# 评分矩阵与低秩推荐

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矩阵分解与推荐系统
$R \approx UV^T$

$U \in \mathbb{R}^{|V| \times d}, \quad V \in \mathbb{R}^{|V| \times d}$
线性代数 数值优化（最小化重构误差）
UV 评分矩阵 R 巨大且稀疏的
矩阵分解把它压缩成两个低秩矩阵的乘积
本质低秩近似
## 整体公式

$R \approx UV^T$

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## 1. 矩阵 $R$：评分矩阵（Rating Matrix）

- **维度**：$|U| \times |I|$（用户数 × 物品数）
- **元素**：$R_{ui}$ 代表用户 $u$ 对物品 $i$ 的真实评分（例如 1 到 5 星）
- **特点**：这个矩阵通常非常稀疏（大部分是缺失值）
- **目的**：矩阵分解就是去填补这些缺失值，预测用户对未看过物品的评分

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## 2. 矩阵 $U$：用户隐向量矩阵（User Latent Matrix）

- **维度**：

$U \in \mathbb{R}^{|U| \times d}$

- **含义**：把每一个用户映射到一个 $d$ 维的隐空间（Latent Space）中

- $|U|$：用户总数
- $d$：隐因子（Latent Factors）的个数，是一个超参数，通常远小于 $|U|$ 和 $|I|$（例如 10、20、50）

- **直觉**：这 $d$ 个维度可以理解为用户的“潜在偏好”，比如第 1 维代表“喜欢动作片”，第 2 维代表“喜欢喜剧片”等（实际中这些维度往往没有明确的物理意义）

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## 3. 矩阵 $V$：物品隐向量矩阵（Item Latent Matrix）

- **维度**：

$V \in \mathbb{R}^{|I| \times d}$

- **含义**：把每一个物品映射到同一个 $d$ 维的隐空间中

- $|I|$：物品总数
- $d$：与用户隐向量维度一致

- **直觉**：这 $d$ 个维度可以理解为物品的“潜在属性”，比如第 1 维代表“动作含量”，第 2 维代表“喜剧含量”

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## 4. 为什么是 $UV^T$？

- 用户 $u$ 的特征向量是 $U$ 的第 $u$ 行，记为 $U_u$
- 物品 $i$ 的特征向量是 $V$ 的第 $i$ 行，记为 $V_i$
- 用户 $u$ 对物品 $i$ 的预测评分就是这两个向量的内积：

$\hat{R}_{ui} = U_u \cdot V_i^T$

这意味着：如果用户偏好的隐向量和物品属性的隐向量越相似（方向一致、夹角小），预测评分就越高。

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## 补充背景：通常怎么求出来的？

在实际训练中，我们不会直接对 $R$ 做 SVD 分解（因为 $R$ 有缺失值，标准 SVD 无法直接处理）。通常采用梯度下降来最小化预测误差：

$\min_{U,V} \sum_{(u,i) \in \text{已知评分}} (R_{ui} - U_u V_i^T)^2 + \lambda(\|U\|^2 + \|V\|^2)$

右侧的 $\lambda$ 项是正则化项，防止过拟合。

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## 总结

这种分解方法将原本庞大的评分矩阵压缩成了两个较小的低秩矩阵，极大地减少了参数数量，同时还能捕捉到用户和物品之间的隐含关联。