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abstract: '解释每一个容斥项的含义，求出六种口味均出现的十位序列数。'
creation: 2026-10-13
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# 六种口味排成十位序列

## 1. 题意和计数对象

有 6 种不同口味，排成长度为 10 的序列，要求每种口味至少出现一次。

**位置有区别，顺序不同算不同序列；同一种口味可重复使用。** 这里数的是口味序列，不额外区分同口味的个体。

全集 $S$ 是所有长度为 10 的口味序列。每个位置均有 6 种选择，由乘法原理：

$$
|S|=6^{10}.
$$

定义“坏情况”集合

$$
A_i=\{s\in S:\text{第 }i\text{ 种口味在 }s\text{ 中一次都没出现}\},
\quad i=1,\ldots,6.
$$

于是：

- $A_1\cup\cdots\cup A_6$：至少有一种口味不出现。
- $\overline{A_1}\cap\cdots\cap\overline{A_6}$：每一种口味都至少出现一次。

题目要求的数量 $N$ 是

$$
N=\left|\bigcap_{i=1}^{6}\overline{A_i}\right|
=6^{10}-\left|\bigcup_{i=1}^{6}A_i\right|.
$$

> [!important] 原来那个并集公式对应什么
> 在上述 $A_i$ 定义下，并集公式算的是“不合格序列数”，即至少缺一种口味的序列数。它是题目答案中需要从总数减去的那一部分。

## 2. 固定禁用口味，计算交集大小

第 1 种口味不出现时，每个位置仍可任选剩下 5 种，所以 $|A_1|=5^{10}$。

第 1、2 种口味都不出现时，每个位置可任选剩下 4 种，所以 $|A_1\cap A_2|=4^{10}$。

一般地，固定一个下标集合 $I\subseteq[6]$，且 $|I|=j$。强制这些 $j$ 种口味不出现，剩余 $6-j$ 种可选，因此

$$
|A_I|=(6-j)^{10}.
$$

> [!warning] “指定这些口味不出现”不等于“恰好缺这些口味”
> 交集 $A_I$ 只要求 $I$ 中的口味不出现，对其余口味是否出现不作要求。所以这些交集会重叠，需要容斥，不能把它们当作互斥分类直接相加。

## 3. 为什么还要乘组合数

固定 $j$ 后，选哪 $j$ 种口味不出现，有 $\binom6j$ 种选择。每一个对应的交集大小都相同，故

$$
\sum_{\substack{I\subseteq[6]\\|I|=j}}|A_I|
=\binom6j(6-j)^{10}.
$$

这一步把“很多交集大小相加”变成“项数乘每项大小”。一般集合未必具备这种对称性，不能无条件用一个组合数替代内层求和。

## 4. 从补集公式得到答案

将上一式代入补集容斥：

$$
\begin{aligned}
N
&=\sum_{j=0}^{6}(-1)^j
\sum_{\substack{I\subseteq[6]\\|I|=j}}|A_I|\\
&=\boxed{\sum_{j=0}^{6}(-1)^j\binom6j(6-j)^{10}}.
\end{aligned}
$$

| $j$ | 强制不出现的口味种数 | 选取方式 | 每个交集的大小 | 带符号的贡献 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | $1$ | $6^{10}$ | $+6^{10}$ |
| 1 | 1 | $6$ | $5^{10}$ | $-6\cdot5^{10}$ |
| 2 | 2 | $15$ | $4^{10}$ | $+15\cdot4^{10}$ |
| 3 | 3 | $20$ | $3^{10}$ | $-20\cdot3^{10}$ |
| 4 | 4 | $15$ | $2^{10}$ | $+15\cdot2^{10}$ |
| 5 | 5 | $6$ | $1^{10}$ | $-6\cdot1^{10}$ |
| 6 | 6 | $1$ | $0^{10}=0$ | $0$ |

$j=0$ 表示不施加禁用条件，所以对应全集；$j=6$ 时没有任何可用口味，不可能组成长度为 10 的序列，因此该项为零。

展开并计算（数值为整理时补充核验）：

$$
\begin{aligned}
N
&=6^{10}-6\cdot5^{10}+15\cdot4^{10}-20\cdot3^{10}
+15\cdot2^{10}-6\cdot1^{10}+0\\
&=60\,466\,176-58\,593\,750+15\,728\,640
-1\,180\,980+15\,360-6\\
&=\boxed{16\,435\,440}.
\end{aligned}
$$

对应的不合格序列数为 $60\,466\,176-16\,435\,440=44\,030\,736$。

## 5. 复习时抓住这条推导链

三个集合的“奇加偶减” → 按交集涉及的集合个数分层求和 → 从全集减去坏情况并集 → 固定 $j$ 种口味不出现 → 得到 $\binom6j(6-j)^{10}$。

公式中，$j$ 是禁用种数，$\binom6j$ 是禁用对象的选法，$(6-j)^{10}$ 是每次禁用后允许的序列数，$(-1)^j$ 来自补集容斥。求和下标从 $k$ 换成 $j$ 只是改名。

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