# day8 阅读核验与疑问

[[MCS/day8/00 学习指南|返回本日指南]]

## 方程组与消元

对 $n$ 个未知量的 $Ax=b$，有解的充要条件是 $\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])$。共同秩为 $n$ 时唯一，为小于 $n$ 时有无穷多解；齐次方程总有零解。上三角方程从最后一行向上回代，原文“从上向下”应据此辨析。带行交换的 LU 分解通常写成 $PA=LU$。

## 条件数与扰动

可逆方阵的二范数条件数为

$$
\kappa_2(A)=\|A\|_2\|A^{-1}\|_2
=\frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}}
=\sqrt{\frac{\lambda_{\max}(A^TA)}{\lambda_{\min}(A^TA)}}.
$$

例题中用 $A^TA$ 特征值比求条件数时漏掉了平方根。实对称可逆矩阵可用特征值绝对值的最大最小比，正定时才能直接用正特征值比。一般矩阵不能套用特征值比。

> [!proof] 相对扰动上界
> 固定可逆矩阵 $A$，令 $Ax=b\ne0$、$A(x+\delta x)=b+\delta b$，则 $\delta x=A^{-1}\delta b$。结合 $\|b\|\le\|A\|\|x\|$ 得
> $$
> \frac{\|\delta x\|}{\|x\|}\le\kappa(A)\frac{\|\delta b\|}{\|b\|}.
> $$
> 这是最坏情形上界，不代表每个方向都达到该放大倍数。

- $A=\varepsilon I$ 的行列式可以很小，但条件数为 1；行列式大小不能单独诊断病态。
- 条件数为 1 不等于单位矩阵，非零标量乘正交矩阵也是例子。前向放大由算子范数刻画，与逆问题敏感性有区别。
- $A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1.01\end{pmatrix}$ 的二范数条件数约为 $402.0075$。右端从 $(2,2.01)^T$ 变为 $(2,2.06)^T$ 时，解由 $(1,1)^T$ 变为 $(-4,6)^T$。
- 归一化、BatchNorm 或正则化的效果取决于具体定义，不能笼统保证矩阵可逆或条件数良好。

## 特征值、SVD 与向量乘积

实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交；同一特征空间可以选取正交基，但随意选的两个向量不一定正交。归一化仍留有符号选择，重特征值空间还有基的选择。

特征分解 $A=PDP^{-1}$ 要求可对角化，要求 $P$ 可逆，不要求 $A$ 可逆。零特征值把对应特征向量映到零向量，此时不能谈输出方向。矩形矩阵的完整 SVD 中，$\Sigma$ 是矩形对角阵。

外积只有两个因子都非零时秩才为 1。二维“叉积”常指有向面积标量，标量本身没有垂直方向。“自由度不是正式教材术语”的断言没有依据，需结合具体定义理解。

例题的原解答保留，以上内容用于回看辨析；未逐题重新评分，也未补全 SVD、谱定理的完整证明。