# 方差与取球概率例题

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## 4. 方差与样本 #方差 #样本

**题目：** 30. X、Y 独立。Var(X + Y) = _方差是=—。若再有 n 个独立、方差都是σ²的样本，

**解答：**

根据题目描述，这里考察的是独立随机变量方差的性质以及样本方差的定义。

### 第一部分：Var(X + Y) = ?

答案：$$Var(X) + Var(Y)$$

解释：
因为题目已知 $$X$$ 和 $$Y$$ 独立，所以它们之间的协方差 $$Cov(X, Y) = 0$$。
根据方差的性质公式：
$$Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y)$$
由于独立，协方差为 0，所以：
$$Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)$$

### 第二部分：若再有 n 个独立、方差都是 σ² 的样本

设这 $$n$$ 个独立样本为 $$X_1, X_2, \dots, X_n$$，且 $$Var(X_i) = \sigma^2$$。
样本均值 $$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$$。

样本均值的方差为：
$$Var(\bar{X}) = Var\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i\right)$$
由于常数提取方差要平方：
$$= \frac{1}{n^2} Var\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)$$
由于样本独立，和的方差等于方差的和：
$$= \frac{1}{n^2} \left( \sum_{i=1}^{n} Var(X_i) \right) = \frac{1}{n^2} (n\sigma^2) = \frac{\sigma^2}{n}$$

答案：样本均值的方差为 $$\frac{\sigma^2}{n}$$。

（注：如果你问的是这 n 个样本总和的方差，那就是 $$n\sigma^2$$。通常题目没写全时，大概率是问均值的方差 $$\frac{\sigma^2}{n}$$。）

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## 5. 有放回取球：两次颜色不同的概率 #有放回取球 #概率

**题目：** 6. 袋中 5 个红球、4 个白球。有放回地取两次，求两次颜色不同的概率。

**解答：**

这是一个典型的有放回取球概率问题。因为有放回，所以两次取球是相互独立的事件。

计算过程：

方法一：直接计算符合条件的情况

两次颜色不同，分为两种情况：
1. 第一次红球，第二次白球：
   概率 = $$P(红) \times P(白) = \frac{5}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{20}{81}$$
2. 第一次白球，第二次红球：
   概率 = $$P(白) \times P(红) = \frac{4}{9} \times \frac{5}{9} = \frac{20}{81}$$

将两种情况相加：
$$P(颜色不同) = \frac{20}{81} + \frac{20}{81} = \frac{40}{81}$$

方法二：用对立事件（1 减去颜色相同的概率）

1. 两次都是红球：$$P(红,红) = \frac{5}{9} \times \frac{5}{9} = \frac{25}{81}$$
2. 两次都是白球：$$P(白,白) = \frac{4}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{16}{81}$$
3. 颜色相同的概率 = $$\frac{25}{81} + \frac{16}{81} = \frac{41}{81}$$

所以，颜色不同的概率：
$$P(颜色不同) = 1 - \frac{41}{81} = \frac{40}{81}$$

答案：两次颜色不同的概率是 $$\frac{40}{81}$$。

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## 6. 不放回取球：两次颜色不同的概率 #不放回取球 #概率

**题目：** 不放回呢

**解答：**

如果是不放回取球，那么两次取球就不再是独立事件了，因为第一次取出的球会改变袋子里剩余球的数量和比例。

计算过程：

方法一：直接计算符合条件的情况

两次颜色不同，依然分为两种情况：
1. 第一次红球，第二次白球：
   - 第一次取红球的概率：$$\frac{5}{9}$$
   - 此时袋中还剩 8 个球（4 红，4 白），第二次取白球的概率：$$\frac{4}{8}$$
   - 这种情况的概率 = $$\frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{20}{72}$$
2. 第一次白球，第二次红球：
   - 第一次取白球的概率：$$\frac{4}{9}$$
   - 此时袋中还剩 8 个球（5 红，3 白），第二次取红球的概率：$$\frac{5}{8}$$
   - 这种情况的概率 = $$\frac{4}{9} \times \frac{5}{8} = \frac{20}{72}$$

将两种情况相加：
$$P(颜色不同) = \frac{20}{72} + \frac{20}{72} = \frac{40}{72}$$

化简得：
$$\frac{40}{72} = \frac{5}{9}$$

方法二：用对立事件（1 减去颜色相同的概率）

1. 两次都是红球：$$P(红,红) = \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{20}{72}$$
2. 两次都是白球：$$P(白,白) = \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{12}{72}$$
3. 颜色相同的概率 = $$\frac{20}{72} + \frac{12}{72} = \frac{32}{72}$$

所以，颜色不同的概率：
$$P(颜色不同) = 1 - \frac{32}{72} = \frac{40}{72} = \frac{5}{9}$$

答案：不放回时，两次颜色不同的概率是 $$\frac{5}{9}$$。

对比一下：
- 有放回：$$\frac{40}{81} \approx 0.4938$$
- 不放回：$$\frac{5}{9} \approx 0.5556$$

可以发现，不放回时颜色不同的概率略大一些。这是因为不放回的情况下，第一次取走某种颜色的球后，第二次再取到同色的概率会降低，从而使得“颜色不同”的概率相对提高。

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