# day9 阅读核验与疑问

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## 克莱姆法则与复杂度

原文 $x=\det(A)/\det(A)$ 缺少下标及替换列。正确表述为：方阵 $A$ 可逆时，$x_i=\det(A_i)/\det(A)$，其中 $A_i$ 把第 $i$ 列替换为 $b$。

> [!proof] 列的多线性证明
> 将 $b=\sum_j x_j a_j$ 代入 $A_i$ 的第 $i$ 列并展开行列式。$j\ne i$ 的项有重复列，均为零；剩下 $\det(A_i)=x_i\det(A)$。由 $\det(A)\ne0$ 即得公式。

阶乘级计算量对应朴素递归余子式展开，并非计算行列式的必然代价。用消元计算一个行列式通常为 $O(n^3)$；分别计算克莱姆法则中的各个行列式可达 $O(n^4)$，直接求解线性方程组通常更合适。这里讨论常规稠密浮点运算模型。

## 可逆性与稳定性

行列式非零等价于方阵可逆，但行列式很小不直接等价于病态；还受尺度影响。数值敏感性应结合条件数、数据尺度和误差分析。伴随矩阵求逆公式也不意味着它是数值计算的首选方法。

原空白 `day9.md` 已作为本日入口，正文来自原“矩阵的行列式与逆”材料，没有为该空文件虚构内容。