# 牛顿法二阶收敛的误差推导

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## 牛顿法二阶收敛推导（误差精度分析）

### 0. 目标

设真实根为 $x^*$，满足：

$$
f(x^*)=0
$$

第 $n$ 次迭代的误差定义为：

$$
e_n=x_n-x^*
$$

要证明牛顿法的误差满足：

$$
e_{n+1}\approx \frac{f''(x^*)}{2f'(x^*)}e_n^2
$$

即误差按平方级下降，这就是**二阶收敛**。

---

### 1. 牛顿迭代公式

$$
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
$$

因为：

$$
x_n=x^*+e_n
$$

所以：

$$
x^*+e_{n+1}=x^*+e_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
$$

两边消去 $x^*$：

$$
e_{n+1}=e_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
$$

---

### 2. 在根 $x^*$ 处泰勒展开 $f(x_n)$

把 $f(x)$ 在 $x^*$ 处展开：

$$
f(x_n)=f(x^*)+f'(x^*)(x_n-x^*)
+\frac{f''(x^*)}{2}(x_n-x^*)^2+\cdots
$$

因为：

$$
f(x^*)=0,\qquad x_n-x^*=e_n
$$

所以：

$$
f(x_n)=f'(x^*)e_n+\frac{f''(x^*)}{2}e_n^2+O(e_n^3)
$$

---

### 3. 在根 $x^*$ 处泰勒展开 $f'(x_n)$

把 $f'(x)$ 在 $x^*$ 处展开：

$$
f'(x_n)=f'(x^*)+f''(x^*)(x_n-x^*)+\cdots
$$

代入 $x_n-x^*=e_n$：

$$
f'(x_n)=f'(x^*)+f''(x^*)e_n+O(e_n^2)
$$

---

### 4. 代入牛顿迭代公式

$$
e_{n+1}=e_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
$$

代入上面两个展开：

$$
\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
=
\frac{f'(x^*)e_n+\frac{f''(x^*)}{2}e_n^2+O(e_n^3)}
{f'(x^*)+f''(x^*)e_n+O(e_n^2)}
$$

---

### 5. 化简

分子分母同时除以 $f'(x^*)$，假设 $f'(x^*)\neq 0$：

$$
\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
=
\frac{e_n+\frac{f''(x^*)}{2f'(x^*)}e_n^2+O(e_n^3)}
{1+\frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}e_n+O(e_n^2)}
$$

利用展开：

$$
\frac{1}{1+u}=1-u+O(u^2)
$$

令：

$$
u=\frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}e_n
$$

则分母：

$$
\frac{1}{1+u}=1-u+O(e_n^2)
$$

所以：

$$
\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
=
\left(e_n+\frac{f''(x^*)}{2f'(x^*)}e_n^2\right)
\left(1-\frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}e_n\right)
+O(e_n^3)
$$

展开：

$$
=e_n+\frac{f''(x^*)}{2f'(x^*)}e_n^2
-\frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}e_n^2+O(e_n^3)
$$

合并 $e_n^2$ 项：

$$
=e_n-\frac{f''(x^*)}{2f'(x^*)}e_n^2+O(e_n^3)
$$

---

### 6. 代回误差公式

$$
e_{n+1}=e_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
$$

代入上面结果：

$$
e_{n+1}
=
e_n-\left(e_n-\frac{f''(x^*)}{2f'(x^*)}e_n^2+O(e_n^3)\right)
$$

所以：

$$
e_{n+1}
=
\frac{f''(x^*)}{2f'(x^*)}e_n^2+O(e_n^3)
$$

忽略高阶项：

$$
\boxed{
e_{n+1}\approx \frac{f''(x^*)}{2f'(x^*)}e_n^2
}
$$

---

### 7. 这说明什么？

这个公式说明：

$$
e_{n+1}\propto e_n^2
$$

即误差的平方级下降，这就是牛顿法的**二阶收敛**。

例如：

| 迭代 | 误差 |
|---|---|
| $n$ | $10^{-3}$ |
| $n+1$ | $\approx C\cdot 10^{-6}$ |
| $n+2$ | $\approx C^2\cdot 10^{-12}$ |

有效数字大约每次翻倍，所以牛顿法在根附近收敛极快。

---

### 8. 前提条件

这个推导用到了：

1. $f'(x^*)\neq 0$
2. $e_n$ 足够小（初值足够接近根）
3. $f$ 在根附近二阶连续可导

如果这些条件不满足，上面的近似就不成立，牛顿法可能不收敛甚至发散。

---

### 9. 一句话总结

把 $f(x_n)$ 和 $f'(x_n)$ 在根 $x^*$ 处泰勒展开，代入牛顿迭代公式，化简后保留最低阶项，就得到

$$
e_{n+1}\approx \frac{f''(x^*)}{2f'(x^*)}e_n^2
$$

它说明牛顿法是二阶收敛的。