# Day 4｜排列组合与概率：从计数到推断

概率问题先要明确试验规则：顺序是否重要？是否允许重复？每种结果是否等可能？模型一旦选错，公式再熟也会算偏。

## 一、计数：先弄清楚有多少种可能

### 1. 加法原理与乘法原理

互不重叠的类别分别计数再相加，是加法原理；一个过程分成多个步骤，后续选择数固定时把各步数量相乘，是乘法原理。画计数树可以帮助区分“分类”与“分步”。

### 2. 排列与组合

从 n 个不同对象中不重复地选 k 个，考虑顺序用排列，不考虑顺序用组合：

$$
A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!},\qquad \binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
$$

安排岗位要区分角色，选出一个小组通常只关心成员。两者不能混用。

### 3. 隔板法：统计每类数量

将 N 个相同对象分到 m 个不同类别，允许某类为零时，方案数为 $\binom{N+m-1}{m-1}$；要求每类至少一个时，为 $\binom{N-1}{m-1}$，其中 $N\ge m$。

它统计数量配置，不统计抽取顺序。不同配置可能对应不同数量的有序序列，因此**无序方案通常不等概率**。

### 4. 容斥原理：纠正重复计数

$$
|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.
$$

多个集合时继续交替加减交集。它适合处理“至少发生一个”“每类都出现”等带重叠条件的问题。

## 二、概率：为可能性分配权重

### 1. 古典概率与条件概率

有限且等可能的基本结果中，概率等于“有利结果数 ÷ 总结果数”。已知 B 发生后，概率更新为：

$$
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0.
$$

条件概率改变的是已知信息下的判断范围，用于风险评估、诊断和行为预测。

### 2. 独立与互斥

独立表示 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$，知道一件事是否发生不改变另一件事的概率。互斥表示不能同时发生；两个概率都为正的互斥事件并不独立。

独立抽取中，前面连续失败不意味着下一次“应该成功”。这是避免赌徒谬误的关键。

### 3. 贝叶斯更新

$$
P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}.
$$

先验表达观察前的判断，似然描述不同假设生成数据的可能性，后验综合二者。若成功率 p 采用 Beta 先验，观察到 s 次成功、f 次失败后，后验参数变为 $(\alpha+s,\beta+f)$。

“多次没抽到某款”可作为更新其概率的证据，但不能单凭这一现象证明商家操控。

## 三、分布、期望与波动

### 1. 二项分布：固定次数里成功几次

N 次独立试验，每次成功率 p 相同，则：

$$
P(X=k)=\binom Nk p^k(1-p)^{N-k},\quad E[X]=Np,\quad \operatorname{Var}(X)=Np(1-p).
$$

可用于描述点击次数、合格品数量或重复试验中的成功数。

### 2. 几何分布：第一次成功要等多久

若 T 从 1 开始计数，则 $P(T=k)=(1-p)^{k-1}p$，$E[T]=1/p$。它描述独立重复试验中的等待时间，而非保证在第 $1/p$ 次成功。

### 3. 期望与方差

期望 $E[X]$ 是概率加权的平均水平；方差 $E[(X-E[X])^2]$ 衡量围绕均值的波动。同样的期望，可能对应完全不同的风险。

大数定律解释样本均值为何能稳定到期望附近；中心极限定理进一步描述适当标准化后的波动分布。二者条件与区别在 day11 展开。

## 四、盲盒模型：把计数和概率串起来

假设 m 种款式等概率、每次独立抽取，N 次集齐所有款式的概率为：

$$
P(\text{集齐})=\sum_{j=0}^{m}(-1)^j\binom mj\left(\frac{m-j}{m}\right)^N,\qquad N\ge1.
$$

这是用容斥排除“至少缺少一种”的结果。集齐所需次数的期望为 $mH_m=m\sum_{k=1}^m1/k$；六种款式对应 14.7 次。

越接近集齐，抽到新款越难。模型说明的是概率和平均等待时间，不给出某次必中的承诺。

## 五、应用视角：推荐系统中的概率与相似度

推荐流程常包含**召回、粗排、精排、重排**：先缩小候选范围，再预测点击或购买倾向，最后兼顾多样性等目标。

协同过滤利用相似用户或物品；矩阵分解学习隐向量；双塔模型分别编码用户与物品；BPR 通过成对排序偏好训练模型。余弦相似度帮助比较向量方向，预测概率则可能需要校准。

这些是理解推荐系统的通用概念，具体平台是否使用某种机制，需要独立的实现证据。