# day3 阅读核验与疑问

[[MCS/day3/00 学习指南|返回本日指南]]

## 已核验的概念修正

- 原问“为什么不满足乘法分配律？”应区分交换律和分配律：矩阵乘法一般不满足交换律，但维度匹配时满足左右分配律。四元数也满足分配律。
- 四元数有四个实系数，可用于描述三维旋转，不能把它当作只有三个实分量的数。
- 原文对指数、对数的“凹/凸”名称与常用凸分析约定相反：$e^x$ 是凸函数，$\ln x$ 在 $x>0$ 上是凹函数。切线不等式应根据函数位于切线上方还是下方判断。
- 一阶泰勒近似本身不决定全局不等式方向；还需要凸性、导数单调性等依据。
- Feature vector（特征表示）与 eigenvector（矩阵特征向量）是不同概念。人工特征不一定低维；嵌入也不保证任何单次语义类比都成立。

## 补充证明：三个切线不等式

> [!proof] 指数、对数与正弦
> 令 $h(x)=e^x-1-x$，则 $h'(x)=e^x-1$ 在 $0$ 两侧先负后正，故 $h(x)\ge h(0)=0$，仅在 $x=0$ 取等。
>
> 在 $x>0$ 上令 $g(x)=x-1-\ln x$，则 $g'(x)=1-1/x$ 在 $1$ 两侧先负后正，故 $\ln x\le x-1$，仅在 $x=1$ 取等。
>
> 在 $x\ge0$ 上，$x-\sin x=\int_0^x(1-\cos t)\,dt\ge0$。再令 $q(x)=\sin x-x+x^3/6$，有 $q''(x)=x-\sin x\ge0$ 且 $q'(0)=q(0)=0$，于是 $q(x)\ge0$，即 $\sin x\ge x-x^3/6$。

## 待确认

历史人物、作品年份和具体 CPU/GPU 性能判断未做外部来源核验；原文“上一张图”没有本地图片引用，不能据此还原图片。