# 投骰子、先手优势与独立性

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## 题目二

每人每次投 6 个公平骰子，若至少出现 4 个 4，则算成功。  
（1）求单次投掷的成功概率，并判断它接近 1%、5% 还是 10%。  
（2）若有 10 个人轮流投掷，先手是否具有优势？请说明在不同规则下的结论。  
（3）若前面 9 次都没有成功，第 10 次是否更容易成功？为什么？


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## 1. 定义随机变量

每个骰子出现 4 的概率：

$p = \frac{1}{6}$

不出现 4 的概率：

$1 - p = \frac{5}{6}$

设 $X$ 为 6 个骰子中出现 4 的个数，则：

$X \sim \text{Binomial}(6, \frac{1}{6})$

二项分布公式：

$P(X = k) = \binom{6}{k} \left(\frac{1}{6}\right)^k \left(\frac{5}{6}\right)^{6-k}$

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## 2. 目标概率

至少 4 个 4，即：

$P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)$

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## 3. 逐项计算

### $P(X = 4)$

$P(X = 4) = \binom{6}{4} \left(\frac{1}{6}\right)^4 \left(\frac{5}{6}\right)^2$

$= 15 \cdot \frac{1}{6^4} \cdot \frac{25}{6^2}$

$= \frac{375}{46656}$

### $P(X = 5)$

$P(X = 5) = \binom{6}{5} \left(\frac{1}{6}\right)^5 \left(\frac{5}{6}\right)^1$

$= 6 \cdot \frac{1}{6^5} \cdot \frac{5}{6}$

$= \frac{30}{46656}$

### $P(X = 6)$

$P(X = 6) = \binom{6}{6} \left(\frac{1}{6}\right)^6$

$= \frac{1}{46656}$

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## 4. 求和

$P(X \ge 4) = \frac{375 + 30 + 1}{46656}$

$= \frac{406}{46656}$

$\approx 0.0087$

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## 5. 结论

$P(X \ge 4) \approx 0.87\%$

即：掷 6 个骰子，至少出现 4 个 4 的概率约为 **0.87%**。

所以不是 1%，不是 5%，也不是 10%，而是 不到 1%，约等于 0.87%。

（2）10 个人轮流投，先手优势大不大？

## 轮流投骰子游戏：先手优势与赌徒谬误
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## 一、游戏规则
- 每个人投一次
- 谁先成功谁赢
- 投完如果没中，就轮到下一个人
- 已经成功就结束
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## 二、单次成功概率
设单次成功概率为：
$p = \frac{406}{46656} \approx 0.0087$
单次失败概率为：
$q = 1 - p \approx 0.9913$
这里的 $p$ 来自“掷 6 个骰子，至少出现 4 个 4”的概率：
$P(X \ge 4) = \frac{406}{46656} \approx 0.87\%$
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## 三、先手优势的计算
### 1. 第 $k$ 个人赢的概率
第 1 个人赢的概率：
$p$
第 2 个人赢的概率：
$qp$
第 3 个人赢的概率：
$q^2 p$
第 $k$ 个人赢的概率：
$q^{k-1} p$
### 2. 先手确实占优
因为后面的人必须等前面的人**全部失败**，才有机会。
所以先手优势是存在的，而且可以算。
### 3. 但优势不会特别夸张
因为这个游戏单次成功率太低，所以优势“存在”，但不会特别夸张。
前几个人赢的概率大概是：

| 玩家     | 获胜概率    |
| ------ | ------- |
| 第 1 人  | 约 0.87% |
| 第 2 人  | 约 0.86% |
| 第 3 人  | 约 0.85% |
| 第 4 人  | 约 0.85% |
| …      | …       |
| 第 10 人 | 约 0.80% |
|        |         |

可以看到：
- 先手比第 10 个人高一些
- 但差距不是特别大

原因是：

> 每次失败后，剩下的人虽然轮到更晚，  
> 但前面的人已经消耗掉了“失败概率”，  
> 后面的人机会被压缩得比较慢。
### 4. 结论
如果 10 个人一直轮流投，直到有人成功为止：
- 第 1 个人最终获胜概率最高
- 但第 10 个人也不是完全没有机会

简单说：
> 先手有优势，但不是压倒性优势。
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## 四、赌徒谬误：前面 9 次都没中，第 10 次是不是该中了？
### 1. 不是
这是典型的**赌徒谬误（Gambler's Fallacy）**。
公平骰子没有记忆。
前面 9 次没中，**不会**让第 10 次更容易中。
第 10 次仍然还是：
$P(\text{至少 4 个 4}) = \frac{406}{46656} \approx 0.87\%$
不会变成 10%，不会变成 50%，也不会“该中了”。
### 2. 两种常见问法
**问法一**：前 9 个人都没中，第 10 个人投
第 10 个人成功概率仍然是单次：
$\approx 0.87\%$
**问法二**：前面已经投了 9 轮，每轮 6 个骰子都没中，第 10 轮中奖概率
也还是：
$\approx 0.87\%$
### 3. 唯一会变的是什么？
唯一会变的是：
> 如果你事先问“连续 10 次都不中”的概率
那是：
$q^{10} \approx 0.9913^{10} \approx 0.916$
也就是：
> 连续 10 次都不中的概率大约 **91.6%**
但一旦已经知道前 9 次没中，第 10 次中的**条件概率**还是回到单次：
$\approx 0.87\%$


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## 五、整体逻辑链
> 单次成功概率 $p \approx 0.87\%$，失败概率 $q \approx 99.13\%$  
> → 第 $k$ 个人赢的概率是 $q^{k-1} p$  
> → 先手有优势，但因为 $p$ 太小，优势不夸张  
> → 前面没中，不会让后面更容易中，这是赌徒谬误  
> → 唯一会变的是“连续多次都不中”的先验概率，不是条件概率
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## 六、一句话总结
> 轮流投骰子时，先手有优势，第 $k$ 个人赢的概率是 $q^{k-1} p$；  
> 但因为单次成功率只有约 0.87%，所以优势存在但不夸张；  
> 前面多次没中，不会让下一次更容易中，这是赌徒谬误；  
> 骰子没有记忆，条件概率始终回到单次的约 0.87%。

总结：

一次投 6 个骰子，至少 4 个 4 的概率：
约 0.87%，不到 1%。

10 个人轮流投，先手有优势，但不是特别大。
第 1 个人最终赢的概率最高，第 10 个人最低。

前面 9 次没中，第 10 次不会“该中了”。
每次都是独立事件，第 10 次仍然是 约 0.87%。