# 行列式、伴随矩阵与求逆

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## 行列式的历史背景

关孝和 1683 年，日本数学家，行列式雏形，“解伏题之法”
莱布尼茨德国数学家莱布尼茨，发现行列式，研究怎么用消元法表示方程组的解的分母总是由系数的某种组合构成所以说我们要知道这个行列式它不是凭空发生的啊，它不是凭空方程，它是人们在这个解方程组当中自然长出来的一个工具啊，这是也是咱家讲的一个规律啊。

要懂得顺应规律，利用规律啊！

真正的自由记住啊，永远是属于那些善用规律的人啊，如果你觉得现在你不太自由，你会很难受，那是不是在说明有些事情？嗯，你没有符合规律呢？

## 凯莱与矩阵代数
英国数学家创立矩阵代数定义了矩阵乘法、逆矩阵，给出了用行列式求逆矩阵的公式

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$$
- $A$: 一个 $n \times n$ 的方阵
- $\det(A)$: 矩阵 $A$ 的行列式（一个数）
- $\operatorname{adj}(A)$: 矩阵 $A$ 的伴随矩阵（adjugate matrix），也是一个 $n \times n$ 矩阵
- $A^{-1}$: $A$ 的逆矩阵



1.先决条件：$\det(A)\neq0$

公式里出现了 $\frac1{\det(A)}$,所以只有当 $\det(A)\neq0$ 时才能用。

$\cdot\det(A)\neq0:A$ 可逆(非奇异),逆矩阵存在
$\cdot\det(A)=0:A$ 不可逆(奇异),逆矩阵不存在

所以这个公式同时也给出了判断矩阵是否可逆的方法。

## 伴随矩阵 $\operatorname{adj}(A)$ 是什么？

伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置。
第一步：余子式
对每个元素 $a_{ij}$，划掉第 $i$ 行和第 $j$ 列，剩下一个 $(n-1)\times(n-1)$ 矩阵，它的行列式叫余子式 $M_{ij}$。
第二步：代数余子式
$$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$$
第三步：代数余子式矩阵
把所有 $C_{ij}$ 按原位置排成一个矩阵：
$$
C = \begin{pmatrix}
C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\
C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn}
\end{pmatrix}
$$

第四步：转置得到伴随矩阵


$$\operatorname{adj}(A)=C^\intercal=\begin{pmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots&C_{n1}\\C_{12}&C_{22}&\cdots&C_{n2}\\\vdots&&&\vdots\\C_{1n}&C_{2n}&\cdots&C_{nn}\end{pmatrix}$$

注意：伴随矩阵是转置后的，元素 $\operatorname{adj}(A)_{ij}=C_{ji}$,这一点很容易记错。
## 为什么公式成立？

关键恒等式是：
$$A \operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A) A = \det(A) I_n$$
直观理解：
- 当 $i = j$（对角线上）时，$A$ 的第 $i$ 行与自己的代数余子式相乘求和，结果正好是 $\det(A)$（按第 $i$ 行展开）
- 当 $i \neq j$（非对角线）时，$A$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行的代数余子式相乘求和，相当于“把第 $j$ 行替换为第 $i$ 行”后的行列式，此时有两行相同，行列式为 0
所以乘积是对角线上全为 $\det(A)$、其余为 0 的矩阵，即 $\det(A)I$。
两边同时除以 $\det(A)$：
$$
A \cdot \frac{\operatorname{adj}(A)}{\det(A)} = I$$
由逆矩阵定义，$\frac{\operatorname{adj}(A)}{\det(A)}$ 就是 $A^{-1}$。


设
$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$
- $\det(A) = ad - bc$
- 代数余子式：$C_{11} = d$，$C_{12} = -c$，$C_{21} = -b$，$C_{22} = a$
- 伴随矩阵（转置）：
$$
\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$
所以
$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

这就是大家熟悉的 $2 \times 2$ 逆矩阵公式：主对角线交换，副对角线变号，再除以行列式。




解线性方程组
最重要的用途：最小二乘拟合（Regression）

如何得到 QR？
Gram-Schmidt 正交化（教学）
Householder 反射（工业界常用）
Givens 旋转（适合稀疏矩阵，只改少量行/列）

西尔维斯特
determinants 

面积为 0 无法求逆
计算机的行列式
判断数值稳定性的预警

det(AB) = det(A)det(B)
变换的组合，其体积缩放因子等于各个变换缩放因子的乘积
克莱姆法则（Cramer's Rule）
x = det(A) / det(A)
Ai 是把 A 的第 i 列替换成 b 后得到的矩阵
数学上优美
计算机当中，计算复杂度极高 O(n·n!),在计算机中不会用克莱姆法则来解方程，它只在高维数学证明和理论推导中有用
高斯-若尔当求逆法
[A|E]A 行变换目标把它变成单位矩阵
[A|E]当左边变成 E时，右边就变成了 A-1> [E|A-1]
本质：用高斯消元法去解 n 个方程组，它的复杂度是 O(n³),比克莱姆法则快很多