## 数学建模



宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。

——华罗庚

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## 数学建模之——微分法建模

## 第3节 相对变化率在建模中的应用

主讲：谢强军




函数 $y = f(x)$

$$
\frac {\Delta y}{\Delta x} = \frac {f (x _ {0} + \Delta x) - f (x _ {0})}{\Delta x} \quad \text {   ——   函数的平均变化率   }
$$

或者称之为绝对变化率.

例如，商品甲每单位价格10元，涨价1元；

仅研究绝对变化率是不够的。

商品乙每单位价格1000元，也涨价1元。

这时商品的绝对改变量都是1元，但各与其原价相比，

两者涨价的百分比却有很大不同，

商品甲涨了10%，而商品乙只涨了0.1%。

 研究函数的相对改变量和相对变化率，是十分必要的！

例如， $y = x^{2}$ ，当 x 由10改变到12时，y 由100改变到144，此时自变量与因变量的绝对改变量分别为 $\Delta x = 2, \Delta y = 44$ ，

而

$$
\frac {\Delta x}{x} = 20 \%, \quad \frac {\Delta y}{y} = 44 \%
$$

这表明当 $x = 10$ 改变到 $x = 12$ 时，

x 产生了 20% 的改变量，y 产生了 44% 的改变量

—— 这就是相对改变量。

另外，

$$
\frac {\Delta y / y}{\Delta x / x} = \frac {44 \%}{20 \%} = 2. 2
$$

这表明在 (10,12) 内，从 x=10 ，

x 改变1%时，y 平均改变2.2%，

称它为从 x=10 到 x=12, 函数 $y=x^{2}$ 的(平均)相对变化率。

【定义】设函数 $y = f(x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处可导，函数的相对改变量 $\frac{\Delta y}{y_{0}}=\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{f(x_{0})}$ 与自变量的相对改变量 $\frac{\Delta x}{x_{0}}$ 之比 $\frac{\Delta y/y_{0}}{\Delta x/x_{0}}$

称为函数 $f(x)$ 从 $x = x_0$ 到 $x = x_0 + \Delta x$ 两点间的相对变化率，或称为两点间的弹性。

【定义】当 $\Delta x \to 0$ 时， $\frac{\Delta y/y_{0}}{\Delta x/x_{0}}$ 的极限称为 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的相对变化率，
（或弹性）。记作

$$
\frac {E y}{E x} \Big | _ {x = x _ {0}} \quad \text {或} \quad \frac {E}{E x} f (x _ {0})
$$

即

$$
\left. \frac {E y}{E x} \right| _ {x = x _ {0}} = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {\Delta y / y _ {0}}{\Delta x / x _ {0}} = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} \bullet \frac {x _ {0}}{y _ {0}} = f ^ {\prime} (x _ {0}) \frac {x _ {0}}{f (x _ {0})}
$$

当 $x_0$ 为定值时， $\frac{Ey}{Ex}\bigg|_{x = x_0}$ 为定值。

对一般的 $x$ ，若 $f(x)$ 可导，则

$$
\frac {E y}{E x} = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {\Delta y / y}{\Delta x / x} = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} \cdot \frac {x}{y} = y ^ {\prime} \frac {x}{y}
$$

是 x 的函数，称为 $f(x)$ 的弹性函数。

函数 $f(x)$ 在点 x 的弹性 $\frac{E}{Ex}f(x)$ 反映了随着 x 的变化 $f(x)$ 变化的幅度的大小，即 $f(x)$ 对 x 的变化反应的强烈程度或灵敏度。

应用说明 $\frac{E}{Ex} f(x_0)$ 表示在点 $x = x_0$ 处，当 $x$ 产生 $1\%$ 的改变时， $f(x)$ 近似地改变 $\frac{E}{Ex} f(x)\%$ 。

在应用问题中解释弹性的具体意义时，常略去“近似”二字。



## 问题

饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80kg重的生猪体重增加2kg.

市场价格目前为8元/kg，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售？

如果估计和预测有误差，对结果有何影响？

分析

投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大。

## 建模及求解

估计 $r = 2$ ， $g = 0.1$

若当前出售，利润为 $80 \times 8 = 640$ （元）

t 天 生猪体重 $w=80+rt$

销售收入 R=pw

出售

出售价格 $p = 8 - gt$

资金投入 C=4t

利润 $Q = R - C = pw - 4t$

$$
Q (t) = (8 - g t) (8 0 + r t) - 4 t
$$

求 $t$ 使 $Q(t)$ 最大

$$
t = \frac {4 r - 4 0 g - 2}{r g} = 1 0
$$

$$
Q (1 0) = 6 6 0 > 6 4 0
$$

10天后出售，可多得利润20元.

数学建模学习

## 敏感性分析

$t=\frac{4r-40g-2}{rg}$ 估计r=2, g=0.1

研究 r, g 微小变化时对模型结果的影响.

\- 设 $g = 0.1$ 不变 $t = \frac{40r - 60}{r}, r \geq 1.5$

t 对 r 的（相对）敏感度

$$
S (t, r) = \frac {\Delta t / t}{\Delta r / r} \approx \frac {\mathrm{d} t}{\mathrm{d} r} \frac {r}{t}
$$

$$
S (t, r) \approx \frac {6 0}{4 0 r - 6 0} = 3
$$

![](建模1.jpg)

生猪每天增加的体重 r 变大1%，出售时间推迟3%.

数学建模学习

## 敏感性分析

$$
t = \frac {4 r - 4 0 g - 2}{r g} \quad \text {估计} r = 2, \quad g = 0. 1
$$

研究 r, g 微小变化时对模型结果的影响.

\- 设 $r = 2$ 不变

$$
t = \frac {3 - 2 0 g}{g}, \quad 0 \leq g \leq 0. 1 5
$$

t 对 g 的（相对）敏感度

$$
S (t, g) = \frac {\Delta t / t}{\Delta g / g} \approx \frac {\mathrm{d} t}{\mathrm{d} g} \frac {g}{t}
$$

$$
S (t, g) = - \frac {3}{3 - 2 0 g} = - 3
$$

![](建模2.jpg)

生猪价格每天的降低g增加1%，出售时间提前3%.

## 强健性分析

数学建模学习

研究 r, g 不是常数时对模型结果的影响.


$$
w = 8 0 + r t \rightarrow w = w (t)
$$

$$
p = 8 - g t \rightarrow p = p (t)
$$

利润 $Q(t) = p(t)w(t) - 4t$

$$
Q ^ {\prime} (t) = 0 \quad \Longrightarrow \quad p ^ {\prime} (t) w (t) + p (t) w ^ {\prime} (t) = 4   \text {每天收入的增值} \quad \text {每天投入的资金}
$$

保留生猪直到每天收入的增值等于每天的费用时出售.

由 $S(t,r)=3$ 若 $1.8 \leq w' \leq 2.2(10\%)$ ，则 $7 \leq t \leq 13 (30\%)$

建议过一周后(t=7)重新估计 $p, p', w, w'$ ，再作计算.