---
tags: [数值分析, 插值, Hermite]
上一篇: "[[数学系/数值分析/02 勒让德多项式|勒让德多项式]]"
返回目录: "[[数学系/数值分析/数值分析|数值分析]]"
前置知识: "[[数学系/数值分析/01 范数与最佳逼近|范数与最佳逼近]]"
abstract: "节点处一阶导数条件对应的 Hermite 基函数"
finished: false
---
# 节点导数基函数

设互异节点 $x_0,\ldots,x_n$，Lagrange 基函数为
$$L_i(x)=\prod_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.$$

> [!theorem] 一阶导数 Hermite 基函数
> 令 $a_i=L_i'(x_i)$，则
> $$H_i(x)=\bigl(1-2a_i(x-x_i)\bigr)L_i(x)^2,\qquad K_i(x)=(x-x_i)L_i(x)^2$$
> 满足 $H_i(x_j)=\delta_{ij},H_i'(x_j)=0,K_i(x_j)=0,K_i'(x_j)=\delta_{ij}$。
> ^thm-hermite-basis

**证明（补充）**　当 $j\ne i$ 时 $L_i(x_j)=0$ 且 $L_i^2$ 至少二阶为零；当 $j=i$ 时 $L_i(x_i)=1$。直接求导得 $H_i(x_i)=1,H_i'(x_i)=0$ 以及 $K_i(x_i)=0,K_i'(x_i)=1$，故结论成立。$□$

因此给定节点值 $f_i$ 和导数值 $d_i$ 的 Hermite 插值为
$$H(x)=\sum_{i=0}^{n}\bigl[f_iH_i(x)+d_iK_i(x)\bigr].$$