# day11 阅读核验与疑问

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## 大数定律、中心极限定理与标准误

大数定律描述依概率或几乎处处收敛，不保证每次增加样本都更准，也不保证有限次数稳赢。经典独立同分布中心极限定理在有限正方差条件下为

$$
\frac{\sqrt n(\bar X_n-\mu)}{\sigma}\ \xrightarrow{d}\ N(0,1).
$$

独立同分布、方差有限时，$\operatorname{Var}(\bar X_n)=\sigma^2/n$ 是精确等式，不需要先用中心极限定理。正态近似及用样本标准差代替总体标准差则另有适用条件。没有置信水平的“需要多少样本”表不能视作概率保证。

> [!proof] 切比雪夫不等式与弱大数定律
> 对非负随机变量 $Y$，$E[Y]\ge aP(Y\ge a)$。取 $Y=(X-\mu)^2$、$a=\varepsilon^2$，得 $P(|X-\mu|\ge\varepsilon)\le\sigma^2/\varepsilon^2$。独立性使样本均值方差等于 $\sigma^2/n$，因此 $P(|\bar X_n-\mu|\ge\varepsilon)\le\sigma^2/(n\varepsilon^2)\to0$。

赌场的正期望不排除有限资金下的亏损或破产；不能把长期平均规律直接当成个人投注建议。

## 采样代码的使用条件

采样笔记中的代码按原示例保留，部分片段依赖前文导入或未定义的 `custom_pdf`、`target_pdf`、`data`，并非全部可以单独运行。已修复可确认的代码围栏和复制空格问题，未运行完整采样实验。

KS 检验的 $p>0.05$ 仅表示在该阈值未拒绝原假设，不能证明分布正确。比较对象必须匹配采样目标；不能把所有分布都对照标准正态检验。若分布参数来自同一批样本估计，常规 KS 的显著性计算也需调整。

## 机器学习与随机过程

- Q、K、V 是由输入投影得到的表示矩阵，不能直接称作三种概率分布。点积相似度不等于余弦相似度；RoPE 等位置编码的使用取决于模型架构。
- Adam 的二阶矩不是二阶导数。常见更新分母为 $\sqrt{\hat v_t}+\epsilon$，与 $\sqrt{\hat v_t+\epsilon}$ 不相同；需依采用的算法版本核对，不能随意互换。它没有普遍的牛顿式二阶收敛保证。
- 若评分矩阵为“用户数 × 物品数”，分解 $R\approx UV^T$ 时，$U$ 为“用户数 × 隐维数”，$V$ 为“物品数 × 隐维数”。
- 使用行随机转移矩阵 $P$ 时，平稳分布满足 $\pi P=\pi$，是左特征向量。给定转移矩阵还需初始分布才能确定整条链的分布；收敛到唯一平稳分布需要相应遍历性条件。PageRank 的阻尼与跳转机制服务于此类条件。

## 待查来源的应用记录

椭圆曲线“ABC”缩写缺少明确出处；同源不是任意群同态。量子计算对密码方案的实际威胁取决于算法与可实现的计算资源，不能把概念性算法优势等同于现有设备已经能够破解。

“模型越智能幻觉必然越严重”、平台实现、论文归属和算法性能等没有在原文提供充分证据，保留为待核实观点。本次未作外部文献核查，也未补全中心极限定理、马尔可夫链和密码学的完整证明。