# 特征值、特征向量与应用

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## 从刚体旋转到特征值

欧拉刚体旋转

![|530x435](http://lxsj.cstam.org.cn/fileLXYSJ/journal/article/lxysj/html/article/2022/1000-0879/1000-0879-44-2-385/thumbnail/img_1.png)

欧拉
18 世纪研究刚体旋转主轴特征向量的雏形主轴的方向是特征向量的方向
拉格朗日
18 世纪行星轨道的变化用特定的坐标系来表示对角化思想复杂的运动方程可以解耦成几个独立的简单方程
7
柯西
19 世纪 正式定义了特征值
det(A - λ I) = 0
联系了行列式与特征值，特征值λ为方程的根
实对称矩阵特征值实数 且特征向量互相正交
希尔伯特
1904 德国数学家 积分方程 Eigenwert
Eigen 自己的固有的
特征值是矩阵自己固有的值
频率固定，取决于琴弦的长度、张力、质量
用力拉会变形对准了方向只拉伸不弯曲弦的“固有方向”
弹簧震动、桥梁摆动、建筑抗震等需要分析固有频率固有模态特征向量特征值
矩阵变换的“不旋转方向”
只改变长度，不改变方向
只改变长度，不改变方向，就像这些向量好像是一个钉子，它钉在了原来的直线上面。所以这个向量我们把它叫什么叫特征？向量长度被改变的倍数就叫特征值。
矩阵变换的“不旋转方向”
只改变长度，不改变方向类似于向量是“钉子”，钉在了原来的直线上该向量为特征向量；长度被改变的倍数是特征值

## PageRank 与应用线索

Google PageRank
Internet 图网页一个节点链接边
定义一个“随机游走”的矩阵用户随机点击链接经过无数次跳转后用户停留在每个页面的概率会趋于稳定
稳定概率向量 矩阵主特征向量 对应的特征值为 1
Google 搜索排名的底层数学原理
耦合 Coupling
解耦 Decoupled

需要简化复杂系统一个系统 1000 变量 特征值分解赠
Image Processing
PCA 降维找协方差矩阵的最大特征值对应的特征向量
系统的“主轴”
机器学习：PCA 降维、谱聚类、特征脸
DS：协方差矩阵分析、主成分分析
图形学：刚体变换、物理引擎
图论：PageRank、谱图理论
控制论：系统稳定性、可控性分析
《工程控制论》钱学森

## 稳定性分析与练习目标

稳定性分析（控制论）
动态系统是否稳定,取决于矩阵的特征值
如果所有特征值的实部都小于 0，系统是稳定的（会衰减至 0)
如果任何特征值的实部都大于 0，系统是发散的（爆炸）
要求：
1. 会求解特征值和特征向量
2. 验证理论，矩阵的迹等于特征值之和，行列式等于特征值之积 
3.  对称矩阵，验证特征向量互相正交
4. Python 计算特征值验证公式
5. 用 PCA 对二维数据降维到一维，画出降维前后的散点图t-SNE降维


## Gram-Schmidt 正交化