---
tags: [数值分析, 正交多项式]
上一篇: "[[数学系/数值分析/01 范数与最佳逼近|范数与最佳逼近]]"
下一篇: "[[数学系/数值分析/03 节点导数基函数|节点导数基函数]]"
返回目录: "[[数学系/数值分析/数值分析|数值分析]]"
前置知识: "[[数学系/数值分析/01 范数与最佳逼近|范数与最佳逼近]]"
abstract: "区间 [-1,1] 上权函数 1 的正交多项式"
finished: false
---
# 勒让德多项式

## 定义

在区间 $[-1,1]$、权函数 $\rho(x)=1$ 下，将 $\{1,x,\ldots,x^n\}$ 正交化得到勒让德多项式 $P_n$，规范为 $P_n(1)=1$ 且 $P_0(x)=1$。

> [!theorem] Rodrigues 公式
> $$P_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n.$$
> ^thm-rodrigues

**证明（补充）**　对任意次数 $k<n$ 的多项式 $q$，分部积分 $n$ 次。因 $(x^2-1)^n$ 在端点有足够高阶零点，边界项全为零，故
$$\int_{-1}^{1}P_n(x)q(x)\,dx=\frac{(-1)^n}{2^n n!}\int_{-1}^{1}(x^2-1)^nq^{(n)}(x)\,dx=0,$$
因为 $q^{(n)}=0$。因此 $P_n$ 与所有低于 $n$ 次的多项式正交。$□$

## 三项递推

$$
(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x),\qquad P_0=1,\;P_1=x.
$$