\\exists \\epsilon_0, \\forall M > c, \\exists A'' > A' > M, x' \\in I$ 使得", "bbox": [ 122, 701, 715, 715 ], "page_idx": 129 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\int_ {A ^ {\\prime}} ^ {A ^ {\\prime \\prime}} f (x ^ {\\prime}, y) \\mathrm{d} y \\right| \\geq \\epsilon_ {0}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 416, 719, 581, 757 ], "page_idx": 129 }, { "type": "text", "text": "先取 $M_{1} = \\max \\{1,c\\}$ ，则 $\\exists A_2,A_1$ 满足 $A_{2} > A_{1} > M_{1}$ ，以及 $x_{1}\\in I$ 使得", "bbox": [ 89, 760, 631, 776 ], "page_idx": 129 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\int_ {A _ {1}} ^ {A _ {2}} f (x _ {1}, y) \\mathrm{d} y \\right| \\geq \\epsilon_ {0}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 416, 780, 581, 816 ], "page_idx": 129 }, { "type": "text", "text": "同理取 $M_{n} = \\max \\{n,A_{2n - 2}\\}$ ，有 $A_{2n} > A_{2n - 1} > M_n,x_n\\in I$ 使得", "bbox": [ 90, 820, 584, 835 ], "page_idx": 129 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\int_ {A _ {2 n - 1}} ^ {A _ {2 n}} f (x _ {n}, y) \\mathrm{d} y \\right| \\geq \\epsilon_ {0}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 408, 839, 589, 877 ], "page_idx": 129 }, { "type": "text", "text": "此时 $\\exists \\epsilon_0, \\forall N, \\exists n > N, \\exists x_n \\in I$ 使得 $|u_{2n}(x_n)| = |\\int_{A_{2n}}^{A_{2n + 1}} f(x_n, y) \\mathrm{d}y| \\geq \\epsilon_0$ ，这与函数项级数一致收敛条件矛盾", "bbox": [ 90, 881, 905, 916 ], "page_idx": 129 }, { "type": "header", "text": "14.3 含参反常积分的性质", "bbox": [ 714, 55, 905, 68 ], "page_idx": 129 }, { "type": "page_number", "text": "122", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 129 }, { "type": "text", "text": "(因为一致收敛要求所有 x 都趋于 0)。", "bbox": [ 90, 85, 364, 99 ], "page_idx": 130 }, { "type": "header", "text": "14.3 含参反常积分的性质", "bbox": [ 715, 55, 905, 68 ], "page_idx": 130 }, { "type": "page_number", "text": "123", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 130 }, { "type": "text", "text": "第 15 章 多重积分", "text_level": 2, "bbox": [ 388, 87, 626, 111 ], "page_idx": 131 }, { "type": "text", "text": "15.1 二重积分", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 145, 253, 164 ], "page_idx": 131 }, { "type": "text", "text": "15.1.1 二重积分的概念与计算", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 184, 364, 200 ], "page_idx": 131 }, { "type": "text", "text": "定义 15.1 (二重积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 216, 278, 231 ], "page_idx": 131 }, { "type": "text", "text": "$D \\subset R^{2}$ 是有界集，对 D 做分割 $T = \\{\\sigma_{1}, \\cdots, \\sigma_{n}\\}$ ，则二重积分定义为", "bbox": [ 114, 236, 636, 253 ], "page_idx": 131 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\iint_ {D} f (x, y) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y = \\lim _ {| | T | | \\rightarrow 0} \\sum_ {i = 1} ^ {n} f (\\xi_ {i}, \\eta_ {i}) s (\\sigma_ {i})\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 341, 256, 653, 293 ], "page_idx": 131 }, { "type": "text", "text": "定理 15.1 (二重积分与累次积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 318, 363, 334 ], "page_idx": 131 }, { "type": "text", "text": "对于 $D = [a,b]\\times [c,d]$ 或者 $D = [a,b]\\times [f_1(x),f_2(x)]$ ，方形边界二重积分可随意转换为累次积分，函数边界先积分函数边界", "bbox": [ 114, 337, 882, 370 ], "page_idx": 131 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\iint_ {D} f (x, y) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y = \\int_ {a} ^ {b} \\mathrm{d} x \\int_ {c} ^ {d} f (x, y) \\mathrm{d} y, \\quad \\iint_ {D} f (x, y) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y = \\int_ {a} ^ {b} \\mathrm{d} x \\int_ {f _ {1} (x)} ^ {f _ {2} (x)} f (x, y) \\mathrm{d} y\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 189, 374, 806, 409 ], "page_idx": 131 }, { "type": "text", "text": "笔记 二重积分的直接计算要特别关注其区域的对称性。而累次积分的顺序一般看函数，那边容易积就先积 (也得靠经验觉得哪个好积)。", "bbox": [ 75, 428, 902, 462 ], "page_idx": 131 }, { "type": "text", "text": "练习15.1对称性计算(1)计算 $\\iint_{D}x^{2}y\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y$ ，其中 $D:|x| + |y|\\leq 1$", "bbox": [ 58, 476, 584, 508 ], "page_idx": 131 }, { "type": "text", "text": "解(1)由于 D 关于 x 轴对称，且 $f(x,y)=x^{2}y$ 关于 y 为奇函数，因此 $\\iint_{D}x^{2}y\\,dx\\,dy=0$", "bbox": [ 87, 506, 734, 536 ], "page_idx": 131 }, { "type": "text", "text": "练习 15.2 转换为累次积分 (1) 计算 $I = \\iint_{D} e^{-y^{2}} dx dy$ ，其中 D 是 y = x 与 $y = x^{\\frac{1}{3}}$ 围成的区域", "bbox": [ 58, 542, 784, 574 ], "page_idx": 131 }, { "type": "text", "text": "(2) 计算 $I = \\iint_{D} \\frac{\\sin x}{x} \\, \\mathrm{d}x \\, \\mathrm{d}y$ ，其中 $D$ 是 $y = x$ 与 $y = x^2$ 围成的区域", "bbox": [ 121, 571, 623, 600 ], "page_idx": 131 }, { "type": "text", "text": "(3) 圆周边界：计算 $I = \\iint_{D} \\frac{\\mathrm{d}x \\, \\mathrm{d}y}{\\sqrt{2a - x}}$ ，其中 $D$ 为 $x = 0, y = 0$ 与 $(x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2$ 所围成的区域", "bbox": [ 121, 599, 890, 629 ], "page_idx": 131 }, { "type": "text", "text": "解(1)注意要先积 $x$ ，因为 $e^{-y^2}$ 先积 $x$ 比较方便，答案为 $\\frac{1}{e}$", "bbox": [ 89, 627, 534, 656 ], "page_idx": 131 }, { "type": "text", "text": "(2) 注意要先积 $y$ ，因为显然 $\\frac{\\sin x}{x}$ 不好积，答案为 $1 - \\sin 1$", "bbox": [ 121, 653, 561, 675 ], "page_idx": 131 }, { "type": "text", "text": "(3) 这里 $\\int \\frac{1}{\\sqrt{2a - x}} \\mathrm{d}x$ 看成 $\\int (2a - x)^{-\\frac{1}{2}} \\mathrm{d}x$ 就是个幂函数，不要被吓到。先积 $y$ ，得到", "bbox": [ 122, 677, 771, 707 ], "page_idx": 131 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int_ {0} ^ {a} \\mathrm{d} x \\int_ {0} ^ {a - \\sqrt {2 a x - x ^ {2}}} \\frac {1}{\\sqrt {2 a - x}} \\mathrm{d} y = \\int_ {0} ^ {a} \\frac {a - \\sqrt {2 a x - x ^ {2}}}{\\sqrt {2 a - x}} \\mathrm{d} x = (2 \\sqrt {2} - \\frac {8}{3}) a ^ {\\frac {3}{2}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 213, 712, 778, 746 ], "page_idx": 131 }, { "type": "text", "text": "练习 15.3 几个进阶题 (1) 计算 $I = \\iint_{D} |xy - \\frac{1}{4}| \\, dx \\, dy$ ，其中 $D : [0, 1] \\times [0, 1]$ (补区域技巧)", "bbox": [ 58, 756, 744, 787 ], "page_idx": 131 }, { "type": "text", "text": "(2) 计算 $I = \\iint_{D} \\sqrt{|y - x^2|} \\, \\mathrm{d}x \\, \\mathrm{d}y$ ，其中 $D: -1 \\leq x \\leq 1, 0 \\leq y \\leq 2$ (对称性)", "bbox": [ 122, 787, 668, 816 ], "page_idx": 131 }, { "type": "text", "text": "解(1)要画出 $xy = \\frac{1}{4}$ 线，分成上下两个部分，记上面的为 $D_{1}$ ，下面的是 $D_{2}$ ，但是 $D_{2}$ 过于不规则，可以为 $D_{2}$ 补上 $D_{1}$ 的部分，这样算起来就方便不少。即 $I = \\iint_{D_1}(xy - \\frac{1}{4})\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y - \\iint_{D_2}(xy - \\frac{1}{4})\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y = 2\\iint_{D_1}(xy - \\frac{1}{4})\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y - \\iint_{D}(xy - \\frac{1}{4})\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y$ ，最终答案为 $\\frac{3}{32} +\\frac{1}{8}\\ln 2$", "bbox": [ 87, 816, 905, 898 ], "page_idx": 131 }, { "type": "text", "text": "(2) 画出 $y = x^2$ ，根据关于 $x$ 为偶，只需要考虑 $x > 0$ ，关于 $y = x^2$ 分为两个区域，上面记 $D_1$ ，下面记 $D_2$ ， $D_1, D_2$ 都算规则，直接计算即可。要注意 $(x^2)^{\\frac{2}{3}} = |x|^3!$", "bbox": [ 89, 84, 905, 118 ], "page_idx": 132 }, { "type": "text", "text": "15.1.2 二重积分可积性", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 141, 304, 156 ], "page_idx": 132 }, { "type": "text", "text": "练习15.4两道经典题 $(1)D = [0,1]\\times [0,1]$ ，对 $x\\in \\mathbb{R}$ ， $q_{x}$ 表示 $x$ 化成既约分数后的分母，证明下面 $f(x,y)$ 在 $D$ 上二重积分存在但两个累次积分不存在", "bbox": [ 58, 168, 905, 200 ], "page_idx": 132 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x, y) = \\left\\{ \\begin{array}{l l} \\frac {1}{q _ {x}} + \\frac {1}{q _ {y}}, & (x, y) \\text {为有理点} \\\\ 0, & (x, y) \\text {非有理点} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 354, 203, 638, 254 ], "page_idx": 132 }, { "type": "text", "text": "(2) $D=[0,1]\\times[0,1]$ ，证明下面 $f(x,y)$ 在D上二重积分不存在但两个累次积分存在", "bbox": [ 122, 259, 737, 275 ], "page_idx": 132 }, { "type": "equation", "text": "$$\nf (x, y) = \\left\\{ \\begin{array}{l l} 1, & (x, y) \\text {为有理点且} q _ {x} = q _ {y} \\\\ 0, & \\text {其他情形} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 346, 279, 645, 322 ], "page_idx": 132 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) $\\forall \\epsilon$ ，仅有有限个点满足 $f(x, y) > \\epsilon$ ，因此存在分割 $T$ 使得 $S(T) - s(T) < \\epsilon$ ，二重积分存在且等于0。下证先 $y$ 后 $x$ 不存在： $y$ 取无理时， $f(x, y) \\equiv 0$ ， $\\int_{0}^{1} f(x, y) \\mathrm{d}x = 0$ 积分存在。若 $y$ 取有理，则在 $x$ 无理处 $f(x, y) = 0$ ， $x$ 有理处 $f(x, y) = \\frac{1}{q_x} + \\frac{1}{q_y}$ ，因此 $f(x, y)$ 在任意区间上振幅总大于 $\\frac{1}{q_y}$ ，因此积分不存在。同理可证先 $x$ 后 $y$ 不存在", "bbox": [ 87, 326, 907, 414 ], "page_idx": 132 }, { "type": "text", "text": "(2) $D$ 中任意部分均有振幅为1，因此二重积分不存在。若固定 $y$ ，若 $y$ 无理，则 $f(x,y) = 0$ ，显然关于 $x$ 可积，若 $y$ 无理，则 $f(x,y) > \\epsilon$ 对于 $x$ 而言只有有限处，因此也关于 $x$ 可积，所以先 $y$ 后 $x$ 可积。另一侧同理。", "bbox": [ 87, 419, 905, 453 ], "page_idx": 132 }, { "type": "text", "text": "15.1.3 二重积分换元法", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 474, 304, 491 ], "page_idx": 132 }, { "type": "text", "text": "定理 15.2 (二重积分换元法)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 506, 329, 521 ], "page_idx": 132 }, { "type": "text", "text": "原二重积分坐标轴 $x, y$ ，定义于 $R$ 上，令 $u = u(x, y), v = v(x, y)$ 反解出 $x = x(u, v), y = y(u, v)$ ，变换后的区域为 $(u, v) \\in \\Omega$ ，则", "bbox": [ 112, 526, 880, 560 ], "page_idx": 132 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\iint_ {R} f (x, y) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y = \\iint_ {\\Omega} f (x (u, v), y (u, v)) \\left| \\frac {\\partial (x , y)}{\\partial (u , v)} \\right| \\mathrm{d} u \\mathrm{d} v\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 295, 563, 702, 596 ], "page_idx": 132 }, { "type": "text", "text": "定义 $J(u,v)=\\frac{\\partial(x,y)}{\\partial(u,v)}$", "bbox": [ 115, 598, 282, 629 ], "page_idx": 132 }, { "type": "text", "text": "笔记一、注意Jacobi行列式外面的是绝对值！二、可以先计算 $I = \\frac{\\partial(u,v)}{\\partial(x,y)}$ ，计算 $|J|$ 时只需要取倒数加绝对值，即 $|J| = |\\frac{1}{I}|$ 。三、计算变换后的范围可以尝试将原本的各个边界转化到新变量，即代入原边界，计算新边界各个变量需要满足的关系。", "bbox": [ 82, 643, 907, 709 ], "page_idx": 132 }, { "type": "text", "text": "练习15.5一般换元计算题(1)计算 $I = \\iint_{D}e^{\\frac{x - y}{x + y}}dxdy$ ，其中 $D$ 是由 $x = 0,y = 0$ 与 $x + y = a(a > 0)$ 围成的区域", "bbox": [ 58, 725, 905, 755 ], "page_idx": 132 }, { "type": "text", "text": "(2) 计算 $I = \\iint_{D} \\frac{(x + y) \\ln(1 + \\frac{y}{x})}{\\sqrt{1 - x - y}} \\, \\mathrm{d}x \\, \\mathrm{d}y$ ，其中 $D$ 是由 $x = 0, y = 0, x + y = 1$ 围成的区域", "bbox": [ 121, 753, 779, 785 ], "page_idx": 132 }, { "type": "text", "text": "(3) 计算 $I = \\iint_{D} \\frac{3x}{y^2 + xy^3} \\, \\mathrm{d}x \\, \\mathrm{d}y$ ，其中 $D$ 是由 $xy = 1, xy = 3, y^2 = x, y^2 = 3x$ 围成的区域", "bbox": [ 122, 785, 781, 813 ], "page_idx": 132 }, { "type": "text", "text": "证明 (1) 设 $x + y = u, x - y = v$ ，即 $x = \\frac{u + v}{2}, y = \\frac{u - v}{2}$ ，考虑边界转化， $x = 0, y = 0$ 等价于 $u = -v, u = v$ ，而 $y = -x + a$ 等价于：", "bbox": [ 89, 813, 904, 851 ], "page_idx": 132 }, { "type": "equation", "text": "$$\nu = a, v = 2 x + a\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 431, 856, 566, 868 ], "page_idx": 132 }, { "type": "text", "text": "此时 u = a，而 v 任意。", "bbox": [ 90, 881, 267, 896 ], "page_idx": 132 }, { "type": "page_number", "text": "125", "bbox": [ 485, 954, 512, 965 ], "page_idx": 132 }, { "type": "header", "text": "15.1 二重积分", "bbox": [ 798, 55, 904, 68 ], "page_idx": 132 }, { "type": "text", "text": "因此区域变为 $u + v = 0, u - v = 0, u = a$ 围成的区域，即 $0 \\leq u \\leq a, -u \\leq v \\leq u, J = \\left| \\begin{array}{cc} \\frac{1}{2} & \\frac{1}{2} \\\\ \\frac{1}{2} & -\\frac{1}{2} \\end{array} \\right| = -\\frac{1}{2}$ ，得到最终结果为 $\\frac{a^2}{4}(e - e^{-1})$", "bbox": [ 90, 82, 905, 161 ], "page_idx": 133 }, { "type": "text", "text": "(2) 设 $x + y = u, x = v$ ，即 $x = v, y = u - v$ 即可，区域变为 $v = 0, u = v, u = 1$ 围成的区域，答案为 $\\frac{16}{15}$", "bbox": [ 121, 160, 890, 187 ], "page_idx": 133 }, { "type": "text", "text": "(3) 做 $xy = u, \\frac{y^2}{x} = v$", "bbox": [ 122, 185, 285, 215 ], "page_idx": 133 }, { "type": "text", "text": "15.1.4 极坐标换元", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 233, 263, 250 ], "page_idx": 133 }, { "type": "text", "text": "定理 15.3 (二重积分极坐标换元)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 265, 363, 280 ], "page_idx": 133 }, { "type": "text", "text": "对于二重积分 $\\iint_{S} f(x, y) \\mathrm{d}x \\mathrm{~d}y$ ，做极坐标换元 $x = r \\cos \\theta, y = r \\sin \\theta$ ，此时 $J(r, \\theta) = r$ ；极坐标换元 $x = ar \\cos \\theta, y = br \\sin \\theta$ 时 $J(r, \\theta) = abr$ 。积分时先 $\\mathrm{d}r$ 后 $\\mathrm{d}\\theta$ ，具体如下图所示", "bbox": [ 112, 287, 892, 330 ], "page_idx": 133 }, { "type": "image", "img_path": "images/5b7b42b6a99544f36af749cad867071bd860f5a296b8bf3c0ba808703c397c2b.jpg", "image_caption": [ "图 15.1: 二重积分极坐标换元" ], "image_footnote": [], "content": "", "bbox": [ 174, 356, 821, 543 ], "page_idx": 133 }, { "type": "text", "text": "练习15.6规则极坐标与广义极坐标(1)计算 $I = \\iint_{D}\\frac{\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y}{\\sqrt{1 - x^2 - y^2}}$ ， $D$ 为 $x^{2} + y^{2}\\leq 1$", "bbox": [ 58, 595, 726, 626 ], "page_idx": 133 }, { "type": "text", "text": "(2)广义极坐标：计算 $\\frac{x^2}{a^2} +\\frac{y^2}{b^2} +\\frac{z^2}{c^2}\\leq 1$ 的体积", "bbox": [ 119, 624, 480, 656 ], "page_idx": 133 }, { "type": "text", "text": "(2)是8倍第一卦限积分，该区域顶面为 $z = c\\sqrt{1 - \\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2}}$ ，底面为", "bbox": [ 121, 665, 638, 697 ], "page_idx": 133 }, { "type": "equation", "text": "$$\nD = \\left\\{(x, y): 0 \\leq y \\leq b \\sqrt {1 - \\frac {x ^ {2}}{a ^ {2}}}, 0 \\leq x \\leq a \\right\\}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 329, 700, 665, 737 ], "page_idx": 133 }, { "type": "text", "text": "因此 $V = 8\\iint_{D}c\\sqrt{1 - \\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2}}\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y$ ，利用广义极坐标变换得到 $z = c\\sqrt{1 - r^2}$ ，故", "bbox": [ 90, 741, 700, 775 ], "page_idx": 133 }, { "type": "equation", "text": "$$\nV = 8 \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2}} \\mathrm{d} \\theta \\int_ {0} ^ {1} c \\sqrt {1 - r ^ {2}} a b r \\mathrm{d} r = \\frac {4 \\pi}{3} a b c\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 342, 778, 655, 810 ], "page_idx": 133 }, { "type": "text", "text": "练习15.7几道非规则边界(1) $f$ 为连续函数，将 $I = \\iint_{D}f\\left(\\frac{y}{x}\\right)\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y$ 转化为定积分，其中 $D:\\frac{1}{4}\\leq x^2 +y^2\\leq x$ (2)将 $I = \\iint_{D}f(x,y)\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y$ 化为极坐标形式，其中 $D:[0,1]\\times [0,1]$", "bbox": [ 58, 820, 897, 877 ], "page_idx": 133 }, { "type": "text", "text": "解 (1) 考虑 $x = r\\cos \\theta, y = r\\sin \\theta$ ，则 $\\frac{1}{4} \\leq r^2 \\leq r\\cos \\theta$ ，即 $\\frac{1}{2} \\leq r \\leq \\cos \\theta$ ，因此 $-\\frac{\\pi}{3} \\leq \\theta \\leq \\frac{\\pi}{3}$ 。即 $I =$", "bbox": [ 87, 878, 905, 907 ], "page_idx": 133 }, { "type": "header", "text": "15.1 二重积分", "bbox": [ 800, 55, 904, 68 ], "page_idx": 133 }, { "type": "page_number", "text": "126", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 133 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {- \\frac {\\pi}{3}} ^ {\\frac {\\pi}{3}} \\mathrm{d} \\theta \\int_ {\\frac {1}{2}} ^ {\\cos \\theta} f (\\tan \\theta) r \\mathrm{d} r = \\frac {1}{2} \\int_ {- \\frac {\\pi}{3}} ^ {\\frac {\\pi}{3}} f (\\tan \\theta) (\\cos^ {2} \\theta - \\frac {1}{4}) \\mathrm{d} \\theta\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 89, 80, 519, 116 ], "page_idx": 134 }, { "type": "text", "text": "(2)一般都是先 $r$ 后 $\\theta$ ，将 $D$ 分为左上，右下两个三角形，则", "bbox": [ 122, 117, 574, 131 ], "page_idx": 134 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{4}} \\mathrm{d} \\theta \\int_ {0} ^ {\\frac {1}{\\cos \\theta}} f (r \\cos \\theta , r \\sin \\theta) r \\mathrm{d} r + \\int_ {\\frac {\\pi}{4}} ^ {\\frac {\\pi}{2}} \\mathrm{d} \\theta \\int_ {0} ^ {\\frac {1}{\\sin \\theta}} f (r \\cos \\theta , r \\sin \\theta) r \\mathrm{d} r\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 225, 133, 769, 170 ], "page_idx": 134 }, { "type": "text", "text": "先 $\\theta$ 后 $r$ 会比较麻烦", "bbox": [ 90, 174, 247, 187 ], "page_idx": 134 }, { "type": "text", "text": "三类特殊的圆", "text_level": 2, "bbox": [ 90, 210, 196, 225 ], "page_idx": 134 }, { "type": "text", "text": "定理 15.4 (三类特殊圆极坐标)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 235, 344, 250 ], "page_idx": 134 }, { "type": "text", "text": "设 $a > 0$ ，极坐标 $x = r\\cos \\theta ,y = r\\sin \\theta$ ，以下特殊圆的极坐标公式：", "bbox": [ 114, 255, 618, 269 ], "page_idx": 134 }, { "type": "text", "text": "\\- $(x - a)^2 + y^2 = a^2$ ，即 $x^2 + y^2 = 2ax$ ，则 $r = 2a\\cos \\theta, \\theta \\in [-\\frac{\\pi}{2}, \\frac{\\pi}{2}]$", "bbox": [ 139, 271, 653, 292 ], "page_idx": 134 }, { "type": "text", "text": "\\- $x^{2} + (y - a)^{2} = a^{2}$ ，即 $x^{2} + y^{2} = 2ay$ ，则 $r = 2a\\sin \\theta, \\theta \\in [0, \\pi]$", "bbox": [ 139, 291, 631, 307 ], "page_idx": 134 }, { "type": "text", "text": "\\- $(x - a)^2 + (y - a)^2 = 2a^2$ ，即 $x^2 + y^2 = 2a(x + y)$ ，则 $r = 2a(\\cos \\theta + \\sin \\theta), \\theta \\in [-\\frac{\\pi}{4}, \\frac{3\\pi}{4}]$", "bbox": [ 139, 307, 818, 332 ], "page_idx": 134 }, { "type": "image", "img_path": "images/b54fa69c6f03c09c287c78d1c9f720c960f3f0469a6172b2465da531dea1784b.jpg", "image_caption": [ "图 15.2: 三个特殊的圆" ], "image_footnote": [], "content": "", "bbox": [ 255, 359, 742, 507 ], "page_idx": 134 }, { "type": "text", "text": "15.2 三重积分", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 571, 253, 590 ], "page_idx": 134 }, { "type": "text", "text": "15.2.1 投影法", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 609, 223, 627 ], "page_idx": 134 }, { "type": "text", "text": "将三重积分转换为累次积分进行计算，常用的方法有投影法与截面法", "bbox": [ 121, 638, 633, 653 ], "page_idx": 134 }, { "type": "text", "text": "定理 15.5 (投影法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 663, 263, 678 ], "page_idx": 134 }, { "type": "text", "text": "积分区域 $V \\subset R^{3}$ ，对应 x, y 坐标平面投影区域 D，且 $V = \\{(x, y, z) : (x, y) \\in D, z_{1}(x, y) \\leq z \\leq z_{2}(x, y)\\}$ ，则：", "bbox": [ 114, 683, 882, 715 ], "page_idx": 134 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\iiint_ {V} f (x, y, z) \\mathrm{d} V = \\iint_ {D} \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y \\int_ {z _ {1} (x, y)} ^ {z _ {2} (x, y)} f (x, y, z) \\mathrm{d} z\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 314, 715, 682, 750 ], "page_idx": 134 }, { "type": "image", "img_path": "images/ad5fd2105a5935951c414ac9ded62f37636325f2db703c2dd4021028281fbc93.jpg", "image_caption": [], "image_footnote": [], "content": "", "bbox": [ 58, 763, 78, 782 ], "page_idx": 134 }, { "type": "text", "text": "笔记 一般而言投影法比截面法更常用一点", "bbox": [ 87, 769, 401, 784 ], "page_idx": 134 }, { "type": "text", "text": "练习 15.8 投影法 (1) 计算 $I = \\iiint_{V} (x + y + z) \\, \\mathrm{d}V$ ，其中 V 是 $x + y + z = 1$ 与坐标面围成的区域", "bbox": [ 58, 800, 801, 829 ], "page_idx": 134 }, { "type": "text", "text": "(2) 计算 $\\iiint_{V} (x^{2} + y^{2} + z) \\mathrm{d}V$ ，其中 $V$ 是 $\\left\\{ \\begin{array}{l} z = y \\\\ x = 0 \\end{array} \\right.$ 绕着 $z$ 轴旋转一圈而成的曲面与 $z = 1$ 围成的区域", "bbox": [ 121, 829, 880, 873 ], "page_idx": 134 }, { "type": "text", "text": "解 (1) 用投影法 $I = \\iint_{D} \\mathrm{d}x \\, \\mathrm{d}y \\int_{0}^{1 - x - y} x + y + z \\, \\mathrm{d}z = \\frac{1}{8}$", "bbox": [ 87, 873, 497, 907 ], "page_idx": 134 }, { "type": "page_number", "text": "127", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 134 }, { "type": "header", "text": "15.2 三重积分", "bbox": [ 798, 55, 905, 68 ], "page_idx": 134 }, { "type": "text", "text": "(2) 旋转面为 $z = \\sqrt{x^2 + y^2}$ (画个图就看得出来)，投影为 $x^2 + y^2 \\leq 1$ ，因此积分为", "bbox": [ 122, 84, 727, 99 ], "page_idx": 135 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{l} I = \\iint_ {D} \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y \\int_ {\\sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} ^ {1} (x ^ {2} + y ^ {2} + z) \\mathrm{d} z \\\\ = \\iint_ {D} (x ^ {2} + y ^ {2}) (1 - \\sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y + \\frac {1}{2} \\iint_ {D} [ 1 - (x ^ {2} + y ^ {2}) ] \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y \\\\ = \\int_ {0} ^ {2 \\pi} \\mathrm{d} \\theta \\int_ {0} ^ {1} r ^ {3} (1 - r) \\mathrm{d} r + \\frac {1}{2} \\int_ {0} ^ {2 \\pi} \\mathrm{d} \\theta \\int_ {0} ^ {1} (1 - r ^ {2}) r \\mathrm{d} r \\\\ = \\frac {\\pi}{1 0} + \\frac {\\pi}{4} = \\frac {7 \\pi}{2 0} \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 253, 104, 741, 234 ], "page_idx": 135 }, { "type": "text", "text": "15.2.2 截面法", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 252, 223, 268 ], "page_idx": 135 }, { "type": "text", "text": "定理 15.6 (截面法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 284, 262, 299 ], "page_idx": 135 }, { "type": "text", "text": "积分区域 $V \\subset \\mathbb{R}^3$ ， $V$ 被垂直于 $z$ 轴平面截取的平面为 $D_z$ ，则", "bbox": [ 114, 304, 576, 319 ], "page_idx": 135 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\iiint_ {V} f (x, y, z) \\mathrm{d} V = \\int_ {a} ^ {b} \\mathrm{d} z \\iint_ {D _ {z}} f (x, y, z) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 329, 323, 668, 357 ], "page_idx": 135 }, { "type": "text", "text": "15.2.3 三重积分换元法", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 394, 302, 411 ], "page_idx": 135 }, { "type": "text", "text": "定理 15.7 (三重积分换元)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 426, 312, 442 ], "page_idx": 135 }, { "type": "text", "text": "若坐标替换 $x = x(u,v,w),y = y(u,v,w),z = z(u,v,w)$ ，则", "bbox": [ 115, 447, 552, 462 ], "page_idx": 135 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\iiint_ {V} f (x, y, z) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y \\mathrm{d} z = \\iiint_ {V ^ {\\prime}} f (x, y, z) \\left| \\frac {\\partial (x , y , z)}{\\partial (u , v , w)} \\right| \\mathrm{d} u \\mathrm{d} v \\mathrm{d} w\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 278, 464, 717, 497 ], "page_idx": 135 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\frac {\\partial (x , y , z)}{\\partial (u , v , w)} \\right| = \\left| \\begin{array}{l l l} \\frac {\\partial x}{\\partial u} & \\frac {\\partial x}{\\partial v} & \\frac {\\partial x}{\\partial w} \\\\ \\frac {\\partial y}{\\partial u} & \\frac {\\partial y}{\\partial v} & \\frac {\\partial y}{\\partial w} \\\\ \\frac {\\partial z}{\\partial u} & \\frac {\\partial z}{\\partial v} & \\frac {\\partial z}{\\partial w} \\end{array} \\right|\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 376, 499, 611, 577 ], "page_idx": 135 }, { "type": "text", "text": "笔记 一方面还是注意 Jacobi 行列式外面的是绝对值。另一方面可以先算 $\\frac{\\partial(u, v, w)}{\\partial(x, y, z)}$ ，再取倒数和绝对值计算 $\\left|\\frac{\\partial(x, y, z)}{\\partial(u, v, w)}\\right|$", "bbox": [ 89, 590, 905, 650 ], "page_idx": 135 }, { "type": "text", "text": "15.2.4 柱面坐标变换与球坐标变换", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 668, 403, 684 ], "page_idx": 135 }, { "type": "text", "text": "定理 15.8 (柱面变换)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 700, 278, 715 ], "page_idx": 135 }, { "type": "text", "text": "做 $x = r\\cos \\theta ,y = r\\sin \\theta ,z = z$ 变换时， $J(u,v,w) = r$ 。往往确定区域：", "bbox": [ 114, 721, 640, 734 ], "page_idx": 135 }, { "type": "text", "text": "$V^{\\prime} = \\{a\\leq r\\leq b,c\\leq \\theta \\leq d,\\alpha (r,\\theta)\\leq z\\leq \\beta (r,\\theta)\\}$ 因此用投影法 $\\iint_{D}\\mathrm{d}r\\mathrm{d}\\theta \\int_{\\alpha (r,\\theta)}^{\\beta (r,\\theta)}z\\mathrm{d}z$ ，即一般积分顺序按照 $\\mathrm{dz},\\mathrm{dr},\\mathrm{d}\\theta$", "bbox": [ 114, 743, 677, 797 ], "page_idx": 135 }, { "type": "text", "text": "练习 15.9 柱坐标变换 (1) 计算 $I = \\iiint_{V} (x^{2} + y^{2}) \\, \\mathrm{d}V$ ，其中 V 是由曲面 $2(x^{2} + y^{2}) = z$ 与 z = 4 为界面的区域。\n解 (1) 为抛物面与平面围成的区域，令 $x = r \\cos \\theta, y = r \\sin \\theta, z = z$ 得到区域为", "bbox": [ 58, 832, 899, 872 ], "page_idx": 135 }, { "type": "equation", "text": "$$\nV ^ {\\prime} = \\left\\{(r, \\theta , z): 0 \\leq r \\leq 2, 0 \\leq \\theta \\leq 2 \\pi , 2 r ^ {2} \\leq z \\leq 4 \\right\\}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 305, 879, 687, 897 ], "page_idx": 135 }, { "type": "header", "text": "15.2 三重积分", "bbox": [ 800, 55, 904, 68 ], "page_idx": 135 }, { "type": "page_number", "text": "128", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 135 }, { "type": "text", "text": "对应积分 $\\iiint_{V'} r^2 \\cdot r \\, \\mathrm{d}V = \\int_0^{2\\pi} \\, \\mathrm{d}\\theta \\int_0^{\\sqrt{2}} \\, \\mathrm{d}r \\int_{2r^2}^4 r^3 \\, \\mathrm{d}z = \\frac{8\\pi}{3}$", "bbox": [ 90, 84, 514, 118 ], "page_idx": 136 }, { "type": "text", "text": "定理 15.9 (球坐标变换)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 135, 295, 149 ], "page_idx": 136 }, { "type": "text", "text": "做 $x = r\\sin \\varphi \\cos \\theta ,y = r\\sin \\varphi \\sin \\theta ,z = r\\cos \\varphi$ 时 $J = r^2\\sin \\varphi$ 。积分时先按照 $\\mathrm{d}r,\\mathrm{d}\\varphi ,\\mathrm{d}\\theta$ 顺序积分", "bbox": [ 114, 155, 831, 172 ], "page_idx": 136 }, { "type": "image", "img_path": "images/93315663037de58e7e2eda9f87b39ab445a1eaf012a8cff06679212e4a2f18a2.jpg", "image_caption": [ "图 15.3: 三重积分球坐标换元" ], "image_footnote": [], "content": "", "bbox": [ 173, 197, 821, 359 ], "page_idx": 136 }, { "type": "image", "img_path": "images/fc68779cbf73ff0e464878fe775b9e52163a5b057fb1e986b9ed4d5fe07d16e1.jpg", "image_caption": [], "image_footnote": [], "content": "", "bbox": [ 57, 392, 80, 412 ], "page_idx": 136 }, { "type": "text", "text": "笔记 使用球坐标变换的原则：(1) 被积函数为 $f(x^{2} + y^{2} + z^{2}), f(x^{2} + y^{2})(2)$ 积分区域为球、锥或者其一部分", "bbox": [ 58, 395, 884, 414 ], "page_idx": 136 }, { "type": "text", "text": "定理 15.10 (广义球坐标变换)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 439, 337, 455 ], "page_idx": 136 }, { "type": "text", "text": "对于以 $(x_0, y_0, z_0)$ ，以 $a, b, c$ 为半轴长的椭球面所围成的区域 $V$ ，做如下广义球坐标变换：", "bbox": [ 114, 460, 774, 475 ], "page_idx": 136 }, { "type": "equation", "text": "$$\nT: \\left\\{ \\begin{array}{l} x = x _ {0} + a r \\sin \\varphi \\cos \\theta \\\\ y = y _ {0} + b r \\sin \\varphi \\sin \\theta \\\\ z = z _ {0} + c r \\cos \\varphi \\end{array} , \\quad r \\geq 0, \\varphi \\in [ 0, \\pi ], \\theta \\in [ 0, 2 \\pi ] \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 273, 481, 721, 546 ], "page_idx": 136 }, { "type": "text", "text": "得到", "bbox": [ 114, 551, 154, 564 ], "page_idx": 136 }, { "type": "equation", "text": "$$\n| J | = \\frac {\\partial (x , y , z)}{\\partial (r , \\varphi , \\theta)} = a b c r ^ {2} \\sin \\varphi\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 389, 561, 608, 593 ], "page_idx": 136 }, { "type": "text", "text": "练习15.10广义球坐标变换(1)计算 $I = \\iiint_{V}z\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y\\mathrm{d}z$ ，其中 $V$ 是 $\\frac{x^2}{a^2} +\\frac{y^2}{b^2} +\\frac{z^2}{c^2}\\leq 1$ 与 $z\\geq 0$ 围成的区域解(1)做球坐标变换，积分变为：", "bbox": [ 58, 621, 870, 668 ], "page_idx": 136 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\iiint_ {V ^ {\\prime}} c r \\cos \\varphi \\cdot a b c r ^ {2} \\sin \\varphi \\mathrm{d} r \\mathrm{d} \\varphi \\mathrm{d} \\theta = a b c ^ {2} \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2}} \\mathrm{d} \\varphi \\int_ {0} ^ {2 \\pi} \\mathrm{d} \\theta \\int_ {0} ^ {1} r ^ {3} \\sin \\varphi \\cos \\varphi \\mathrm{d} r = \\frac {\\pi}{4} a b c ^ {2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 189, 671, 806, 703 ], "page_idx": 136 }, { "type": "header", "text": "15.2 三重积分", "bbox": [ 798, 55, 904, 68 ], "page_idx": 136 }, { "type": "page_number", "text": "129", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 136 }, { "type": "text", "text": "第 16 章 曲线积分", "text_level": 2, "bbox": [ 388, 87, 626, 111 ], "page_idx": 137 }, { "type": "text", "text": "16.1 曲线的参数化", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 145, 302, 165 ], "page_idx": 137 }, { "type": "text", "text": "16.2 第一型曲线积分", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 185, 324, 205 ], "page_idx": 137 }, { "type": "text", "text": "16.2.1 第一型曲线积分的基本概念", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 224, 403, 241 ], "page_idx": 137 }, { "type": "text", "text": "定义 16.1 (第一型曲线积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 256, 329, 272 ], "page_idx": 137 }, { "type": "text", "text": "$\\Gamma$ 是 $R^{3}$ 中的可求长曲线, $f:\\Gamma\\to R$ , 将 $\\Gamma$ 划分为分段 $s_{1},\\cdots,s_{n}$ , 每段的弧长为 $\\Delta s_{i},\\xi_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})\\in s_{i}$ , 定义", "bbox": [ 112, 275, 882, 310 ], "page_idx": 137 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {\\Gamma} f (x, y, z) \\mathrm{d} s = \\lim _ {\\Delta s _ {i} \\rightarrow 0} \\sum_ {i = 1} ^ {n} f (x _ {i}, y _ {i}, z _ {i}) \\Delta s _ {i}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 341, 307, 653, 344 ], "page_idx": 137 }, { "type": "text", "text": "定理 16.1 (第一型曲线积分的计算)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 370, 379, 385 ], "page_idx": 137 }, { "type": "text", "text": "$\\Gamma$ 是 $\\mathbb{R}^3$ 中的光滑曲线，且曲线可表示为 $\\mathbf{r} = x(t)\\mathbf{i} + y(t)\\mathbf{j} + z(t)\\mathbf{k}, t \\in [a, b]$ ，则曲线积分为", "bbox": [ 112, 390, 778, 406 ], "page_idx": 137 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {\\Gamma} f (x, y, z) \\mathrm{d} s = \\int_ {a} ^ {b} f (x (t), y (t), z (t)) \\sqrt {x ^ {\\prime 2} (t) + y ^ {\\prime 2} (t) + z ^ {\\prime 2} (t)} \\mathrm{d} t\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 260, 410, 734, 444 ], "page_idx": 137 }, { "type": "text", "text": "证明 设 $\\Gamma$ 上的分点对应 $r_{0}, r_{1}, \\cdots, r_{n}$ ，对应 $a = t_{0} < t_{1} < \\cdots < t_{n-1} < t_{n} = b$ 。首先根据弧长公式得到 $\\Delta s_{i} = \\int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \\sqrt{x'^{2}(t) + y'^{2}(t) + z'^{2}(t)} \\mathrm{d}t$ ，根据积分中值定理得到 $\\Delta s_{i} = \\sqrt{x'^{2}(\\zeta_{i}) + y'^{2}(\\zeta_{i}) + z'^{2}(\\zeta_{i})} \\Delta t_{i}, \\zeta_{i} \\in [t_{i-1}, t_{i}]$ ，代入第一型曲线积分的定义得到 $\\int_{\\Gamma} f(x, y, z) \\, ds = \\lim_{||T|| \\to 0} \\sum_{i=1}^{n} f(x_{i}, y_{i}, z_{i}) \\sqrt{x'^{2}(\\zeta_{i}) + y'^{2}(\\zeta_{i}) + z'^{2}(\\zeta_{i})} \\Delta t_{i}$ ，当 $\\Delta t_{i} \\to 0$ 时即 Riemann 积分，因此得到结论。", "bbox": [ 89, 461, 905, 558 ], "page_idx": 137 }, { "type": "text", "text": "推论 16.1 (二维第一型曲线积分的计算)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 568, 413, 583 ], "page_idx": 137 }, { "type": "text", "text": "对于 $\\Gamma \\subset \\mathbb{R}^2$ ，若平面曲线 $\\Gamma$ 可表示为 $y = \\varphi (x)$ ， $\\varphi$ 在 $[a,b]$ 连续，则", "bbox": [ 114, 589, 623, 605 ], "page_idx": 137 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {\\Gamma} f (x, y) \\mathrm{d} s = \\int_ {a} ^ {b} f (x, \\varphi (x)) \\sqrt {1 + \\varphi^ {\\prime 2} (x)} \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 334, 609, 660, 642 ], "page_idx": 137 }, { "type": "text", "text": "笔记 第一型曲线积分没有方向一说，例如 $A, B$ 曲线上参数 $t \\in [a, b]$ ，那么积分时 $AB$ 和 $BA$ 的积分都是 $\\int_{a}^{b} f(x, y) \\mathrm{d}t$ ，不能写为 $\\int_{b}^{a} f(x, y) \\mathrm{d}t$", "bbox": [ 87, 659, 904, 709 ], "page_idx": 137 }, { "type": "text", "text": "练习16.1极坐标格式 $(1)L:x^{2} + y^{2} = 1$ ，求 $\\int_{L}(x^{2} + y^{2})\\mathrm{d}s,\\int_{L}(x^{2} + 2y^{2})\\mathrm{d}s$", "bbox": [ 58, 713, 648, 745 ], "page_idx": 137 }, { "type": "text", "text": "(2) $\\int_{L} \\sqrt{2y^2 + z^2} \\, \\mathrm{d}s$ ，其中 $L$ 是 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ 与 $x = y$ 相交的圆周", "bbox": [ 121, 743, 640, 772 ], "page_idx": 137 }, { "type": "text", "text": "(3) $\\int_{L} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \\, \\mathrm{d}s$ ，这里 $L$ 是螺旋线 $x = a \\cos t, y = a \\sin t, z = bt, t \\in [0, 2\\pi]$ 的一段", "bbox": [ 122, 772, 776, 800 ], "page_idx": 137 }, { "type": "text", "text": "(4) 积分较难算： $\\int_{L} xy \\, \\mathrm{d}s$ ，其中 $L$ 为 $\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = 1$ 在第一象限的部分解 (1) $\\int_{L} (x^{2} + y^{2}) \\, \\mathrm{d}s = \\int_{L} 1 \\, \\mathrm{d}s = 2\\pi$ 。记 $x = \\cos \\theta, y = \\sin \\theta$ ，此时 $(x'(\\theta))^{2} + (y'(\\theta))^{2} = 1$ ，因此 $\\int_{L} (x^{2} + 2y^{2}) \\, \\mathrm{d}s = \\int_{0}^{2\\pi} (1 + \\sin^{2}\\theta) \\, \\mathrm{d}\\theta = 2\\pi + 4 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{\\pi}{2} = 3\\pi$", "bbox": [ 122, 797, 633, 829 ], "page_idx": 137 }, { "type": "text", "text": "", "bbox": [ 87, 828, 905, 889 ], "page_idx": 137 }, { "type": "text", "text": "(2) 显然 $2y^{2} + z^{2} = a^{2}$ ，因此 $\\int_{L} \\sqrt{2y^2 + z^2} \\, \\mathrm{d}s = a \\cdot 2a\\pi = 2\\pi a^2$", "bbox": [ 122, 888, 591, 916 ], "page_idx": 137 }, { "type": "text", "text": "(3) $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}+b^{2}t^{2},\\quad(x^{\\prime})^{2}+(y^{\\prime})^{2}+(z^{\\prime})^{2}=a^{2}+b^{2}$ ，因此 $I=\\int_{0}^{2\\pi}(a^{2}+b^{2}t^{2})\\sqrt{a^{2}+b^{2}}dt=$ $\\sqrt{a^{2}+b^{2}}(2\\pi a^{2}+\\frac{8}{3}\\pi^{3}b^{2})$", "bbox": [ 90, 84, 905, 137 ], "page_idx": 138 }, { "type": "text", "text": "(4) 令 $x = a \\cos t, y = b \\sin t$ ，则 $\\int_{L} xy \\, \\mathrm{d}s = ab \\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin \\theta \\cos \\theta \\sqrt{a^2 \\sin^2 \\theta + b^2 \\cos^2 \\theta} \\, \\mathrm{d}\\theta$ ，可化简为：", "bbox": [ 122, 137, 826, 171 ], "page_idx": 138 }, { "type": "equation", "text": "$$\n{\\frac {a b}{2 (a ^ {2} - b ^ {2})}} \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2}} \\sqrt {(a ^ {2} - b ^ {2}) \\sin^ {2} \\theta + b ^ {2}} \\mathrm{d} [ (a ^ {2} - b ^ {2}) \\sin^ {2} \\theta ] = {\\frac {a b (a ^ {2} + a b + b ^ {2})}{3 (a + b)}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 226, 174, 769, 206 ], "page_idx": 138 }, { "type": "text", "text": "练习16.2折线形式(1)计算 $\\int_{L}y\\mathrm{d}s$ ，这里 $L$ 为 $y^{2} = 4x$ 从(0,0)到(1,2)的一段", "bbox": [ 58, 217, 678, 247 ], "page_idx": 138 }, { "type": "text", "text": "(2) 计算 $\\int_{L} (x + y) \\, \\mathrm{d}s$ ，这里 $L$ 是以 $O(0,0), A(1,0), B(0,1)$ 为顶点的三角形", "bbox": [ 119, 247, 675, 275 ], "page_idx": 138 }, { "type": "text", "text": "解 $(1)x = \\frac{1}{4} y^2, y \\in [0,2]$ ，因此 $\\int_{L} y \\, \\mathrm{d}s = \\int_{0}^{2} y\\sqrt{1 + \\frac{1}{4} y^2} \\, \\mathrm{d}y = \\frac{4}{3}(2\\sqrt{2} - 1)$", "bbox": [ 87, 275, 628, 307 ], "page_idx": 138 }, { "type": "text", "text": "(2) 分三段进行考虑。 $\\int_{OA} (x + y) \\mathrm{d}s = \\int_{0}^{1} (x) \\mathrm{d}x = \\frac{1}{2}$ , $\\int_{OB} (x + y) \\mathrm{d}s = \\frac{1}{2}$ 。 $AB$ 上 $y = 1 - x, x \\in [0,1]$ , 因此 $\\int_{AB} (x + y) \\mathrm{d}s = \\int_{0}^{1} 1\\sqrt{1 + 1} \\mathrm{d}x = \\sqrt{2}$ , 结果为 $1 + \\sqrt{2}$", "bbox": [ 87, 307, 905, 369 ], "page_idx": 138 }, { "type": "text", "text": "16.2.2 使用对称性", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 387, 263, 404 ], "page_idx": 138 }, { "type": "text", "text": "练习 16.3 镜面对称性 (1) 计算 $\\int_{L} xy ds$ ，其中 L 为上半椭圆 $\\frac{x^{2}}{a^{2}} + \\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (y \\geq 0)$", "bbox": [ 58, 413, 680, 445 ], "page_idx": 138 }, { "type": "text", "text": "(2)重要：计算 $\\int_{L}|y|\\mathrm{d}s$ ，其中 $L$ 为双组线 $(x^{2} + y^{2})^{2} = a^{2}(x^{2} - y^{2})$", "bbox": [ 122, 447, 620, 470 ], "page_idx": 138 }, { "type": "text", "text": "(3) 计算 $\\oint_{L} |x|^{\\frac{1}{3}} \\mathrm{d}s$ ，这里 $L$ 为星形线 $x^{\\frac{2}{3}} + y^{\\frac{2}{3}} = a^{\\frac{2}{3}}$", "bbox": [ 122, 474, 502, 502 ], "page_idx": 138 }, { "type": "text", "text": "解(1)由于 $L$ 关于 $y$ 轴对称，而 $xy$ 关于 $y$ 轴对称，因此 $\\int_{L} xy \\, \\mathrm{d}s = 0$", "bbox": [ 87, 501, 601, 530 ], "page_idx": 138 }, { "type": "text", "text": "(2) 显然 $L$ 关于 $x, y$ 轴均对称，因此将 $L$ 分为四段，设 $L_{1}$ 是第一象限的部分，因此 $\\int_{L} |y| \\mathrm{~d}s = 4 \\int_{L_{1}} y \\mathrm{~d}s$ 考虑 $x = r \\cos \\theta, y = r \\sin \\theta$ ，则 $L$ 极坐标方程为 $r^{2} = a^{2} \\cos 2\\theta$ ， $L_{1}$ 方程为 $r = a \\sqrt{\\cos 2\\theta}$ ，且 $\\theta \\in [0, \\frac{\\pi}{4}]$ ，即：", "bbox": [ 89, 530, 905, 579 ], "page_idx": 138 }, { "type": "equation", "text": "$$\n4 \\int_ {L _ {1}} y \\mathrm{d} s = 4 \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{4}} a \\sqrt {\\cos 2 \\theta} \\sin \\theta \\sqrt {a ^ {2} \\cos 2 \\theta + a ^ {2} \\frac {\\sin^ {2} 2 \\theta}{\\cos 2 \\theta}} \\mathrm{d} \\theta = 4 a ^ {2} \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{4}} \\sin \\theta \\mathrm{d} \\theta = (4 - 2 \\sqrt {2}) a ^ {2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 164, 586, 830, 623 ], "page_idx": 138 }, { "type": "text", "text": "(3) 显然关于 $x, y$ 轴对称，因此 $\\int_{L} |x|^{\\frac{1}{3}} \\mathrm{d}s = 4 \\int_{L_1} x^{\\frac{1}{3}} \\mathrm{d}s$ 。设 $x = a \\cos^3 \\theta, y = a \\sin^3 \\theta, \\theta \\in [0, \\frac{\\pi}{2}]$ ，此时 $x'^2 y'^2 = 9a^2 \\sin^2 \\cos^2 \\theta$ ，结果为：", "bbox": [ 87, 627, 902, 671 ], "page_idx": 138 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = 4 \\int_ {L _ {1}} x ^ {\\frac {1}{3}} \\mathrm{d} s = 1 2 a ^ {\\frac {4}{3}} \\int_ {0} ^ {\\frac {\\pi}{2}} \\cos^ {2} \\theta \\sin \\theta \\mathrm{d} \\theta = 4 a ^ {\\frac {4}{3}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 322, 675, 673, 708 ], "page_idx": 138 }, { "type": "text", "text": "练习 16.4 轮换对称性 (1) L 是 $x + y + z = 0, x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 的交线，计算 $\\int_{L} x ds, \\int_{L} x^{2} ds, \\int_{L} y dz ds$ 的值", "bbox": [ 58, 718, 863, 747 ], "page_idx": 138 }, { "type": "text", "text": "(2)L是 $x + y + z = 0,x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 的交线，计算 $\\int_{L}x^{2} + yz\\mathrm{d}s$", "bbox": [ 121, 747, 618, 775 ], "page_idx": 138 }, { "type": "text", "text": "解(1)考虑轮换对称性，查看交线，发现 $x, y, z$ 轴都等价，因此变量可以随意轮换", "bbox": [ 87, 775, 694, 790 ], "page_idx": 138 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l} \\int_ {L} x \\mathrm{d} s = \\frac {1}{3} \\int_ {L} x + y + z \\mathrm{d} s = 0 \\\\ \\int_ {L} x ^ {2} \\mathrm{d} s = \\frac {1}{3} \\int_ {L} x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \\mathrm{d} s = \\frac {1}{3} \\cdot 2 \\pi = \\frac {2 \\pi}{3} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 312, 793, 667, 848 ], "page_idx": 138 }, { "type": "text", "text": "第三个：由于 $(x + y + z) = 0$ ，因此 $(x + y + z)^2 = 0$ ，得到 $(x + y + z)^2 -(x^2 +y^2 +z^2) = 2(xy + yz + xz) = -1,$", "bbox": [ 90, 852, 905, 869 ], "page_idx": 138 }, { "type": "page_number", "text": "131", "bbox": [ 485, 954, 510, 965 ], "page_idx": 138 }, { "type": "header", "text": "16.2 第一型曲线积分", "bbox": [ 747, 55, 904, 68 ], "page_idx": 138 }, { "type": "text", "text": "即 $xy + yz + xz = -\\frac{1}{2}$ ，因此：", "bbox": [ 90, 80, 317, 110 ], "page_idx": 139 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {L} y z \\mathrm{d} s = \\frac {1}{3} \\int_ {L} x y + y z + x z \\mathrm{d} s = \\frac {1}{3} \\cdot - \\frac {1}{6} \\cdot 2 \\pi = - \\frac {\\pi}{3}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 304, 111, 692, 143 ], "page_idx": 139 }, { "type": "text", "text": "(2) 和第一题本质一样", "bbox": [ 122, 143, 287, 159 ], "page_idx": 139 }, { "type": "text", "text": "16.2.3 曲线积分中值问题", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 181, 324, 198 ], "page_idx": 139 }, { "type": "text", "text": "定理 16.2 (曲线积分中值定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 214, 346, 229 ], "page_idx": 139 }, { "type": "text", "text": "$f(x,y)$ 是光滑曲线 $L:x = x(t),y = y(t),t\\in [a,b]$ 上的连续函数，设 $\\Delta L$ 是曲线 $L$ 的弧长，则 $\\exists (x_0,y_0)\\in L,$ 使得", "bbox": [ 112, 233, 880, 267 ], "page_idx": 139 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {L} f (x, y) \\mathrm{d} s = f (x _ {0}, y _ {0}) \\Delta L\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 394, 263, 601, 296 ], "page_idx": 139 }, { "type": "text", "text": "证明 根据计算公式得到 $\\int_{L} f(x, y) \\mathrm{d}s = \\int_{a}^{b} f(x(t), y(t)) \\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \\mathrm{d}t$ ，根据积分第一中值定理得到等于 $f(x(t_0), y(t_0)) \\int_{a}^{b} \\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \\mathrm{d}t = f(x_0, y_0) \\Delta L$ ，这里 $(x_0, y_0) = (x(t_0), y(t_0))$", "bbox": [ 89, 307, 905, 373 ], "page_idx": 139 }, { "type": "text", "text": "练习 16.5 积分第一中值定理的曲线推广 $f(x,y,z)$ , $g(x,y,z)$ 在可求长连续曲线 L: $x = x(t)$ , $y = y(t)$ , $z = z(t)$ , $t \\in [a,b]$ (曲线不一定光滑！)，上连续，且 $g(x,y,z)$ 非负，证明： $\\exists(\\xi,\\eta,\\zeta) \\in L$ 使得", "bbox": [ 58, 382, 905, 418 ], "page_idx": 139 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {L} f (x, y, z) g (x, y, z) \\mathrm{d} s = f (\\xi , \\eta , \\zeta) \\int_ {L} g (x, y, z) \\mathrm{d} s\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 314, 420, 682, 451 ], "page_idx": 139 }, { "type": "text", "text": "证明 由于不一定光滑，因此不能用含参形式计算。由于 $f(x,y,z)$ 连续，设在 $L$ 上 $m \\leq f(x(t), y(t), z(t)) \\leq M$ ，由于 $g$ 非负，因此 $mg(x,y,z) \\leq f(x,y,z)g(x,y,z) \\leq Mg(x,y,z)$ ，两侧积分得到：", "bbox": [ 89, 453, 905, 488 ], "page_idx": 139 }, { "type": "equation", "text": "$$\nm \\int_ {L} g (x, y, z) \\mathrm{d} s \\leq \\int_ {L} f (x, y, z) g (x, y, z) \\mathrm{d} s \\leq M \\int_ {L} g (x, y, z) \\mathrm{d} s\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 265, 491, 729, 521 ], "page_idx": 139 }, { "type": "text", "text": "若 $\\int_{L} g(x, y, z) \\mathrm{d}s = 0$ ，则全部为零， $(\\xi, \\eta, \\zeta)$ 任选。若不为 0，则同除以 $\\int_{L} g(x, y, z) \\mathrm{d}s$ ，得到 $m \\leq \\frac{\\int_{L} f(x, y, z) g(x, y, z) \\mathrm{d}s}{\\int_{L} f(x, y, z) \\mathrm{d}s} \\leq M$ ，根据连续性介值性定理可证。", "bbox": [ 89, 524, 952, 571 ], "page_idx": 139 }, { "type": "text", "text": "16.3 第二型曲线积分", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 596, 324, 617 ], "page_idx": 139 }, { "type": "text", "text": "16.3.1 基本概念与参数计算", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 636, 344, 653 ], "page_idx": 139 }, { "type": "text", "text": "定义 16.2 (第二型曲线积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 669, 329, 683 ], "page_idx": 139 }, { "type": "text", "text": "$\\Gamma$ 是 $\\mathbb{R}^3$ 中的有向曲线，其端点为 $A, B \\in \\mathbb{R}^3$ ， $F(x, y, z) = P(x, y, z)\\mathbf{i} + Q(x, y, z)\\mathbf{j} + R(x, y, z)\\mathbf{k}$ ，将 $\\Gamma$ 划分为 $A = \\mathbf{r}_0 \\to \\mathbf{r}_1 \\to \\mathbf{r}_{n-1} \\to \\mathbf{r}_n = B$ ，第二型曲线积分定义为：", "bbox": [ 112, 688, 880, 722 ], "page_idx": 139 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {\\Gamma} P \\mathrm{d} x + Q \\mathrm{d} y + R \\mathrm{d} z = \\lim _ {| | T | | \\to 0} P (\\xi_ {i}, \\eta_ {i}, \\zeta_ {i}) \\Delta x _ {i} + Q (\\xi_ {i}, \\eta_ {i}, \\zeta_ {i}) \\Delta y _ {i} + R (\\xi_ {i}, \\eta_ {i}, \\zeta_ {i}) \\Delta z _ {i}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 196, 727, 798, 757 ], "page_idx": 139 }, { "type": "text", "text": "定理 16.3 (第二型曲线积分的计算)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 781, 379, 797 ], "page_idx": 139 }, { "type": "text", "text": "若曲线 $\\Gamma$ 由 $\\mathbf{r}(t) = x(t)\\mathbf{i} + y(t)\\mathbf{j} + z(t)\\mathbf{k}, t \\in [a, b]$ 给出，则", "bbox": [ 114, 801, 544, 816 ], "page_idx": 139 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {\\Gamma} P \\mathrm{d} x + Q \\mathrm{d} y + R \\mathrm{d} z = \\int_ {a} ^ {b} [ P x ^ {\\prime} (t) + Q y ^ {\\prime} (t) + R z ^ {\\prime} (t) ] \\mathrm{d} t\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 292, 822, 702, 854 ], "page_idx": 139 }, { "type": "text", "text": "练习16.6折线积分(1)计算 $\\int_{L}x\\mathrm{d}y - y\\mathrm{d}x$ ，其中 $L$ 为三角形 $O(0,0),A(1,0),B(1,2)$ 为顶点的三角形逆时针曲线", "bbox": [ 58, 883, 905, 916 ], "page_idx": 139 }, { "type": "header", "text": "16.3 第二型曲线积分", "bbox": [ 747, 54, 904, 68 ], "page_idx": 139 }, { "type": "page_number", "text": "132", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 139 }, { "type": "text", "text": "(2) 计算 $\\int_{L} x dx + y dy + z dz$ ，其中 L 是 $(1, 1, 1)$ 到 $(2, 3, 4)$ 的直线段\n\n解 (1) 分三段计算： $\\int_{OA} x \\, dx - y \\, dx = 0$ 。 $\\int_{AB} x \\, dy - y \\, dx$ 以 y 为参数，即 $\\int_{0}^{2} 1 \\, dy - y \\cdot 0 = 2$ 。 $\\int_{BO} x \\, dy - y \\, dx$ ，以 x 为参数，y = 2x，即 $\\int_{1}^{0} x \\cdot 2 - 2x \\, dx = 0$ ，最终结果为 2。", "bbox": [ 89, 84, 905, 173 ], "page_idx": 140 }, { "type": "text", "text": "(2) 以 $x$ 为参数, $y = 2x - 1, z = 3x - 2$ , 因此结果为 $\\int_{1}^{2} x + 2(2x - 1) + 3(3x - 2) \\mathrm{d}x = 13$", "bbox": [ 121, 173, 796, 205 ], "page_idx": 140 }, { "type": "text", "text": "练习 16.7 椭圆、圆周积分 (1) 计算 $\\int_{L}(x^{2}+2xy)\\mathrm{d}y$ ，其中 L 为 $\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(y\\geq0)$ 方向逆时针", "bbox": [ 58, 208, 793, 240 ], "page_idx": 140 }, { "type": "text", "text": "(2) 计算 $I = \\oint_{L} \\frac{-x \\, \\mathrm{d}x + y \\, \\mathrm{d}y}{x^2 + y^2}$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^2 + y^2 = 1$ ，方向逆时针解 (1) 设 $x = a\\cos \\theta, y = b\\sin \\theta, \\theta \\in [0, \\pi]$ 。则 $\\int_{L} (x^2 + 2xy)\\mathrm{d}y = \\int_{0}^{\\pi} a^2\\cos^3\\theta + 2ab^2\\sin \\theta\\cos^2\\theta\\mathrm{d}\\theta = \\frac{4}{3}ab^2$ (2) 设 $x = \\cos \\theta, y = \\sin \\theta, \\theta \\in [0, 2\\pi]$ ，则 $I = \\int_{0}^{2\\pi} (\\cos \\theta\\sin \\theta + \\sin \\theta\\cos \\theta)\\mathrm{d}\\theta = 0$", "bbox": [ 121, 237, 647, 269 ], "page_idx": 140 }, { "type": "text", "text": "", "bbox": [ 90, 265, 860, 329 ], "page_idx": 140 }, { "type": "text", "text": "练习 16.8 交线积分: 化为单变量 (1) 计算 $I = \\oint_{L} (y - z) \\, \\mathrm{d}x + (z - x) \\, \\mathrm{d}y + (x - y) \\, \\mathrm{d}z$ ，其中 L 为 $x^{2} + y^{2} = 1, x + z = 1$ ，从 z 轴正无穷看为顺时针", "bbox": [ 58, 337, 905, 376 ], "page_idx": 140 }, { "type": "text", "text": "(2) 重要：计算 $\\oint_{L} xyz \\, \\mathrm{d}z$ ，其中 $L$ 为 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 与 $y = z$ 相交的圆，方向为 1,2,7,8 卦限。", "bbox": [ 119, 378, 828, 403 ], "page_idx": 140 }, { "type": "text", "text": "解 (1) 设 $x = \\cos \\theta, y = \\sin \\theta, z = 1 - \\cos \\theta$ ，则 $\\theta \\in [2\\pi, 0]$ (不是 $[0, 2\\pi]!$ 。)。则", "bbox": [ 89, 403, 652, 419 ], "page_idx": 140 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int_ {2 \\pi} ^ {0} [ (\\sin \\theta + \\cos \\theta - 1) (- \\sin \\theta) + (1 - 2 \\cos \\theta) \\cos \\theta + (\\cos \\theta - \\sin \\theta) \\sin \\theta ] \\mathrm{d} \\theta = 4 \\pi\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 188, 423, 806, 455 ], "page_idx": 140 }, { "type": "text", "text": "(2) 由于 $x^{2} + 2y^{2} = 1$ ，设 $x = \\cos \\theta, y = z = \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\sin \\theta$ ，由于从第一卦限出发， $x, y, z$ 均为正，而 $\\theta$ 为小正数时，位于第一卦限，因此 $\\theta \\in [0, 2\\pi]$ 。因此：", "bbox": [ 87, 458, 904, 500 ], "page_idx": 140 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int_ {0} ^ {2 \\pi} \\frac {1}{2} \\cos \\theta \\sin^ {2} \\theta \\frac {1}{\\sqrt {2}} \\cos \\theta \\mathrm{d} \\theta = \\frac {\\sqrt {2} \\pi}{1 6}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 344, 502, 650, 536 ], "page_idx": 140 }, { "type": "text", "text": "笔记 第二题虽然是球面的一部分，但是曲线积分都要化成一个变量的，因此不能用球坐标变换！", "bbox": [ 58, 542, 794, 558 ], "page_idx": 140 }, { "type": "text", "text": "练习16.9二次曲面交线计算 $\\int_{L}y\\mathrm{d}x + z\\mathrm{d}y + x\\mathrm{d}z$ ，其中 $L$ 为椭球与柱面交线：", "bbox": [ 58, 574, 668, 605 ], "page_idx": 140 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\frac {x ^ {2}}{a ^ {2}} + \\frac {y ^ {2}}{b ^ {2}} + \\frac {z ^ {2}}{c ^ {2}} = 1, \\frac {x}{a} + \\frac {z}{c} = 1, x, y, z \\geq 0\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 344, 607, 652, 638 ], "page_idx": 140 }, { "type": "text", "text": "方向从 $(a,0,0)$ 到 $(0,0,c)$", "bbox": [ 89, 638, 280, 653 ], "page_idx": 140 }, { "type": "text", "text": "解 (1) 直接用极坐标极度不方便，先令 $x = a\\overline{x}, y = b\\overline{y}, z = c\\overline{z}$ ，得到 $\\overline{x}^2 + \\overline{y}^2 + \\overline{z}^2 = 1, \\overline{x} + \\overline{z} = 1$ 。将前者配凑为 $(\\overline{x} + \\overline{z})^2 + (\\overline{x} - \\overline{z})^2 + 2\\overline{y}^2 = 2$ ，因此 $(\\overline{x} - \\overline{z})^2 + 2\\overline{y}^2 = 1$ ，因此设 $\\overline{x} - \\overline{z} = \\cos \\theta, \\sqrt{2}\\overline{y} = \\sin \\theta$ ，得出 $\\overline{x} = \\frac{1}{2}(1 + \\cos \\theta), \\overline{y} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\sin \\theta, \\overline{z} = \\frac{1}{2}(1 - \\cos \\theta)$ ，根据方向以及端点可判断 $\\theta \\in [0, \\pi]$ （具体含义难以判断）。因此代入计算可知结果为 $\\frac{ac}{2} - \\frac{\\pi b}{4\\sqrt{2}}(a + c)$", "bbox": [ 87, 656, 905, 746 ], "page_idx": 140 }, { "type": "text", "text": "16.3.2 使用对称性", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 766, 263, 783 ], "page_idx": 140 }, { "type": "text", "text": "和第一型曲线积分一样，下面考虑镜像对称以及轮换对称性", "bbox": [ 121, 794, 566, 809 ], "page_idx": 140 }, { "type": "text", "text": "\\- 镜像对称：如 $\\int_{S} f(x, y, z) \\mathrm{d}x$ ，要同时考虑 $f(x, y, z)$ 和 $\\mathrm{d}x$ 在 $S$ 上的符号", "bbox": [ 115, 810, 670, 834 ], "page_idx": 140 }, { "type": "text", "text": "\\- 轮换对称：要保证积分区域和积分表达式均轮换对称。轮换有两种使用方法：(1) 保持积分区域不变，积分表达式轮换 (2) 保持积分表达式不变，积分区域轮换 (具体见轮换对称练习)", "bbox": [ 114, 835, 905, 869 ], "page_idx": 140 }, { "type": "header", "text": "16.3 第二型曲线积分", "bbox": [ 747, 55, 904, 68 ], "page_idx": 140 }, { "type": "page_number", "text": "133", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 140 }, { "type": "text", "text": "定理 16.4 (dx 的符号)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 87, 285, 102 ], "page_idx": 141 }, { "type": "text", "text": "若沿着给定方向， $x$ 由大变小，则 $\\mathrm{dx}$ 为负，同理若变大则 $\\mathrm{dx}$ 为正，以此判断对称性。如果不容易直接判断，则画出投影曲线，再在平面曲线上判断方向。", "bbox": [ 114, 105, 884, 141 ], "page_idx": 141 }, { "type": "text", "text": "练习16.10镜像对称性(1)证明 $I = \\oint_{L}\\frac{-x\\mathrm{d}x + y\\mathrm{d}y}{x^{2} + y^{2}} = 0$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，方向逆时针。", "bbox": [ 58, 170, 821, 200 ], "page_idx": 141 }, { "type": "text", "text": "(2) 计算 $I = \\int_{L} (-2xe^{-x^2} \\sin y) \\, \\mathrm{d}x + (e^{-x^2} \\cos y + x^4) \\, \\mathrm{d}y$ ，其中 $L$ 为 (1,0) 到 (-1,0) 的半圆 $y = \\sqrt{1 - x^2}$ 解 (1) $I = -\\int_{L} x \\, \\mathrm{d}x + \\int_{L} y \\, \\mathrm{d}y$ ，前者分为 $x$ 轴上下两部分，上下 $x$ 符号大小均相等，由于上方 $x$ 从大变小，下方从小变大，因此 $\\mathrm{d}x$ 符号相反，得到 $-\\int_{L} x \\, \\mathrm{d}x = 0$ 。后者同理根据 $x$ 轴上下两部分得到结果为 0。", "bbox": [ 87, 202, 904, 282 ], "page_idx": 141 }, { "type": "text", "text": "(2) 关于 $y$ 轴对称。第一项 $\\mathrm{d}x$ 同号， $-2xe^{-x^2}\\sin y$ 异号，因此第一个积分为0。第二个 $\\mathrm{d}y$ 异号， $e^{-x^2}\\cos y + x^4$ 同号等值，因此第二个积分也为0。综上整个积分为0。", "bbox": [ 89, 285, 905, 319 ], "page_idx": 141 }, { "type": "text", "text": "练习16.11轮换对称性(1)计算 $\\int_{L}x\\mathrm{d}x + y\\mathrm{d}y + z\\mathrm{d}z$ ，其中 $L$ 为 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 与 $x + y + z = 0$ 相交圆周， $L$ 从第一卦限来看是逆时针的。(2)计算 $\\int_{L}(y^{2} - z^{2})\\mathrm{d}x + (z^{2} - x^{2})\\mathrm{d}y + (x^{2} - y^{2})\\mathrm{d}z$ ，其中 $L$ 为 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 在第一卦限的边界曲线，方向为 $xy$ 平面， $yz$ 平面， $zx$ 平面解(1)由于 $x,y,z$ 可以随便互换， $I$ 可以写出 $3\\int_{L}x\\mathrm{d}x$ 或 $y,z$ 对应积分，要选择一个好算的。考虑 $z = -(x + y)$ ，则 $x^{2} + y^{2} + (x + y)^{2} = 1$ ，得到 $(x + \\frac{1}{2} y)^{2} + \\frac{3}{4} y^{2} = \\frac{1}{2}$ 。因此令 $x + \\frac{1}{2} y = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\cos \\theta, \\frac{\\sqrt{3}}{2} y = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\sin \\theta$ ，因此得到参数方程为： $x = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\cos \\theta - \\frac{1}{\\sqrt{6}}\\sin \\theta, y = \\frac{2}{\\sqrt{6}}\\sin \\theta, z = -\\frac{1}{\\sqrt{2}}\\cos \\theta - \\frac{1}{\\sqrt{6}}\\sin \\theta, \\theta \\in [0,2\\pi]$", "bbox": [ 58, 338, 907, 518 ], "page_idx": 141 }, { "type": "text", "text": "可以算 $\\int_{L} y \\, \\mathrm{d}y$ 比较简单，因此最终结果为 0。", "bbox": [ 90, 523, 425, 554 ], "page_idx": 141 }, { "type": "text", "text": "(2) 设三个部分曲线分别为 $L_{1}, L_{2}, L_{3}$ , 由于 $x, y, z$ 可以随便互换, 若 $(x, y, z) \\to (z, x, y)$ , 则积分表达式不变, 而 $L_{1}$ 部分在该变换下变为 $L_{2}$ , 因此 $L_{1}, L_{2}, L_{3}$ 积分值相等。因此 $I = 3 \\int_{L_{1}} (y^{2} - z^{2}) \\mathrm{d}x + (z^{2} - x^{2}) \\mathrm{d}y + (x^{2} - y^{2}) \\mathrm{d}z =$ , 对于 $L_{1}$ 而言, 虽然积分表达式轮换对称, 但是积分区域不轮换对称, 因此只能硬算了。取 $x = \\cos \\theta, y = \\sin \\theta, z = 0, \\theta \\in [0, \\frac{\\pi}{2}]$ , 得到结果为 $-4$ 。", "bbox": [ 87, 552, 907, 634 ], "page_idx": 141 }, { "type": "text", "text": "练习 16.12 双曲面交线 + 对称性 重点：计算 $I=\\int_{L}y^{2}dx+z^{2}dy+x^{2}dz$ ，其中 L 是维维安尼曲线 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, x^{2}+y^{2}=ax (z\\geq0, a>0)$ ，从 x 轴 $+\\infty$ 看去，L 方向为逆时针\n\n解 注意 $x^{2}+y^{2}=ax$ 即 $(x-\\frac{a}{2})^{2}+y^{2}=\\frac{a^{2}}{4}$ 是圆柱面，且过原点。考虑关于 xz 平面对称，积分表达式显然不变，dx 相反，dy 相同（需要把投影的圆画出来看看），dz 相反，因此只需要计算 $I=\\int_{L}z^{2}dy=2\\int_{L_{1}}z^{2}dy$ ，这里 $L_{1}$ 是 L 在 $y\\geq0$ 的部分，设 $x=a\\sin\\varphi\\cos\\theta, y=a\\sin\\varphi\\sin\\theta, z=a\\cos\\varphi, \\theta\\in[0, \\frac{\\pi}{2}] (\\theta$ 的范围具体见三重积分球坐标变换），代入柱面公式得到 $\\sin\\varphi=\\cos\\theta$ ，即 $\\theta=\\frac{\\pi}{2}-\\varphi$ ，综上 $L_{1}$ 的参数方程为：", "bbox": [ 58, 645, 905, 788 ], "page_idx": 141 }, { "type": "equation", "text": "$$\nx = a \\sin^ {2} \\varphi , y = a \\sin \\varphi \\cos \\varphi , z = a \\cos \\varphi , \\varphi \\in [ \\frac {\\pi}{2}, 0 ]\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 307, 793, 687, 816 ], "page_idx": 141 }, { "type": "text", "text": "得到最终结果为 $-\\frac{\\pi}{4} a^3$", "bbox": [ 92, 819, 260, 844 ], "page_idx": 141 }, { "type": "header", "text": "16.3 第二型曲线积分", "bbox": [ 747, 55, 902, 68 ], "page_idx": 141 }, { "type": "page_number", "text": "134", "bbox": [ 485, 954, 512, 964 ], "page_idx": 141 }, { "type": "text", "text": "16.3.3 两类曲线积分的关系", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 85, 344, 102 ], "page_idx": 142 }, { "type": "text", "text": "定理 16.5 (光滑曲线切向量)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 118, 329, 133 ], "page_idx": 142 }, { "type": "text", "text": "考虑光滑曲线 $\\mathbf{r}(s) = (x(s), y(s)), s \\in [0, l]$ ，满足 $(x'(s))^2 + (y'(x))^2 = 1$ 。则其单位切向量为 $\\mathbf{t} = (x'(s), y'(s)) = (\\cos(\\mathbf{t}, x), \\cos(\\mathbf{t}, y))$ ，即", "bbox": [ 114, 137, 880, 174 ], "page_idx": 142 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\mathrm{d} x = \\cos (\\mathbf {t}, x) \\mathrm{d} s, \\quad \\mathrm{d} y = \\cos (\\mathbf {t}, y) \\mathrm{d} s\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 364, 181, 631, 197 ], "page_idx": 142 }, { "type": "text", "text": "定理 16.6 (两类曲线积分的关系)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 221, 363, 236 ], "page_idx": 142 }, { "type": "text", "text": "根据光滑曲线切向量的结论，可知：", "bbox": [ 114, 241, 379, 255 ], "page_idx": 142 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {L} P \\mathrm{d} x + Q \\mathrm{d} y = \\int_ {L} \\left[ P (x, y) \\cos (\\mathbf {t}, x) + Q (x, y) \\cos (\\mathbf {t}, y) \\right] \\mathrm{d} s\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 278, 256, 717, 288 ], "page_idx": 142 }, { "type": "text", "text": "16.4 Green 公式", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 332, 275, 351 ], "page_idx": 142 }, { "type": "text", "text": "16.4.1 Green 公式及其基本应用", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 370, 379, 387 ], "page_idx": 142 }, { "type": "text", "text": "定理 16.7 (Green 公式)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 403, 295, 418 ], "page_idx": 142 }, { "type": "text", "text": "$\\Omega \\subset \\mathbb{R}^2$ 是有限条分段光滑曲线连接成的闭曲线， $P(x,y), Q(x,y)$ 在 $\\Omega$ 上连续，且有连续偏导 $\\frac{\\partial Q}{\\partial x}, \\frac{\\partial P}{\\partial y}$ ，沿着 $\\partial \\Omega$ 的方向， $\\Omega$ 一直在左侧，则", "bbox": [ 112, 423, 880, 464 ], "page_idx": 142 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {\\partial \\Omega} P \\mathrm{d} x + Q \\mathrm{d} y = \\iint_ {\\Omega} (\\frac {\\partial Q}{\\partial x} - \\frac {\\partial P}{\\partial y}) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 351, 467, 645, 499 ], "page_idx": 142 }, { "type": "text", "text": "笔记 使用 Green 公式的基本条件是曲线光滑和偏导存在，一般在 P, Q 本身复杂，但 $\\frac{\\partial Q}{\\partial x} - \\frac{\\partial P}{\\partial y}$ 简单时使用。记忆时可记忆为：", "bbox": [ 87, 511, 905, 552 ], "page_idx": 142 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left| \\begin{array}{c c} \\frac {\\partial}{\\partial x} & \\frac {\\partial}{\\partial y} \\\\ P & Q \\end{array} \\right|\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 448, 549, 546, 596 ], "page_idx": 142 }, { "type": "text", "text": "练习 16.13Green 公式基本应用 (1)a, b 为正数，L 为从 (2a, 0) 到 (0, 0) 的半圆 $y = \\sqrt{2ax - x^{2}}$ ，计算", "bbox": [ 58, 614, 825, 630 ], "page_idx": 142 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int_ {L} [ e ^ {x} \\sin y - b (x + y) ] \\mathrm{d} x + (e ^ {x} \\cos y - a x) \\mathrm{d} y\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 315, 634, 678, 663 ], "page_idx": 142 }, { "type": "text", "text": "(2)L 为 $\\sin x$ 从 $(0,0)$ 到 $(\\pi,0)$ 的一段，计算：", "bbox": [ 121, 665, 457, 681 ], "page_idx": 142 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int_ {L} \\sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}} \\mathrm{d} x + y \\left[ x y + \\ln \\left(x + \\sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}\\right) \\right] \\mathrm{d} y\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 300, 684, 695, 714 ], "page_idx": 142 }, { "type": "text", "text": "(3) $L$ 为曲线 $y = \\sin x$ 从 $(0,0)$ 到 $(\\pi ,0)$ 的一段，计算", "bbox": [ 122, 717, 515, 733 ], "page_idx": 142 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int_ {L} e ^ {x} \\left[ (1 - \\cos y) \\mathrm{d} x - (y - \\sin y) \\mathrm{d} y \\right]\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 349, 736, 645, 766 ], "page_idx": 142 }, { "type": "text", "text": "解(1)显然积分本身很麻烦，考虑 $P = e^{x}\\sin y - b(x + y),Q = e^{x}\\cos y - ax$ ，则 $Q_{x} - P_{y} = b - a$ 很方便，因此考虑用Green公式把圆周补上，记 $L_{1}$ 为 $(0,0)\\rightarrow (2a,0)$ 直线。则 $I = \\int_{L + L_1} - \\int_{L_1} = \\iint_Db - a\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y - \\int_{L_1} - bx\\mathrm{d}x =$ $\\frac{1}{2}\\pi a^2 (b - a) + 2a^2 b$", "bbox": [ 89, 766, 905, 838 ], "page_idx": 142 }, { "type": "text", "text": "(2) 考虑 $Q_x - P_y = y^2 + \\frac{y + \\frac{xy}{\\sqrt{x^2 + y^2}}}{x + \\sqrt{x^2 + y^2}} - \\frac{y}{\\sqrt{x^2 + y^2}} = y^2$ ，记 $L_1$ 是 $(\\pi, 0)$ 到 $(0, 0)$ 的直线段，则 $\\int_L P \\, \\mathrm{d}x + Q \\, \\mathrm{d}y =$", "bbox": [ 121, 837, 905, 877 ], "page_idx": 142 }, { "type": "header", "text": "16.4 Green 公式", "bbox": [ 786, 55, 905, 68 ], "page_idx": 142 }, { "type": "page_number", "text": "135", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 142 }, { "type": "text", "text": "#", "bbox": [ 884, 612, 900, 624 ], "page_idx": 143 }, { "type": "text", "text": "$\\int_{\\pi}^{0}x\\mathrm{d}x = -\\frac{1}{2}\\pi^2$ ，因此：", "bbox": [ 90, 83, 275, 114 ], "page_idx": 143 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\int_ {L + L _ {1}} - \\int_ {L _ {1}} = - \\iint_ {D} y ^ {2} \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y + \\frac {1}{2} \\pi^ {2} = - \\int_ {0} ^ {\\pi} \\mathrm{d} x \\int_ {0} ^ {\\sin x} y ^ {2} \\mathrm{d} y + \\frac {1}{2} \\pi^ {2} = \\frac {1}{2} \\pi^ {2} - \\frac {4}{9}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 194, 118, 801, 151 ], "page_idx": 143 }, { "type": "text", "text": "(3) 首先 $Q_x - P_y = -ye^x$ ，记 $L_1$ 为 $(\\pi, 0) \\to (0, 0)$ 的直线，最终结果为 $\\frac{1}{5} (e^\\pi - 1)$ 。中间 $\\frac{1}{2} \\int_0^\\pi e^x \\sin^2 x \\, \\mathrm{d}x = \\frac{1}{4} \\int_0^\\pi e^x (1 - \\cos 2x) \\, \\mathrm{d}x = \\frac{1}{4} e^x \\bigg|_0^\\pi - \\frac{1}{4} \\frac{e^x}{4 + 1} (\\cos 2x + 2\\sin 2x) \\bigg|_0^\\pi$", "bbox": [ 89, 155, 905, 216 ], "page_idx": 143 }, { "type": "text", "text": "练习 16.14 一道经典题 (1) 计算 $I = \\oint_{L} \\frac{x \\, dy - y \\, dx}{x^{2} + y^{2}}$ ，其中 L 为任一不包含原点区域的边界 (包含原点情况在后面讨论)。\n解(1) 结果为 0", "bbox": [ 58, 221, 905, 282 ], "page_idx": 143 }, { "type": "text", "text": "定理 16.8 (区域面积转换为曲线积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 310, 396, 325 ], "page_idx": 143 }, { "type": "text", "text": "平面区域 $D$ 的面积为：", "bbox": [ 115, 329, 284, 343 ], "page_idx": 143 }, { "type": "equation", "text": "$$\nS _ {D} = \\iint_ {D} \\mathrm{d} S = \\frac {1}{2} \\oint_ {L} x \\mathrm{d} y - y \\mathrm{d} x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 379, 340, 616, 372 ], "page_idx": 143 }, { "type": "text", "text": "练习 16.15 曲面面积应用 计算抛物线 $(x+y)^{2}=ax(a>0)$ 与 x 轴围成的面积解结果： $\\frac{1}{6}a^{2}$ ，见华东师大课本", "bbox": [ 58, 409, 663, 449 ], "page_idx": 143 }, { "type": "text", "text": "16.4.2 内部有瑕点", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 469, 262, 486 ], "page_idx": 143 }, { "type": "text", "text": "定理 16.9 (瑕点 Green 公式)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 502, 332, 516 ], "page_idx": 143 }, { "type": "text", "text": "若 $P(x,y), Q(x,y)$ 除瑕点外满足 $Q_x - P_y = 0$ ，边界 $L$ 围成的区域 $D$ 包含瑕点 $x_0$ ，则可作包含 $x_0$ 的小区域 $D_1$ ，其边界 $L_1$ ，方向逆时针，根据 $\\int_L - \\int_{L_1} = \\iint_{D - D_1} = 0$ 得出：", "bbox": [ 114, 521, 880, 568 ], "page_idx": 143 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {L} P \\mathrm{d} x + Q \\mathrm{d} y = \\int_ {L _ {1}} P \\mathrm{d} x + Q \\mathrm{d} y\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 374, 570, 621, 601 ], "page_idx": 143 }, { "type": "text", "text": "保证 $L_{1}$ 曲线表达式的特殊性即可快速计算出结果。", "bbox": [ 114, 604, 490, 619 ], "page_idx": 143 }, { "type": "text", "text": "练习 16.16 最经典题目 重点：L 为简单封闭光滑曲线，且不经过原点，a, b > 0，计算 $I = \\oint_{L} \\frac{x \\, dy - y \\, dx}{ax^{2} + by^{2}}$ 。\n\n解 显然 P, Q 在不包含原点的区域上有连续偏导数， $P_{y} = \\frac{-(ax^{2} + by^{2}) + y \\cdot 2by}{(ax^{2} + by^{2})^{2}}$ ， $Q_{x} = \\frac{by^{2} - ax^{2}}{(ax^{2} + by^{2})^{2}}$ ，若 L 围成的区域不包含原点，则根据 $Q_{x} - P_{y} = 0$ 得到积分为 0。若 D 包含原点，考虑挖去原点的小区域，其边界 $L_{1}$ 为 $ax^{2} + by^{2} = r^{2}$ ，方向逆时针。则 $\\int_{L} P \\, dx + Q \\, dy = \\int_{L_{1}} P \\, dx + Q \\, dy = \\frac{1}{r^{2}} \\int_{L_{1}} x \\, dy - y \\, dx$ ，再次使用 Green 公式得到结果为 $\\frac{1}{r^{2}} \\iint_{D_{1}} 2 \\, dx \\, dy = \\frac{2\\pi}{\\sqrt{ab}}$ 。", "bbox": [ 58, 633, 905, 765 ], "page_idx": 143 }, { "type": "text", "text": "推论 16.2 (常用函数 1)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 775, 292, 790 ], "page_idx": 143 }, { "type": "text", "text": "若 $P_0(x_0,y_0)$ 则：", "bbox": [ 117, 795, 240, 810 ], "page_idx": 143 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\oint_ {L} \\frac {(x - x _ {0}) \\mathrm{d} y - (y - y _ {0}) \\mathrm{d} x}{a (x - x _ {0}) ^ {2} + b (y - y _ {0}) ^ {2}} = \\left\\{ \\begin{array}{l l} \\frac {2 \\pi}{\\sqrt {a b}}, & L \\text {围成的区域包含} P _ {0} \\\\ 0, & L \\text {围成的区域不包含} P _ {0} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 263, 812, 727, 865 ], "page_idx": 143 }, { "type": "header", "text": "16.4 Green 公式", "bbox": [ 786, 55, 905, 68 ], "page_idx": 143 }, { "type": "page_number", "text": "136", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 143 }, { "type": "text", "text": "练习16.17推广题1计算 $I = \\oint_{L}\\frac{(x - y)\\mathrm{d}x + (x + 4y)\\mathrm{d}y}{x^2 + 4y^2}$ ，其中 $L$ 为 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，方向逆时针解 $P_{y} = Q_{x} = \\frac{-x^{2} - 8xy + 4y^{2}}{(x^{2} + 4y^{2})^{2}}$ ，记 $L_{1}$ 为 $x^{2} + 4y^{2} = r^{2}$ ，则 $I = \\int_{L_1} P\\mathrm{d}x + Q\\mathrm{d}y = \\frac{1}{r^2}\\int_{L_1}(x - y)\\mathrm{d}x + (x + 4y)\\mathrm{d}y,$ 再用Green公式得到 $I = \\frac{1}{r^2}\\iint_{D_1}2\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y = \\frac{2}{r^2}\\cdot \\frac{\\pi r^2}{2} = \\pi$", "bbox": [ 60, 82, 905, 175 ], "page_idx": 144 }, { "type": "text", "text": "推论 16.3 (常用函数 2)", "text_level": 2, "bbox": [ 124, 185, 290, 200 ], "page_idx": 144 }, { "type": "text", "text": "$c_{1},c_{2}>0$ 时， $a_{2}=-b_{1},\\frac{a_{1}}{c_{1}}=\\frac{b_{2}}{c_{2}}$ 有：", "bbox": [ 114, 206, 389, 235 ], "page_idx": 144 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\oint_ {L} \\frac {\\left(a _ {1} x + a _ {2} y\\right) \\mathrm{d} x + \\left(b _ {1} x + b _ {2} y\\right) \\mathrm{d} y}{c _ {1} x ^ {2} + c _ {2} y ^ {2}} = \\left\\{ \\begin{array}{l l} \\frac {2 b _ {1} \\pi}{\\sqrt {c _ {1} c _ {2}}}, & L \\text {围成区域包含原点} \\\\ 0, & L \\text {围成区域不包含原点} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 233, 236, 757, 288 ], "page_idx": 144 }, { "type": "text", "text": "引理 16.1 (推广椭圆面积)", "text_level": 2, "bbox": [ 124, 332, 312, 349 ], "page_idx": 144 }, { "type": "text", "text": "设 $a, c > 0, ac - b^2 > 0$ ，考虑 $ax^2 + 2bxy + cy^2 = 1$ ，则该曲线为椭圆，围成的面积为 $\\frac{\\pi}{\\sqrt{ac - b^2}}$", "bbox": [ 114, 351, 818, 384 ], "page_idx": 144 }, { "type": "text", "text": "证明写为 $a(x + \\frac{b}{a} y)^2 +(c - \\frac{b^2}{a})y^2 = 1$ ，等价于 $\\frac{x^2}{1 / a} +\\frac{y^2}{a / (ac - b^2)} = 1$ ，根据椭圆面积公式 $(\\pi \\cdot ab)$ 得到 $\\frac{\\pi}{\\sqrt{ac - b^2}}$ 练习16.18推广题2重点：计算 $I = \\oint_{L}\\frac{x\\mathrm{d}y - y\\mathrm{d}x}{x^{2} + xy + y^{2}}$ ， $L$ 是圆周 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，逆时针方向。", "bbox": [ 62, 391, 902, 451 ], "page_idx": 144 }, { "type": "text", "text": "解分母即 $(x + \\frac{1}{2} y)^2 +\\frac{3}{4} y^2 = 0$ ，若分母为0，则 $x = y = 0$ 。 $P_{y} = Q_{x} = \\frac{y^{2} - x^{2}}{(x^{2} + xy + y^{2})^{2}}$ ，取 $L_{1}$ 为 $x^{2} + xy + y^{2} = r^{2}$ 该图形为椭圆，面积为 $\\frac{2\\pi r^2}{\\sqrt{3}}$ ，使用Green公式得到结果为 $\\frac{4\\pi}{\\sqrt{3}}$", "bbox": [ 84, 450, 905, 514 ], "page_idx": 144 }, { "type": "text", "text": "推论 16.4 (常用函数 3)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 523, 290, 538 ], "page_idx": 144 }, { "type": "text", "text": "若 $a, b, c$ 满足 $a, c > 0, ac - b^2 > 0$ ，则", "bbox": [ 115, 543, 396, 558 ], "page_idx": 144 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\oint_ {L} \\frac {x \\mathrm{d} y - y \\mathrm{d} x}{a x ^ {2} + 2 b x y + c y ^ {2}} = \\frac {2 \\pi}{\\sqrt {a c - b ^ {2}}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 374, 561, 621, 592 ], "page_idx": 144 }, { "type": "text", "text": "练习 16.19 其他形式 L 为不过原点的简单光滑封闭曲线，计算：", "bbox": [ 58, 630, 557, 645 ], "page_idx": 144 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\oint_ {L} {\\frac {e ^ {y}}{x ^ {2} + y ^ {2}}} \\left[ (x \\sin x + y \\cos x) \\mathrm{d} x + (y \\sin x - x \\cos x) \\mathrm{d} y \\right]\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 278, 646, 717, 677 ], "page_idx": 144 }, { "type": "text", "text": "16.4.3 曲线积分与路径无关性", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 695, 363, 713 ], "page_idx": 144 }, { "type": "text", "text": "定理 16.10 (路径无关性)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 728, 302, 743 ], "page_idx": 144 }, { "type": "text", "text": "D 为单连通区域, 若 $P(x,y)$ , $Q(x,y)$ 在 D 连续且有一阶连续偏导, L 为 D 内任意按段光滑曲线则 $\\int_{L} P \\, dx + Q \\, dy$ 与路径无关当且仅当:", "bbox": [ 114, 750, 880, 791 ], "page_idx": 144 }, { "type": "text", "text": "\\- $D$ 内处处有 $P_{y} = Q_{x}$", "bbox": [ 139, 795, 314, 810 ], "page_idx": 144 }, { "type": "text", "text": "\\- $D$ 内任意按段光滑闭合曲线 $L$ , 有 $\\oint_{L} P \\mathrm{~d} x + Q \\mathrm{~d} y = 0$", "bbox": [ 139, 809, 556, 837 ], "page_idx": 144 }, { "type": "text", "text": "\\- $D$ 内存在原函数 $u(x,y)$ 使得 $\\mathrm{du} = P\\mathrm{dx} + Q\\mathrm{dy}$", "bbox": [ 139, 837, 502, 852 ], "page_idx": 144 }, { "type": "header", "text": "16.4 Green 公式", "bbox": [ 786, 55, 905, 68 ], "page_idx": 144 }, { "type": "page_number", "text": "137", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 144 }, { "type": "text", "text": "第 17 章 曲面积分", "text_level": 2, "bbox": [ 389, 87, 625, 111 ], "page_idx": 145 }, { "type": "text", "text": "17.1 曲面的面积", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 145, 278, 165 ], "page_idx": 145 }, { "type": "text", "text": "定理 17.1 (曲面面积公式)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 186, 312, 200 ], "page_idx": 145 }, { "type": "text", "text": "$D$ 是可求面积平面有界区域， $z = f(x,y)$ 在 $D$ 上有连续一阶偏导，则曲面 $z = f(x,y),(x,y)\\in D$ 的面积为：", "bbox": [ 114, 205, 882, 237 ], "page_idx": 145 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\Delta S = \\iint_ {D} \\sqrt {1 + f _ {x} ^ {2} + f _ {y} ^ {2}} \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 386, 237, 610, 267 ], "page_idx": 145 }, { "type": "text", "text": "定理 17.2 (参数方程曲面面积)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 291, 344, 306 ], "page_idx": 145 }, { "type": "text", "text": "$D$ 为可求面积平面有界区域， $x = x(u,v),y = y(u,v),z = z(u,v)$ 在 $D$ 上有连续一阶偏导，则曲面 $\\mathbf{r}(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ 的面积公式为：", "bbox": [ 112, 311, 880, 346 ], "page_idx": 145 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\Delta S = \\iint_ {D} \\sqrt {E G - F ^ {2}} \\mathrm{d} u \\mathrm{d} v, \\left\\{ \\begin{array}{l} E = x _ {u} ^ {2} + y _ {u} ^ {2} + z _ {u} ^ {2} \\\\ F = x _ {u} x _ {v} + y _ {u} y _ {v} + z _ {u} z _ {v} \\\\ G = x _ {v} ^ {2} + y _ {v} ^ {2} + z _ {v} ^ {2} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 285, 350, 690, 416 ], "page_idx": 145 }, { "type": "text", "text": "练习17.1曲面面积计算(1)证明 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ 的表面积为 $4\\pi R^2$ 解(1)考虑上半平面 $z = \\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}$ ， $D$ 为 $x^{2} + y^{2} \\leq R^{2}$ ，则 $z_x = -\\frac{x}{z}, z_y = -\\frac{y}{z}$ ，因此 $\\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} = \\frac{R}{z}$ 。得到球面面积为", "bbox": [ 60, 455, 905, 507 ], "page_idx": 145 }, { "type": "equation", "text": "$$\nS = 2 \\iint_ {D} \\frac {R}{z} \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y = 2 \\int_ {0} ^ {R} \\mathrm{d} r \\int_ {0} ^ {2 \\pi} \\frac {R}{\\sqrt {R ^ {2} - r ^ {2}}} r \\mathrm{d} \\theta = 4 \\pi R \\sqrt {R ^ {2} - r ^ {2}} \\bigg | _ {R} ^ {0} = 4 \\pi R ^ {2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 216, 508, 778, 545 ], "page_idx": 145 }, { "type": "text", "text": "笔记 对于 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ ，有 $\\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} = \\frac{a}{z}$ ，这个结论在计算球面曲面积分时经常用到！", "bbox": [ 55, 549, 798, 574 ], "page_idx": 145 }, { "type": "text", "text": "17.2 第一型曲面积分", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 595, 324, 615 ], "page_idx": 145 }, { "type": "text", "text": "17.2.1 基本概念与计算公式", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 634, 342, 651 ], "page_idx": 145 }, { "type": "text", "text": "定义 17.1 (第一型曲面积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 665, 329, 681 ], "page_idx": 145 }, { "type": "text", "text": "$S$ 为光滑曲面片，对 $S$ 做分割 $S = \\{\\Delta S_1, \\dots, \\Delta S_n\\}$ ，记 $\\| \\Delta \\| = \\max \\{s(\\Delta S_i)\\}$ ，则定义", "bbox": [ 114, 686, 757, 702 ], "page_idx": 145 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\iint_ {S} f (x, y, z) \\mathrm{d} S = \\lim _ {| | \\Delta | | \\rightarrow 0} \\sum_ {i = 1} ^ {n} f (x _ {i}, y _ {i}, z _ {i}) \\Delta S _ {i}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 334, 707, 662, 741 ], "page_idx": 145 }, { "type": "text", "text": "定理 17.3 (投影法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 766, 260, 783 ], "page_idx": 145 }, { "type": "text", "text": "若 $S$ 可表示为 $z = z(x,y),(x,y)\\in D$ ，则", "bbox": [ 115, 787, 421, 803 ], "page_idx": 145 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\iint_ {S} f (x, y, z) \\mathrm{d} S = \\iint_ {D} f (x, y, z (x, y)) \\sqrt {1 + (\\frac {\\partial z}{\\partial x}) ^ {2} + (\\frac {\\partial z}{\\partial y}) ^ {2}} \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 265, 809, 731, 844 ], "page_idx": 145 }, { "type": "text", "text": "定理 17.4 (球坐标变换结论)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 86, 327, 101 ], "page_idx": 146 }, { "type": "text", "text": "对于球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ ，令 $z = \\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ ，则得到", "bbox": [ 114, 107, 564, 124 ], "page_idx": 146 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\sqrt {1 + z _ {x} ^ {2} + z _ {y} ^ {2}} = \\frac {a}{z}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 428, 128, 566, 154 ], "page_idx": 146 }, { "type": "text", "text": "证明 直接计算可验证", "bbox": [ 90, 172, 255, 187 ], "page_idx": 146 }, { "type": "text", "text": "笔记 球面可以使用投影法或极坐标，本质上两者都可以用，而且相差不大。", "bbox": [ 87, 191, 643, 205 ], "page_idx": 146 }, { "type": "text", "text": "练习17.2投影法(1)计算 $\\iint_{S} \\frac{\\mathrm{d} S}{z}$ ，其中 $S$ 是球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ 被平面 $z = h$ 所截的顶部。", "bbox": [ 58, 219, 786, 250 ], "page_idx": 146 }, { "type": "text", "text": "(2) 计算 $A = \\int_{S} (x + y + z) \\, \\mathrm{d}S$ ，这里 $S$ 表示 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} (z \\geq 0)$ ，即球上表面", "bbox": [ 122, 252, 737, 278 ], "page_idx": 146 }, { "type": "text", "text": "解(1)做投影法 $z = \\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ ，积分变为 $\\iint_{D} \\frac{a}{z^2} \\, \\mathrm{d}x \\, \\mathrm{d}y = \\iint_{D} \\frac{a}{a^2 - x^2 - y^2} \\, \\mathrm{d}x \\, \\mathrm{d}y$ ，做极坐标变换得到", "bbox": [ 87, 277, 858, 307 ], "page_idx": 146 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\int_ {0} ^ {2 \\pi} \\mathrm{d} \\theta \\int_ {0} ^ {\\sqrt {a ^ {2} - h ^ {2}}} \\frac {a}{a ^ {2} - r ^ {2}} r \\mathrm{d} r = 2 \\pi a \\ln \\frac {a}{h}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 349, 311, 647, 344 ], "page_idx": 146 }, { "type": "text", "text": "(2) 根据对称性只剩一项，即 $A = \\iint_{S} z \\, \\mathrm{d}S$ ，因此根据 $z = \\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ 代入计算得到：", "bbox": [ 122, 348, 771, 378 ], "page_idx": 146 }, { "type": "equation", "text": "$$\nA = \\iint_ {x ^ {2} + y ^ {2} \\leq a ^ {2}} z \\cdot \\frac {a}{z} \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y = \\iint_ {x ^ {2} + y ^ {2} \\leq a ^ {2}} a \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y = a ^ {3} \\pi\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 300, 381, 692, 413 ], "page_idx": 146 }, { "type": "text", "text": "定理 17.5 (参数方程法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 432, 295, 448 ], "page_idx": 146 }, { "type": "text", "text": "若 $S$ 由参数方程 $x(u,v),y(u,v),z(u,v)$ 给出， $(u,v)\\in D$ ，则", "bbox": [ 115, 453, 564, 469 ], "page_idx": 146 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\iint_ {S} f (x, y, z) \\mathrm{d} S = \\iint_ {D} f [ x (u, v), y (u, v), z (u, v) ] \\sqrt {E G - F ^ {2}} \\mathrm{d} u \\mathrm{d} v, \\text {其中:} \\left\\{ \\begin{array}{l l} E = x _ {u} ^ {2} + y _ {u} ^ {2} + z _ {u} ^ {2} \\\\ F = x _ {u} x _ {v} + y _ {u} y _ {v} + z _ {u} z _ {v} \\\\ G = x _ {v} ^ {2} + y _ {v} ^ {2} + z _ {v} ^ {2} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 124, 473, 850, 539 ], "page_idx": 146 }, { "type": "text", "text": "定理 17.6 (球坐标极坐标变换)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 565, 344, 580 ], "page_idx": 146 }, { "type": "text", "text": "对于球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ ，令 $x = a\\sin \\varphi \\cos \\theta ,y = a\\sin \\varphi \\sin \\theta ,z = a\\cos \\varphi$ ，则", "bbox": [ 114, 586, 712, 602 ], "page_idx": 146 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\left\\{ \\begin{array}{l l} E = a ^ {2} \\sin^ {2} \\varphi \\\\ F = 0 & \\Rightarrow \\sqrt {E G - F ^ {2}} = a ^ {2} \\sin \\varphi \\\\ G = a ^ {2} \\end{array} \\right.\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 339, 606, 660, 671 ], "page_idx": 146 }, { "type": "text", "text": "练习17.3参数方程法(1)重点：计算 $I = \\iint_{S}\\frac{\\mathrm{d}S}{\\sqrt{x^2 + y^2 + (z + a)^2}}$ ，其中 $S$ 为 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}(z\\geq 0)$ 解(1)采用球坐标变换，积分变为 $I = \\iint_{S'}\\frac{a^2\\sin\\varphi}{\\sqrt{a^2\\sin^2\\varphi + a^2(\\cos\\varphi + 1)^2}}\\mathrm{d}\\theta \\mathrm{d}\\varphi$ ，区域为 $\\varphi \\in [0,\\frac{\\pi}{2}],\\theta \\in [0,2\\pi ]$ ，进一步化简得到： $I = \\iint_{S'}\\frac{-a\\sin\\varphi}{\\sqrt{2}\\sqrt{1 + \\cos\\varphi}}\\mathrm{d}\\theta \\mathrm{d}\\varphi = -\\sqrt{2}\\pi a\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}\\frac{\\mathrm{d}(\\cos\\varphi)}{\\sqrt{1 + \\cos\\varphi}} = 4\\pi a - 2\\sqrt{2}\\pi a$", "bbox": [ 58, 705, 902, 822 ], "page_idx": 146 }, { "type": "text", "text": "17.2.2 使用对称性", "bbox": [ 95, 841, 263, 857 ], "page_idx": 146 }, { "type": "text", "text": "练习17.4积分曲面对称(1)计算 $\\iint_{S} (x + \\sin yz) \\mathrm{d}S$ ，其中 $S$ 为球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$", "bbox": [ 58, 866, 719, 898 ], "page_idx": 146 }, { "type": "page_number", "text": "139", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 146 }, { "type": "header", "text": "17.2 第一型曲面积分", "bbox": [ 747, 54, 904, 68 ], "page_idx": 146 }, { "type": "text", "text": "(2) $\\iint_{S} (x + y + z)^{3} \\mathrm{d} S$ ，其中 $S$ 为 $|x| + |y| + |z| = 1$ 解(1)根据 $S$ 关于 $yz$ 平面对称得到 $\\iint_{S}x\\mathrm{d}s = 0$ ，根据 $S$ 关于 $xz$ 平面对称得到 $\\iint_{S}\\sin yz\\mathrm{d}s = 0$ (2)根据关于原点中心对称性得到为0。", "bbox": [ 122, 82, 500, 112 ], "page_idx": 147 }, { "type": "text", "text": "", "bbox": [ 89, 110, 794, 149 ], "page_idx": 147 }, { "type": "text", "text": "(2) 根据关于原点中心对称性得到为 0。", "bbox": [ 122, 139, 408, 153 ], "page_idx": 147 }, { "type": "text", "text": "练习17.5轮换对称性(1)计算 $I = \\iint_{S}x^{2}\\mathrm{d}S$ 与 $J = \\iint xy\\mathrm{d}S$ ，其中 $S$ 为球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ 解(1)由于 $S$ 有轮换对称性，得到 $I = \\frac{1}{3}\\iint_{S}x^{2} + y^{2} + z^{2}\\mathrm{d}S = \\frac{4}{3}\\pi a^4$ 。 $J$ 没必要考虑轮换对称性，由于 $S$ 关于 $yz$ 平面对称，因此 $J = 0$ 。", "bbox": [ 58, 167, 905, 241 ], "page_idx": 147 }, { "type": "text", "text": "17.3 第二型曲面积分", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 266, 324, 286 ], "page_idx": 147 }, { "type": "text", "text": "17.3.1 基本概念、投影法、参数方程法", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 305, 443, 322 ], "page_idx": 147 }, { "type": "text", "text": "定义 17.2 (第二型曲面积分)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 337, 329, 353 ], "page_idx": 147 }, { "type": "text", "text": "对于向量场 $F(x,y,z) = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ ，其通过曲面 $S$ 的通量定义为第二型曲面积分(向外为正):", "bbox": [ 112, 357, 880, 391 ], "page_idx": 147 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\iint_ {S} P (x, y, z) \\mathrm{d} y \\mathrm{d} z + Q (x, y, z) \\mathrm{d} z \\mathrm{d} x + R (x, y, z) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 304, 388, 692, 420 ], "page_idx": 147 }, { "type": "text", "text": "定理 17.7 (投影法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 442, 262, 457 ], "page_idx": 147 }, { "type": "text", "text": "若曲面 $S$ 的方程为 $z = z(x,y)$ ，在 $xy$ 平面投影区域为 $D_{xy}$ ，则", "bbox": [ 115, 462, 584, 478 ], "page_idx": 147 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\iint_ {S} R (x, y, z) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y = \\pm \\iint_ {D _ {x y}} R (x, y, z (x, y)) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 315, 482, 680, 512 ], "page_idx": 147 }, { "type": "text", "text": "正负取决于 $S$ 的法向量与 $z$ 轴正向的夹角，若锐角则取正，钝角取负，直角积分为0。", "bbox": [ 115, 516, 747, 531 ], "page_idx": 147 }, { "type": "text", "text": "笔记 若曲面 $S$ 为 $z = a$ 的一部分，则 $\\iint_{S} P \\, \\mathrm{d}y \\, \\mathrm{d}z + Q \\, \\mathrm{d}z \\, \\mathrm{d}x + R \\, \\mathrm{d}x \\, \\mathrm{d}y = \\iint_{S} R(x, y, z) \\, \\mathrm{d}x \\, \\mathrm{d}y = \\pm \\iint_{D} R(x, y, a) \\, \\mathrm{d}x \\, \\mathrm{d}y$ 。若计算 $\\mathrm{d}y \\, \\mathrm{d}z, \\mathrm{d}z \\, \\mathrm{d}x$ ，则需要考虑在 $yz, zx$ 平面的投影", "bbox": [ 87, 542, 905, 587 ], "page_idx": 147 }, { "type": "text", "text": "练习17.6投影法练习(1)计算 $\\iint_{S}xyz\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y$ ，其中 $S$ 是球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 在 $x\\geq 0,y\\geq 0$ 部分，且取球面外侧(2)考虑 $S$ 为 $x = y = z = 0,x = y = z = a$ 六个平面所围成的立方体表面，外侧为正，计算：", "bbox": [ 58, 604, 905, 645 ], "page_idx": 147 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\iint_ {S} (x y - y z) \\mathrm{d} y \\mathrm{d} z + x ^ {2} \\mathrm{d} z \\mathrm{d} x + (y ^ {2} + x z) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 329, 648, 665, 677 ], "page_idx": 147 }, { "type": "text", "text": "解(1)积分等于 $2\\iint_{D_{xy}}xy\\sqrt{1 - x^2 - y^2}\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y = 2\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}}\\mathrm{d}\\theta \\int_0^1 r^3\\cos \\theta \\sin \\theta \\sqrt{1 - r^2}\\mathrm{d}r = \\frac{2}{15}$", "bbox": [ 87, 678, 742, 713 ], "page_idx": 147 }, { "type": "text", "text": "(2) 可以用 Gauss 公式，也可以一个一个考虑。例如考虑 $z = a$ 平面 $S_{1}$ ，即 $\\iint_{S_1}(y^2 + xz)\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y = \\iint_D(y^2 + ax)\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y = \\frac{5}{6} a^4$ ，其余同理。", "bbox": [ 89, 714, 905, 769 ], "page_idx": 147 }, { "type": "text", "text": "定理 17.8 (参数方程法)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 790, 295, 804 ], "page_idx": 147 }, { "type": "text", "text": "若 $S$ 可表示为参数方程 $x = x(u,v),y = y(u,v),z = z(u,v),(u,v) \\in D$ ，记 $A = \\left|\\frac{\\partial(y,z)}{\\partial(u,v)}\\right|,B = \\left|\\frac{\\partial(z,x)}{\\partial(u,v)}\\right|,C = \\left|\\frac{\\partial(x,y)}{\\partial(u,v)}\\right|$ ，则", "bbox": [ 114, 810, 882, 871 ], "page_idx": 147 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\iint_ {S} P \\mathrm{d} y \\mathrm{d} z + Q \\mathrm{d} z \\mathrm{d} x + R \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y = \\pm \\iint_ {D} (P A + Q B + R C) \\mathrm{d} u \\mathrm{d} v\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 268, 873, 727, 904 ], "page_idx": 147 }, { "type": "header", "text": "17.3 第二型曲面积分", "bbox": [ 747, 55, 902, 68 ], "page_idx": 147 }, { "type": "page_number", "text": "140", "bbox": [ 485, 953, 512, 965 ], "page_idx": 147 }, { "type": "text", "text": "若向量 $(A, B, C)$ 与 $S$ 法向量方向一致则取正，否则取负。", "bbox": [ 114, 95, 541, 111 ], "page_idx": 148 }, { "type": "text", "text": "练习17.7参数方程法(1) $S$ 为 $\\frac{x^2}{a^2} +\\frac{y^2}{b^2} +\\frac{z^2}{c^2} = 1$ 上半部并取外侧，计算 $\\iint_{S}x^{3}\\mathrm{d}y\\mathrm{d}z$ 解", "bbox": [ 58, 139, 705, 186 ], "page_idx": 148 }, { "type": "text", "text": "17.3.2 利用对称性", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 208, 263, 225 ], "page_idx": 148 }, { "type": "text", "text": "以 $\\iint_{S} R(x, y, z) \\mathrm{d}x \\mathrm{~d}y$ 为例， $\\mathrm{d}x \\mathrm{~d}y$ 的正负取决于对称点处 $S$ 外法向量与 $z$ 轴正向的夹角，结合 $R(x, y, z)$ 关于 $xy$ 平面或者原点的对称性可分解 $S$ 上的曲面积分， $\\mathrm{d}y \\mathrm{~d}z$ 与 $\\mathrm{d}z \\mathrm{~d}x$ 同理。", "bbox": [ 90, 237, 905, 280 ], "page_idx": 148 }, { "type": "text", "text": "练习 17.8 方向判断训练 设 $S: |x| + |y| + |z| = 1$ ，方向朝外，判断下面哪些积分值为 0:", "bbox": [ 58, 300, 734, 316 ], "page_idx": 148 }, { "type": "text", "text": "(1) $\\iint_{S} z \\, \\mathrm{d}x \\, \\mathrm{d}y$ (2) $\\iint_{S} x^{2} \\sin y \\, \\mathrm{d}x \\, \\mathrm{d}y$ (3) $\\iint_{S} y^{2} \\sin z \\, \\mathrm{d}x \\, \\mathrm{d}y$ (4) $\\iint_{S} \\sin x \\sin^{2} y \\sin^{3} z \\, \\mathrm{d}x \\, \\mathrm{d}y$", "bbox": [ 176, 319, 818, 350 ], "page_idx": 148 }, { "type": "text", "text": "解(1)关于 $xy$ 平面对称， $z$ 相反，由于法向量与 $z$ 轴正向夹角相反， $\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y$ 也为负，因此非零", "bbox": [ 89, 351, 774, 367 ], "page_idx": 148 }, { "type": "text", "text": "(2) 关于 $xz$ 平面对称， $\\sin y$ 相反， $\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y$ 为正，因此积分为0", "bbox": [ 122, 370, 574, 385 ], "page_idx": 148 }, { "type": "text", "text": "(3) 无论怎么考虑都非零", "bbox": [ 122, 388, 304, 403 ], "page_idx": 148 }, { "type": "text", "text": "(4) 考虑 yz， $\\sin x$ 相反，dxdy 为正，因此积分为 0。", "bbox": [ 122, 407, 507, 423 ], "page_idx": 148 }, { "type": "text", "text": "练习 17.9 基本计算 (1) 计算 $I_{1} = \\iint_{S} z \\, dx \\, dy, I_{2} = \\iint_{S} z^{2} \\, dx \\, dy$ ，其中 S 为球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ ，方向取外侧解 (1) $I_{2}$ 考虑关于 xy 平面对称， $z^{2}$ 相等，dx dy 相反，因此积分为 0。 $I_{1}$ 可转换为两倍的上半球面， $I_{1} = 2 \\iint_{S_{1}} z \\, dx \\, dy$ ，由于 $z = \\sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}}$ ， $D : x^{2} + y^{2} \\leq a^{2}$ ，因此", "bbox": [ 58, 437, 905, 514 ], "page_idx": 148 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI _ {1} = \\iint_ {D} \\sqrt {a ^ {2} - x ^ {2} - y ^ {2}} \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y = 2 \\int_ {0} ^ {a} \\mathrm{d} r \\int_ {0} ^ {2 \\pi} \\sqrt {a ^ {2} - r ^ {2}} r \\mathrm{d} \\theta = \\frac {4 \\pi a ^ {3}}{3}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 252, 514, 742, 548 ], "page_idx": 148 }, { "type": "text", "text": "17.3.3 两类曲面积分的联系", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 567, 344, 583 ], "page_idx": 148 }, { "type": "text", "text": "定理 17.9 (两类曲面积分的联系)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 600, 363, 615 ], "page_idx": 148 }, { "type": "text", "text": "$S$ 为光滑曲面，正侧单位法向量 $\\mathbf{n} = (\\cos \\alpha, \\cos \\beta, \\cos \\gamma)$ ，则 $\\cos \\alpha \\mathrm{d}S = \\mathrm{d}y \\mathrm{d}z, \\cos \\beta \\mathrm{d}S = \\mathrm{d}z \\mathrm{d}x, \\cos \\gamma \\mathrm{d}S = \\mathrm{d}x \\mathrm{d}y$ ，即", "bbox": [ 112, 619, 882, 653 ], "page_idx": 148 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\iint_ {S} P \\mathrm{d} y \\mathrm{d} z + Q \\mathrm{d} z \\mathrm{d} x + R \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y = \\iint_ {S} (P \\cos \\alpha + Q \\cos \\beta + R \\cos \\gamma) \\mathrm{d} S\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 247, 650, 749, 681 ], "page_idx": 148 }, { "type": "text", "text": "笔记对一般曲面 $F(x,y,z) = 0$ ，其梯度 $(F_{x},F_{y},F_{z})$ 就是曲面法向量，因此单位法向量的计算方式为：", "bbox": [ 87, 699, 838, 715 ], "page_idx": 148 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\mathbf {n} = \\pm \\frac {1}{\\sqrt {F _ {x} ^ {2} + F _ {y} ^ {2} + F _ {z} ^ {2}}} (F _ {x}, F _ {y}, F _ {z})\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 366, 719, 628, 757 ], "page_idx": 148 }, { "type": "text", "text": "练习17.10重新计算第二型曲面积分(1)重新计算 $\\iint_{S}xyz\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y$ ，其中 $S$ 是球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 在 $x\\geq 0,y\\geq 0$ 部分，方向朝外解(1)法向量 $\\mathbf{n} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} (1,1,1)$ ，因此可以转换为第一型曲面积分：", "bbox": [ 58, 763, 907, 833 ], "page_idx": 148 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\iint_ {S} x y z \\cdot x \\cdot \\frac {a}{z} \\mathrm{d} S = 2 \\iint_ {D} r ^ {4} \\cos^ {2} \\theta \\sin \\theta \\mathrm{d} r \\mathrm{d} \\theta = \\frac {2}{1 5}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 315, 835, 680, 866 ], "page_idx": 148 }, { "type": "text", "text": "这里乘上2的原因是关于 $z$ 正负有两块。", "bbox": [ 90, 869, 389, 884 ], "page_idx": 148 }, { "type": "header", "text": "17.3 第二型曲面积分", "bbox": [ 747, 54, 904, 68 ], "page_idx": 148 }, { "type": "page_number", "text": "141", "bbox": [ 485, 954, 510, 965 ], "page_idx": 148 }, { "type": "text", "text": "练习 17.11 用曲面积分联系计算第二型曲面积分 S 为 $x + y + z = 1$ 在 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4x$ 内部的部分，取上侧为正，计算：", "bbox": [ 58, 84, 905, 117 ], "page_idx": 149 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\iint_ {S} y \\mathrm{d} y \\mathrm{d} z + z \\mathrm{d} z \\mathrm{d} x + x \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 374, 114, 621, 146 ], "page_idx": 149 }, { "type": "text", "text": "解 (1) 已知 $F(x, y, z) = x + y + z - 1$ ，则梯度为 $\\nabla F = (1, 1, 1)$ ，单位法向量 $\\mathbf{n} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}(1, 1, 1)$ ，因此 $I = \\iint_{S} \\frac{1}{\\sqrt{3}}(x + y + z) dS = \\frac{1}{\\sqrt{3}} S$ ，计算截面圆面积即可，结果为 $\\frac{11}{3\\sqrt{3}}\\pi$", "bbox": [ 87, 153, 907, 212 ], "page_idx": 149 }, { "type": "text", "text": "17.4 Gauss 公式", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 233, 275, 252 ], "page_idx": 149 }, { "type": "text", "text": "17.4.1 Gauss 公式与基本使用", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 272, 359, 288 ], "page_idx": 149 }, { "type": "text", "text": "定理 17.10 (Gauss 公式)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 304, 304, 319 ], "page_idx": 149 }, { "type": "text", "text": "$V \\subset \\mathbb{R}^3$ 是有界闭区域， $V$ 边界是分片光滑的曲面 $S$ ， $P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 在 $V$ 内有连续偏导，则", "bbox": [ 112, 324, 882, 357 ], "page_idx": 149 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\oiint_ {S _ {\\text {外}}} P \\mathrm{d} y \\mathrm{d} z + Q \\mathrm{d} z \\mathrm{d} x + R \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y = \\iiint_ {V} (\\frac {\\partial P}{\\partial x} + \\frac {\\partial Q}{\\partial y} + \\frac {\\partial R}{\\partial z}) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y \\mathrm{d} z\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 258, 354, 737, 387 ], "page_idx": 149 }, { "type": "text", "text": "笔记 使用 Gauss 公式需要保证 V 内任意位置，P, Q, R 都有连续偏导。", "bbox": [ 85, 407, 603, 423 ], "page_idx": 149 }, { "type": "text", "text": "练习 17.12 补面计算 (1) 东南大学 2022: 计算 $I = \\iint_{S} \\frac{(z + 1)\\mathrm{d}y\\mathrm{d}z + (y + 1)\\mathrm{d}z\\mathrm{d}x + (x + 1)\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ ，其中 S 为 $z = \\sqrt{9 - x^{2} - y^{2}}$ 曲面，取下侧\n\n解 (1) 补面 $S_{1} = \\{z = 0, x^{2} + y^{2} \\leq 9\\}$ ，方向朝上，则 $I = \\frac{1}{9}I_{1} - \\frac{1}{9}I_{2} = \\frac{1}{9}\\iint_{S + S_{1}} - \\frac{1}{9}\\iint_{S_{1}}$ ，根据 Gauss 公式计算 $I_{1}$ :", "bbox": [ 58, 437, 905, 525 ], "page_idx": 149 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI _ {1} = - \\iiint_ {V} (0 + 1 + 0) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y \\mathrm{d} z = - 1 8 \\pi\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 352, 526, 642, 556 ], "page_idx": 149 }, { "type": "text", "text": "计算 $I_{2}$ ，由于在平面上，曲面积分直接变为二重积分，且 dz=0，：", "bbox": [ 89, 558, 586, 574 ], "page_idx": 149 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI _ {2} = \\iint_ {x ^ {2} + y ^ {2} \\leq 9} (x + 1) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y = \\int_ {0} ^ {2 \\pi} \\mathrm{d} \\theta \\int_ {0} ^ {3} r ^ {2} \\cos + r \\mathrm{d} r = 9 \\pi\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 280, 577, 715, 609 ], "page_idx": 149 }, { "type": "text", "text": "因此结果为 $I = \\frac{1}{9} (-18\\pi - 9\\pi) = -3\\pi$", "bbox": [ 90, 613, 374, 639 ], "page_idx": 149 }, { "type": "text", "text": "练习 17.13 菱形区域：变量替换！(1) 重点：S 为封闭曲面 $|x - y + z| + |y - z + x| + |z - x + y| = 1$ ，方向朝外，计算 $I = \\iint_{S} (x + y - z) \\, \\mathrm{d}y \\, \\mathrm{d}z + [2y + \\sin(z + x)] \\, \\mathrm{d}z \\, \\mathrm{d}x + (3z + e^{x + y}) \\, \\mathrm{d}x \\, \\mathrm{d}y$", "bbox": [ 58, 637, 905, 680 ], "page_idx": 149 }, { "type": "text", "text": "(2)(东北师大) 求 $I = \\iint_{S} (x + \\cos(y - z)) \\, \\mathrm{d}y \\, \\mathrm{d}z + (2y + e^{x + z}) \\, \\mathrm{d}z \\, \\mathrm{d}x + (3z + \\sin(x - y) \\, \\mathrm{d}x \\, \\mathrm{d}y)$ ，这里 $S$ 为封闭曲面，方向取外侧", "bbox": [ 89, 683, 905, 722 ], "page_idx": 149 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\vert x - y + z \\vert + \\vert y - z + x \\vert + \\vert z - x + y \\vert = 1\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 342, 726, 653, 741 ], "page_idx": 149 }, { "type": "text", "text": "解(1)使用 Gauss 公式即 $I=\\iiint_{V}(1+2+3)\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y\\mathrm{d}z$ ，考虑坐标变换 $u=x-y+z, v=y-z+x, w=z-x+y$ ，即 $|u|+|v|+|w|\\leq1$ ，而 $\\frac{\\partial(u,v,w)}{\\partial(x,y,z)}=4$ ，因此 $J=\\frac{\\partial(x,y,z)}{\\partial(u,v,w)}=\\frac{1}{4}$ ，因此 $I=\\iint_{V'}\\frac{3}{2}\\mathrm{d}u\\mathrm{d}v\\mathrm{d}w=2$ ，这里 $V'=\\frac{4}{3}$ 是个锥体。", "bbox": [ 89, 750, 905, 820 ], "page_idx": 149 }, { "type": "text", "text": "(2) 使用 Gauss 公式即 $I = \\iiint_{V} 6 \\mathrm{~d} V$ ，使用坐标变换", "bbox": [ 121, 816, 505, 848 ], "page_idx": 149 }, { "type": "equation", "text": "$$\nu = x + z - y, v = y + x - z, w = y + z - x\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 336, 850, 660, 863 ], "page_idx": 149 }, { "type": "text", "text": "得到 $\\frac{\\partial(u,v,w)}{\\partial(x,y,z)} = 4$ ，即 $\\frac{\\partial(x,y,z)}{\\partial(u,v,w)} = \\frac{1}{4}$ ，积分区域为 $|u| + |v| + |w|\\leq 1$ ，分为8个小锥体，每个锥体体积 $\\frac{1}{6}$ ，因", "bbox": [ 90, 865, 905, 896 ], "page_idx": 149 }, { "type": "page_number", "text": "142", "bbox": [ 485, 953, 512, 964 ], "page_idx": 149 }, { "type": "header", "text": "17.4 Gauss 公式", "bbox": [ 786, 55, 905, 68 ], "page_idx": 149 }, { "type": "text", "text": "此最终结果为:", "bbox": [ 90, 85, 205, 99 ], "page_idx": 150 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\frac {3}{2} \\times 8 \\times \\frac {1}{6} = 2\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 425, 96, 571, 124 ], "page_idx": 150 }, { "type": "text", "text": "17.4.2 内部有瑕点", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 142, 263, 159 ], "page_idx": 150 }, { "type": "text", "text": "练习 17.14 经典题目 S 为不经过原点的光滑封闭曲面，计算", "bbox": [ 58, 170, 534, 185 ], "page_idx": 150 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\iint_ {S} {\\frac {x}{(a x ^ {2} + b y ^ {2} + c z ^ {2}) ^ {\\frac {3}{2}}}} \\mathrm{d} y \\mathrm{d} z + {\\frac {y}{(a x ^ {2} + b y ^ {2} + c z ^ {2}) ^ {\\frac {3}{2}}}} \\mathrm{d} z \\mathrm{d} x + {\\frac {z}{(a x ^ {2} + b y ^ {2} + c z ^ {2}) ^ {\\frac {3}{2}}}} \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 176, 187, 818, 219 ], "page_idx": 150 }, { "type": "text", "text": "解记 $r^2 = ax^2 + by^2 + cz^2$ ，则两侧对 $x$ 求导可以得到", "bbox": [ 87, 221, 494, 237 ], "page_idx": 150 }, { "type": "equation", "text": "$$\nr _ {x} = \\frac {a x}{r}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 463, 241, 532, 267 ], "page_idx": 150 }, { "type": "text", "text": "同理可以得到 $r_y, r_z$ 。同时 $P = \\frac{x}{r^3}, Q = \\frac{y}{r^3}, R = \\frac{z}{r^3}$ ，因此可以计算得到", "bbox": [ 89, 267, 623, 294 ], "page_idx": 150 }, { "type": "equation", "text": "$$\nP _ {x} + Q _ {y} + R _ {z} = 0\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 428, 296, 569, 312 ], "page_idx": 150 }, { "type": "text", "text": "如果 S 围成的区域不包含原点，则积分为 0。如果包含原点，则挖掉 $V_{1}: ax^{2} + by^{2} + cz^{2} \\leq \\epsilon^{2}$ ， $S_{1}$ 面方向定义为 $V - V_{1}$ 朝向 $V_{1}$ ，则 $\\iint_{S + S_{1}} P \\, dy \\, dz + Q \\, dz \\, dx + R \\, dx \\, dy = \\iiint_{V - V_{1}} 0 \\, dx \\, dy \\, dz = 0$ ，因此 $I = -\\iint_{S_{1}} P \\, dy \\, dz + Q \\, dz \\, dx + R \\, dx \\, dy$ ，用 Gauss 公式得到", "bbox": [ 89, 318, 905, 375 ], "page_idx": 150 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\iiint_ {V _ {1}} \\frac {3}{\\epsilon^ {3}} \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y \\mathrm{d} z = \\frac {3}{\\epsilon^ {3}} \\cdot \\frac {4}{3} \\cdot \\frac {\\pi \\epsilon^ {3}}{\\sqrt {a b c}} = \\frac {4 \\pi}{\\sqrt {a b c}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 331, 376, 665, 409 ], "page_idx": 150 }, { "type": "text", "text": "笔记最常见的形式为： $\\iint_{S}\\frac{x\\mathrm{d}y\\mathrm{d}z + y\\mathrm{d}z\\mathrm{d}x + z\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\\frac{3}{2}}} = \\left\\{ \\begin{array}{ll}4\\pi , & S\\text{围成区域包含原点}\\\\ 0, & S\\text{围成区域不包含原点} \\end{array} \\right.$", "bbox": [ 55, 414, 715, 458 ], "page_idx": 150 }, { "type": "text", "text": "练习 17.15 推广形式 S 为上半椭球面 $2021x^{2} + 2022y^{2} + 2023z^{2} = 1 (z \\geq 0)$ ，方向取向上，计算", "bbox": [ 58, 466, 794, 483 ], "page_idx": 150 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\iint_ {S} \\frac {x \\mathrm{d} y \\mathrm{d} z + y \\mathrm{d} z \\mathrm{d} x + z \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y}{\\left(x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}\\right) ^ {\\frac {3}{2}}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 373, 485, 621, 517 ], "page_idx": 150 }, { "type": "text", "text": "解 记 $r = \\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ ，显然除原点外 $P_x + Q_y + R_z = 0$ ，记 $V: 2021x^2 + 2022y^2 + 2023z^2 \\leq 1 (z \\geq 0)$ ， $V_1: x^2 + y^2 + z^2 \\leq \\epsilon^2 (z \\geq 0)$ ，则 $V - V_1$ 的表面分为三个部分 $S + S_1 + S_2$ ，其中 $S_1$ 是小椭球体表面， $S_2$ 为 $z = 0$ 内两个直底面， $S_1, S_2$ 方向朝下。根据 Gauss 公式得到 $\\iint_{S + S_1 + S_2} P \\mathrm{d}y \\mathrm{d}z + Q \\mathrm{d}z \\mathrm{d}x + R \\mathrm{d}x \\mathrm{d}y = 0$ ，即", "bbox": [ 87, 521, 905, 585 ], "page_idx": 150 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\iint_ {S} P \\mathrm{d} y \\mathrm{d} z + Q \\mathrm{d} z \\mathrm{d} x + R \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y = - \\iint_ {S _ {1}} - \\iint_ {S _ {2}}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 324, 587, 668, 620 ], "page_idx": 150 }, { "type": "text", "text": "$\\iint_{S_2}$ 由于 $z = 0$ 得到积分为0， $\\iint_{S_1}$ 得到 $r = \\epsilon$ ，即 $P = \\frac{x}{\\epsilon^3},Q = \\frac{y}{\\epsilon^3},R = \\frac{z}{\\epsilon^3}$ ，再补上 $V_{1}$ 下面的小平面 $S_{3}$ ，用Gauss公式得到 $I = \\frac{1}{\\epsilon^3}\\iint_{-S_1 + S_3}x\\mathrm{d}y\\mathrm{d}z + y\\mathrm{d}z\\mathrm{d}x + z\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y$ ，最终结果为 $2\\pi$", "bbox": [ 87, 621, 905, 684 ], "page_idx": 150 }, { "type": "text", "text": "笔记 最后一步也可以用两类曲面积分的关系进行计算，当第二型不方便算时，要善于转化为第一型进行计算", "bbox": [ 58, 686, 887, 701 ], "page_idx": 150 }, { "type": "text", "text": "17.5 Stokes 公式", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 728, 278, 747 ], "page_idx": 150 }, { "type": "text", "text": "17.5.1 Stokes 公式与基本使用", "text_level": 2, "bbox": [ 94, 768, 363, 784 ], "page_idx": 150 }, { "type": "text", "text": "定理 17.11 (Stokes 公式)", "text_level": 2, "bbox": [ 121, 797, 304, 813 ], "page_idx": 150 }, { "type": "text", "text": "设曲面 $S$ 的边界 $L$ 是按段光滑的连续曲线，若 $P, Q, R$ 在 $S$ 上连续，且有一阶偏导，则", "bbox": [ 112, 819, 761, 834 ], "page_idx": 150 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\oint_ {L} P \\mathrm{d} x + Q \\mathrm{d} y + R \\mathrm{d} z = \\iint_ {S} \\left| \\begin{array}{c c c} \\mathrm{d} y \\mathrm{d} z & \\mathrm{d} z \\mathrm{d} x & \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y \\\\ \\frac {\\partial}{\\partial x} & \\frac {\\partial}{\\partial y} & \\frac {\\partial}{\\partial z} \\\\ P & Q & R \\end{array} \\right| = \\iint_ {S} \\left| \\begin{array}{c c c} \\cos \\alpha & \\cos \\beta & \\cos \\gamma \\\\ \\frac {\\partial}{\\partial x} & \\frac {\\partial}{\\partial y} & \\frac {\\partial}{\\partial z} \\\\ P & Q & R \\end{array} \\right| \\mathrm{d} S\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 183, 837, 811, 903 ], "page_idx": 150 }, { "type": "header", "text": "17.5 Stokes 公式", "bbox": [ 784, 55, 905, 68 ], "page_idx": 150 }, { "type": "page_number", "text": "143", "bbox": [ 485, 954, 512, 965 ], "page_idx": 150 }, { "type": "text", "text": "即将空间第二型曲线积分转换为第二或第一型曲面积分，这里 $\\mathbf{n} = (\\cos \\alpha, \\cos \\beta, \\cos \\gamma)$ 为 $S$ 正侧的外单位法向量。注意求法向的曲面 $S$ 和最终积分的 $S$ 要是同一个曲面。", "bbox": [ 112, 96, 887, 130 ], "page_idx": 151 }, { "type": "text", "text": "笔记Stokes公式一般用在三维第一型曲线积分，且积分曲线是两个曲面的交线，往往转换为第一型曲面积分更好算：外法向量能用平面就用平面(为常数)，圆面则为圆心到 $(x,y,z)$ 的单位向量。", "bbox": [ 87, 148, 905, 183 ], "page_idx": 151 }, { "type": "text", "text": "笔记 确定单位法向量的方向：若积分曲线方向是正向(区域在左)，则单位法向朝曲面朝外，否则朝内。", "bbox": [ 85, 185, 843, 200 ], "page_idx": 151 }, { "type": "text", "text": "练习 17.16 一次项 Stokes 公式 利用 Stokes 公式计算下面的第一型曲线积分:", "bbox": [ 58, 223, 650, 237 ], "page_idx": 151 }, { "type": "text", "text": "(1) 平面与球面：计算 $I = \\oint_{L} y \\, \\mathrm{d}x + z \\, \\mathrm{d}y + x \\, \\mathrm{d}z$ ，其中 $L$ 为 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ 与 $x + y + z = 0$ 的交线，从 $z$ 轴 $+\\infty$ 看为逆时针。", "bbox": [ 87, 240, 905, 278 ], "page_idx": 151 }, { "type": "text", "text": "(2) 球面与柱面：计算 $\\oint_{L} (x - 1) \\mathrm{d}y - (y + 1) \\mathrm{d}x + z \\mathrm{d}z$ ，其中 $L$ 为 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ 上半球与柱面 $x^{2} + y^{2} = x$ 的交线，从 $z$ 轴正向来看为逆时针方向。", "bbox": [ 89, 278, 905, 318 ], "page_idx": 151 }, { "type": "text", "text": "解(1)记 $S$ 为 $x + y + z = 0$ 位于球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ 内的部分，取上侧 $\\mathbf{n} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} (1,1,1)$ ，则根据Stokes公式：", "bbox": [ 87, 317, 907, 344 ], "page_idx": 151 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\iint_ {S} \\left| \\begin{array}{c c c} \\frac {1}{\\sqrt {3}} & \\frac {1}{\\sqrt {3}} & \\frac {1}{\\sqrt {3}} \\\\ \\frac {\\partial}{\\partial x} & \\frac {\\partial}{\\partial y} & \\frac {\\partial}{\\partial z} \\\\ y & z & x \\end{array} \\right| = \\frac {1}{\\sqrt {3}} \\iint_ {S} (- 1 - 1 - 1) \\mathrm{d} S = - \\sqrt {3} \\pi a ^ {2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 257, 347, 737, 420 ], "page_idx": 151 }, { "type": "text", "text": "(2) $\\mathbf{n} = (x, y, z)$ ，因此根据Stokes公式得到", "bbox": [ 122, 426, 440, 439 ], "page_idx": 151 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\iint_ {S} \\left| \\begin{array}{c c c} x & y & z \\\\ \\frac {\\partial}{\\partial x} & \\frac {\\partial}{\\partial y} & \\frac {\\partial}{\\partial z} \\\\ - y - 1 & x - 1 & z \\end{array} \\right| \\mathrm{d} S = \\iint_ {S} 2 z \\mathrm{d} S = \\iint_ {D} 2 \\mathrm{d} S = \\frac {\\pi}{2}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 262, 445, 732, 508 ], "page_idx": 151 }, { "type": "text", "text": "练习 17.17 二次项 Stokes 公式 经典：L 是 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4x$ 与 $x^{2} + y^{2} = 2x$ 的交线在 $z \\geq 0$ 的部分，方向为原点进入第一卦限，计算：", "bbox": [ 58, 521, 905, 555 ], "page_idx": 151 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = \\oint_ {L} (y ^ {2} + z ^ {2}) \\mathrm{d} x + (x ^ {2} + z ^ {2}) \\mathrm{d} y + (x ^ {2} + y ^ {2}) \\mathrm{d} z\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 319, 552, 673, 583 ], "page_idx": 151 }, { "type": "text", "text": "解 曲面 S 是 $(x-2)^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 的一部分，注意原点进第一卦限时区域在右侧，因此方向朝内。单位法向量为 $\\mathbf{n}=-\\frac{1}{2}(x-2,y,z)$ ，因此根据 Stokes 公式：", "bbox": [ 87, 590, 902, 630 ], "page_idx": 151 }, { "type": "equation", "text": "$$\n\\begin{array}{l} I = \\oint_ {L} (y ^ {2} + z ^ {2}) \\mathrm{d} x + (x ^ {2} + z ^ {2}) \\mathrm{d} y + (x ^ {2} + y ^ {2}) \\mathrm{d} z \\\\ = - \\iint_ {S} [ (x - 2) (y - z) + y (z - x) + z (x - y) ] \\mathrm{d} S = 2 \\iint_ {S} (y - z) \\mathrm{d} S \\end{array}\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 245, 634, 751, 696 ], "page_idx": 151 }, { "type": "text", "text": "由于 S 关于 xz 平面对称，因此 $\\iint_{S} y \\, dS = 0$ ，此时", "bbox": [ 90, 699, 468, 728 ], "page_idx": 151 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = - 2 \\iint_ {S} z \\mathrm{d} S\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 438, 730, 557, 760 ], "page_idx": 151 }, { "type": "text", "text": "而 $S$ 方程为 $z = \\sqrt{4 - (x - 2)^2 - y^2}$ ，投影为 $D = \\{(x,y):(x - 1)^2 +y^2\\leq 1\\}$ ，且 $\\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} = \\frac{2}{z}$ ，得到", "bbox": [ 90, 765, 882, 790 ], "page_idx": 151 }, { "type": "equation", "text": "$$\nI = - 2 \\iint_ {S} z \\mathrm{d} S = - 2 \\iint_ {D} z \\cdot \\frac {2}{z} \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y = - 4 \\pi\n$$", "text_format": "latex", "bbox": [ 337, 791, 658, 824 ], "page_idx": 151 }, { "type": "header", "text": "17.5 Stokes 公式", "bbox": [ 784, 55, 905, 68 ], "page_idx": 151 }, { "type": "page_number", "text": "144", "bbox": [ 485, 954, 512, 965 ], "page_idx": 151 }, { "type": "text", "text": "17.5.2 空间第二型曲线积分与路径无关性", "text_level": 2, "bbox": [ 95, 85, 463, 102 ], "page_idx": 152 }, { "type": "text", "text": "定理 17.12 (空间第二型曲线积分与路径无关性)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 118, 472, 134 ], "page_idx": 152 }, { "type": "text", "text": "$V \\subseteq \\mathbb{R}^3$ 是单连通区域， $P, Q, R$ 在 $V$ 上连续，且有一阶偏导数， $L$ 为 $V$ 内任意光滑曲线，则 $\\int_{L} P \\mathrm{d}x + Q \\mathrm{d}y + R \\mathrm{d}z$ 与路径无关与下面条件等价：", "bbox": [ 114, 140, 880, 181 ], "page_idx": 152 }, { "type": "text", "text": "\\- 任意 $V$ 内光滑封闭曲线 $L$ , 满足 $\\oint_{L} P \\mathrm{~d} x + Q \\mathrm{~d} y + R \\mathrm{~d} z = 0$", "bbox": [ 139, 181, 594, 206 ], "page_idx": 152 }, { "type": "text", "text": "\\- $V$ 内处处成立: $P_{y} = Q_{x}, Q_{z} = R_{y}, R_{x} = P_{z}$", "bbox": [ 139, 206, 484, 222 ], "page_idx": 152 }, { "type": "header", "text": "17.5 Stokes 公式", "bbox": [ 784, 55, 905, 68 ], "page_idx": 152 }, { "type": "page_number", "text": "145", "bbox": [ 485, 954, 512, 964 ], "page_idx": 152 }, { "type": "text", "text": "第 18 章 实数完备性定理", "text_level": 1, "bbox": [ 346, 87, 668, 111 ], "page_idx": 153 }, { "type": "text", "text": "定义 18.1 (聚点)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 145, 245, 160 ], "page_idx": 153 }, { "type": "text", "text": "若存在各项互异的收敛数列 $\\{x_{n}\\} \\subseteq S$ ，使得 $\\lim_{n\\to \\infty}x_n = \\xi$ ，则 $\\xi$ 称为 $S$ 的一个聚点。", "bbox": [ 115, 164, 731, 189 ], "page_idx": 153 }, { "type": "text", "text": "定理 18.1 (实数七大定理)", "text_level": 2, "bbox": [ 122, 211, 312, 225 ], "page_idx": 153 }, { "type": "text", "text": "七大定理如下：", "text_level": 2, "bbox": [ 117, 231, 228, 244 ], "page_idx": 153 }, { "type": "text", "text": "\\- 确界定理： $S$ 是非空实数集，若 $S$ 有上界，则 $S$ 必有上确界", "bbox": [ 139, 249, 601, 263 ], "page_idx": 153 }, { "type": "text", "text": "\\- 单调有界定理", "bbox": [ 141, 268, 263, 282 ], "page_idx": 153 }, { "type": "text", "text": "\\- Cauchy 收敛准则", "bbox": [ 139, 287, 284, 300 ], "page_idx": 153 }, { "type": "text", "text": "\\- 闭区间套定理", "bbox": [ 141, 305, 263, 318 ], "page_idx": 153 }, { "type": "text", "text": "\\- 有限开覆盖定理： $S$ 是实数子集， $H$ 为开区间族，若 $\\forall x \\in S$ 都含于 $H$ 至少一个开区间中，则称 $H$ 是 $S$ 开覆盖。若 $H$ 是 $[a, b]$ 的开覆盖，则可从 $H$ 中选出有限个区间覆盖 $[a, b]$", "bbox": [ 139, 323, 880, 356 ], "page_idx": 153 }, { "type": "text", "text": "\\- 聚点定理：实轴上任一有界无限点集 $S$ 至少有一个聚点", "bbox": [ 139, 359, 569, 374 ], "page_idx": 153 }, { "type": "text", "text": "致密性定理：有界数列必有收敛子列", "bbox": [ 139, 378, 431, 393 ], "page_idx": 153 }, { "type": "text", "text": "下面采取确界原理-单调有界定理-闭区间套定理-有限覆盖定理-聚点定理/致密性定理-Cauchy收敛准则的形式循环证明其等价性：", "bbox": [ 90, 431, 905, 464 ], "page_idx": 153 }, { "type": "text", "text": "1. 确界证明单调有界定理：设 $a_{n}$ 单增有上界，根据确界原理有上确界，取 $a = \\sup \\{a_{n}\\}$ ，只需证明 $a$ 是 $a_{n}$ 极限。根据上确界定义有 $\\exists N, a - \\epsilon < a_{N}$ ，再由单增和极限定义显然。", "bbox": [ 110, 468, 904, 501 ], "page_idx": 153 }, { "type": "text", "text": "2. 单调有界证明闭区间套： $a_{n}, b_{n}$ 都单调有极限，所以夹住的点存在。唯一性用 $|\\xi - \\xi'| \\leq \\lim_{n \\to \\infty} (b_{n} - a_{n}) = 0$ 证明", "bbox": [ 110, 504, 905, 537 ], "page_idx": 153 }, { "type": "text", "text": "3. 闭区间套证明有限覆盖：反设不成立，则 $[a, \\frac{a + b}{2}], [\\frac{a + b}{2}, b]$ 中至少有一个没有有限覆盖，不停分下去，根据闭区间套有 $\\xi \\in [a_n, b_n]$ 。当 $n$ 足够大时，一定存在开覆盖集中的区间包含它，因此与假设矛盾。", "bbox": [ 110, 539, 905, 575 ], "page_idx": 153 }, { "type": "text", "text": "4. 有限覆盖证明致密性定理：设 $x_{n}$ 有界，若无穷项相等，则显然。若相等的只有有限项，可知 $\\exists x_0 \\in [a, b]$ 使得 $(x_0 - \\delta, x_0 + \\delta)$ 中有无限项，否则根据有限开覆盖，总共 $x_{n}$ 只有有限项，矛盾。因此在 $(x_0 - \\frac{1}{k}, x_0 + \\frac{1}{k})$ 中取 $x_{k}$ 即有 $\\lim_{k \\to \\infty} x_{k} = x_{0}$", "bbox": [ 110, 577, 905, 634 ], "page_idx": 153 }, { "type": "text", "text": "5. 聚点定理证明 Cauchy 收敛准则：设 $x_{n}$ 收敛， $\\lim_{n \\to \\infty} x_{n} = a$ ， $\\exists N, \\forall n, m > N$ 有 $|x_{n} - a| < \\epsilon, |x_{m} - a| < \\epsilon$ ，因此 $|a_{n} - a_{m}| \\leq |a_{n} - a| + |a - a_{m}| = 2\\epsilon$", "bbox": [ 110, 636, 905, 671 ], "page_idx": 153 }, { "type": "text", "text": "6. Cauchy 收敛准则证明确界原理: b 为上界, $a \\in S$ , 不断二分, 构造 $a_{n}, b_{n}$ , 最后 $|a_{n+p} - a_{n}| \\leq |b_{n} - a_{n}| < \\epsilon$ , 因此有极限 a, 满足 $\\exists N, a_{N} + \\epsilon > a$ 。", "bbox": [ 110, 674, 905, 707 ], "page_idx": 153 } ]