# 牛顿迭代、不动点与二循环

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## 牛顿法与数列不动点的关系

### 一、核心结论

牛顿法本身就是一个**离散动力系统**：

> 求牛顿迭代函数的不动点，等价于求原方程的根；
> 而周期点（如二循环）就是牛顿法失效时的非不动点周期轨道。

---

### 二、牛顿迭代就是一个数列

给定函数 $f(x)$，牛顿迭代定义为：

$$
x_{n+1} = N(x_n)
$$

其中牛顿迭代函数为：

$$
N(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)}
$$

所以牛顿法本质上是：

> 不断把 $N$ 作用在初值上，得到一个数列 $\{x_n\}$。

这与“求数列的不动点”完全是同一套语言。

---

### 三、牛顿法的不动点 = 原方程的根

若数列 $x_n$ 收敛到 $r$，则对

$$
x_{n+1} = N(x_n)
$$

取极限得：

$$
r = N(r)
$$

即 $r$ 是 $N$ 的**不动点**。

而

$$
N(r) = r
$$

等价于：

$$
r - \frac{f(r)}{f'(r)} = r
$$

即

$$
\frac{f(r)}{f'(r)} = 0
$$

只要 $f'(r) \neq 0$，就得到：

$$
f(r) = 0
$$

因此：

> **牛顿迭代函数 $N$ 的不动点，恰好就是原方程 $f(x)=0$ 的根（在导数非零的前提下）。**

这就是牛顿法能用来求根的根本原因。

---

### 四、二循环就是周期为 2 的周期点

以经典例子

$$
f(x) = x^3 - 2x + 2
$$

为例，牛顿迭代函数为：

$$
N(x) = x - \frac{x^3 - 2x + 2}{3x^2 - 2}
$$

当 $x_0 = 0$ 时：

$$
N(0) = 1
$$

当 $x_1 = 1$ 时：

$$
N(1) = 0
$$

所以：

$$
N(N(0)) = 0,\quad N(N(1)) = 1
$$

即 $0$ 和 $1$ 都是 $N^2$ 的不动点，但不是 $N$ 的不动点。

用数列语言说：

- $0,1,0,1,\dots$ 是一个周期为 2 的数列；
- $0$ 和 $1$ 是 $N$ 的 **2-周期点**；
- 它们不是 $N$ 的不动点，因为 $N(0) \neq 0$，$N(1) \neq 1$。

因此：

> **不动点对应收敛到根；周期点对应不收敛的循环。**

---

### 五、用“数列不动点”的语言重新看牛顿法

牛顿法产生的数列：

$$
x_{n+1} = N(x_n)
$$

其长期行为可分为几类：

| 数列行为 | 动力系统语言 | 对牛顿法意味着 |
|---|---|---|
| 收敛到 $r$ | $r$ 是 $N$ 的不动点 | 成功找到根 |
| 周期循环 | 周期点 | 失效，不收敛 |
| 发散到无穷 | 逃逸 | 失效 |
| 混沌 | 复杂轨道 | 失效 |

所以“求数列的不动点”和“分析牛顿法是否收敛”是同一件事：

- 找 $N$ 的不动点 → 找根；
- 分析不动点的稳定性 → 判断牛顿法是否收敛；
- 找周期点 → 找牛顿法失效的情形。

---

### 六、稳定性：不动点稳定，才可能收敛

即使 $r$ 是 $N$ 的不动点，也不一定从附近初值出发都能收敛到它。

要看导数：

$$
N'(r) = 1 - \frac{f''(r)f(r) - f'(r)^2}{f'(r)^2}
$$

在 $f(r) = 0$ 时，化简为：

$$
N'(r) = 1 - \frac{-f'(r)^2}{f'(r)^2} = 0
$$

所以对于单根，牛顿法的不动点 $r$ 满足：

$$
N'(r) = 0
$$

这说明它是**超稳定不动点**，局部收敛非常快（二阶收敛）。

但如果 $r$ 是重根，即 $f'(r) = 0$，那么 $N'(r) \neq 0$，收敛变慢，甚至可能不收敛。

---

### 七、经典例子中 0,1 二循环的稳定性

对于

$$
N(x) = x - \frac{x^3 - 2x + 2}{3x^2 - 2}
$$

有：

$$
N(0) = 1,\quad N(1) = 0
$$

二循环的稳定性看复合函数 $N^2$ 在周期点处的导数：

$$
(N^2)'(0) = N'(1) \cdot N'(0)
$$

计算：

$$
N'(x) = 1 - \frac{(3x^2 - 2)^2 - (x^3 - 2x + 2)(6x)}{(3x^2 - 2)^2}
$$

代入 $x = 0$：

$$
N'(0) = 1 - \frac{4}{4} = 0
$$

代入 $x = 1$：

$$
N'(1) = 1 - \frac{-5}{1} = 6
$$

所以：

$$
(N^2)'(0) = N'(1) \cdot N'(0) = 6 \cdot 0 = 0
$$

这说明这个二循环是**超稳定的**。

也就是说，它不仅存在，而且附近的点也会被吸引到这个循环里，所以牛顿法一旦落入这个区域，就很难逃出来。

---

### 八、牛顿法失效的典型情况

| 失效原因    | 说明                      |
| ------- | ----------------------- |
| 初值离根太远  | 局部收敛，初值不好可能发散或循环        |
| 导数接近 0  | 步长过大，迭代飞出               |
| 导数为 0   | 直接除零，迭代中断               |
| 重根      | 收敛变慢，可能不收敛              |
| 多根吸引域边界 | 迭代行为复杂，可能周期或混沌          |
| 周期循环    | 迭代点落入周期轨道，如 $0,1$ 二循环 |
| 函数不光滑   | 导数不存在或剧烈变化，牛顿法不适用       |


---

### 九、一句话总结

> **牛顿法产生的数列，就是迭代函数**
>
> $$
> N(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)}
> $$
>
> **的轨道。**
>
> - $N$ 的不动点 = 原方程的根；
> - $N$ 的周期点 = 牛顿法不收敛的循环；
> - 分析这些不动点和周期点的存在性与稳定性，就是判断牛顿法成功还是失效。



所以“求数列的不动点”不是无关，而是牛顿法收敛性分析的**核心语言**。