# 五仁未出现与贝叶斯推断

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## 问题 3
小明连开了 20 个盲盒，发现“五仁月饼”口味的月饼一次都没有出现过。于是他怀疑商家在“五仁月饼”这个口味上动了手脚，即认为该口味被抽中的真实概率 $p$ 被压低了。

数学建模

设“五仁月饼”被抽中的真实概率为 $p$。

- 先验分布：假设 $p$ 服从均匀分布，即 $p \sim \text{Beta}(1,1)$（也就是区间 $(0,1)$ 上的均匀分布）。
- 样本数据：连开 20 个盲盒，五仁月饼出现 0 次。

 要求

1. 写出 $p$ 的后验分布族；
2. 给出 $p$ 的后验均值；
3. 给出一个近似的可信区间（或置信区间）结论；
4. 据此判断：在 95% 的可信度下，能否说“五仁月饼被压低了概率”（即 $p < \frac{1}{6}$）？


小明连开 $n=20$ 个盲盒，发现五仁一次都没出现。

设：

· 五仁出现的概率为 $p;$
· 非五仁出现的概率为 $1-p;$ · 20 次中五仁出现次数 $X=0$。

似然函数为：

$$L(p\mid X=0)=(1-p)^{20}$$

三、先验分布
题目说用均匀分布作为先验，即：
$p \sim \text{Uniform}(0,1)$
也就是 Beta 分布：
$p \sim \text{Beta}(1,1)$

四、后验分布
如果先验是：
$p \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)$
观测到 $X = 0$，即成功次数 0，失败次数 20，则后验为：
$p \mid X = 0 \sim \text{Beta}(\alpha + 0, \beta + 20)$
代入 $\alpha = 1, \beta = 1$：
$$p \mid X = 0 \sim \text{Beta}(1, 21)$$

这就是后验分布族。
五、后验均值
Beta 分布的均值为：
$$E[p] = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$$
所以：
$$
E[p \mid X = 0] = \frac{1}{1 + 21} = \frac{1}{22}$$
即：
$$\boxed{E[p \mid X = 0] = \frac{1}{22} \approx 0.04545}$$
正常概率是：
$$
\frac{1}{6} \approx 0.1667$$
后验均值 0.04545 远小于 1/6，说明数据强烈支持“五仁概率被压低”的说法。


## 六、95% 可信区间
后验分布为：
$$
p \mid X=0 \sim \text{Beta}(1,21)
$$
Beta(1,21) 的密度函数为：
$$
f(p) = 21(1-p)^{20}, \quad 0 < p < 1
$$
累积分布函数：
$$
F(p) = 1 - (1-p)^{21}
$$
### 1. 求 95% 可信区间
我们通常取等尾可信区间，即下分位点 $2.5\%$ 和上分位点 $97.5\%$。
下分位点 $q_{0.025}$：
$$
F(q_{0.025}) = 0.025
$$
$$
1 - (1-q_{0.025})^{21} = 0.025
$$
$$
(1-q_{0.025})^{21} = 0.975
$$
$$
1-q_{0.025} = 0.975^{1/21}
$$
$$
q_{0.025} = 1 - 0.975^{1/21}
$$
计算：
$$
0.975^{1/21} = e^{\frac{1}{21}\ln 0.975}
$$
$$
\ln 0.975 \approx -0.0253178
$$
$$
\frac{1}{21}\ln 0.975 \approx -0.0012056
$$
$$
e^{-0.0012056} \approx 0.998795
$$
所以：
$$
q_{0.025} \approx 1 - 0.998795 = 0.001205
$$
上分位点 $q_{0.975}$：
$$
F(q_{0.975}) = 0.975
$$
$$
1 - (1-q_{0.975})^{21} = 0.975
$$
$$
(1-q_{0.975})^{21} = 0.025
$$
$$
1-q_{0.975} = 0.025^{1/21}
$$
$$
q_{0.975} = 1 - 0.025^{1/21}
$$
计算：
$$
0.025^{1/21} = e^{\frac{1}{21}\ln 0.025}
$$
$$
\ln 0.025 \approx -3.688879
$$
$$
\frac{1}{21}\ln 0.025 \approx -0.175661
$$
$$
e^{-0.175661} \approx 0.8389
$$
所以：
$$
q_{0.975} \approx 1 - 0.8389 = 0.1611
$$
因此 95% 等尾可信区间约为：
$$
\boxed{[0.0012, \; 0.1611]}
$$
### 2. 单侧 95% 可信上限
如果问题是“在 95% 可信度下，能否说五仁被压低了概率”，更自然的是看单侧：
$$
P(p < 1/6 \mid X=0)
$$
计算：
$$
P(p < 1/6 \mid X=0) = F(1/6)
$$
$$
F(1/6) = 1 - \left(1 - \frac{1}{6}\right)^{21}
= 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{21}
$$
计算：
$$
\left(\frac{5}{6}\right)^{21} = e^{21 \ln(5/6)}
$$
$$
\ln(5/6) \approx -0.1823216
$$
$$
21 \times (-0.1823216) \approx -3.82875
$$
$$
e^{-3.82875} \approx 0.02177
$$
所以：
$$
F(1/6) \approx 1 - 0.02177 = 0.97823
$$
即：
$$
\boxed{P(p < 1/6 \mid X=0) \approx 97.82\%}
$$
这意味着：在观察到 20 个盲盒中五仁一次都没出现后，五仁概率小于 $1/6$ 的后验概率约为 $97.82\%$。


---

## 七、结论
在 95% 可信度下，可以认为五仁被压低了概率。
因为：
$$
P(p < 1/6 \mid X=0) \approx 97.82\% > 95\%
$$
所以有充分证据说明五仁概率被压低。


---

## 八、总结
| 项目 | 结果 |
|------|------|
| 先验 | $p \sim \text{Beta}(1,1)$ |
| 似然 | $(1-p)^{20}$ |
| 后验 | $\boxed{p \mid X=0 \sim \text{Beta}(1,21)}$ |
| 后验均值 | $\boxed{E[p \mid X=0] = \frac{1}{22} \approx 0.04545}$ |
| 95% 等尾可信区间 | $\boxed{[0.0012, \; 0.1611]}$ |
| $P(p < 1/6 \mid X=0)$ | $\boxed{97.82\%}$ |
| 结论 | 在 95% 可信度下，可以认为五仁概率被压低了 |
一句话总结：
$$
\boxed{\text{后验为 } \text{Beta}(1,21)，\text{后验均值 } \frac{1}{22}，\text{且 } P(p<1/6 \mid X=0) \approx 97.82\%，\text{故有充分证据认为五仁被动手脚。}}
$$