# Day 9｜行列式、逆矩阵与 QR：从理论公式到数值求解

行列式回答变换是否丢失维度，逆矩阵描述如何还原输入，矩阵分解则把这些理论变成高效的计算步骤。

## 一、行列式的代数与几何意义

### 1. 面积、体积与取向

二维中：

$$
\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.
$$

行列式的绝对值是面积缩放倍数，三维对应体积缩放，符号反映取向。行列式为零意味着方阵表示的变换把某些独立方向压到一起。

### 2. 可逆性的等价描述

对 n 阶方阵：

$$
\det(A)\ne0\iff\operatorname{rank}(A)=n\iff A\text{ 可逆}.
$$

这也意味着对任意 b，$Ax=b$ 有唯一解。若行列式为零，则至少存在一个非零向量被映为零，无法唯一恢复所有输入。

### 3. 组合变换与行列式

$$
\det(AB)=\det(A)\det(B).
$$

连续做两次变换，总体积缩放因子等于各自缩放因子的乘积。消元中交换两行会改变行列式符号，给一行加上另一行的倍数不改变行列式；三角矩阵的行列式等于对角线元素之积。

## 二、从余子式到逆矩阵

### 1. 余子式、代数余子式与伴随矩阵

删去 $a_{ij}$ 所在行和列后，剩下子矩阵的行列式是余子式 $M_{ij}$；代数余子式为 $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$。

把 C 转置得到伴随矩阵 $\operatorname{adj}(A)=C^T$。这里的伴随指 adjugate，不是复矩阵的共轭转置。

### 2. 求逆公式

核心恒等式为 $A\operatorname{adj}(A)=\det(A)I$，因此可逆时：

$$
A^{-1}=\frac{\operatorname{adj}(A)}{\det(A)}.
$$

二阶情形直接得到：

$$
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}
=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix},\quad ad-bc\ne0.
$$

该公式解释了可逆性与行列式的关系，也适合低维手算。

## 三、克莱姆法则与高斯—若尔当法

### 1. 克莱姆法则

可逆方阵方程 $Ax=b$ 的第 i 个分量为：

$$
x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)},
$$

其中 $A_i$ 将 A 的第 i 列替换成 b。它提供明确的理论表达，但逐个计算行列式通常不如直接分解求解高效。

阶乘复杂度对应朴素余子式递归展开；行列式本身可以通过常规稠密消元在 $O(n^3)$ 时间内计算。

### 2. 高斯—若尔当求逆

对增广矩阵作行变换：

$$
[A\mid I]\longrightarrow[I\mid A^{-1}].
$$

当左侧化为单位矩阵，右侧就是逆矩阵。本质上同时求解多个右端项，常规稠密实现的运算规模为 $O(n^3)$。

## 四、最小二乘与 QR 分解

### 1. 不能精确满足所有方程怎么办？

最小二乘求 $\min_x\|Ax-b\|_2^2$，使总残差尽可能小。它广泛用于回归、参数估计和标定。

### 2. QR：用正交变换简化问题

对于列满秩、行数不少于列数的 A，薄 QR 分解写作 $A=QR$，其中 Q 的列正交归一，R 为可逆上三角矩阵。最小二乘解可通过：

$$
Rx=Q^Tb
$$

求得。正交变换有利于保持欧氏长度结构，并避免显式构造正规方程 $A^TA$ 所带来的条件数平方问题。

### 3. 如何计算 QR？

Gram–Schmidt 逐步去除投影，适合理解原理；Householder 反射常用于数值计算；Givens 旋转每次只作用于两个坐标，适合某些需要局部更新的结构。

## 五、计算时优先考虑什么？

如果只需要解 $Ax=b$，通常直接求解，不先计算 $A^{-1}$。显式求逆增加工作，也可能破坏稀疏结构。

行列式用于判断精确可逆性，条件数用于衡量扰动敏感性，残差用于检查当前解是否满足方程。**三者关注不同问题，应结合使用。**