# 从切线近似到牛顿求根

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## 牛顿迭代法

牛顿迭代法（一阶泰勒展开）：用切线不断去逼近它

在当前猜测 $x_n$ 处做一阶泰勒展开：令这个线性近似=0, $f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n) = 0$
继续下一个猜测 ：

在 $x_n$ 处画切线，切线与 $x$ 轴的交点是 $x_{n+1}$。

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第一行：线性近似（切线近似）
$$f(x) \approx f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$$
这是函数 $f(x)$ 在点 $x_n$ 处的一阶泰勒展开（线性化）。
- 几何意义：用曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_n, f(x_n))$ 处的切线来近似曲线。
- 切线的斜率是 $f'(x_n)$，所以切线方程就是：
$$
y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$$
第二行：牛顿迭代公式
$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
推导过程：
令切线等于 0（即找切线与 $x$ 轴的交点）：
$$
f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n) = 0
$$


解出 $x$：
$$x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
把这个新的 $x$ 记为 $x_{n+1}$，就得到：
$$
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
几何意义
1. 在 $x_n$ 处作切线；
2. 切线与 $x$ 轴的交点横坐标就是 $x_{n+1}$；
3. 用 $x_{n+1}$ 代替 $x_n$，重复这个过程；
4. 迭代序列 $x_0, x_1, x_2, \dots$ 会逐渐逼近方程 $f(x) = 0$ 的根。
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和前面泰勒公式的联系
第一行正是 $f(x)$ 在 $x_n$ 处展开到一阶：
$$
f(x) = f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n) + \underbrace{\frac{f''(\xi)}{2!}(x-x_n)^2}_{\text{余项，被忽略}}
$$

忽略余项后，令近似式为 0，就得到了牛顿迭代公式。所以牛顿法本质上是用泰勒一阶展开来逼近方程的根。

注意事项

- 要求 $f'(x_n) \neq 0$，否则公式失效。
- 初值 $x_0$ 要选得离根足够近，否则可能不收敛。
- 收敛速度通常是二阶的（即误差平方级减小），非常快。


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