# day10 阅读核验与疑问

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## 特征分解的适用范围

一般矩阵未必有完整的特征向量基；实对称矩阵可以正交对角化。不同特征值的特征向量正交是对称矩阵的性质，不能无条件推广。同一重特征值空间内可以选正交基，任意两条特征向量却未必正交。

$Av=0$ 且 $v\ne0$ 表示零特征值和非平凡零空间。此时输出为零，没有方向；负实特征值表示方向翻转。谱分解不要求所有特征值非零。

## 连续与离散系统的稳定性

- 连续线性系统 $\dot x=Ax$ 渐近稳定：所有特征值实部严格小于零。
- 离散线性系统 $x_{k+1}=Ax_k$ 渐近稳定：所有特征值模严格小于一。

> [!proof] 单个特征方向的演化
> 初态为特征向量 $v$ 时，连续系统沿该方向为 $e^{\lambda t}v$，离散系统为 $\lambda^kv$，分别得到实部与模的衰减条件。一般矩阵的完整结论还需处理 Jordan 块；边界等号情形不能据此简单断言渐近稳定。

## 几何与应用措辞

普通线性变换固定原点，不能直接表达非零平移；可用齐次坐标表示仿射变换。行列式的绝对值给出面积或体积的缩放倍数，符号还携带取向信息。

量子力学中的算子可以作用于无限维空间，不能一律当成有限矩阵。振动、量子与推荐系统部分保留为理解类比；原外链图片未实际打开检查，图中内容不计入此次核验。