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abstract: "内积、正交投影与最佳逼近的基本理论"
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# 范数与最佳逼近

## 内积、范数与正交

在实函数空间上，给定权函数 $\rho(x)>0$，定义内积

$$
\langle f,g\rangle_\rho=\int_a^b f(x)g(x)\rho(x)\,dx,
\qquad \|f\|_\rho=\sqrt{\langle f,f\rangle_\rho}.
$$

若 $\langle f,g\rangle_\rho=0$，称 $f,g$ 正交。

> [!theorem] 正交投影给出最佳逼近
> 设 $V$ 是内积空间的有限维子空间，$p\in V$ 满足
> $$\langle f-p,v\rangle=0\quad(\forall v\in V),$$
> 则 $p$ 是 $V$ 中唯一的最佳逼近：$\|f-p\|\le\|f-q\|$ 对所有 $q\in V$ 成立。
> ^thm-best-approx

**证明（补充）**　令 $r=p-q\in V$。由 $f-p\perp r$，有
$$\|f-q\|^2=\|(f-p)+r\|^2=\|f-p\|^2+\|r\|^2\ge\|f-p\|^2.$$
等号当且仅当 $q=p$，故最佳逼近存在且唯一。$□$

## 正交化计算

对 $\{1,x,\ldots,x^n\}$ 使用 Gram–Schmidt 正交化：
$$\widetilde p_k=x^k-\sum_{j=0}^{k-1}\frac{\langle x^k,p_j\rangle}{\langle p_j,p_j\rangle}p_j.$$