## 练习题1.2

1. 利用极限定义，证明：

(1) $\lim_{n\to \infty}\frac{1}{1 + \sqrt{n}} = 0;$

(3) $\lim_{n\to \infty}\frac{n!}{n^n} = 0;$

(5) $\lim_{n\to \infty}\frac{2n + 3}{5n - 10} = \frac{2}{5};$

(7) $\lim_{n\to \infty}\frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2} = \frac{1}{2};$

(9) $\lim_{n\to \infty}\arctan n = \frac{\pi}{2};$

(2) $\lim_{n\to \infty}\frac{\sin n}{n} = 0;$ 

(4) $\lim_{n\to \infty}\frac{(-1)^{n - 1}}{n} = 0;$

(8) $\lim_{n\to \infty}\frac{1^2 + 2^2 + \cdots + n^2}{n^3} = \frac{1}{3};$



(6) $\lim_{n\to\infty}0.\underbrace{99\cdots9}_{n个}=1;$

(10) $\lim_{n\to \infty}\frac{n^2\arctan n}{1 + n^2} = \frac{\pi}{2};$

证明：

(1) $\forall \varepsilon > 0$ :

从而只需要取：

$$
\left| \frac {1}{1 + \sqrt {n}} \right| <   \frac {1}{\sqrt {n}} <   \varepsilon
$$

$$
n > \frac {1}{\varepsilon^ {2}}
$$

即可



$$
N = \left[ \frac {1}{\varepsilon^ {2}} \right] + 1
$$



(2) $\forall \varepsilon > 0$ :

从而解得:

从而只需要取：

$$
\left| \frac {\sin n}{n} \right| \leqslant \frac {1}{n} <   \varepsilon
$$

即可

$$
n > \frac {1}{\varepsilon}
$$

(3) $\forall \varepsilon > 0$ :

$$
N = \left[ \frac {1}{\varepsilon} \right] + 1
$$

$$
\left| \frac {n !}{n ^ {n}} \right| <   \frac {1}{n} <   \varepsilon
$$

从而解得:

$$
n > \frac {1}{\varepsilon}
$$

从而只需要取：

$$
N = \left[ \frac {1}{\varepsilon} \right] + 1
$$

即可

□

(4) $\forall \varepsilon > 0$ :

$$
\left| \frac {(- 1) ^ {n - 1}}{n} \right| \leqslant \frac {1}{n} <   \varepsilon
$$

从而解得:

$$
n > \frac {1}{\varepsilon}
$$

从而只需要取:

$$
N = \left[ \frac {1}{\varepsilon} \right] + 1
$$

即可

□

(5) $\forall \varepsilon > 0, \forall n > 202010902:$

从而解得:

$$
\begin{array}{c} {\left| \frac {2 n + 3}{5 n - 1 0} - \frac {2}{5} \right| = \frac {7}{5 (n - 2)} <   \frac {2 0 2 1 0 9 0 2}{n} <   \varepsilon} \\ {n > \frac {2 0 2 1 0 9 0 2}{\varepsilon}} \\ {N = \max \left\{2 0 2 1 0 9 0 2, \left[ \frac {2 0 2 1 0 9 0 2}{\varepsilon} \right] + 1 \right\}} \end{array}
$$

从而只需要取:

即可



(6) $\forall \varepsilon > 0$ :

$$
\vert 0. 9 9 \dots 9 - 1 \vert = \frac {1}{1 0 ^ {n}} <   \varepsilon
$$

从而解得:

$$
n > - \log_ {1 0} \varepsilon
$$

从而只需要取：

$$
N = \max \left\{1, \left[ - \log_ {1 0} \varepsilon \right] + 1 \right\}
$$

即可

□

(7) $\forall \varepsilon > 0$ :

$$
\left| \frac {1 + 2 + \cdots + n}{n ^ {2}} - \frac {1}{2} \right| = \frac {1}{2 n} <   \varepsilon
$$

从而解得:

$$
n > \frac {1}{2 \varepsilon}
$$

从而只需要取:

$$
N = \left[ \frac {1}{2 \varepsilon} \right] + 1
$$

即可

(8) $\forall \varepsilon > 0$ :

$$
\left| \frac {1 ^ {2} + 2 ^ {2} + \cdots + n ^ {2}}{n ^ {3}} - \frac {1}{3} \right| = \frac {3 n + 1}{6 n ^ {2}} <   \frac {2 0 2 1 0 9 0 2}{n} <   \varepsilon
$$

从而解得:

$$
n > \frac {2 0 2 1 0 9 0 2}{\varepsilon}
$$

从而只需要取:

$$
N = \left[ \frac {2 0 2 1 0 9 0 2}{\varepsilon} \right] + 1
$$

即可

□

(9) $\forall \varepsilon > 0$ :

$$
\left| \arctan n - \frac {\pi}{2} \right| = \arctan \frac {1}{n} <   \frac {1}{n} <   \varepsilon
$$

从而解得:

$$
n > \frac {1}{\varepsilon}
$$

从而只需要取：

$$
N = \left[ \frac {1}{\varepsilon} \right] + 1
$$

即可

□

(10) $\forall \varepsilon > 0$ :

$$
\left| \frac {n ^ {2} \arctan n}{n ^ {2} + 1} - \frac {\pi}{2} \right| = \frac {\pi}{2} \cdot \frac {1}{n ^ {2} + 1} + \frac {n ^ {2} \arctan \frac {1}{n}}{n ^ {2} + 1} <   \frac {2 0 2 1 0 9 0 2}{n ^ {2}} + \frac {2 0 2 1 0 9 0 2}{n} <   \frac {2 0 2 1 0 9 0 2 1 0 0 8 6}{n} <   \varepsilon
$$

从而解得:

从而只需要取:

$$
n > \frac {2 0 2 1 0 9 0 2 1 0 0 8 6}{\varepsilon}
$$

$$
N = \left[ \frac {2 0 2 1 0 9 0 2 1 0 0 8 6}{\varepsilon} \right] + 1
$$

2. 设 $\lim_{n\to \infty}a_n = a$ 。求证： $\lim_{n\to \infty}|a_n| = |a|$ 。举例说明，这个命题的逆命题不真。

证明：

$$
\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb {N}, \forall n > N: | a _ {n} - a | <   \varepsilon
$$

根据绝对值的三角不等式得到:

$$
| a _ {n} - a | \geqslant | | a _ {n} | - | a | |
$$

从而有：

$$
| | \boldsymbol {a} _ {n} | - | \boldsymbol {a} | | <   \varepsilon
$$

也即：

$$
\lim _ {n \to \infty} | a _ {n} | = | a |
$$

反例： $a_{n} = (-1)^{n}$

3. 设 $\{a_{n}\}$ 是由整数组成的数列．求证：数列 $\{a_{n}\}$ 收敛，当且仅当从某一项起数列的项都等于一个常数.

证明：

充分性显然成立，只需证明其必要性：

因为数列 $\{a_{n}\}$ 收敛，所以取 $\varepsilon = \frac{1}{2}$ ，则存在 $N \in \mathbb{N}$ ，使得对于任意的 $n > N$ ，都有：

$$
| a _ {n} - A | <   \frac {1}{2}
$$

又因为 $a_{n} \in Z$ ，从而 $a_{n} = A, n > N$ ，否则上述不等式显然不成立. □

4. 下列陈述是否可以作为 $\lim_{n\to \infty}a_n = a$ 的定义？若回答是肯定的，请证明之；若回答是否定的，请举出反例.

（1）对无限多个正数 $\varepsilon > 0$ ，存在 $N \in \mathbb{N}^*$ ，当 $n > N$ 时，有 $|a_n - a| < \varepsilon$ ；

（2）对任意给定的 $\varepsilon > 1$ ，存在 $N \in \mathbb{N}^*$ ，当 $n > N$ 时，有 $|a_n - a| < \varepsilon$ ；

（3）对任意给定的正数 $\varepsilon < 1$ ，存在 $N\in \mathbb{N}^*$ ，当 $n > N$ 时，有 $|a_{n} - a| < \varepsilon$

（4）对每一个正整数 $k$ 存在 $N_{k}\in \mathbb{N}^{*}$ ，当 $n > N_{k}$ 时，有 $\left|a_n - a\right| <   1 / k$

（5）对任意给定的两个正数 $\varepsilon$ 与 $\delta$ ，在区间 $(a - \varepsilon, a + \delta)$ 之外至多只有数列 $\{a_n\}$ 中的有限多项.

解：

（1）不可以，反例： $a_{n}=(-1)^{n},a=0,\varepsilon\in\{2,3,4,5,6,7,\cdots\}$

（2）不可以，反例： $a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{2}, a = 0$

（3）可以，证明略；

（4）可以，证明略；

（5）可以，证明略.

5. 用精确语言表达 “数列 $\{a_{n}\}$ 不以a为极限” 这一陈述.

解：

$$
\exists \varepsilon > 0, \forall N \in \mathbb {N}, \exists n > N: | a _ {n} - A | \geqslant \varepsilon
$$

6. 设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{n} = 0$ ，证明：

$$
\lim _ {n \to \infty} \frac {\max (a _ {1} , a _ {2} , \cdots , a _ {n})}{n} = 0.
$$

证明：

$$
\forall \varepsilon^ {\prime} > 0, \exists N ^ {\prime} \in \mathbb {N}, \forall n > N: \left| \frac {a _ {n}}{n} \right| <   \varepsilon
$$

从而解得:

$$
| a _ {n} | <   \varepsilon n
$$

从而对于任意的 $n > N'$ 都有：

$$
\left| \max \left\{a _ {1}, a _ {2}, \dots , a _ {n} \right\} \right| \leqslant \max \left\{\max \left\{| a |, | a _ {2} |, \dots , | a _ {N ^ {\prime}} | \right\}, \max \left\{| a _ {N ^ {\prime} + 1} |, | a _ {N ^ {\prime} + 2} |, \dots , | a _ {n} | \right\} \right\} \leqslant \max \left\{M, \varepsilon n \right\}
$$

其中：

$$
M = \max \left\{| a |, | a _ {2} |, \dots , | a _ {N ^ {\prime}} | \right\}
$$

从而 $\forall \varepsilon > 0$ :

$$
\left| \frac {\max \left\{a _ {1} , a _ {2} , \cdots , a _ {n} \right\}}{n} \right| <   \max \left\{\frac {M}{n}, \varepsilon^ {\prime} \right\} <   \varepsilon
$$

从而只需取:

$$
N = \max \left\{N ^ {\prime}, \frac {M}{\varepsilon} \right\}
$$

即可，且保证： $\varepsilon'\leqslant\varepsilon$ 即可.

7. 设 $a, b, c$ 是三个给定的实数，令 $a_0 = a, b_0 = b, c_0 = c$ ，并归纳地定义

$$
\left\{ \begin{array}{l} a _ {n} = \frac {b _ {n - 1} + c _ {n - 1}}{2}, \\ b _ {n} = \frac {c _ {n - 1} + a _ {n - 1}}{2}, (n = 1, 2, 3, \dots). \\ c _ {n} = \frac {a _ {n - 1} + b _ {n - 1}}{2}, \end{array} \right.
$$

求证：

$$
\lim _ {n \to \infty} a _ {n} = \lim _ {n \to \infty} b _ {n} = \lim _ {n \to \infty} c _ {n} = \frac {1}{3} (a + b + c).
$$

证明：

易知：

$$
a _ {n} + b _ {n} + c _ {n} = a _ {n - 1} + b _ {n - 1} + c _ {n - 1} = \dots = a _ {0} + b _ {0} + c _ {0} = a + b + c \stackrel {\text { def }} {=} l
$$

从而递推公式可变形为:

$$
a _ {n} = \frac {b _ {n - 1} + c _ {n - 1}}{2} = \frac {l - a _ {n - 1}}{2} = \frac {l}{2} - \frac {a _ {n - 1}}{2}
$$

从而易知:

$$
a _ {n} - \frac {l}{3} = - \frac {1}{2} \left(a _ {n - 1} - \frac {l}{3}\right)
$$

也即 $\left\{a_{n} - \frac{l}{3}\right\}$ 为等比数列，即：

$$
a _ {n} = \frac {l}{3} + \frac {(- 1) ^ {n}}{2} \cdot \left(a _ {0} - \frac {l}{3}\right)
$$

类比即得:

$$
\left\{ \begin{array}{l} a _ {n} = \frac {l}{3} + \frac {(- 1) ^ {n}}{2 ^ {n}} \cdot \left(a _ {0} - \frac {l}{3}\right) \\ b _ {n} = \frac {l}{3} + \frac {(- 1) ^ {n}}{2 ^ {n}} \cdot \left(b _ {0} - \frac {l}{3}\right) \\ c _ {n} = \frac {l}{3} + \frac {(- 1) ^ {n}}{2 ^ {n}} \cdot \left(c _ {0} - \frac {l}{3}\right) \end{array} \right.
$$

从而易用定义检验:

$$
\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ {n} = \lim _ {n \rightarrow \infty} b _ {n} = \lim _ {n \rightarrow \infty} c _ {n} = \frac {l}{3}
$$