# day4 阅读核验与疑问

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## 先澄清模型与规则

- 盲盒概率计算以“每次独立、六种口味等概率”为前提。无序口味数量方案并不等概率，不能用隔板法的方案数直接相除算中奖概率。
- 贝叶斯结果是在均匀先验及独立同概率观测模型下对 $p$ 的推断；后验支持 $p<1/6$，并不能证明商家故意操控。
- “拼多多式魔改”的概率区间、用户惩罚与具体算法没有给出一手来源，均保留为假设模型和课堂观点。推荐系统部分也不能视为该平台已证实的实现。
- 助力模型中若 $i$ 表示整数个有效助力，表中的 $i=9.9$ 需另作连续进度解释。原 $e^{-k(N-i)}$ 在 $k>0$、剩余量变小时反而增大，与相邻“概率变低”的叙述相反，不能照抄为同一模型。

## 已核验的盲盒数值

集齐序列数为 $16\,435\,440$，概率 $P=16\,435\,440/6^{10}$。只计福袋、忽略月饼本身价值时，净收益期望为 $188P-120$。详细数值见下表（按容斥式重算）：

| 购买次数 $n$ | 集齐六种的概率 |
| --- | --- |
| 10 | 27.181213% |
| 14 | 58.284535% |
| 15 | 64.421274% |
| 20 | 84.798754% |
| 25 | 93.769786% |
| 30 | 97.480189% |

“只买一个更不划算”不能由原数值直接推出：一个的净期望为 $-12$，十个约为 $-68.9$；需先明确比较总支出、每个盲盒回报还是集齐目的。

## 投骰：一轮与循环不是同一概率

单次成功概率 $p=406/46656\approx0.8702\%$，在题目提供的选项中**最接近 1%**。

> [!proof] 补充证明：不同规则下的先手优势
> 设每次独立，$q=1-p$。只投一轮且有人成功即结束时，第 $k$ 人赢的概率是 $q^{k-1}p$，整轮无人成功的概率是 $q^{10}$。
>
> 若十人重复轮转直到成功，则第 $k$ 人最终获胜概率为
> $$
> \sum_{j=0}^{\infty}q^{10j+k-1}p=\frac{q^{k-1}p}{1-q^{10}}.
> $$
> 两种规则下先手均占优；若每个人都投一次、各自成功各自得奖，则每人中奖概率同为 $p$。已知前九次失败后，下一次成功概率仍是 $p$。

## 补充证明：容斥与集齐期望

> [!proof] 容斥原理的逐元素计数
> 一个属于恰好 $r\ge1$ 个集合的元素，在交替求和中被计入 $\sum_{j=1}^r(-1)^{j+1}\binom rj=1$ 次；不属于任何集合的元素计入零次，故得到并集容斥公式。用全集减去并集即得到补集版本。

> [!proof] 几何等待时间与集齐期望
> 成功概率为 $p>0$ 的独立重复试验，首次成功次数 $T$ 满足 $P(T>j)=(1-p)^j$。由非负整数随机变量的尾和公式，$E[T]=\sum_{j\ge0}(1-p)^j=1/p$。已有 $i-1$ 种口味时，新口味概率为 $(6-i+1)/6$，分阶段期望相加得到 $E[T]=6H_6=14.7$。

高阶调和数渐近展开、中心极限定理以及平台应用未在本次补全证明或外部核验。