1. 求下列极限

(1) $\lim_{n\to \infty}\left(1 + \frac{1}{n - 2}\right)^n$

(2) $\lim_{n\to \infty}\left(1 - \frac{1}{n + 3}\right)^n$

(3) $\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1 + n}{2 + n}\right)^n$

(4) $\lim_{n\to \infty}\left(1 + \frac{3}{n}\right)^n$

(5) $\lim_{n\to \infty}\left(1 + \frac{1}{2n^2}\right)^{4n^2}$

解：这里我们直接利用 $e^{x}$ 的连续性与等价无穷小求解.

(1)

$$
\begin{array}{r l}\lim _ {n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac {1}{n - 2}\right) ^ {n}&= \lim _ {n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac {1}{n - 2}\right) ^ {n - 2 + 2}\\&= \lim _ {n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac {1}{n - 2}\right) ^ {n} \cdot \lim _ {n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac {1}{n - 2}\right) ^ {2}\\&= e\end{array}
$$

(2) $\lim_{n\to \infty}\left(1 - \frac{1}{n + 3}\right)^n = \exp \lim_{n\to \infty}n\ln \left(1 - \frac{1}{n + 3}\right) = \frac{1}{\mathrm{e}}$

(3) $\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1 + n}{2 + n}\right)^n = \exp \lim_{n\to \infty}n\ln \left(1 - \frac{1}{n + 2}\right) = \frac{1}{\mathrm{e}}$

(4) $\lim_{n\to \infty}\left(1 + \frac{3}{n}\right)^n = \exp \lim_{n\to \infty}n\ln \left(1 + \frac{3}{n}\right) = \mathrm{e}^3$

(5) $\lim_{n\to \infty}\left(1 + \frac{1}{2n^2}\right)^{4n^2} = \exp \lim_{n\to \infty}4n^2\ln \left(1 + \frac{1}{2n^2}\right) = \mathrm{e}^2$

Ps: 关于仅限于本小节的计算方法，可以参考徐森林《数学分析》例 1.4.8
2. 设 $k \in N^{*}$ . 求证：

$$
\lim _ {n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac {k}{n}\right) ^ {n} = \mathrm{e} ^ {k}.
$$

证明：

$$
\lim _ {n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac {k}{n}\right) ^ {n} = \lim _ {n \rightarrow \infty} \left[\left(1 + \frac {k}{n}\right) ^ {\frac {n}{k}} \right] ^ {k} = \mathrm{e} ^ {k}
$$

3. 求证：数列 $\{(1 + 1 / n)^n\}$ 是严格递增数列.

(提示: 用几何平均-算术平均不等式

$$
\left(1 + \frac {1}{n}\right) ^ {n} = 1 \cdot \underbrace {\left(1 + \frac {1}{n}\right) \cdots \left(1 + \frac {1}{n}\right)} _ {n \text {个}} <   \left(\frac {1 + (n + 1) n / (n + 1)}{n + 2}\right) ^ {n + 1}.
$$

证明：

$$
\left(1 + \frac {1}{n}\right) ^ {n} \leqslant \left[ \frac {n \cdot \left(1 + \frac {1}{n}\right) + 1}{n + 1} \right] ^ {n + 1} = \left(1 + \frac {1}{n + 1}\right) ^ {n + 1}
$$

4. 求证：数列 $\{(1 + 1 / n)^{n + 1}\}$ 是严格递减数列.

$$
(\text {提示:} \left({\frac {n}{n + 1}}\right) ^ {n + 1} = 1 \cdot \underbrace {\left({\frac {n}{n + 1}}\right) \cdots \left({\frac {n}{n + 1}}\right)} _ {n + 1   \text {个}} <   \left({\frac {1 + (n + 1) n / (n + 1)}{n + 2}}\right) ^ {n + 2}) .
$$

证明：

$$
\left(1 - \frac {1}{n + 1}\right) ^ {n + 1} \leqslant \left[ \frac {(n + 1) \left(1 - \frac {1}{n + 1}\right) + 1}{n + 2} \right] ^ {n + 2} = \left(1 - \frac {1}{n + 2}\right) ^ {n + 2}
$$

5. 证明不等式:

$$
\left(1 + \frac {1}{n}\right) ^ {n} <   \mathrm{e} <   \left(1 + \frac {1}{n}\right) ^ {n + 1} \quad (n \in \mathbb {N} ^ {*}).
$$

证明：

由极限:

$$
\lim _ {n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac {1}{n}\right) ^ {n} = \lim _ {n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac {1}{n}\right) ^ {n + 1} = e
$$

知：

$$
\left(1 + \frac {1}{n}\right) ^ {n} \leqslant \mathrm{e} \leqslant \left(1 + \frac {1}{n}\right) ^ {n + 1}
$$

又因为 $\left\{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right\}$ 严格单增， $\left\{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + 1}\right\}$ 严格单减，从而：

$$
\left(1 + \frac {1}{n}\right) ^ {n} <   \mathrm{e} <   \left(1 + \frac {1}{n}\right) ^ {n + 1}
$$

6. 利用对数函数 $\ln x$ 的严格递增性质，证明：

$$
\frac {1}{n + 1} <   \ln \left(1 + \frac {1}{n}\right) <   \frac {1}{n}
$$

对一切 $n \in \mathbb{N}^*$ 成立.

证明：

在第 5 题结论中，两边同时取对数即可得到：

$$
\frac {1}{n + 1} <   \ln \left(1 + \frac {1}{n}\right) <   \frac {1}{n}
$$

7. 设 $n \in \mathbb{N}^*$ 且 $k = 1,2,\dots$ 。证明不等式:

$$
\frac {k}{n + k} <   \ln \left(1 + \frac {k}{n}\right) <   \frac {k}{n}.
$$

证明：

类比题4,5可证： $\left\{\left(1 + \frac{k}{n}\right)^n\right\}$ 严格单调递增， $\left\{\left(1 + \frac{k}{n}\right)^{n + k}\right\}$ 严格单调递减

且根据题 2 知:

$$
\lim _ {n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac {k}{n}\right) ^ {n} = \mathrm{e} ^ {k} = \lim _ {n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac {k}{n}\right) ^ {n + k} = \lim _ {n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac {k}{n}\right) ^ {n} \cdot \lim _ {n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac {k}{n}\right) ^ {k}
$$

从而得到:

$$
\left(1 + \frac {k}{n}\right) ^ {n} <   \mathrm{e} ^ {k} <   \left(1 + \frac {k}{n}\right) ^ {n + k}
$$

两边同时取对数得到:

$$
\frac {k}{n + k} <   \ln \left(1 + \frac {k}{n}\right) <   \frac {k}{n}
$$

另证：参考徐森林《数学分析》例1.4.7

8. 对 $n \in \mathbb{N}^*$ ，求证：

$$
\frac {1}{2} + \frac {1}{3} + \dots + \frac {1}{n + 1} <   \ln (n + 1) <   1 + \frac {1}{2} + \dots + \frac {1}{n}.
$$

证明：

由题 6 结论可知:

$$
\frac {1}{n + 1} <   \ln \left(1 + \frac {1}{n}\right) <   \frac {1}{n}
$$

从而有：

$$
\sum_ {i = 1} ^ {n} \frac {1}{i + 1} <   \sum_ {i = 1} ^ {n} \ln \left(1 + \frac {1}{i}\right) <   \sum_ {i = 1} ^ {n} \frac {1}{i}
$$

化简得:

$$
\frac {1}{2} + \frac {1}{3} + \dots + \frac {1}{n + 1} <   \ln (n + 1) <   1 + \frac {1}{2} + \dots + \frac {1}{n}.
$$

9. 令

$$
x _ {n} = 1 + \frac {1}{2} + \dots + \frac {1}{n} - \ln (n + 1) \quad (n \in \mathbb {N} ^ {*}).
$$

证明： $\lim _{n\to \infty}x_{n}$ 存在，此极限常记为 $\gamma$ ，叫做 Euler（欧拉，1707\~1783）常数.

证明：易证 $\{x_{n}\}$ 单调递增且有上界（利用题8），根据单调有界定理，极限存在. 

10.利用第9题，证明：

$$
1 + \frac {1}{2} + \frac {1}{3} + \dots + \frac {1}{n} = \ln n + \gamma + \varepsilon_ {n},
$$

其中 $\lim_{n\to \infty}\varepsilon_n = 0$

证明：只需要证明：

$$
\lim _ {n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac {1}{2} + \dots + \frac {1}{n} - \ln n - \gamma\right) = 0
$$

也即：

$$
\begin{array}{c} \lim _ {n \to \infty} \left(1 + \frac {1}{2} + \dots + \frac {1}{n} - \ln n - \gamma\right) = \lim _ {n \to \infty} \left(1 + \frac {1}{2} + \dots + \frac {1}{n - 1} - \ln n\right) - \gamma + \lim _ {n \to \infty} \frac {1}{n + 1} \\ = \gamma - \gamma + 0 = 0 \end{array}
$$

证毕.

□

11. 证明不等式:

$$
\left(\frac {n + 1}{\mathrm{e}}\right) ^ {n} <   n! <   \mathrm{e} \left(\frac {n + 1}{\mathrm{e}}\right) ^ {n + 1}.
$$

证明：

由题 5 可知:

$$
\left(1 + \frac {1}{n}\right) ^ {n} <   \mathrm{e} <   \left(1 + \frac {1}{n}\right) ^ {n + 1} \quad (n \in \mathbb {N} ^ {*})
$$

从而有:

$$
\prod_ {i = 1} ^ {n} \left(1 + \frac {1}{i}\right) ^ {i} <   \mathrm{e} ^ {n} <   \prod_ {i = 1} ^ {n} \left(1 + \frac {1}{i}\right) ^ {i + 1} (n \in \mathbb {N} ^ {*})
$$

化简后得:

$$
\left(\frac {n + 1}{\mathrm{e}}\right) ^ {n} <   n! <   \mathrm{e} \left(\frac {n + 1}{\mathrm{e}}\right) ^ {n + 1}
$$

12. 证明：

$$
\lim _ {n \to \infty} \frac {(n !) ^ {1 / n}}{n} = \frac {1}{\mathrm{e}}.
$$

证明：

由题 11 中的结论得到:

$$
\frac {(n !) ^ {1 / n}}{n} <   \frac {n + 1}{n} \cdot \frac {(1 + n) ^ {1 / n}}{\mathrm{e}} \rightarrow \frac {1}{\mathrm{e}} (n \rightarrow \infty)
$$

$$
\frac {(n !) ^ {1 / n}}{n} > \frac {n + 1}{n} \cdot \frac {1}{\mathrm{e}} \rightarrow \frac {1}{\mathrm{e}} (n \rightarrow \infty)
$$

从而根据夹逼定理，目标极限得证.

13. 求证:

$$
\mathrm{e} = 1 + \frac {1}{1 !} + \frac {1}{2 !} + \dots + \frac {1}{n !} + \frac {\theta_ {n}}{n ! n},
$$

其中 $\theta_{n}\in(n/(n+1),1)$ .

证明：

由 $y_{n}=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}<e$ ，易见，

$$
\begin{array}{l} \frac {1}{n ! n} \cdot \frac {n}{n + 1} \cdot \frac {n + 3}{n + 2} = \frac {1}{(n + 1) !} \left(1 + \frac {1}{n + 2}\right) \leqslant y _ {n + m} - y _ {n} \\ \qquad = \frac {1}{(n + 1) !} + \frac {1}{(n + 2) !} + \dots + \frac {1}{(n + m) !} \\ \qquad = \frac {1}{(n + 1) !} \left[ 1 + \frac {1}{n + 2} + \frac {1}{(n + 3) (n + 2)} + \dots + \frac {1}{(n + m) \cdots (n + 2)} \right] \\ \qquad <   \frac {1}{(n + 1) !} \left[ 1 + \frac {1}{n + 2} + \frac {1}{(n + 2) ^ {2}} + \dots + \frac {1}{(n + 2) ^ {m - 1}} \right] \\ \qquad = \frac {1}{(n + 1) !} \frac {1 - \left(\frac {1}{n + 2}\right) ^ {m}}{1 - \frac {1}{n + 2}}, m = 2, 3, \dots . \end{array}
$$

固定 $n$ ，令 $m\to +\infty$ ，得到

$$
\begin{array}{r l} \frac {1}{n ! n} \cdot \frac {n}{n + 1} \cdot \frac {n + 3}{n + 2} & \leqslant \mathrm{e} - y _ {n} \leqslant \frac {1}{(n + 1) !} \frac {n + 2}{n + 1} \\ & = \frac {1}{n ! n} \frac {n (n + 2)}{(n + 1) ^ {2}}. \end{array}
$$

记 $\mathrm{e} - y_{n} = \frac{\theta_{n}}{n!n}$ ，则

$$
\begin{array}{c} 0 <   \frac {n}{n + 1} <   \frac {n}{n + 1} \frac {n + 3}{n + 2} \leqslant \theta_ {n} <   \frac {n ^ {2} + 2 n}{n ^ {2} + 2 n + 1} <   1 \\ \mathrm{e} = y _ {n} + \frac {\theta_ {n}}{n ! n} = 1 + 1 + \frac {1}{2 !} + \dots + \frac {1}{n !} + \frac {\theta_ {n}}{n ! n}. \end{array}
$$

其中 $\theta_{n}\in(n/(n+1),1)$ .

14. 求极限 $\lim_{n\to \infty}(n!\mathrm{e} - [n!\mathrm{e}])$

解：利用题13的结论即可求解

$$
\begin{array}{r l} \lim _ {n \to \infty} (n! \mathrm{e} - [ n! \mathrm{e} ]) & = \lim _ {n \to \infty} \left(n! \mathrm{e} - \left[ n! \cdot \left(1 + \frac {1}{1 !} + \dots + \frac {1}{n !} + \frac {\theta_ {n}}{n ! \cdot n}\right) \right]\right) \\ & = \lim _ {n \to \infty} \left[ n! \mathrm{e} - n! \cdot \left(1 + \frac {1}{1 !} + \dots + \frac {1}{n !}\right) \right] \\ & = \lim _ {n \to \infty} n! \cdot \left[ \mathrm{e} - 1 + \frac {1}{1 !} + \dots + \frac {1}{n !} \right] \\ & = \lim _ {n \to \infty} n! \cdot \frac {\theta_ {n}}{n ! \cdot n} \\ & = 0 \end{array}
$$

15.求极限 $\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{n + 1} +\frac{1}{n + 2} +\dots \frac{1}{n + n}\right).$

提示:

利用题 10 的结论即可求解

解：

由题 10 结论得:

$$
1 + \frac {1}{2} + \frac {1}{3} + \dots + \frac {1}{n} = \ln n + \gamma + \varepsilon_ {n}\tag{1}
$$

$$
1 + \frac {1}{2} + \frac {1}{3} + \dots + \frac {1}{2 n} = \ln 2 n + \gamma + \varepsilon_ {2 n}\tag{2}
$$

由（2）减去（1）得

当 $n\to \infty$ 时

$$
\lim _ {n \rightarrow \infty} \left(\frac {1}{n + 1} + \frac {1}{n + 2} + \dots \frac {1}{n + n}\right) = \ln 2
$$

16. 设 $x_{n} = \left(1 + \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{2^{2}}\right) \cdots \left(1 + \frac{1}{2^{n}}\right)$ . 证明: $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在.

提示:

利用题6的结论与单调有界定理即可求解

证明：

因为：显然 $x_{n} > 0$

$$
\frac {x _ {n + 1}}{x _ {n}} = 1 + \frac {1}{2 ^ {2}} > 1
$$

从而有： $\{x_{n}\}$ 单调递增

$$
\begin{array}{l} x _ {n} = \left(1 + \frac {1}{2}\right) \left(1 + \frac {1}{2 ^ {2}}\right) \dots \left(1 + \frac {1}{2 ^ {n}}\right) \\ = \exp \left[ \ln \left(1 + \frac {1}{2}\right) + \ln \left(1 + \frac {1}{2 ^ {2}}\right) + \dots + \ln \left(1 + \frac {1}{2 ^ {n}}\right) \right] \\ \leqslant \exp \left(\frac {1}{2} + \frac {1}{2 ^ {2}} + \dots + \frac {1}{2 ^ {n}}\right) \\ = \exp \left(1 - \frac {1}{2 ^ {n}}\right) \\ \leqslant e \end{array}
$$

由单调有界准则可得:

$\lim_{n\to \infty}x_n$ 存在.

问题 1.6

(我只能说：太他妈经典了)

1. 求证：当 $n \geqslant 3$ 时，有不等式

$$
\sum_ {k = 1} ^ {n} \frac {1}{k !} - \frac {3}{2 n} <   \left(1 + \frac {1}{n}\right) ^ {n} <   \sum_ {k = 1} ^ {n} \frac {1}{k !}.
$$

利用二项式定理求解:

题目有误，改为：

$$
\sum_ {k = 0} ^ {n} \frac {1}{k !} - \frac {3}{2 n} <   \left(1 + \frac {1}{n}\right) ^ {n} <   \sum_ {k = 0} ^ {n} \frac {1}{k !}
$$

证明：对于不等式右边：

$$
\begin{array}{l} \left(1 + \frac {1}{n}\right) ^ {n} = 1 + n \cdot \frac {1}{n} + \frac {n (n - 1)}{2} \cdot \frac {1}{n ^ {2}} + \frac {n (n - 1) (n - 2)}{3 !} \cdot \frac {1}{n ^ {3}} + \dots + \frac {n (n - 1) \cdots 1}{n !} \frac {1}{n ^ {n}} \\ = \frac {1}{0 !} + \frac {1}{1 !} + \frac {1}{2 !} \cdot \left(1 - \frac {1}{n}\right) + \frac {1}{3 !} \cdot \left(1 - \frac {1}{n}\right) \left(1 - \frac {2}{n}\right) + \dots + \frac {1}{n !} \cdot \left(1 - \frac {1}{n}\right) \left(1 - \frac {2}{n}\right) \dots \left(1 - \frac {n - 1}{n}\right) \\ <   \frac {1}{0 !} + \frac {1}{1 !} + \frac {1}{2 !} + \frac {1}{3 !} + \dots + \frac {1}{n !} = \sum_ {k = 0} ^ {n} \frac {1}{k !} \end{array}
$$

对于不等式左边:

$$
\begin{array}{l} \left(1 + \frac {1}{n}\right) ^ {n} = 1 + n \cdot \frac {1}{n} + \frac {n (n - 1)}{2} \cdot \frac {1}{n ^ {2}} + \frac {n (n - 1) (n - 2)}{3 !} \cdot \frac {1}{n ^ {3}} + \dots + \frac {n (n - 1) \cdots 1}{n !} \frac {1}{n ^ {n}} \\ \qquad = \frac {1}{0 !} + \frac {1}{1 !} + \frac {1}{2 !} \cdot \left(1 - \frac {1}{n}\right) + \frac {1}{3 !} \cdot \left(1 - \frac {1}{n}\right) \left(1 - \frac {2}{n}\right) + \dots + \frac {1}{n !} \cdot \left(1 - \frac {1}{n}\right) \left(1 - \frac {2}{n}\right) \dots \left(1 - \frac {n - 1}{n}\right) \\ \qquad > \frac {1}{0 !} + \frac {1}{1 !} + \frac {1}{2 !} \cdot \left(1 - \frac {1}{n}\right) + \frac {1}{3 !} \cdot \left(1 - \frac {1}{n}\right) \left(1 - \frac {2}{n}\right) + \dots + \frac {1}{n !} \cdot \left(1 + \frac {1}{n}\right) \left(1 - \frac {2}{n}\right) \dots \left(1 - \frac {n - 1}{n}\right) \\ \qquad = \frac {1}{0 !} + \frac {1}{1 !} + \frac {1}{2 !} + \frac {1}{3 !} + \dots + \frac {1}{n !} - \frac {1}{n \cdot 2 !} - \frac {3}{n \cdot 3 !} - \dots - \frac {\frac {n (n - 1)}{2}}{n \cdot n !} \\ \qquad = \sum_ {k = 0} ^ {n} \frac {1}{k !} - \frac {1}{2 n} \cdot \left[ \sum_ {k = 0} ^ {n} \frac {k (k - 1)}{k !} \right] \\ \qquad = \sum_ {k = 0} ^ {n} \frac {1}{k !} - \frac {1}{2 n} \cdot \left[ \sum_ {k = 2} ^ {n} \frac {1}{k !} \right] \\ \qquad > \sum_ {k = 0} ^ {n} \frac {1}{k !} - \frac {\mathrm{e}}{2 n} \\ \qquad > \sum_ {k = 0} ^ {n} \frac {1}{k !} - \frac {3}{2 n} \end{array}
$$

证毕

□

2. 求证等式:

$$
1 + \frac {1}{3} + \frac {1}{5} + \dots + \frac {1}{2 n - 1} = \ln 2 \sqrt {n} + \frac {\gamma}{2} + \varepsilon_ {n},
$$

其中 $\gamma$ 是Euler常数， $\lim_{n\to \infty}\varepsilon_n = 0.$

提示：利用题 10 的结论求解.

证明：

$$
\begin{array}{r l} 1 + \frac {1}{3} + \dots + \frac {1}{2 n - 1} & = 1 + \frac {1}{2} + \dots + \frac {1}{2 n} - \left(\frac {1}{2} + \frac {1}{4} + \dots + \frac {1}{2 n}\right) \\ & = \ln 2 n + \gamma + \varepsilon_ {2 n} - \frac {1}{2} \cdot \left(1 + \frac {1}{2} + \dots + \frac {1}{n}\right) \\ & = \ln 2 n + \gamma + \varepsilon_ {2 n} - \frac {1}{2} [ \ln n + \gamma + \varepsilon_ {n} ] \\ & = \ln 2 \sqrt {n} + \frac {\gamma}{2} + \left(\varepsilon_ {2 n} - \frac {\varepsilon_ {n}}{2}\right) \\ & = \ln 2 \sqrt {n} + \frac {\gamma}{2} + \varepsilon_ {n} \end{array}
$$

Tip:式 $\varepsilon_{n}$ 中只是表示误差，或者表述一个高阶无穷小 $(n\to 0)$ ，而非具体的表达式

## 3. 求极限

$$
\lim _ {n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac {1}{n ^ {2}}\right)\left(1 + \frac {2}{n ^ {2}}\right) \dots \left(1 + \frac {n}{n ^ {2}}\right).
$$

为了防止产生对等价无穷小的错误理解，在此题前补先一个题：

引题1. 设 $x \to 0$ 时， $f(x) \sim x$ ， $x_n = \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{2i - 1}{n^2} a\right)$ .

（1）证明： $\lim_{n\to \infty}x_n = a$

（2）试根据（1）结论，证明：

① $\lim_{n\to\infty}\prod_{i=1}^{n}\left(1+\frac{2i-1}{n^{2}}a^{2}\right)=\mathrm{e}^{a^{2}}$

② $\lim_{n\to \infty}\prod_{i = 1}^{n}\cos \left(\frac{\sqrt{2i - 1}}{n^2} a^2\right) = \mathrm{e}^{-\frac{a^4}{2}}$

(1)

证明：

由题干可知:

$$
\lim _ {x \rightarrow 0} \frac {f (x)}{x} = 1
$$

从而有:

$$
\lim _ {x \rightarrow 0} \frac {f (x) - x}{x} = 0
$$

由无穷小量阶的比较定义得:

$$
f (x) - x = o (x)
$$

也即：

$$
f (x) = x + o (x)
$$

因此可得:

$$
x _ {n} = \sum_ {i = 1} ^ {n} f \left(\frac {2 i - 1}{n ^ {2}} a\right) = \sum_ {i = 1} ^ {n} \frac {2 i - 1}{n ^ {2}} a + \sum_ {i = 1} ^ {n} o \left(\frac {1}{n}\right) = \frac {n ^ {2}}{n ^ {2}} a = a
$$

注：这里是先求和再计算无穷，所以不会出现无穷个无穷小相加的情况。

此结论的直观理解是:

如果一个求和的通项每一项都是等价无穷小我们可以证明可以利用等价无穷小来求和运算

(2)

证明：

①由（1）结论以及 $\ln(x+1)\sim x$ 可得：

$$
\begin{array}{r l} \lim _ {n \to \infty} \prod_ {i = 1} ^ {n} \left(1 + \frac {2 i - 1}{n ^ {2}} a ^ {2}\right) & = \exp \sum_ {i = 1} ^ {n} \ln \left(1 + \frac {2 i - 1}{n ^ {2}} a ^ {2}\right) \\ & = \exp \sum_ {i = 1} ^ {n} \frac {2 i - 1}{n ^ {2}} a ^ {2} \\ & = \mathrm{e} ^ {a ^ {2}} \end{array}
$$

②由（1）结论以及 $\ln x\sim x - 1$ ， $\cos x - 1\sim -\frac{1}{2} x^2$ 可得

$$
\begin{array}{l} \lim _ {n \to \infty} \prod_ {i = 1} ^ {n} \cos \left(\frac {\sqrt {2 i - 1}}{n ^ {2}} a ^ {2}\right) = \exp \lim _ {n \to \infty} \sum_ {i = 1} ^ {n} \ln \left(\cos \left(\frac {\sqrt {2 i - 1}}{n ^ {2}} a ^ {2}\right)\right) \\ = \exp \lim _ {n \to \infty} \sum_ {i = 1} ^ {n} \left(\cos \left(\frac {\sqrt {2 i - 1}}{n ^ {2}} a ^ {2}\right) - 1\right) \\ = \exp \lim _ {n \to \infty} - \frac {1}{2} \sum_ {i = 1} ^ {n} \frac {2 i - 1}{n ^ {2}} a ^ {4} \\ = e ^ {- \frac {a ^ {4}}{2}} \end{array}
$$

现在回解题 3:

解法一：

根据引题 1 的（1）结论（特别标注这边不是等价无穷小!!!）得：

$$
\begin{array}{r l} \lim _ {n \to \infty} & \left(1 + \frac {1}{n ^ {2}}\right) \left(1 + \frac {2}{n ^ {2}}\right) \dots \left(1 + \frac {n}{n ^ {2}}\right) = \exp \lim _ {n \to \infty} \ln \left(1 + \frac {1}{n ^ {2}}\right) + \ln \left(1 + \frac {2}{n ^ {2}}\right) + \dots + \ln \left(1 + \frac {n}{n ^ {2}}\right) \\ & = \exp \lim _ {n \to \infty} \frac {1 + 2 + \cdots + n}{n ^ {2}} \\ & = \exp \lim _ {n \to \infty} \frac {(1 + n) n}{2 n ^ {2}} \\ & = e ^ {1 / 2} \end{array}
$$

解法二：利用题7的结论使用夹逼定理求解.

由题 7 结论得:

$$
\frac {k}{n ^ {2} + n} <   \frac {k}{n ^ {2} + k} <   \ln \left(1 + \frac {k}{n ^ {2}}\right) <   \frac {k}{n ^ {2}}
$$

从而有:

$$
\sum_ {k = 1} ^ {n} \frac {k}{n ^ {2} + n} <   \sum_ {k = 1} ^ {n} \ln \left(1 + \frac {k}{n ^ {2}}\right) <   \sum_ {k = 1} ^ {n} \frac {k}{n ^ {2}}
$$

也即：

$$
\frac {1}{2} <   \sum_ {k = 1} ^ {n} \ln \left(1 + \frac {k}{n ^ {2}}\right) <   \frac {n + 1}{2 n}
$$

利用夹逼定理可得:

$$
\sum_ {k = 1} ^ {n} \ln \left(1 + \frac {k}{n ^ {2}}\right) = \frac {1}{2}
$$

从而：

$$
\begin{array}{c}\lim _ {n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac {1}{n ^ {2}}\right)\left(1 + \frac {2}{n ^ {2}}\right) \dots \left(1 + \frac {n}{n ^ {2}}\right) = \exp \lim _ {n \rightarrow \infty} \sum_ {k = 1} ^ {n} \ln \left(1 + \frac {k}{n ^ {2}}\right)\\= e ^ {1 / 2}\end{array}
$$

4. 记 $H_{n}=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}$ （ $n=1,2,\cdots$ ），用 $k_{n}$ 表示使得 $H_{k}\geqslant n$ 的最小下标。证明：

$$
\lim _ {n \to \infty} \frac {k _ {n + 1}}{k _ {n}} = \mathrm{e}.
$$

解（利用题 10 的结论与夹逼定理）:

由已知:

$$
H _ {k _ {n} - 1} <   n \leqslant H _ {k _ {n}}
$$

从而有:

$$
n \leqslant H _ {k _ {n}} <   n + \frac {1}{k _ {n}}
$$

从而有：

$$
1 - \frac {1}{k _ {n}} <   H _ {k _ {n + 1}} - H _ {k _ {n}} <   1 + \frac {1}{k _ {n + 1}}
$$

从而根据夹逼定理得到:

$$
\lim _ {n \to \infty} \left(H _ {k _ {n + 1}} - H _ {k _ {n}}\right) = 1
$$

从而根据题 10 的结论知道:

$$
\lim _ {n \rightarrow \infty} \ln \frac {k _ {n + 1}}{k _ {n}} = 1
$$

从而有:

$$
\lim _ {n \to \infty} \frac {k _ {n + 1}}{k _ {n}} = \mathrm{e}
$$

5. 设 $s_n = 1 + 2^2 + 3^3 + \cdots + n^n$ . 求证：当 $n \geqslant 3$ 时，有

$$
n ^ {n} \left(1 + \frac {1}{4 (n - 1)}\right) <   s _ {n} <   n ^ {n} \left(1 + \frac {2}{\mathrm{e} (n - 1)}\right)
$$

大胆放缩系列

利用数列 $\left\{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n + 1}\right\}$ 递减趋于e，有

$$
\begin{array}{r l} \frac {s _ {n}}{n ^ {n}} - 1 & = \frac {1 + 2 ^ {2} + \cdots + (n - 1) ^ {n - 1}}{n ^ {n}} \leqslant \frac {(n - 2) ^ {n - 1} + (n - 1) ^ {n - 1}}{n ^ {n}} \\ & <   \frac {2 (n - 1) ^ {n - 1}}{n ^ {n}} = \frac {2}{n - 1} \frac {(n - 1) ^ {n}}{n ^ {n}} <   \frac {2}{\mathrm{e} (n - 1)} \end{array}
$$

以及

$$
\frac {s _ {n}}{n ^ {n}} - 1 = \frac {1 + 2 ^ {2} + \cdots + (n - 1) ^ {n - 1}}{n ^ {n}} \geqslant \frac {(n - 1) ^ {n - 1}}{n ^ {n}} = \frac {1}{n - 1} \frac {1}{\left(1 + \frac {1}{n - 1}\right) ^ {n}} \geqslant \frac {1}{4 (n - 1)} \square
$$