# day5 阅读核验与疑问

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## 导数与梯度的条件

- 以位移 $s(t)$ 为例：速度是 $s'(t)$，加速度是 $s''(t)$，加速度的变化率是 $s'''(t)$。原速记把这些阶数混在一起，保留原话供对照。
- “求极值必须用导数”过强；导数方法适用于相应可微条件，也可通过配方、不等式等求极值。
- 可微函数在定义域内部的局部极值点满足梯度为零；边界极值、不可微极值不能直接套用。

> [!proof] 补充证明：负梯度为何最陡
> 对可微函数和单位方向 $u$，方向导数为 $D_uf=\nabla f^Tu$。由柯西–施瓦茨不等式，$D_uf\ge-\|\nabla f\|$；当梯度非零时，在 $u=-\nabla f/\|\nabla f\|$ 取等。这里使用欧氏范数，结论是局部方向变化率，不保证任意有限步长都下降。

## 二次例子的收敛核验

对 $L(w)=(w-2)^2$，$w_{t+1}-2=(1-2\eta)(w_t-2)$。从非最优初值出发，当且仅当 $0<\eta<1$ 收敛；$1/2<\eta<1$ 时会跨过最优点并交替收敛，故“步长变小就不会冲过头”不成立。

原汇总表最后一行混用了 $L(w_5)$ 和 $L(w_6)$：$w_5=1.97952$、$L(w_5)=0.0004194304$；若继续一步，$w_6=1.991808$、$L(w_6)=0.000067108864$。停止判据是数值规则，不能据此断言已到精确最优。

一般凸函数未必线性收敛；强凸性、梯度 Lipschitz 连续和合适步长等条件需单独核对。原“局部二阶近似”讨论也需要二阶可微及正曲率等条件。