---
tags:
- 离散数学
- 数理逻辑
下一篇: '[[数学系/离散数学/02 充分必要条件与逆否命题|充分必要条件与逆否命题]]'
返回目录: '[[数学系/离散数学/离散数学|离散数学]]'
abstract: '命题、蕴含与逻辑等价的基础'
finished: false
---

# 命题与蕴含

## 命题蕴含

若已知 $p\to q$（若 $p$ 成立，则 $q$ 成立），这表示对所有情形，只要 $p$ 为真，$q$ 必为真。

> [!definition] 充分条件
> $p$ 是 $q$ 的充分条件，定义为 $p\to q$。有 $p$ 即足以保证 $q$，但没有 $p$ 时 $q$ 仍可能成立。

> [!definition] 必要条件
> $q$ 是 $p$ 的必要条件，定义为 $p\to q$。若 $q$ 不成立，则由逆否命题可知 $p$ 不成立。

> [!example] 例子
> 下雨 $\to$ 地面湿：下雨是地面湿的充分条件，地面湿是下雨的必要条件；但地面湿也可能由洒水造成。

## 证明规则

> [!theorem] 逆否等价
> $$p\to q\quad\Longleftrightarrow\quad \neg q\to\neg p.$$
> ^thm-contraposition

**证明（补充）**　蕴含 $p\to q$ 仅在 $p$ 真且 $q$ 假时为假；而 $\neg q\to\neg p$ 仅在 $\neg q$ 真且 $\neg p$ 假，即 $q$ 假且 $p$ 真时为假。两者真值表完全相同，故逻辑等价。$□$

## 逻辑等价的判定

> [!proposition] 逆否、反命题与否命题
> $p\to q$ 与 $\neg q\to\neg p$ 等价；一般不能由 $p\to q$ 推出 $q\to p$ 或 $\neg p\to\neg q$。

> [!proof]- 证明
> 真值表表明两者仅在 $p$ 真且 $q$ 假时为假，因此逆否命题等价；反命题和否命题在一般情形下取值不同，不能推出。