# 渐近符号、余项合并与无穷小比较 **本文统一约定：数学分析部分对 $O,o,\Omega,\Theta$ 采用模长定义，绝对值已经包含在定义中，记号外不必重复写出；算法分析部分遵循教材的最终非负函数定义。渐近等价 $f\sim g$ 在两种语境下都要求 $f/g\to1$，不改为模长之比趋于 $1$。** ·如果 $f$ 是实值函数：$\left|f\right|$ 是绝对值。 ·如果 $f$ 是复值函数：$|f|$ 是模长。 ·在渐近记号里，两者写法一样，作用也一样：表示“幅度”。 ## 一、先明确极限过程与术语 渐近符号 $O,o,\Omega,\Theta,\sim$ 用来描述指定极限过程中的相对大小，并不限定自变量趋于零。它们可以用于 $$ t\to a,\qquad t\to a^\pm,\qquad t\to+\infty,\qquad t\to-\infty, $$ 也可以用于数列 $n\to\infty$。 **自变量趋向哪里，与函数是否为无穷小，是两件不同的事。** 只有函数在指定极限过程中趋于零，才称它为无穷小。 例如，$x\to+\infty$ 时，$1/x$ 和 $1/x^2$ 都是无穷小；而 $x^2+x\sim x^2$ 描述的是渐近等价，不是等价无穷小。 ### 应用场景对照：无穷小比较与算法渐近分析 **两者都在同一个指定的极限过程中比较函数的相对大小，但不要求两个函数具有相同的极限趋势。** 要区分自变量的趋向、函数值的趋向，以及比较关系本身。 | 比较项目 | 数学分析中的无穷小比较 | 算法渐近分析 | | ------- | ------------------------------------------- | -------------------------------------- | | 常见自变量过程 | $x\to a$、$h\to0$，也可以是 $x\to\infty$ | 输入规模 $n\to\infty$ | | 比较对象 | 都趋于零的函数、误差或余项 | 时间或空间函数与参照函数 | | 函数值的前提 | 称为无穷小比较时，要求 $f,g\to0$ | 按本文教材约定，要求最终非负，不要求都趋于无穷 | | 主要问题 | 谁相对更小、谁趋于零更快，主项与余项如何区分 | 资源需求随规模如何变化，有什么上界、下界和紧确界 | | 典型例子 | $x^2=o(x)$（$x\to0$），$\sin x\sim x$（$x\to0$） | $3n+2=\Theta(n)$，常数时间 $T(n)=\Theta(1)$ | $T(n)$ 通常表示： 算法运行时间 (或运行代价)作为输入规模 $n$ 的函数。 · $n$:输入规模，比如数组长度、图的节点数、字符串长度等。 · $T(n)$:当输入规模为 $n$ 时，算法需要多少时间 (或多少基本操作次数)。 #### 无穷小只是数学分析中的一种重要场景 在求极限、泰勒展开和近似计算中，常常比较趋于零的误差和余项。此时附加 $f,g\to0$，才使用“高阶、低阶、同阶、等价无穷小”等名称。这不是一般渐近记号的共同前提。 例如，当 $x\to+\infty$ 时， $$ f(x)=\frac1x\to0,\qquad g(x)=x\to+\infty, \qquad \frac{f(x)}{g(x)}=\frac1{x^2}\to0. $$ 所以 $f=o(g)$，但不能称它们为两个无穷小之间的比较。两个函数甚至不必各自存在极限，例如 $$ 2+\sin x=\Theta(1)\qquad(x\to+\infty), $$ 因为 $1\le2+\sin x\le3$，虽然左边一直振荡。 #### 输入规模趋于无穷，不代表运行时间必然趋于无穷 算法渐近分析先指定 $n\to\infty$，再研究运行时间 $T(n)$ 的大小变化；不能直接推出 $T(n)\to\infty$。 例如，$T(n)=n$ 趋于无穷，而 $T(n)=5$ 始终保持常数。在通常的随机访问计算模型下，访问数组指定下标的元素可以是 $\Theta(1)$；无序数组顺序查找的最坏时间为 $\Theta(n)$，二分查找的最坏时间为 $\Theta(\log n)$。 参照函数也不必与运行时间具有相同趋势，例如 $$ 1=O(n)\qquad(n\to\infty). $$ 运行时间 (或你要分析的函数) 是：1 参照函数(用来做上界比较的函数) 是：$n$ 也就是说，写成 $f(n)=O(g(n))$ 时： $f(n)$ 是“运行时间”/被描述的函数； $g(n)$ 是“参照函数"/用来当上界的函数。 这里左边保持常数，右边趋于无穷。这是有效但不紧的上界。若已知 $T(n)\ge cn$（$c>0$）最终成立，才能据此推出 $T(n)\to\infty$。 上述仅仅表示： $$T(n) \leq Cn$$ 但这并不能说明 $T(n)$ 会变大。 $$ T(n) = 1$$ 显然： $$1 = O(n)$$ 但： $$ T(n) = 1 \not\to \infty$$ #### “最坏情况”与“趋于无穷”是两个不同维度 最坏情况是固定输入规模 $n$，在所有该规模的输入中取运行时间的最大值： $$ T_{\mathrm{worst}}(n) =\max_{\operatorname{size}(I)=n}T(I), $$ 其中假设该最大值存在。然后才研究 $n\to\infty$ 时 $T_{\mathrm{worst}}(n)$ 的渐近行为。即使是最坏情况时间，也可以保持常数；渐近记号同样可以用于最好情况、平均情况或期望时间，并不专属于最坏情况。 因此，不能把“微积分比较无穷小”与“算法分析比较无穷大”作为普遍对立。准确的区分是：**前者在这一特定场景下要求函数趋于零；后者让输入规模趋于无穷，但资源函数是否趋于无穷，要由具体算法决定。** ### 1. 算法分析：采用教材中的渐近非负函数约定 本小节遵循《算法导论》约定：讨论 $n\to\infty$，函数 $f(n),g(n)$ 最终非负。“最终非负”只要求 $n$ 足够大时非负，不要求在所有位置都非负。涉及比值时，再要求 $g(n)$ 最终为正。 | 符号 | 定义或判断方式 | 是否需要绝对值 | | ------------- | -------------------------------------------- | -------------- | | $f=O(g)$ | 存在 $C>0$，最终有 $0\le f(n)\le Cg(n)$ | 不需要，已经限定非负 | | $f=\Omega(g)$ | 存在 $c>0$，最终有 $0\le cg(n)\le f(n)$ | 不需要，已经限定非负 | | $f=\Theta(g)$ | 存在 $c,C>0$，最终有 $0\le cg(n)\le f(n)\le Cg(n)$ | 不需要，已经限定非负 | | $f=o(g)$ | 在 $g$ 最终为正时，$\displaystyle f(n)/g(n)\to0$ | 不需要，非负时取绝对值也一样 | | $f\sim g$ | 在 $g$ 最终为正时，$\displaystyle f(n)/g(n)\to1$ | 不需要，非负时取绝对值也一样 | 常数 $c,C$ 不依赖 $n$。此处用等号是渐近记号的惯用写法，例如 $f=O(g)$ 表示 $f\in O(g)$，不是两个普通数值相等。表中的 $\sim$ 是用于比较的渐近等价关系。 如果原函数带负号，而要研究其大小，因为你规定为非负，就明确把比较对象写成绝对值。例如 $f(n)=-n^2$，按这套非负定义： $$ f\notin\Theta(n^2),\qquad |f|\in\Theta(n^2). $$ **不要在这套定义下，默默把 $f$ 换成 $|f|$，却仍写成 $f=\Theta(g)$。** 这与后文的数学分析中的绝对值含义不一样。 ### 2. 数学分析：允许带符号函数，区分大小与符号 本笔记的数学分析部分允许实值或复值函数，对 $O,o,\Omega,\Theta$ 统一采用以下模长定义。这里的“最终”取决于指定的极限过程，常数 $c,C>0$ 不依赖自变量。 | 符号 | 本文采用的定义或判断方式 | 记号外是否必须写绝对值 | | --- | --- | --- | | $f=O(g)$ | 存在 $C>0$，最终有 $\lvert f\rvert\le C\lvert g\rvert$ | 不必，定义已包含模长 | | $f=o(g)$ | 对每个 $\varepsilon>0$，最终有 $\lvert f\rvert\le\varepsilon\lvert g\rvert$ | 不必，定义已包含模长 | | $f=\Omega(g)$ | 存在 $c>0$，最终有 $\lvert f\rvert\ge c\lvert g\rvert$ | 不必，定义已包含模长 | | $f=\Theta(g)$ | 存在 $c,C>0$，最终有 $c\lvert g\rvert\le\lvert f\rvert\le C\lvert g\rvert$ | 不必，定义已包含模长 | | $f\sim g$ | $g$ 最终非零，且 $\displaystyle f/g\to1$ | 保留原比值，不能只比较模长 | 当 $g$ 最终非零时，小 $o$ 的定义等价于 $f/g\to0$，也等价于 $|f|/|g|\to0$。 **直接写 $f=\Omega(g)$、$f=\Theta(g)$ 与写 $f=O(g)$ 一样严格：它们都在调用已经声明的定义。** 是否在记号外写绝对值，与上界、下界的方向无关。本文的模长约定不代表所有数学分析文献都采用相同定义，阅读其他文献时仍需核对其约定，尤其是 $\Omega$。 例如 $x\to+\infty$ 时，$-x^2=\Theta(x^2)$ 在本节的模长定义下成立；按上一节教材的非负定义则不成立，需写成 $|-x^2|=\Theta(x^2)$。两种语境下应分别依据各自定义判断，不能混用。 #### 模长比较的完整定义：说明约定后，可以直接使用符号 设 $f,g$ 为实值或复值函数，讨论实自变量 $x\to a$，其中 $a$ 是定义域的聚点，并假设 $g$ 在某个去心邻域内非零。复值函数的 $|f|$ 表示模，实值函数的 $|f|$ 表示绝对值。以下不等式均只针对定义域内的 $x$。 **大 $O$（常见的数学分析定义）：** $$ f=O(g) \iff \exists C>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x:\quad 0<|x-a|<\delta\ \Longrightarrow\ |f(x)|\le C|g(x)|. $$ **小 $o$（常见的数学分析定义）：** $$ f=o(g) \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x:\quad 0<|x-a|<\delta\ \Longrightarrow\ |f(x)|\le\varepsilon|g(x)|. $$ 这里的 $\delta$ 可以依赖 $\varepsilon$。等价地， $$ \frac{|f(x)|}{|g(x)|}\to0 \iff\frac{f(x)}{g(x)}\to0. $$ **模长下界 $\Omega$（明确采用此约定时）：** $$ f=\Omega(g) \iff \exists c>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x:\quad 0<|x-a|<\delta\ \Longrightarrow\ |f(x)|\ge c|g(x)|. $$ **模长紧确界 $\Theta$（明确采用此约定时）：** $$ f=\Theta(g) \iff \exists c,C>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x:\quad 0<|x-a|<\delta\ \Longrightarrow\ c|g(x)|\le|f(x)|\le C|g(x)|. $$ 常数 $c,C$ 不依赖 $x$。若讨论 $x\to+\infty$，将上述 $\exists\delta>0$ 和邻域条件换为 $\exists T$、$x>T$；讨论 $n\to\infty$，则换为 $\exists N$、$n\ge N$。小 $o$ 中阈值同样允许依赖 $\varepsilon$。 **在这一明确的模长约定下，四个符号都可以直接作用于带符号或复值函数：** $$ \begin{aligned} f=O(g)&\iff |f|=O(|g|),\\ f=o(g)&\iff |f|=o(|g|),\\ f=\Omega(g)&\iff |f|=\Omega(|g|),\\ f=\Theta(g)&\iff |f|=\Theta(|g|). \end{aligned} $$ 后文的余项、带符号函数及牛顿法误差分析均使用本节的模长约定，直接写 $f=\Omega(g)$、$f=\Theta(g)$；证明中的不等式仍保留绝对值。算法分析的非负约定只在明确讨论该语境时使用。 **渐近等价单独定义，不能并入上述模长规则：** $$ f\sim g \iff\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1. $$ 它保留实函数的符号信息以及复函数的相对相位信息。若 $f/g\to-1$，则 $f\sim -g$、$|f|\sim|g|$，但 $f\not\sim g$。 #### 比值极限判据：与不等式定义的关系 “标准 $\varepsilon - \delta$ 定义”和“比值定义”是两种等价写法。 在具体计算和证明中，比值写法通常更简单，因为它把渐近关系变成了求极限或有界性问题。 但标准定义更严谨、更通用，尤其在 𝑔 有零点或做抽象证明时更合适。 沿用本节的模长约定，设 $g(x)$ 在 $x\to a$ 的某个去心邻域内非零，记 $$ R(x)=\frac{|f(x)|}{|g(x)|}\ge0. $$ **小 $o$ 的极限条件与定义完全等价：** $$ \boxed{f=o(g)\iff\lim_{x\to a}R(x)=0}. $$ 因为 $R(x)\to0$ 的含义是：对任意 $\varepsilon>0$，在足够小的去心邻域内有 $R(x)<\varepsilon$，也就是 $|f(x)|<\varepsilon|g(x)|$。若定义使用 $\le$，也不影响结论：对给定的 $\varepsilon$，先使用 $\varepsilon/2$ 即可得到严格小于。这里用到了 $|g(x)|>0$。 **大 $O$ 的一般定义是比值最终有界，不要求普通极限存在：** $$ \boxed{f=O(g)\iff\exists C>0,\quad R(x)\le C\text{ 最终成立}}. $$ “若 $\lim R(x)\le M$，则 $f=O(g)$”是正确的充分条件，其中 $M$ 是有限常数，并且这个普通极限存在。设 $R(x)\to L<\infty$，则最终有 $R(x)0$，允许为 $+\infty$ | | $f=\Theta(g)$ | $\displaystyle0<\liminf_{x\to a}R(x)\le\limsup_{x\to a}R(x)<+\infty$ | | $f\sim g$ | $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)/g(x)=1$，使用原比值而不是 $R(x)$ | 上极限描述趋近过程中的最终上包络，下极限描述最终下包络；它们可以处理比值振荡的情形。若普通极限 $R(x)\to L$ 存在，则上、下极限都等于 $L$：$L=0$ 给出小 $o$，$00$，当 $0<\lvert t-a\rvert<\delta$ 时成立 | | $t\to+\infty$ | 存在 $T$，当 $t>T$ 时成立 | | $t\to-\infty$ | 存在 $T$，当 $t0$，当 $n$ 足够大时， $$ |r_n|\le C_1|e_n|^2,\qquad |s_n|\le C_2|e_n|^4. $$ ### 1. 取负号不改变大 $O$ 的阶 因为 $$ |-r_n|=|r_n|\le C_1|e_n|^2, $$ 所以 $-r_n=O(e_n^2)$。大 $O$ 控制大小，不记录正负号。 ### 2. 四阶余项也满足二阶上界 由于 $e_n\to0$，最终有 $|e_n|\le1$，于是 $$ |e_n|^4\le|e_n|^2. $$ 因此 $$ |s_n|\le C_2|e_n|^4\le C_2|e_n|^2, $$ 即 $s_n=O(e_n^2)$。这样描述更粗略，丢掉了它实际上更小的信息。 ### 3. 合并后的余项仍满足二阶上界 由三角不等式， $$ \begin{aligned} |-r_n+s_n| &\le |r_n|+|s_n|\\ &\le C_1|e_n|^2+C_2|e_n|^4\\ &\le(C_1+C_2)|e_n|^2. \end{aligned} $$ $C_1+C_2$ 仍是与 $n$ 无关的常数，因此 $$ \boxed{-r_n+s_n=O(e_n^2)}. $$ 所以 $$ 1-r_n+O(e_n^4)=1+O(e_n^2). $$ **“并入”不是把四阶项删掉，而是将两个余项合起来，用共同的二阶上界描述它们。** 例如，当 $|e_n|\le1$ 时， $$ |-3e_n^2+5e_n^4|\le8|e_n|^2, $$ 所以 $1-3e_n^2+5e_n^4=1+O(e_n^2)$。 ## 三、小 $o$ 的合并：检查比值是否趋于零 本节取 $t\to0^+$。 ### 1. 合并规则的前提与证明 **设两个余项 $a(t),b(t)$ 已分别满足 $a(t)=o(t^2)$、$b(t)=o(t^2)$。这是本条规则的前提，不是说任意两个函数都满足它。** 这里的 $a,b$ 表示两个函数，不是商 $a/b$。 要证明的命题是：如果两个余项分别都比 $t^2$ 小得多，那么它们的和也比 $t^2$ 小得多。由定义， $$ \frac{a(t)}{t^2}\to0,\qquad \frac{b(t)}{t^2}\to0. $$ 因此 $$ \frac{a(t)+b(t)}{t^2} =\frac{a(t)}{t^2}+\frac{b(t)}{t^2}\to0, $$ 所以 $$ o(t^2)+o(t^2)=o(t^2). $$ ### 2. 具有相同参照物，不代表两个余项大小相同 例如，取 $a(t)=t^3$、$b(t)=t^4$。当 $t\to0^+$ 时， $$ \frac{t^3}{t^2}=t\to0,\qquad \frac{t^4}{t^2}=t^2\to0. $$ 所以它们都属于 $o(t^2)$，但 $t^4=o(t^3)$，后者相对更小。**$o(t^2)$ 描述的是相对于同一个参照物 $t^2$ 的关系，不规定两个余项彼此等价或同阶。** 这条加法规则也不能直接用于商。同一个例子中， $$ \frac{a(t)}{b(t)}=\frac{t^3}{t^4}=\frac1t\to+\infty, $$ 所以不能由 $a=o(t^2)$、$b=o(t^2)$ 推出 $a/b=o(t^2)$。 ### 3. 与大 $O$ 余项一起合并 对于四阶大 $O$ 余项，还有更强的结论： $$ \boxed{O(t^4)\subset o(t^2)}. $$ 因为若 $|r(t)|\le Ct^4$，则 $$ \left|\frac{r(t)}{t^2}\right|\le Ct^2\to0. $$ 因此 $$ o(t^2)+O(t^4)=o(t^2). $$ 但一般只能得到 $$ O(t^2)+o(t^2)=O(t^2), $$ 不能保证结果是 $o(t^2)$。例如 $(t^2+t^3)/t^2\to1$，不趋于零。 这些运算式表示：符合左边条件的余项相加后，满足右边的估计；并非在把大 $O$、小 $o$ 当作某个固定数值运算。 ## 四、渐近等价：主项加上相对可忽略的误差 本节沿用数学分析中的模长约定。设 $x\to a$，$a$ 是定义域的聚点，$f,g$ 为实值或复值函数，且 $g$ 在某个去心邻域内非零。所有量词中的 $x$ 均限于定义域内。 ### 1. 渐近等价的极限定义与量词定义 $$ \boxed{f\sim g\quad(x\to a)\iff\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1}. $$ 用 $\varepsilon$-$\delta$ 语言写为 $$ f\sim g \iff\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x:\quad 0<|x-a|<\delta \ \Longrightarrow\ \left|\frac{f(x)}{g(x)}-1\right|<\varepsilon. $$ 这里取绝对值的是“比值与 $1$ 的差”，不是先把比值取绝对值再判断它是否趋于 $1$。上述条件也等价于最终有 $|f-g|<\varepsilon|g|$（对每个 $\varepsilon>0$）。 ### 2. 三种等价写法：比值、差与主项 $$ \boxed{ f\sim g \iff\frac fg\to1 \iff f-g=o(g) \iff f=g+o(g) }. $$ 证明为 $$ \frac{f-g}{g}=\frac fg-1\to0. $$ 其中 $f=g+o(g)$ 表示存在余项 $r=f-g$，满足 $r/g\to0$，并且 $f=g+r$。余项相对于 $g$ 可忽略，但不一定本身趋于零；只有附加 $g\to0$ 时，才是无穷小比较的场景。 ### 3. 模长等价不是另一种等价写法 $$ \left|\frac fg\right|\to1 \iff |f|\sim|g| $$ 一般不能推出 $f\sim g$。例如 $f=-g$ 时，原比值为 $-1$，模长比值为 $1$，所以 $$ f\sim -g,\qquad |f|\sim|g|,\qquad f\not\sim g. $$ 对实函数，模长比值趋于 $1$ 再加上最终同号，才能推出原比值趋于 $1$；对复函数，还需要相对相位趋于零。例如 $f=ig$ 的模长比值也是 $1$，但原比值为 $i$，不等于 $1$。 ### 4. 渐近等价与紧确界的关系 若 $f/g\to1$，取 $\varepsilon=1/2$，则最终有 $$ \left|\frac fg-1\right|<\frac12. $$ 由三角不等式和反三角不等式， $$ \frac12<\left|\frac fg\right|<\frac32. $$ 所以 $$ \boxed{f\sim g\ \Longrightarrow\ f=\Theta(g)}. $$ 反过来不成立。例如 $f(x)=2x$、$g(x)=x$，当 $x\to0$ 时，$f=\Theta(g)$，但 $f/g=2$，所以 $f\not\sim g$。另外，$x(2+\sin(1/x))=\Theta(x)$，但比值在 $[1,3]$ 之间振荡，连普通极限都不存在。 **$\Theta$ 要求比值的模最终有正常数下界和有限上界；$\sim$ 要求原比值趋于 $1$。** 两者不能混同为“比值被两个正常数夹住”，因为原比值可以为负数或复数。 ### 5. 与大 $O$、小 $o$、$\Omega$ 的逻辑关系 | 关系 | 是否成立 | 原因 | | --- | --- | --- | | $f\sim g\Rightarrow f=O(g)$ | 成立 | 模长比值最终有界 | | $f\sim g\Rightarrow f=\Omega(g)$ | 成立 | 模长比值最终有正常数下界 | | $f\sim g\Rightarrow f=\Theta(g)$ | 成立 | 同时满足上、下界 | | $f\sim g\Rightarrow f=o(g)$ | 不成立，二者不相容 | 原比值不可能同时趋于 $1$ 和 $0$ | | $f=o(g)\Rightarrow f\sim g$ | 不成立，二者不相容 | 原比值趋于 $0$，不是 $1$ | 在本节 $g$ 最终非零的前提下，不存在“$g=0$ 的例外”，因为那已经不满足比值有定义的条件。 正确的逻辑结构是 $$ f\sim g\ \Longrightarrow\ f=\Theta(g) \ \Longleftrightarrow\ \bigl(f=O(g)\text{ 且 }f=\Omega(g)\bigr), $$ 以及 $$ f=o(g)\ \Longrightarrow\ f=O(g). $$ 这里 $\Theta$ 与“同时满足 $O$ 和 $\Omega$”是等价，而不是严格的强弱关系。小 $o$ 与本文的 $\Omega$ 在这些前提下不相容：前者要求模长比值趋于零，后者要求它最终至少为某个 $c>0$。 但“不趋于零”不等于“有正常数下界”。例如 $f=x^2(1+\sin(1/x))$、$g=x^2$，当 $x\to0$ 时，模长比值在 $[0,2]$ 之间振荡，既不趋于零，也没有正常数下界。因此 $f\ne o(g)$ 并不能推出 $f=\Omega(g)$。 ### 6. 五种记号的形式定义与极限判据汇总 记 $Q=f/g$、$R=|Q|$；表中不等式均要求在 $0<|x-a|<\delta$ 的所有定义域点上成立。 | 关系 | 形式定义中的量词与条件 | 等价的极限判据 | | ------------- | --------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------- | | $f=O(g)$ | $\exists C>0,\exists\delta>0:\ R\le C$ | $\limsup_{x\to a}R<+\infty$ | | $f=o(g)$ | $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\ R\le\varepsilon$ | $\lim_{x\to a}R=0$，等价于 $Q\to0$ | | $f=\Omega(g)$ | $\exists c>0,\exists\delta>0:\ R\ge c$ | $\liminf_{x\to a}R>0$，允许为 $+\infty$ | | $f=\Theta(g)$ | $\exists c,C>0,\exists\delta>0:\ c\le R\le C$ | $0<\liminf_{x\to a}R\le\limsup_{x\to a}R<+\infty$ | | $f\sim g$ | $\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0:\ \lvert Q-1\rvert<\varepsilon$ | $\lim_{x\to a}Q=1$ | ### 7. 常见例子与等价替换 | 渐近关系 | 极限过程 | 比值判断 | | --- | --- | --- | | $\sin x\sim x$ | $x\to0$ | $\sin x/x\to1$ | | $1-\cos x\sim x^2/2$ | $x\to0$ | $(1-\cos x)/(x^2/2)\to1$ | | $2x\not\sim x$，但 $2x=\Theta(x)$ | $x\to0$ | 比值恒为 $2$ | | $x^2+x\sim x^2$ | $x\to+\infty$ | $1+1/x\to1$ | 前两行是等价无穷小，最后一行不是无穷小比较。另如 $t^2+t^4\sim t^2$（$t\to0^+$），因为余项 $t^4=o(t^2)$。 等价关系可以用于乘除：若 $f\sim g$、$h\sim k$，则 $$ \frac{fh}{gk}=\frac fg\frac hk\to1, $$ 因此 $fh\sim gk$；除法同理，但需保证相应分母最终非零。 **加减不能随意替换，因为主项可能抵消。** 例如，当 $t\to0^+$ 时， $$ t+t^2\sim t,\qquad t+t^3\sim t, $$ 但 $$ (t+t^2)-(t+t^3)=t^2-t^3\sim t^2. $$ 如果先把两项都替换成 $t$，就只剩下零，真正的主项被丢掉了。这也是牛顿法误差推导需要保留二次项的原因：一次项会抵消。 ## 五、上下界的合并：区分非负函数与带符号函数 本节采用数学分析部分的模长定义，并取 $g>0$ 以简化证明。记号可直接写 $f=\Omega(g)$，但其含义仍是最终有 $|f|\ge cg$。 ### 1. 带符号函数相加，绝对值下界可能失效 对于非负函数，加上另一个非负函数不会破坏已有下界。但允许正负号时，即使 $f=\Omega(g)$、$h=\Omega(g)$，和的绝对值也可能因为抵消而失去下界。 例如，当 $t\to0^+$ 时， $$ f(t)=t^2,\qquad h(t)=-t^2+t^3. $$ 两者满足 $f=\Omega(t^2)$、$h=\Omega(t^2)$，但 $|f+h|=t^3$ 不是 $\Omega(t^2)$。同样，即使 $f=\Theta(g)$、$h=\Theta(g)$，也不能保证 $f+h=\Theta(g)$。这不是两个非负函数相加的反例，因为这里相加的是带符号的 $f,h$，而非 $|f|,|h|$。 ### 2. 小 $o$ 扰动不会破坏已有下界 设 $f=\Omega(g)$，即最终有 $|f|\ge cg$；又设 $r=o(g)$，则最终有 $$ |r|\le\frac c2g. $$ 由反三角不等式， $$ |f+r|\ge|f|-|r|\ge cg-\frac c2g=\frac c2g. $$ 因此 $$ \boxed{f=\Omega(g),\quad r=o(g)\ \Longrightarrow\ f+r=\Omega(g)}. $$ ### 3. 小 $o$ 扰动也不会破坏紧确界 若 $f=\Theta(g)$，则最终有 $cg\le|f|\le Cg$。结合 $r=o(g)$，得到 $$ \frac c2g\le|f+r|\le\left(C+\frac c2\right)g. $$ 所以 $$ \boxed{f=\Theta(g),\quad r=o(g)\ \Longrightarrow\ f+r=\Theta(g)}. $$ 例如，当 $t\to0^+$ 时， $$ 3t^2+O(t^4)=\Theta(t^2), \qquad 3t^2+O(t^4)\sim3t^2. $$ ## 六、改变极限方向，哪些结论会改变？ ### 1. 幂函数的大小关系需要重新判断 当 $t\to0$ 时，$t^4/t^2=t^2\to0$，所以 $t^4=o(t^2)$。 当 $t\to+\infty$ 时，$t^4/t^2\to+\infty$，此时 $t^4$ 不是 $O(t^2)$，也不是 $o(t^2)$；反而有 $$ t^2=o(t^4). $$ | 表达式 | $t\to0$ | $t\to+\infty$ | | --- | --- | --- | | $t^2+t^4$ | $\sim t^2$ | $\sim t^4$ | | $3t^2+5t^4$ | $\sim3t^2$ | $\sim5t^4$ | 因此，“高次幂更小”依赖于底数趋于零。 趋向有限点 $a$ 时，可以用到该点的距离比较阶数。若 $\beta>\alpha$，则 $$ |t-a|^\beta=o(|t-a|^\alpha)\qquad(t\to a). $$ 例如，$(t-3)^4=o((t-3)^2)$（$t\to3$）。但直接比较 $t^4$ 与 $t^2$，其比值趋于 $9$，所以此时 $t^4=\Theta(t^2)$，却不是 $t^4\sim t^2$。 ### 2. 一般运算规则不依赖自变量趋向哪里 在同一个指定的极限过程中，下列规则仍成立： $$ \begin{aligned} O(g)+O(g)&=O(g),\\ o(g)+o(g)&=o(g),\\ O(g)+o(g)&=O(g). \end{aligned} $$ 这里的大 $O$、小 $o$ 使用数学分析中允许带符号函数的定义。涉及下界和紧确界时，同样采用模长定义，使用上一节的结论：$f=\Omega(g)$、$r=o(g)$ 推出 $f+r=\Omega(g)$；$f=\Theta(g)$、$r=o(g)$ 推出 $f+r=\Theta(g)$，其中 $g>0$。 这些规则依赖上界、下界或比值极限；而 $O(t^4)\subset o(t^2)$ 是具体幂函数的比较，只能在相应极限条件下使用。 ### 3. 倒数展开：关注扰动趋于零，而不是自变量趋于零 **把倒数公式作为小量展开使用时，关注的是分母中的扰动 $r(t)\to0$，并不要求 $t\to0$。** #### 从精确恒等式得到余项上界 有恒等式 $$ \frac1{1+r}=1-r+\frac{r^2}{1+r}\qquad(r\ne-1). $$ 当 $r(t)\to0$ 时，最终有 $|r(t)|<1/2$。由反三角不等式， $$ |1+r(t)|\ge1-|r(t)|>\frac12. $$ 所以 $$ \left|\frac{r(t)^2}{1+r(t)}\right|\le2|r(t)|^2. $$ 这正是大 $O$ 的上界条件，因此 $$ \boxed{\frac1{1+r(t)}=1-r(t)+O(r(t)^2)}. $$ 精确恒等式只要求 $r\ne-1$；这里以 $r(t)\to0$ 为条件，保证分母远离零，并使平方余项相对一次项更小。 #### 当 $t\to+\infty$ 时，仍可以有小扰动 例如 $r(t)=t^{-2}\to0$，于是 $$ \frac1{1+t^{-2}} =1-t^{-2}+O(t^{-4}) =1+O(t^{-2})+O(t^{-4}) =1+O(t^{-2}). $$ 更一般地，若 $r(t)=O(t^{-2})$，则最终有 $$ |r(t)|\le Ct^{-2}\to0. $$ 因此 $$ \frac1{1+r(t)}=1-r(t)+O(t^{-4})=1+O(t^{-2}). $$ 最后一步把 $-r(t)=O(t^{-2})$ 与更小的 $O(t^{-4})$ 余项合并，得到较粗的估计。它常简写为 $$ \boxed{\frac1{1+O(t^{-2})}=1+O(t^{-2})}\qquad(t\to+\infty). $$ $$\frac{1}{1+r}=1+O(t^{-2}) \text{对任意 }r=O(t^{-2}).$$ 两处 $O(t^{-2})$ 表示的余项不一定相同。这不是把一次修正项删掉，而是不再单独显示它。 如果分母是 1 加上一个量级不超过 $t^{-2}$ 的小扰动，那么整个分式等于 1 加上一个量级不超过 $t^{-2}$ 的误 差。意思是分母的小扰动不会放大，结果仍然只是 1 加上同量级的小误差。 #### 这与泰勒展开的 $o(r)$ 余项有什么关系？ 一阶泰勒展开可以写为 $$ \frac1{1+r}=1-r+o(r)\qquad(r\to0). $$ 本例通过精确余项 $r^2/(1+r)$，进一步得到 $O(r^2)$ 这个更强的估计。由于 $O(r^2)\subset o(r)$，两种写法兼容，但**不能仅凭某个余项是 $o(r)$，就把它改写为 $O(r^2)$**。例如 $|r|^{3/2}=o(r)$，却不是 $O(r^2)$。 #### 为什么只知道 $r(t)=O(t^2)$ 不够？ 当 $t\to+\infty$ 时，$r(t)=O(t^2)$ 只表示最终有 $|r(t)|\le Ct^2$。右边越来越大，并不能保证左边趋于零。 | $r(t)$ | 当 $t\to+\infty$ 时 | 对分母及展开的影响 | | --- | --- | --- | | $t^{-2}$ | 趋于零 | 可以按小扰动展开 | | $t^2$ | 趋于无穷 | 不能据此作小扰动近似 | | $-1$ | 恒为 $-1$ | $1+r(t)=0$，倒数无定义 | 这三个函数都满足 $r(t)=O(t^2)$。因此，仅知道这个上界，无法判断扰动是否趋于零，甚至无法保证倒数有定义。 ## 七、应用于牛顿法的误差分析 设 $e_n\to0$，并且已经证明 $$ e_{n+1}=Ce_n^2+O(|e_n|^3),\qquad C\ne0. $$ 由于任一 $O(|e_n|^3)$ 余项都是 $o(e_n^2)$，所以 $$ e_{n+1}=Ce_n^2+o(e_n^2). $$ 假设迭代没有有限步恰好到达根，相关比值最终有定义，则 $$ e_{n+1}\sim Ce_n^2,\qquad e_{n+1}=\Theta(e_n^2), $$ 并且 $$ \boxed{\frac{|e_{n+1}|}{|e_n|^2}\to|C|>0}. $$ 这给出了严格的二阶收敛结论。 如果 $C=0$，当前公式只能推出 $$ e_{n+1}=O(|e_n|^3),\qquad e_{n+1}=o(e_n^2), $$ 不能再断言 $e_{n+1}=\Theta(e_n^2)$。 **上界允许实际量更小；下界和紧确界则不允许主项完全消失。** ## 八、不同渐近关系之间的运算规则 ### 1. 使用范围与表格的读法 以下均在同一个指定的极限过程中讨论，$g,h$ 最终非零，采用本文数学分析部分的模长定义，允许函数带符号或取复值。表格给出的是**由条件保证的结论**，不是两个固定数值的代数等式，也不表示结果只能属于所列的一个类别。 例如，写“$f=O(g)$、$r=o(g)$ 推出 $f+r=O(g)$”，不排除某个具体例子的和实际上属于 $o(g)$。为避免误解，下表直接列出函数的条件与结论，不把关系类别之间的运算一律写成等号。 ### 2. 同一参照函数下的全部两项加法组合 加法可交换，五种关系共有以下十五种无序组合。 | $f$ 的条件 | $r$ 的条件 | 对 $f+r$ 能保证什么 | | --- | --- | --- | | $f=o(g)$ | $r=o(g)$ | $f+r=o(g)$ | | $f=o(g)$ | $r=O(g)$ | $f+r=O(g)$ | | $f=o(g)$ | $r=\Omega(g)$ | $f+r=\Omega(g)$，且 $f+r\sim r$ | | $f=o(g)$ | $r=\Theta(g)$ | $f+r=\Theta(g)$，且 $f+r\sim r$ | | $f=o(g)$ | $r\sim g$ | $f+r\sim g$ | | $f=O(g)$ | $r=O(g)$ | $f+r=O(g)$ | | $f=O(g)$ | $r=\Omega(g)$ | 一般不能保证 $O(g)$ 或 $\Omega(g)$ | | $f=O(g)$ | $r=\Theta(g)$ | $f+r=O(g)$，下界可能失效 | | $f=O(g)$ | $r\sim g$ | $f+r=O(g)$，不保证等价于 $g$ | | $f=\Omega(g)$ | $r=\Omega(g)$ | 一般不能保证 $O(g)$ 或 $\Omega(g)$ | | $f=\Omega(g)$ | $r=\Theta(g)$ | 一般不能保证 $O(g)$ 或 $\Omega(g)$ | | $f=\Omega(g)$ | $r\sim g$ | 一般不能保证 $O(g)$ 或 $\Omega(g)$ | | $f=\Theta(g)$ | $r=\Theta(g)$ | $f+r=O(g)$，不保证 $\Theta(g)$ | | $f=\Theta(g)$ | $r\sim g$ | $f+r=O(g)$，不保证 $\Theta(g)$ | | $f\sim g$ | $r\sim g$ | $f+r\sim2g$，一般不是 $f+r\sim g$ | **上界来自三角不等式，下界可能因相消丢失。** 取 $f=g$、$r=-g$，就可以检验多条下界失败的情形。没有上界保证则可用 $x\to+\infty$、$g=1$、某个仅有 $\Omega(1)$ 条件的项取 $x$ 来说明。 小 $o$ 扰动为何更稳定？若 $f=\Omega(g)$、$r=o(g)$，则最终有 $|f|\ge c|g|$，因此 $$ \left|\frac rf\right|\le\frac1c\left|\frac rg\right|\to0. $$ 于是 $r=o(f)$，从而 $$ f+r=f\left(1+\frac rf\right)\sim f. $$ 这比“保留下界”更精确。相反，$O(g)$ 扰动可能和主项同样大，足以抵消它。 带符号的减法可以先写成 $f-r=f+(-r)$：取负不改变 $O,o,\Omega,\Theta$，但若 $r\sim g$，则 $-r\sim-g$，不能仍按等价于 $g$ 处理。例如 $f\sim g$、$r\sim g$ 时，$f-r=o(g)$。 ### 3. 算法分析中的非负加法：下界不会因抵消消失 若按教材约定，$f,r$ 最终非负、$g$ 最终为正，则 $f+r\ge f$ 且 $f+r\ge r$。因此，上表中以下结论可以加强： | 条件 | 非负情形下的结论 | | --- | --- | | 一项为 $\Omega(g)$，另一项最终非负 | 和为 $\Omega(g)$ | | 一项为 $\Theta(g)$，另一项为非负的 $O(g)$ | 和为 $\Theta(g)$ | | 两项均为 $\Theta(g)$ | 和为 $\Theta(g)$ | | 一项等价于 $g$，另一项为非负的 $O(g)$ | 和为 $\Theta(g)$，不一定等价于 $g$ | 最后一行可取两项都等于 $g$：和为 $2g$。非负加法的规则不能直接照搬到减法；相减仍可能抵消。 ### 4. 不同参照函数、主项系数与有限多项 若 $f=O(g)$、$r=O(h)$，由三角不等式可得 $$ f+r=O(|g|+|h|). $$ 若 $f=o(g)$、$r=o(h)$，则同样有 $$ f+r=o(|g|+|h|). $$ 若进一步 $h=o(g)$，则 $O(h)$ 中的每个余项都属于 $o(g)$。因此， $$ f=o(g),\quad r=O(h),\quad h=o(g) \quad\Longrightarrow\quad f+r=o(g). $$ 取 $g=t^2$、$h=t^4$、$t\to0$，就得到原文的 $o(t^2)+O(t^4)=o(t^2)$。 等价相加需要关注主项系数。设固定常数 $A,B$ 满足 $$ f=Ag+o(g),\qquad r=Bg+o(g). $$ 那么 $$ f+r=(A+B)g+o(g). $$ 若 $A+B\ne0$，才能写成 $f+r\sim(A+B)g$；若 $A+B=0$，只能直接得到 $f+r=o(g)$，不能写 $f+r\sim0$。 对于不同主项，$f_1\sim g_1$、$f_2\sim g_2$ 不总能推出和的等价。一个足够的“不严重相消”条件是：$g_1+g_2$ 最终非零，且 $$ |g_1|+|g_2|=O(|g_1+g_2|). $$ 此时误差之和是 $o(g_1+g_2)$，故 $f_1+f_2\sim g_1+g_2$。实值主项最终同号时，这个条件自动满足。 上述稳定的加法规则可以逐次用于**固定有限个**函数。例如，固定 $m$ 时， $$ f_j=o(g)\ (1\le j\le m)\ \Longrightarrow\ \sum_{j=1}^m f_j=o(g), $$ $$ f_j\sim g\ (1\le j\le m)\ \Longrightarrow\ \sum_{j=1}^m f_j\sim mg. $$ 若项数也随变量增长，不能直接套用。例如 $n\to\infty$ 时，每个固定下标的项 $1/n=o(1)$，但 $\sum_{j=1}^n1/n=1$ 不是 $o(1)$。 ### 5. 乘法：同类规则稳定，混合上下界仍需条件 设左因子为 $f$，参照函数为 $g$；右因子为 $r$，参照函数为 $h$。用 $$ \left|\frac{fr}{gh}\right|=\left|\frac fg\right|\left|\frac rh\right| $$ 可以直接判断： | $f$ 的条件 | $r$ 的条件 | 乘积结论 | | --- | --- | --- | | $O(g)$ | $O(h)$ | $fr=O(gh)$ | | $O(g)$ | $o(h)$ | $fr=o(gh)$ | | $O(g)$ | $\Omega(h)$ | 一般无统一上下界保证 | | $O(g)$ | $\Theta(h)$ | $fr=O(gh)$ | | $o(g)$ | $o(h)$ | $fr=o(gh)$ | | $o(g)$ | $\Omega(h)$ | 一般无统一上下界保证 | | $o(g)$ | $\Theta(h)$ | $fr=o(gh)$ | | $\Omega(g)$ | $\Omega(h)$ | $fr=\Omega(gh)$ | | $\Omega(g)$ | $\Theta(h)$ | $fr=\Omega(gh)$ | | $\Theta(g)$ | $\Theta(h)$ | $fr=\Theta(gh)$ | 交换两因子及其参照函数，可得到其余有序组合。 若 $f\sim g$、$r\sim h$，则 $fr\sim gh$。若仅有 $r\sim h$，它也满足 $\Theta(h)$，因此与其他四类相乘时可用表中 $\Theta(h)$ 的对应规则。 **不能笼统说“乘法所有记号都能直接相乘”。** 例如 $t\to0^+$，取 $g=h=1$、$f=t=o(1)$，而 $r$ 分别取 $1,t^{-1},t^{-2}$，都满足 $r=\Omega(1)$，乘积却分别趋于 $0,1,+\infty$。 ### 6. 除法：必须控制分母，不能把上界直接相除 若 $r$ 最终非零，则 $$ \left|\frac{1/r}{1/h}\right|=\left|\frac hr\right|. $$ 所以 $$ \begin{aligned} r=\Omega(h)&\Longrightarrow 1/r=O(1/h),\\ r=O(h),\ r\ne0\text{ 最终成立}&\Longrightarrow 1/r=\Omega(1/h),\\ r=\Theta(h)&\Longrightarrow 1/r=\Theta(1/h),\\ r\sim h&\Longrightarrow 1/r\sim1/h. \end{aligned} $$ 再用乘法表即可判断商。例如， $$ f=O(g),\ r=\Omega(h)\ \Longrightarrow\ f/r=O(g/h), $$ $$ f=o(g),\ r=\Omega(h)\ \Longrightarrow\ f/r=o(g/h), $$ $$ f=\Theta(g),\ r=\Theta(h)\ \Longrightarrow\ f/r=\Theta(g/h). $$ 若 $f\sim g$、$r\sim h$，则 $f/r\sim g/h$。但仅有两个上界 $f=O(g)$、$r=O(h)$ 不足以控制商：取 $t\to0^+$、$f=1$、$r=t$、$g=h=1$，两者都是 $O(1)$，商 $1/t$ 却不是 $O(1)$。 ## 九、同一渐近记号内，何时能更换比较函数？ ### 1. 先区分单向包含与双向等价 “$O(x^2)\Rightarrow O(x)$”更准确地写成 $$ f=O(x^2)\ \Longrightarrow\ f=O(x), $$ 或函数类包含 $O(x^2)\subseteq O(x)$。这通常表示放宽估计、丢失精度，**不是说两个阶可以等价互换**。 例如 $x\to0$ 时，$x^2$ 比 $|x|$ 更小，所以一个 $O(x^2)$ 上界也给出 $O(x)$ 上界；反过来，$f=x$ 就不满足 $O(x^2)$。 ### 2. 换参照函数的统一方法 固定同一个极限过程，设 $g,h$ 最终非零。恒等式 $$ \frac fh=\frac fg\frac gh $$ 说明：更换参照函数，相当于给原比值乘上 $g/h$。 | 已知关系 | 关于 $g,h$ 的条件 | 可推出的关系 | | --- | --- | --- | | $f=O(g)$ | $g=O(h)$ | $f=O(h)$ | | $f=o(g)$ | $g=O(h)$ | $f=o(h)$ | | $f=O(g)$ | $g=o(h)$ | $f=o(h)$，比大 $O$ 更强 | | $f=\Omega(g)$ | $g=\Omega(h)$ | $f=\Omega(h)$ | | $f=\Theta(g)$ | $g=\Theta(h)$ | $f=\Theta(h)$ | | $f\sim g$ | $g\sim h$ | $f\sim h$ | 前三行来自“有界乘有界仍有界、趋零乘有界仍趋零”；下界规则来自两个模长正下界相乘；等价规则来自两个趋于 $1$ 的原比值相乘。 若只有 $g=\Theta(h)$，可在 $O,o,\Omega,\Theta$ 中双向更换参照函数： $$ \begin{aligned} O(g)&=O(h),& o(g)&=o(h),\\ \Omega(g)&=\Omega(h),& \Theta(g)&=\Theta(h). \end{aligned} $$ 这里是函数类的相等。对 $\sim$ 则需要更强的 $g\sim h$：仅有 $g=2h$，不能从 $f\sim g$ 推出 $f\sim h$，但可以推出 $f\sim2h$。 对大 $O$、下界 $\Omega$、紧确界 $\Theta$，函数类包含还可精确写为 $$ \begin{aligned} O(g)\subseteq O(h)&\iff g=O(h),\\ \Omega(g)\subseteq\Omega(h)&\iff g=\Omega(h),\\ \Theta(g)\subseteq\Theta(h)&\iff g=\Theta(h). \end{aligned} $$ 充分性由上表得到；必要性只需把 $f=g$ 代入相应的“对所有 $f$”命题。最后一行一旦成立，实际上有 $\Theta(g)=\Theta(h)$。 这些是针对整类函数的保证。若条件不足，只是不能对任意 $f$ 推断，不意味着某个具体 $f$ 一定不满足结论。 ### 3. $x^2$ 与 $x$ 的完整对照 下表采用模长定义。“不能保证”表示不存在适用于所有满足前提的 $f$ 的推论。有限点一列取实数 $a\ne0$。 | 待判断的推论 | $x\to0$ | $x\to+\infty$ | $x\to a\ne0$ | | --- | --- | --- | --- | | $f=O(x^2)\Rightarrow f=O(x)$ | 成立，甚至 $f=o(x)$ | 不能保证 | 成立 | | $f=O(x)\Rightarrow f=O(x^2)$ | 不能保证 | 成立，甚至 $f=o(x^2)$ | 成立 | | $f=o(x^2)\Rightarrow f=o(x)$ | 成立 | 不能保证 | 成立 | | $f=o(x)\Rightarrow f=o(x^2)$ | 不能保证 | 成立 | 成立 | | $f=\Omega(x^2)\Rightarrow f=\Omega(x)$ | 不能保证 | 成立 | 成立 | | $f=\Omega(x)\Rightarrow f=\Omega(x^2)$ | 成立 | 不能保证 | 成立 | | $f=\Theta(x^2)\Rightarrow f=\Theta(x)$ | 不成立 | 不成立 | 成立 | | $f=\Theta(x)\Rightarrow f=\Theta(x^2)$ | 不成立 | 不成立 | 成立 | | $f\sim x^2\Rightarrow f\sim x$ | 不成立 | 不成立 | 当且仅当 $a=1$ | | $f\sim x\Rightarrow f\sim x^2$ | 不成立 | 不成立 | 当且仅当 $a=1$ | 大 $O$ 的两个失败方向可分别取 $f=x^2$（$x\to+\infty$）、$f=x$（$x\to0$）。小 $o$ 的失败方向可取 $f=x$（$x\to+\infty$，是 $o(x^2)$ 而非 $o(x)$），以及 $f=x^2$（$x\to0$，是 $o(x)$ 而非 $o(x^2)$）。 下界的失败方向可取 $f=x^2$（$x\to0$）和 $f=x$（$x\to+\infty$）。对 $\Theta$，$|x^2/x|=|x|$ 趋于零或无穷，无法同时保持正下界和有限上界。 当 $x\to a\ne0$ 时，$|x^2/x|\to|a|\in(0,\infty)$，因此两个参照函数在模长意义下同阶，前四类可以双向换。可是原比值 $x^2/x\to a$，所以等价关系只有在 $a=1$ 时才能直接互换。更一般地，此时 $x^2\sim ax$，可以保留系数后替换。 ### 4. 一般幂次：方向由比值决定 为避免实数幂在负底数上的歧义，取正变量 $t$，设固定实数 $p>q$。 当 $t\to0^+$ 时，$t^{p-q}\to0$，所以 $$ O(t^p)\subseteq o(t^q)\subseteq O(t^q), \qquad o(t^p)\subseteq o(t^q), $$ $$ \Omega(t^q)\subseteq\Omega(t^p). $$ 当 $t\to+\infty$ 时，$t^{q-p}\to0$，方向相反： $$ O(t^q)\subseteq o(t^p)\subseteq O(t^p), \qquad o(t^q)\subseteq o(t^p), $$ $$ \Omega(t^p)\subseteq\Omega(t^q). $$ 在这两个极限过程中，$p\ne q$ 时不能在 $\Theta(t^p)$ 与 $\Theta(t^q)$ 之间互换，也不能把 $f\sim t^p$ 改成 $f\sim t^q$。 有限点 $x\to a$ 附近通常以 $t=|x-a|\to0^+$ 比较局部阶数，直接应用趋零的规则即可。 **不要只记“向高次换”或“向低次换”。** 大 $O$ 的安全放宽，是把参照上界换成幅度更大或可比的函数；$\Omega$ 的安全放宽，是把参照下界换成幅度更小或可比的函数。次数大小不直接代表函数幅度大小，必须先看极限过程。 ### 5. 等价替换并非“几乎不能换”，而是要求参照函数本身等价 若 $f\sim g$，则 $$ \boxed{f\sim h\iff g\sim h}. $$ 因此，$\sim$ 的替换在满足条件时非常常用。例如 $x\to0$ 时 $\sin x\sim x$，故 $f\sim\sin x$ 等价于 $f\sim x$。不能做的是把仅仅同阶、但比值不趋于 $1$ 的参照函数任意互换。 更一般地，如果 $g/h\to A\ne0$，则 $$ f\sim g\ \Longrightarrow\ \frac fh\to A\ \Longrightarrow\ f\sim Ah. $$ 这说明保留正确的常数系数，可以继续进行精确的主项替换。