# Day 1｜数学与计算机科学：从函数到 AI 的知识地图

计算机中的数学，围绕几个具体问题展开：如何表示数据？如何推理？如何优化？如何处理不确定性？先把这张地图看清楚，再进入公式会更有方向。

## 一、数学在计算机中做什么？

### 1. 描述、推理、优化与预测

**集合与图论**描述对象及其关系，**逻辑**判断条件是否成立，**线性代数**处理多维数据，**微积分与优化**调整模型参数，**概率统计**从随机样本中认识规律，**算法分析**衡量计算成本。

这些工具对应程序中的真实任务：筛选用户、处理图像、训练模型、估计风险，以及判断一种算法能否在有限时间内运行。

### 2. CS、DS 与 AI 的侧重点

计算机科学（CS）关注计算如何实现；数据科学（DS）关注如何从数据中提取信息；人工智能（AI）关注如何构建具有学习、推理和决策能力的系统。它们共享许多数学基础，侧重点却不同。

## 二、从简单函数理解模型

### 1. 一次函数：斜率与截距

$$
y=ax+b.
$$

$a$ 表示 x 每变化一个单位时 y 的变化量，$b$ 是 $x=0$ 时的函数值。$|a|$ 越大，直线越陡。

在线性回归中，斜率描述变量之间的线性关系；截距对应模型的基准输出，但这种关系本身不等于因果关系。

### 2. 二次函数：开口、对称轴与极值

$$
y=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0.
$$

$a$ 决定开口方向与形状，$c$ 决定纵轴截距，对称轴为 $x=-b/(2a)$。当 $a>0$ 时，顶点是最低点。

二阶导数为 $2a$。如果 y 表示位移、x 表示时间，加速度才是这里的 $2a$，不能直接把系数 a 当作加速度。

### 3. 多元函数：从曲线到曲面

$$
z=x^2+y^2.
$$

两个输入对应一张曲面，最低点在 $(0,0,0)$。模型参数更多时，损失函数可以理解为高维空间中的“地形”：每组参数对应一个损失值。

## 三、梯度下降：训练模型的基本直觉

梯度把各参数的局部变化率组合起来。在欧氏空间中，非零梯度指向局部上升最快的方向，因此用负梯度调整参数：

$$
\theta_{t+1}=\theta_t-\eta\nabla L(\theta_t).
$$

$L$ 是损失函数，$\eta$ 是学习率。方向告诉我们往哪里走，学习率决定走多远；训练就是反复计算、更新、评估。

## 四、数学与 AI 应用的连接

| 数学工具 | 主要作用 | 应用例子 |
| --- | --- | --- |
| 向量与矩阵 | 表示数据、批量变换 | Embedding、Transformer |
| 梯度与优化 | 调整参数、降低损失 | SGD、Adam |
| 矩阵分解 | 提取潜在结构 | 推荐系统、降维 |
| 特征值与特征向量 | 寻找关键方向与稳定状态 | PCA、PageRank |
| 概率统计 | 描述随机性与估计误差 | 采样、A/B 测试 |
| 数论 | 构造计算难题 | 密码学 |
| 傅里叶分析 | 从频率角度理解信号 | 滤波、卷积计算 |

## 五、贯穿课程的线索：分解与逼近

泰勒展开用多项式近似函数，矩阵分解把复杂变换拆开，傅里叶分析把信号表示为频率成分，优化算法用一系列局部更新寻找更好的解。

**先选择合适的表示，再把复杂问题拆成可以计算的步骤。** 这是串联后续课程的一条重要线索。